第5章 特殊平行四边形 单元检测(B卷·能力提升）-2024-2025学年八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第5章 特殊平行四边形 单元检测(B卷·能力提升) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．两组对角相等 C．对角线互相垂直 D．两组对边相等 【思路点拨】根据平行四边形的性质“对边平行且相等；对角相等；邻角互补；对角线互相平分”，菱形的性质除了具备平行四边形的性质，还具有“四条边长度相等；对角线垂直且平分”，由此进行分析判断即可求解． 【解析】解：A、平行四边形、菱形都具备对角线互相平分， 故该选项不符合题意； B、平行四边形、菱形都具备两组对角相等， 故该选项不符合题意； C、平行四边形的对角线不一定垂直、菱形的对角线互相垂直， 故该选项符合题意； D、平行四边形、菱形都具备两组对边相等， 故该选项不符合题意； 综上所述，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是C， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形，菱形的性质，理解并识记它们的性质是解题的关键． 2．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AD＝8，OA＝5，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．11 【思路点拨】由矩形的性质得出AC＝2OA＝BD＝10，∠BAD＝90°，由勾股定理求出AB即可． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝2OA＝10＝BD，∠BAD＝90°， ∵AD＝8， ∴AB＝＝6， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出AD是解决问题的关键． 3．在下列条件中选取一个条件，不能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　） A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC平分∠DAB D．AC⊥BD 【思路点拨】根据菱形的判定方法和矩形的判定对各个选项逐一判断即可． 【解析】解：根据菱形的判定方法和矩形的判定对各个选项逐一判断如下： A．AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，则▱ABCD是菱形； B．AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，则▱ABCD是矩形； C．因为AC平分∠DAB且AD∥BC，所以∠CAB＝∠ACB，所以AB＝BC，则▱ABCD是菱形； D．AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则▱ABCD是菱形． 故选：B． 【点睛】此题重点考查菱形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 4．四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，则能够判断它是一个正方形的是（　　） A．AO＝CO，BO＝DO B．AO＝CO＝BO＝DO C．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD 【思路点拨】根据正方形的判定对角线相等且互相垂直平分是正方形对各个选项进行分析从而得到答案． 【解析】解：A，不能，只能判定为平行四边形； B，不能，只能判定为矩形； C，不能，只能判定为菱形； D，能，因为对角线相等且互相垂直平分； 故选：D． 【点睛】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 5．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝α，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接CE，EF，若CE＝EF，CE⊥BD，则∠DEF一定等于（　　） A．α B． C．90°﹣α D．90°+α 【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质证得AC⊥BD，∠ABE＝∠CBE＝∠ADE＝，AB＝CB，进而得到∠EAD＝90°﹣，证明△ABE≌△CBE（SAS），得到AE＝EC＝EF，由等腰三角形的性质得到∠EFA＝∠EAD＝90°﹣，根据三角形内角和定理和直角三角形的性质即可求得答案． 【解析】解：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，E点在对角线BD上，AC⊥BD， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ADE＝∠ABC＝，AB＝CB， ∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°﹣， ∵CE⊥BD， ∴A，E，C三点共线， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝EC， ∵CE＝EF， ∴AE＝EF， ∴∠EFA＝∠EAD＝90°﹣， ∴∠AEF＝180°﹣（90°﹣）﹣（90°﹣）＝α， ∴∠DEF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣α． