第1章 三角形的初步认识 单元检测(A卷·夯实基础）-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第1章 三角形的初步认识 单元检测(A卷·夯实基础） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列长度的四根木棒中，能与长度分别为2cm和5cm长的木棒构成三角形的是（　　） A．3cm B．4cm C．7cm D．8cm 2．能说明命题“任何数a的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是（　　） A．a＝﹣2 B．a＝0 C．a＝ D．a＝3.14 3．下列各组图形中，表示AD是△ABC中BC边的高的图形为（　　） A．B． C． D． 4．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 5．如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝5，DE＝2，则CE等于（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 6．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝3，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则△BCE的周长等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 7．用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，可得△ODC≌△O'D'C'，进一步得到∠O′＝∠O．上述作图中判定全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 8．如图，若AB＝AC，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　） A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC 9．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5 10．如图，点A在DE上，点F在AB上，且AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于（　　） A．DC B．BC C．AB D．AE+AC 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 11．将“对顶角相等”改写为“如果…那么…”的形式，可写为 　 　． 12．自行车的车架做成三角形，利用的原理是 　 　． 13．如图，若△ABD≌△ACE，且∠1＝45°，∠ADB＝95°，则∠B＝　 　°． 14．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝70°，∠C＝30°，∠DAC＝20°，则∠EAC的度数为　 　． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝9cm，BD＝6cm，那么点D到直线AB的距离是 　 　cm． 16．如图，∠ACE是△ABC的外角，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，且BD、CD交于点D．若∠A＝70°，则∠D的度数为 　 　． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C在小正方形的顶点上． （1）画出△ABC中边BC上的高AD； （2）画出△ABC中边AC上的中线BE； （3）△ABE的面积为 　 　． 18．如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C＝70°． （1）求∠AOB的度数； （2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数． 19．如图，已知AB＝AD，∠C＝∠E，∠BAE＝∠DAC．求证：BC＝DE． 20．如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF． 求证：∠B＝∠C． 21．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2． （1）求证：△ABE≌△CBD； （2）证明：∠1＝∠3． 22．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，DE分别交BC，AC于点F，G． （1）求证：∠C＝∠E； （2）若∠CAE＝24°，求∠EFC的度数． 23．已知，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，求证：EF＝AE+BF； （2）如图2，请直接写出EF，AE，BF之间的数量关系 　 　； （3）在（2）的条件下，若BF＝3AE，EF＝4，求△BFC的面积． 24．如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形的初步认识 单元检测(A卷·夯实基础） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列长度的四根木棒中，能与长度分别为2cm和5cm长的木棒构成三角形的是（　　） A．3cm B．4cm C．7cm D．8cm 【思路点拨】设第三根木棒的长为x cm，再根据三角形的三边关系分析即可． 【解析】解：设第三根木棒的长为x cm， 由三角形的三边关系可知，5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7． ∴能与长度分别为2cm和5cm长的木棒构成三角形的是4cm． 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 2．能说明命题“任何数a的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是（　　） A．a＝﹣2 B．a＝0 C．a＝ D．a＝3.14 【思路点拨】写出一个a的值，不满足a2＞0即可． 【解析】解：当a＝0时，a2＝0， 所以命题“任何数a的平方都大于0．”是假命题． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理有关知识，反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项． 3．下列各组图形中，表示AD是△ABC中BC边的高的图形为（　　） A．B． C． D． 【思路点拨】根据高的定义：”过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线“解答． 【解析】解：△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，只有D选项符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的高线，属于基础题，熟记概念是解题的关键． 4．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【思路点拨】根据三角形的内角和是180°得出． 【解析】解：设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°． 由∠A+∠B+∠C＝180°，得： x+2x+3x＝180， 所以x＝30，故∠C＝30°×3＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是根据角与角之间的关系设出未知数列出方程． 5．如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝5，DE＝2，则CE等于（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【思路点拨】根据全等三角形的性质得到BE＝AC＝5，BC＝DE＝2，结合图形计算即可． 【解析】解：∵△ABC≌△BDE，AC＝5，DE＝2， ∴BE＝AC＝5，BC＝DE＝2， ∴CE＝BE﹣BC＝5﹣2＝3， 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝3，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则△BCE的周长等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，故可得出△BCE的周长＝（BE+CE）+BC＝AC+BC，由此即可得出结论． 