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ABE≌△CBE． 6．如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连接BE、DF．若AB＝6，AD＝8，则四边形EBFD的周长是（　　） A． B．20 C．25 D．40 【思路点拨】由“AAS”证明△DOE≌△BOF，可得DE＝BF，则四边形BFDE是平行四边形，因为EF⊥BD，所以四边形BFDE是菱形，由勾股定理得62+（8﹣BE）2＝BE2，求得BE＝，则四边形BFDE的周长为25． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠OED＝∠OFB， ∵O是BD的中点， ∴OD＝OB， 在△DOE和△BOF中， ， ∴△DOE≌△BOF（AAS）， ∴DE＝BF， ∵AD∥BC，点E、点F分别在AD、BC上， ∴DE∥BF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形BFDE是菱形， ∴BE＝DE＝BF＝DF， ∵∠A＝90°，AB＝6，AD＝8， ∴AB2+AE2＝BE2，AE＝8﹣DE＝8﹣BE， ∴62+（8﹣BE）2＝BE2， 解得：BE＝， ∴四边形EBFD的周长＝4BE＝25， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质，勾股定理等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明△DOE≌△BOF是解题的关键． 7．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝9，则BE的长为（　　） A． B．9 C． D．12 【思路点拨】根据矩形的性质得出∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB＝9，证出∠AEB＝∠EAD＝45°，得出BE＝BA．证出△OAB为等边三角形，得出BO＝BA＝9，则可得出答案． 【解析】解：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB＝6， ∴∠AEB＝∠EAD＝45°， ∴BE＝BA． ∵∠CAE＝15°，∠BAE＝45°， ∴∠BAC＝60°， 又∵OA＝OB， ∴△OAB为等边三角形， ∴BO＝BA＝9， ∴BO＝BE＝9． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定及三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 8．如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC 【思路点拨】由点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，根据三角形中位线的性质，可得EG＝FH＝AB，EH＝FG＝CD，又由当EG＝FH＝GF＝EH时，四边形EGFH是菱形，即可求得答案． 【解析】解：∵点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点， ∴EG＝FH＝AB，EH＝FG＝CD， ∵当EG＝FH＝GF＝EH时，四边形EGFH是菱形， ∴当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形． 故选：A． 【点睛】此题考查了中点四边形的性质、菱形的判定以及三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 9．如图，D，E是△ABC中AB，BC边上的点，且DE∥AC，∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H．则下列结论错误的是（　　） A．若BG∥CH，则四边形BHCG为矩形 B．若BE＝CE时，四边形BHCG为矩形 C．若HE＝CE，则四边形BHCG为平行四边形 D．若CH＝3，CG＝4，则CE＝2.5 【思路点拨】由∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H可得∠HCG＝90°，∠ECG＝∠ACG即可得HE＝EC＝EG，再根据A，B，C，D的条件，进行判断． 【解析】解：∵∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H， ∴∠HCG＝90°，∠ECG＝∠ACG； ∵DE∥AC． ∴∠ACG＝∠HGC＝∠ECG． ∴EC＝EG； 同理：HE＝EC， ∴HE＝EC＝EG＝HG； 若CH∥BG， ∴∠HCG＝∠BGC＝90°， ∴∠EGB＝∠EBG， ∴BE＝EG， ∴BE＝EG＝HE＝EC， ∴CHBG是平行四边形，且∠HCG＝90°， ∴CHBG是矩形； 故A正确； 若BE＝CE， ∴BE＝CE＝HE＝EG， ∴CHBG是平行四边形，且∠HCG＝90°， ∴CHBG是矩形， 故B正确； 若HE＝EC，则不可以证明则四边形BHCG为平行四边形， 故C错误； 若CH＝3，CG＝4，根据勾股定理可得HG＝5， ∴CE＝2.5， 故D正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定，关键是灵活这些判定解决问题． 10．如图，在正方形ABCD的边CD上取一点E，连接AE，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，连接EF，过点A作AG⊥EF于点G，连接BG．若DE＝1，CD＝4，则线段GB的长度为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】过点G作GH⊥BC于点H，根据正方形的性质得AB＝BC＝CD＝AD＝4，再根据AF⊥AE得∠EAF＝∠BAD＝90°，进而得∠BAF＝∠DAE，由此可依据“ASA”判定△ABF和△ADE全等，则AF＝AE，BF＝DE＝1，△AEF是等腰直角三角形，CF＝5，再根据AG⊥EF得点G是EF的中点，进而得GH是△FEC的中位线，则GH＝CE＝，CH＝FH＝CF＝，进而得BH＝BC﹣CH＝，然后再在Rt△BHG中，由勾股定理即可求出GB的长． 【解析】解：过点G作GH⊥BC于点H，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，且CD＝4， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴∠ABF＝∠D＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠EAF＝∠BAD＝90°， ∴∠EAF﹣∠EAB＝∠BAD﹣∠EAB， ∴∠BAF＝∠DAE， 在△ABF和△ADE中， ， ∴△ABF≌△ADE（ASA）， ∴AF＝AE，BF＝DE＝1， ∴△AEF是等腰直角三角形，CF＝BC+BF＝5， ∵AG⊥EF， ∴点G是EF的中点， ∵GH⊥BC，∠ABC＝90°， ∴GH∥CD， ∴GH是△FEC的中位线， 又∵CE＝CD﹣DE＝4﹣1＝3， ∴GH＝CE＝，CH＝FH＝CF＝， ∴BH＝BC﹣CH＝＝， 在Rt△BHG中，由勾股定理得：GB＝＝＝． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．如图，在菱形ABCD中，∠ADE＝70°，DA＝AE，则∠DAB＝ 　80°　 ． 【思路点拨】根据菱形的每一条对角线平分每一组对角结合等腰三角形的性质可求得答案． 【解析】解：在菱形ABCD中，∠ADE＝70°，DA＝AE， ∴∠AED＝∠ADE＝70°， ∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝40°， ∴∠BAE＝∠DAE＝40°， ∴∠BAD＝2∠DAE＝80°， 故答案为：80°． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质． 12．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，则矩形的对角线长为　8cm　 ． 【思路点拨】根据邻补角的定义求出∠AOB＝60°，再根据矩形的对角线互相平分且相等可得AO＝BO＝CO，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形三条边都相等可得AO＝AB，然后求解即可． 【解析】解：∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO＝CO， ∴△AOB是等边三角形， ∴AO＝AB＝4cm， ∴AC＝AO+CO＝4+4＝8cm． 故答案为：8cm． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并判断出△AOB是等边三角形是解题的关键． 13．如图，菱形ABCD的对角线AC的长为6cm，边AB的长为5cm，则菱形ABCD的面积是 　24　 cm2． 【思路点拨】如图，由菱形的性质可得，∠AOB＝90°，，BD＝2OB，在Rt△AOB中，由勾股定理求OB的值，进而可得BD的值，根据，计算求解即可． 【解析】解：如图， 由菱形的性质可得，∠AOB＝90°，，BD＝2OB， 在Rt△AOB中，由勾股定理得， ∴BD＝8， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理等知识．解题的关键掌握菱形的对角线互相垂直平分． 14．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在边AD上，且EO⊥AC，若AB＝6，AC＝10，则△EDC的周长是 　14　 ． 【思路点拨】由矩形的性质可得OE垂直平分AC，推出AE＝EC，将△EDC的周长转化为AD+DC，根据勾股定理求得AD，进一步求解即可． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，EO⊥AC， ∴， ∴OE垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∵AB＝CD＝6，AC＝BD＝10， ∴， ∴△EDC的周长＝EC+ED+CD＝AE+ED+CD＝AD+CD＝8+6＝14， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 15．如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交边BC于点F．