【解析】解：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵AC＝5，BC＝3， ∴△BCE的周长＝BE+CE+BC＝AC+BC＝5+3＝8． 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 7．用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，可得△ODC≌△O'D'C'，进一步得到∠O′＝∠O．上述作图中判定全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【思路点拨】由作一个角等于已知角的作法可知，OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'，根据全等三角形判定定理可得答案． 【解析】解：由作一个角等于已知角的作法可知，OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'， 在△COD和△C'O'D'中， ， ∴△ODC≌△O'D'C'（SSS）， 故选：A． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的作法和三角形全等的判定定理． 8．如图，若AB＝AC，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　） A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC 【思路点拨】根据ASA即可判断A；根据SAS即可判断B；根据SSA两三角形不一定全等即可判断C；根据AAS即可判断D． 【解析】解：A、根据ASA（∠A＝∠A，∠C＝∠B，AB＝AC）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误； B、根据SAS（∠A＝∠A，AB＝AC，AE＝AD）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误； C、两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确； D、根据AAS（∠A＝∠A，AB＝AC，∠AEB＝∠ADC）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了对全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定方法只有SAS，ASA，AAS，SSS，共4种，主要培养学生的辨析能力． 9．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5 【思路点拨】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4． 【解析】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F， ∵点O是内心， ∴OE＝OF＝OD， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高是相等的，这点是非常重要的． 10．如图，点A在DE上，点F在AB上，且AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于（　　） A．DC B．BC C．AB D．AE+AC 【思路点拨】先证△ABC≌△EDC，由全等的性质得到结论． 【解析】解：∵∠2＝∠3，∠AFD＝∠CFB， ∴∠D＝∠B， ∵∠1＝∠3， ∴∠1+∠ACD＝∠3+∠ACD， ∴∠ACB＝∠ECD， ∵AC＝CE， ∴△ABC≌△EDC（AAS）， ∴DE＝AB． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，找出对应角∠D＝∠B是解题关键．可以用“8”字型模型得到：即△ADF和△CFB组成的图形． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．将“对顶角相等”改写为“如果…那么…”的形式，可写为 　如果两个角是对顶角，那么它们相等　． 【思路点拨】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面． 【解析】解：题设为：对顶角，结论为：相等， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等； 故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单． 12．自行车的车架做成三角形，利用的原理是 　三角形具有稳定性　． 【思路点拨】当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【解析】解：根据题意可得，自行车的三角形车架，这是利用了三角形的稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，解答本题的关键要明确：当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 13．如图，若△ABD≌△ACE，且∠1＝45°，∠ADB＝95°，则∠B＝　50　°． 【思路点拨】根据全等三角形的性质及三角形外角性质求解即可． 【解析】解：∵△ABD≌△ACE，∠ADB＝95°， ∴∠AEC＝∠ADB＝95°， ∵∠AEC＝∠1+∠B，∠1＝45°， ∴∠B＝50°， 故答案为：50． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 14．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝70°，∠C＝30°，∠DAC＝20°，则∠EAC的度数为　60°　． 【思路点拨】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据全等三角形的性质计算即可． 【解析】解：∵∠B＝70°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠DAE＝∠BAC＝80°， ∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝9cm，BD＝6cm，那么点D到直线AB的距离是 　3　cm． 【思路点拨】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答． 【解析】解：∵BC＝9cm，BD＝6cm， ∴CD＝3cm， ∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝3cm， 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 16．如图，∠ACE是△ABC的外角，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，且BD、CD交于点D．若∠A＝70°，则∠D的度数为 　35°　． 【思路点拨】根据角平分线的定义，由BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，得∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE．根据三角形外角的性质，得DBC）＝2∠D，从而推断除． 【解析】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE， ∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE． ∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC＝2∠DCE﹣2∠DBC＝2（∠DCE﹣∠DBC）＝2∠D． ∵∠A＝70°， ∴． 故答案为：35°． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义以及三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义以及三角形外角的性质是解决本题的关键． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C在小正方形的顶点上． （1）画出△ABC中边BC上的高AD； （2）画出△ABC中边AC上的中线BE； （3）△ABE的面积为 　1　． 【思路点拨】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可； （2）根据三角形的中线的定义画出图形； （3）利用中线的性质，求出△ABC的面积，可得结论． 【解析】解：（1）如图，线段AD即为所求； （2）如图，线段BE即为所求； （3）S△ABE＝S△ABC＝××4×4＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的高，中线等知识，解题的关键是掌握三角形的中线，高的定义，属于中考常考题型． 18．如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C＝70°． （1）求∠AOB的度数； （2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数． 【思路点拨】（1）根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝110°，进而即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得∠DAC，∠BAC，根据AE是∠BAC的角平分线，得出，根据∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD，即可求解． 【解析】解：（1）∵AE、BF是∠BAC、∠ABC的角平分线， ∴， 在△ABC中，∠C＝70°， ∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝110°， ∴； （2）∵在△ABC中，AD是高，∠C＝70°，∠ABC＝60°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝50° ∵AE是∠BAC的角平分线， ∴， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°， ∴∠DAE＝5°． 【点睛】本题考查了三角形中线，角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 19．如图，已知AB＝AD，∠C＝∠E，∠BAE＝∠DAC．求证：BC＝DE． 【思路点拨】根据∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，得到∠BAC＝∠DAE，证明△ABC≌△ADE（AAS），即可证明结论． 【解析】证明：∵∠BAE＝∠DAC， ∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，即∠BAC＝∠DAE． 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（AAS）， ∴BC＝DE． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 20．如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF． 求证：∠B＝∠C． 【思路点拨】由BE＝CF，得BF＝CE，即可用HL证明Rt△ABF≌Rt△DCE，即得∠B＝∠C． 【解析】解：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE， 在Rt△ABF和Rt△DCE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）， ∴∠B＝∠C． 【点睛】本题考查三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理． 21．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2． （1）求证：△ABE≌△CBD； （2）证明：∠1＝∠3． 【思路点拨】（1）根据等式的性质得∠ABE＝∠CBD，再利用SAS即可证明结论成立； （2）根据全等三角形的对应角相等得∠A＝∠C，对顶角相等得∠AFB＝∠CFE，利用三角形内角和定理可得结论． 【解析】证明：（1）∵∠1＝∠2． ∴∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）； （2）由第一小问得△ABE≌△CBD， ∴∠A＝∠C， ∵∠AFB＝∠CFE， ∴∠1＝∠3． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 22．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，DE分别交BC，AC于点F，G． （1）求证：∠C＝∠E； （2）若∠CAE＝24°，求∠EFC的度数． 【思路点拨】（1）由∠BAD＝∠CAE，推导出∠BAC＝∠DAE，而AB＝AD，AC＝AE，即可根据“SAS”证明△ABC≌△ADE，得∠C＝∠E； （2）因为∠C＝∠E，且∠EFC＝∠CGE﹣∠C，∠CAE＝∠CGE﹣∠E，所以∠EFC＝∠CAE＝24°． 【解析】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠C＝∠E． （2）解：∵∠C＝∠E， ∴∠CGE﹣∠C＝∠CGE﹣∠E， ∴∠EFC＝∠CGE﹣∠C，∠CAE＝∠CGE﹣∠E，∠CAE＝24°， ∴∠EFC＝∠CAE＝24°， ∴∠EFC的度数是24°． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明△ABC≌△ADE是解题的关键． 23．已知，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，求证：EF＝AE+BF； （2）如图2，请直接写出EF，AE，BF之间的数量关系 　EF＝BF﹣AE　； （3）在（2）的条件下，若BF＝3AE，EF＝4，求△BFC的面积． 【思路点拨】（1）根据垂直的定义和余角的性质得到∠FCB＝∠EAC，根据全等三角形的性质得到AE＝CF，CE＝BF，等量代换得到结论； （2）根据余角的性质得到∠CAE＝∠BCF根据全等三角形的性质得到CE＝BF，AE＝CF，等量代换得到结论； （3）由（2）得EF＝AE+BF且BF＝3AE，求得CE＝3AE，得到EF＝2AE＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ECA+∠FCB＝90°， 又∵AE⊥EF，BF⊥EF， ∴∠AEF＝∠BFC＝90°， ∴∠ECA+∠EAC＝90°， ∴∠FCB＝∠EAC， 在△ACE和△CBF中， ， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF，CE＝BF， ∵EF＝EC+CF， ∴EF＝AE+BF； （2）解：EF＝BF﹣AE，理由如下： ∵∠AEC＝∠CFB＝90°，∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠CAE＝∠ACE+∠BCF＝90°， ∴∠CAE＝∠BCF 又∵AC＝BC， ∴△CAE≌△BCF（AAS）， ∴CE＝BF，AE＝CF， ∴EF＝CE﹣CF＝BF﹣AE， 即EF＝BF﹣AE； 故答案为：EF＝BF﹣AE； （3）解：由（2）得EF＝BF﹣AE且BF＝3AE， ∴CE＝3AE， ∵CF＝AE， ∴EF＝2AE＝4， ∴AE＝CF＝2，BF＝6， ∴△BFC的面积＝． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 24．如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值． 【思路点拨】（1）利用AP＝BQ＝2，BP＝AC，可根据“SAS”证明△ACP≌△BPQ；则∠C＝∠BPQ，然后证明∠APC+∠BPQ＝90°，从而得到PC⊥PQ； （2）讨论：若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，即5＝7﹣2t，2t＝xt；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，即5＝xt，2t＝7﹣2t，然后分别求出x即可． 【解析】解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ． 理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵AP＝BQ＝2， ∴BP＝5， ∴BP＝AC， 在△ACP和△BPQ中 ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）； ∴∠C＝∠BPQ， ∵∠C+∠APC＝90°， ∴∠APC+∠BPQ＝90°， ∴∠CPQ＝90°， ∴PC⊥PQ； （2）①若△ACP≌△BPQ， 则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt 解得：x＝2，t＝1； ②若△ACP≌△BQP， 则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t 解得：x＝，t＝． 综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 学科网（北京）股份有限公司 $$