若AB＝4，FE＝FC，则DE＝ 　　 ． 【思路点拨】过点E作AD的垂线交BC于点P，垂足为H，设DH＝a，AH＝4﹣a，证明△HED是等腰直角三角形得EH＝DH＝a，则DE＝，证明四边形CDHP是矩形得CP＝DH＝a，PH＝CD＝4，则AH＝EP＝4﹣a，证明△EAH和△FEP全等得EH＝FP＝a，进而得FE＝FC＝2a，在Rt△FEP中，由勾股定理求出a＝，继而可得出DE的长． 【解析】解：过点E作AD的垂线交BC于点P，垂足为H，如图所示： 设DH＝a， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴AD＝AB＝CD＝4，∠ADF＝45°，∠BCD＝∠CDA＝90°， ∴AH＝AD﹣DH＝4﹣a， ∵PH⊥AD，∠ADF＝45°， ∴△HED是等腰直角三角形， ∴EH＝DH＝a， 由勾股定理得：DE＝＝， ∵∠PHD＝∠BCD＝∠CDA＝90°， ∴四边形CDHP是矩形， ∴CP＝DH＝a，PH＝CD＝4， ∴EP＝PH﹣EH＝4﹣a，∠AHE＝∠EPF＝90°， ∴AH＝EP＝4﹣a，∠EAH+∠AEH＝90°， ∵EF⊥AE， ∴∠FEP+∠AEH＝90°， ∴∠EAH＝∠FEP， 在△EAH和△FEP中， ， ∴△EAH≌△FEP（AAS）， ∴EH＝FP＝a， ∴FC＝FP+CP＝2a， ∵FE＝FC， ∴FE＝2a， 在Rt△FEP中，由勾股定理得：EP＝＝＝， ∴， 解得：a＝， ∴DE＝＝＝． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键． 16．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交ED于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论： ①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S正方形ABCD＝4+； ⑤S△APD+S△APB＝1+， 其中正确结论的序号是 　①②③④　 ． 【思路点拨】①利用同角的余角相等，易得∠EAB＝∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等； ③利用①中的全等，可得∠APD＝∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP＝90°，即可证； ②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP＝90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF； ④在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积； ⑤连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可． 【解析】解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°， ∴∠EAB＝∠PAD， 又∵AE＝AP，AB＝AD， ∴△APD≌△AEB（SAS）； 故此选项成立； ③∵△APD≌△AEB， ∴∠APD＝∠AEB， ∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE， ∴∠BEP＝∠PAE＝90°， ∴EB⊥ED； 故此选项成立； ②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F， ∵AE＝AP，∠EAP＝90°， ∴∠AEP＝∠APE＝45°， 又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF， ∴∠FEB＝∠FBE＝45°， 又∵BE＝， ∴BF＝EF＝BE＝； 故此选项成立； ④∵EF＝BF＝，AE＝1， ∴在Rt△ABF中，AB2＝（AE+EF）2+BF2＝， ∴S正方形ABCD＝AB2＝； 故此选项成立； ⑤如图，连接BD，在Rt△AEP中， ∵AE＝AP＝1， ∴EP＝， 又∵PB＝， ∴BE＝， ∵△APD≌△AEB， ∴PD＝BE＝， ∴S△ABP+S△ADP＝S△ABD﹣S△BDP＝S正方形ABCD﹣×DP×BE＝×（4+）﹣××＝+． 故此选项不成立； 综上可知其中正确结论的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．求证：BE＝AF． 【思路点拨】由矩形性质及DF⊥AE，导角可得∠ADF＝∠BAE．从而可证明△ADF≌△EAB（AAS），进而可证明结论． 【解析】证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠DAB＝90°＝∠DAF+∠BAE，∠B＝90°． 又∵DF⊥AE， ∴∠DAF+∠ADF＝90°， ∴∠ADF＝∠BAE． 在△ADF和△EAB中， ， ∴△ADF≌△EAB（AAS）， ∴BE＝AF． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题关键． 18．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上的点，连结AP交对角线BD于点E，连结EC． （1）求证：AE＝CE． （2）若∠ABC＝48°，AE＝PC，求∠BAP的度数． 【思路点拨】（1）根据菱形性质得BA＝BC，∠ABD＝∠CBD，进而可依据“SAS”判定△ABE和△CBE全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论； （2）设∠BAP＝α，由△ABE≌△CBE得∠BAP＝∠BCE＝α，根据AE＝PC，AE＝CE得PC＝CE，则∠CPE＝∠CEP＝（180°﹣∠BCE）＝90°﹣α，再根据三角形外角定理得∠CPE＝∠ABC+∠BAP得90°﹣α＝48°+α，由此解出α即可得出∠BAP的度数． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴BA＝BC，∠ABD＝∠CBD， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝CE； （2）解：设∠BAP＝α， ∵△ABE≌△CBE， ∴∠BAP＝∠BCE＝α， ∵AE＝PC，AE＝CE， ∴PC＝CE， ∴∠CPE＝∠CEP＝（180°﹣∠BCE）＝90°﹣α， ∵∠CPE是△ABP的一个外角，∠ABC＝48°， ∴∠CPE＝∠ABC+∠BAP， ∴90°﹣α＝48°+α， ∴α＝28°， ∴∠BAP＝α＝28°． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理和三角形的外角性质，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 19．如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，BD＝6．求： （1）∠BAD的度数和AB、AC的长； （2）DH⊥BC，求DH的长． 【思路点拨】（1）根据菱形的性质可得AC⊥BD，∠ACD＝∠ACB，∠BAD＝∠BCD，AB＝AD＝BC，OB＝OD，OA＝OC，可得∠BAD＝∠BCD＝60°，进一步可知△ABD是等边三角形，可得AB＝BD＝6，根据勾股定理，求出AO的长，进一步可得AC的长； （2）根据菱形ABCD的面积＝＝BC•DH，即可求出DH的长． 【解析】解：（1）在菱形ABCD中，AC⊥BD，∠ACD＝∠ACB，∠BAD＝∠BCD，AB＝AD＝BC，OB＝OD，OA＝OC， ∵∠ACD＝30°， ∴∠BCD＝2×30°＝60°， ∴∠BAD＝60°， ∵AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∵BD＝6， ∴AB＝BD＝6， ∵OB＝3，∠AOB＝90°， 根据勾股定理，得AO＝＝＝， ∴AC＝2AO＝； （2）∵AC＝，BD＝6， ∴菱形ABCD的面积＝＝××6＝， ∵DH⊥BC，且BC＝AB＝6， ∴菱形ABC的面积＝BC•DH＝6DH， ∴6DH＝， ∴DH＝． 【点睛】本题考查了菱形的性质，涉及等边三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 20．如图．BD是矩形ABCD的一条对角线，过点A作BD的平行线与CB的延长线相交于点E． （1）求证：BC＝BE； （2）若BD＝5，BE＝3，求四边形AECD的面积． 【思路点拨】（1）由矩形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，由平行四边形的判定可证四边形AEBD是平行四边形，可得BE＝AD＝BC； （2）由勾股定理而且CD的长，可求矩形ABCD的面积，即可求解． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， 又∵AE∥BD， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∴AD＝BE， ∴BC＝BE； （2）解：∵BD＝5，BE＝BC＝3， ∴CD＝＝＝4， ∴S四边形ABCD＝4×3＝12， ∵四边形ABCD是矩形，四边形AEBD是平行四边形， ∴S△ABD＝S四边形ABCD＝S四边形AEBD＝6， ∴四边形AEBD＝12， ∴四边形AECD的面积＝12+6＝18． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 21．如图，点O是菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE． （1）求证：四边形OCED是矩形； （2）如果AC＝4，BO＝3，连接AE， ①求出线段AE的长； ②求出菱形ABCD的面积． 【思路点拨】（1）根据DE∥AC，CE∥BD，可得四边形OCED是平行四边形，再由菱形的性质可得∠COD＝90°，即可求证； （2）①根据菱形的性质可得，再由四边形OCED是矩形，可得CE＝OD＝3，然后根据勾股定理，即可求解． ②根据菱形的性质求解即可． 【解析】（1）证明：∵点O是菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD， ∴AC⊥BD，四边形OCED是平行四边形， ∴∠COD＝90°， ∴平行四边形OCED是矩形； （2）解：①∵四边形ABCD是菱形， ∴OD＝BO＝3，BD＝6， 由（1）可知，四边形OCED是矩形， ∴∠ACE＝90°，CE＝OD＝3， ∵AC＝4， 在Rt△ACE中，由勾股定理得：． ②菱形ABCD的面积为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质是解题的关键． 22．如图正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F． （1）求证：EF＝ED； （2）若AB＝2，，BF的长度为 　2　 ； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数． 【思路点拨】（1）过点E作EM⊥AD于点M，ME的延长线交BC于点N，EH⊥AB于点H，先证明四边形ABNM，四边形CDMN是矩形，四边形AMEH是正方形，进而得EN＝DM，继而可依据“AAS”判定△ENF和△DME全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）设AM＝EM＝BN＝a，则DM＝AD﹣AM＝2﹣a，在△DME中，由勾股定理可求出a＝1，则AM＝EM＝BN＝a＝1，再根据△ENF和△DME全等得FN＝EM＝1，由此即可得出BF的长； （3）依题意有以下两种情况：①当DE与AD的夹角是30°时，即∠ADE＝30°，则∠EDC＝60°，在四边形DEFC中，根据四边形的内角和等于360°即可得出∠EFC的度数；②当DE与BC的夹角是30°时，即∠CDE＝30°，先求出∠CED＝105°，进而得∠CEF＝15°，再根据三角形外角性质得∠BCA＝∠CEF+∠EFC，据此可得出∠EFC的度数，综上所述即可得出答案． 【解析】（1）证明：过点E作EM⊥AD于点M，ME的延长线交BC于点N，EH⊥AB于点H，如图1所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠BAD＝∠DAC＝45°，AD∥BC， ∴EN⊥BC， ∴四边形ABNM，四边形CDMN和四边形AMEH都是矩形， ∴∠FNE＝∠EMD＝90°，MN＝AB＝AD，AM＝BN， ∴∠1+∠2＝90°， ∵EF⊥DE， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠3＝∠2， ∵EM⊥AD，∠DAC＝45°， ∴△AME是等腰直角三角形， ∴AM＝EM， ∵MN＝AD， ∴EM+EN＝DM+AM， ∴EN＝DM， 在△ENF和△DME中， ， ∴△ENF≌△DME（AAS）， ∴EF＝ED； （2）解：∵四边形ABCD是正方形，且AB＝2， ∴AD＝AB＝2， 设AM＝EM＝BN＝a， ∴DM＝AD﹣AM＝2﹣a， 在△DME中，由勾股定理得：EM2+DM2＝DE2， ∴， 整理得：a2﹣2a+1＝0， 解得：a＝1， ∴AM＝EM＝BN＝a＝1， ∵△ENF≌△DME， ∴FN＝EM＝1， ∴BF＝BN+FN＝2， 故答案为：2； （3）∵点E为对角线AC上一点， ∴线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，有以下两种情况： ①当DE与AD的夹角是30°时，即∠ADE＝30°，如图3①所示： ∴∠EDC＝∠CDA﹣∠ADE＝60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°， 在四边形DEFC中，∠EFC+∠BCD+∠EDC+∠DEF＝360°， ∴∠EFC+90°+60°+90°＝360°， ∴∠EFC＝120°； ②当DE与BC的夹角是30°时，即∠CDE＝30°，如图3②所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCA＝∠BCA＝45°， 在△CDE中，∠CED＝180°﹣（∠CDE+∠DCA）＝180°﹣（30°+45°）＝105°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°， ∴∠CEF＝∠CED﹣∠DEF＝105°﹣90°＝15°， ∵∠BCA是△CEF的外角， ∴∠BCA＝∠CEF+∠EFC， ∴45°＝15°+∠EFC， ∴∠EFC＝30°， 综上所述：∠EFC的度数是120°或30°． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键． 23．如图，在矩形ABCD中，AB＝13cm，动点P，Q分别从点A，C同时发出，点P以3cm/s的速度向点B运动，到点B停止运动，点Q以2cm/s速度向点D运动，到点D停止运动，设运动时间为t s． （1）当t为何值时，四边形APQD是矩形？并说明理由． （2）连接QB，当t为何值时，PQ＝BQ？ 【思路点拨】（1）由题意知，CQ＝2t cm，AP＝3t cm，则DQ＝（13﹣2t）cm，当AP＝DQ时，证明四边形APQD是矩形，列出方程，即可解决问题； （2）过Q作QE⊥AB于点E，证明BE＝PB，再证明四边形BCQE是矩形，则BE＝CQ＝2t cm，得到关于t的方程，解方程即可． 【解析】解：（1）当t为时，四边形APQD是矩形，理由如下： 由题意知，CQ＝2t cm，AP＝3t cm，则DQ＝CD﹣CQ＝（13﹣2t）cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝13cm，AB∥CD，∠D＝90°， 当AP＝DQ时，四边形APQD是平行四边形， ∵∠D＝90°， ∴平行四边形APQD是矩形， ∴3t＝13﹣2t， 解得：t＝， 即t为时，四边形APQD是矩形； （2）由题意知，CQ＝2t cm，AP＝3t cm， 则PB＝AB﹣AP＝（13﹣3t）cm， 如图，过Q作QE⊥AB于点E，则∠QEB＝90°， ∵PQ＝BQ， ∴BE＝PB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠ABC＝90°， ∴∠QEB＝∠C＝∠ABC＝90°， ∴四边形BCQE是矩形， ∴BE＝CQ＝2t cm， ∴2t＝（13﹣3t）， 解得：t＝， ∴当t为时，PQ＝BQ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 24．如图1，两个正方形ABCD和CEFG共一个直角顶点C，连接BG、DE交于点H，连接BE、DG、BD、GE． （1）当AB＝4，EF＝3时， ①作图：请在图1中分别取BD、DG、BE的中点M、N、P（不要求尺规作图），并直接写出MN和MP的关系：　MN＝MP，MNN⊥MP　 ； ②若BE＝6，求此时DG的长； （2）当BG＝5，求DG+BE的最小值． 【思路点拨】（1）①依题意作出图形即可；先证明△BCG和△DCE全等得BG＝DE，∠CBG＝∠CDE，进而根据三角形内角和定理得∠DHQ＝90°，则BG⊥DE，再证明MN是△DBG的中位线，MP是△BED的中位线，则MN＝BG，MN∥BG，MP＝DE，MP∥DE，由此可得出MN和MP的数量关系和位置关系； ②先利用勾股定理求出BD＝，EG＝，再根据BG⊥DE，在直角三角形中，利用勾股定理即可求出DG的长； （2）设BD，EG，BG，DG的中点分别是K，T，R，S，连接RK，RT，KT，KS，TS，利用三角形中位线定理得KG＝1/2BG，KS∥BG，TS＝DE，TS∥DE，RK＝DG，RT＝BE，则RK+RT＝（DG+BE），进而得KD＝TS＝＝，KS⊥TS，KS⊥TS，再由勾股定理得KT＝，由此得当RK+RT最小时，DG+BE为最小，再根据“两点之间线段最短”得RK+RT≤KI，据此即可得出DG+BE的最小值． 【解析】解：（1）①依题意作图如图1所示：设BG与CD相交于点Q， MN和MP的关系是：MN＝MP，MNN⊥MP，理由如下： ∵四边形ABCD和四边形EFGC都是正方形， ∴BC＝CD＝AB＝4，CG＝CE＝EF＝3，∠BCD＝∠ECG＝∠A＝∠F＝90°， ∴∠BCD+∠DCG＝∠ECG+∠DCG， ∴∠BCG＝∠DCE， 在△BCG和△DCE中， ， ∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE， 在△BCQ中，∠CBG+∠CQB+∠BCD＝180°， 在△DQH中，∠CDE+∠DQH+∠DHQ＝180°， 又∵∠CQB＝∠DQH， ∴∠DHQ＝∠BCD＝90°， 即BG⊥DE， ∵点M是BD的中点，点N是DG的中点，点P是BE的中点， ∴MN是△DBG的中位线，MP是△BED的中位线， ∴MN＝BG，MN∥BG，MP＝DE，MP∥DE， ∴MN＝MP，MN⊥MP， 故答案为：MN＝MP，MN⊥MP； ②在Rt△CBD中，由勾股定理得：BD＝＝＝， 在Rt△CGG中，由勾股定理得：EG＝＝＝， ∴BG⊥DE， 在Rt△HBD中，由勾股定理得：HD2+HB2＝BD2＝＝32， 在Rt△HEG中，由勾股定理得：HE2+HG2＝EG2＝＝18， ∴HD2+HB2+HE2+HG2＝32+18＝50， 在Rt△HDG中，由勾股定理得：HD2+HG2＝DG2， 在Rt△HBE中，由勾股定理得：HB2+HE2＝BE2＝62＝36， ∴DG2+36＝50， ∴DG2＝14， ∴DG＝，DG＝（不合题意，舍去）； （2）设BD，EG，BG，DG的中点分别是K，T，R，S，连接RK，RT，KT，KS，TS，如图2所示： ∴KS是DBG的中位线，ST是△GDE的中位线，RK是△BDG的中位线，Rt是△GBE的中位线， ∴KG＝BG，KS∥BG，TS＝DE，TS∥DE，RK＝DG，RT＝BE， ∴RK+RT＝（DG+BE） ∵BG＝5， 由（1）可知：DE＝BG＝5，BG⊥DE， ∴KD＝TS＝，KS⊥TS， 在Rt△DKT中，由勾股定理得：KT＝√＝＝， ∵RK+RT＝2（DG+BE）， ∴DG+BE＝2（RK+RT）， ∴当RK+RT最小时，DG+BE为最小， 根据“两点之间线段最短”得：RK+RT≤KI， ∴当K，R，T在同一条直线上时，RK+RT为最小，最小值为， 此时DG+BE＝2（RK+RT）＝＝， ∴DG+BE的最小值为． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形中位线定理，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 特殊平行四边形 单元检测(B卷·能力提升) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．两组对角相等 C．对角线互相垂直 D．两组对边相等 2．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AD＝8，OA＝5，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．11 3．在下列条件中选取一个条件，不能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　） A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC平分∠DAB D．AC⊥BD 4．四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，则能够判断它是一个正方形的是（　　） A．AO＝CO，BO＝DO B．AO＝CO＝BO＝DO C．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD 5．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝α，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接CE，EF，若CE＝EF，CE⊥BD，则∠DEF一定等于（　　） A．α B． C．90°﹣α D．90°+α 6．如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连接BE、DF．若AB＝6，AD＝8，则四边形EBFD的周长是（　　） A． B．20 C．25 D．40 7．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝9，则BE的长为（　　） A． B．9 C． D．12 8．如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC 9．如图，D，E是△ABC中AB，BC边上的点，且DE∥AC，∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H．则下列结论错误的是（　　） A．若BG∥CH，则四边形BHCG为矩形 B．若BE＝CE时，四边形BHCG为矩形 C．若HE＝CE，则四边形BHCG为平行四边形 D．若CH＝3，CG＝4，则CE＝2.5 10．如图，在正方形ABCD的边CD上取一点E，连接AE，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，连接EF，过点A作AG⊥EF于点G，连接BG．若DE＝1，CD＝4，则线段GB的长度为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 11．如图，在菱形ABCD中，∠ADE＝70°，DA＝AE，则∠DAB＝ 　 　 ． 12．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，则矩形的对角线长为　 　 ． 13．如图，菱形ABCD的对角线AC的长为6cm，边AB的长为5cm，则菱形ABCD的面积是 　 　 cm2． 14．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在边AD上，且EO⊥AC，若AB＝6，AC＝10，则△EDC的周长是 　 　 ． 15．如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交边BC于点F．若AB＝4，FE＝FC，则DE＝ 　 　 ． 16．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交ED于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论： ①△APD≌△AEB； ②点B到直线AE的距离为； ③EB⊥ED； ④S正方形ABCD＝4+； ⑤S△APD+S△APB＝1+， 其中正确结论的序号是 　 　 ． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．求证：BE＝AF． 18．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上的点，连结AP交对角线BD于点E，连结EC． （1）求证：AE＝CE． （2）若∠ABC＝48°，AE＝PC，求∠BAP的度数． 19．如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，BD＝6．求： （1）∠BAD的度数和AB、AC的长； （2）DH⊥BC，求DH的长． 20．如图．BD是矩形ABCD的一条对角线，过点A作BD的平行线与CB的延长线相交于点E． （1）求证：BC＝BE； （2）若BD＝5，BE＝3，求四边形AECD的面积． 21．如图，点O是菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE． （1）求证：四边形OCED是矩形； （2）如果AC＝4，BO＝3，连接AE， ①求出线段AE的长； ②求出菱形ABCD的面积． 22．如图正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F． （1）求证：EF＝ED； （2）若AB＝2，，BF的长度为 　 　 ； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数． 23．如图，在矩形ABCD中，AB＝13cm，动点P，Q分别从点A，C同时发出，点P以3cm/s的速度向点B运动，到点B停止运动，点Q以2cm/s速度向点D运动，到点D停止运动，设运动时间为t s． （1）当t为何值时，四边形APQD是矩形？并说明理由． （2）连接QB，当t为何值时，PQ＝BQ？ 24．如图1，两个正方形ABCD和CEFG共一个直角顶点C，连接BG、DE交于点H，连接BE、DG、BD、GE． （1）当AB＝4，EF＝3时， ①作图：请在图1中分别取BD、DG、BE的中点M、N、P（不要求尺规作图），并直接写出MN和MP的关系：　 　 ； ②若BE＝6，求此时DG的长； （2）当BG＝5，求DG+BE的最小值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$