第二十四章 圆（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第二十四章 圆（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．如图，的弦，为的中点，且，则的半径为（    ）    A．8 B．6 C．5 D．4 2．如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．下列说法中，正确的是（　　） A．平分弦的直径必垂直弦且平分弦所对的弧 B．三点确定一个圆 C．相等圆周角所对的弧相等 D．同弧所对的圆周角相等 5．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 6．如图，P，Q分别是的内接正五边形的边，上的点，，则（    ） A． B． C． D． 7．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 8．如图，均是上的点，且是的直径，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．如图，直线，与和分别相切于点和点．点和点分别是和上的动点，沿和平移．的半径为，．下列结论错误的是（    ）． A． B．若与相切，则 C．若，则与相切 D．和的距离为 10．如图，在边长为1的正方形中，以各顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图，四边形为菱形，且顶点都在上，过点作的切线，与的延长线相交于点．若的半径为2，则的长为 ．    12．如图， 的直径，C是圆O上一点，点D平分，，则弦 13．如图，切于点A、B，直线切⊙O于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是 ． 14．如图，内接于，是的直径且长为4，与相交于点E，，则劣弧的长为 ． 15．如图，是中的两条弦，相交于点，且，点为劣弧上一动点，为中点，若，连接，则最小值为 ．    三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）如图，是的直径，点C为的中点，为的弦，且，垂足为E，连接交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 17．（8分）如图，在中． (1)尺规作图：以边上一点为圆心，线段的长为半径作，使得与边相切于点；（保留作图痕迹，不写作法．） (2)在（）的条件下，连接，记与边的另一交点为，，．求的半径． 18．（9分）如图，四边形内接于，平分，边上的点满足，连接并延长交于点，连结． (1)求证：； (2)若恰好是的中点，当，时，求半径的长． 19．（9分）（1）如图，已知与外一点，请利用直尺和圆规按要求作图： ①连接，利用尺规作出的垂直平分线，与交于点； ②以为圆心，长为半径作，与交于，两点； ③连接，． 根据所做图形，完成下列题目： （2）求证：是的切线； （3）若的半径为2，过做的平行线，与所在直线相交于点，恰好是的切线，请求出的长． 20．（8分）已知是的直径，弦与相交，． (1)如图①，若D为的中点，求和的大小； (2)如图②，若D为上的点，且，过点D作与的延长线交于点P，求证：是的切线． 21．（8分）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务。 我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角，图1中即弦切角，同学们研究发现：A为圆上任意一点，当弦经过圆心O，且切于点B时，易证：弦切角． 问题拓展：如图2，A是优弧上任意一点，切于点B，求证：． 证明：连接并延长交于点N，连接，如图2所示． ∵是直径， ∴（依据____________________）， ∴．… 任务： (1)材料中的依据为____________________． (2)补全剩余的证明过程． 22．（12分）综合与实践 问题情境：小华发现这么一类四边形，有一组对角之和为直角的四边形，小华将这类四边形命名为对余四边形． 猜想证明： (1)若四边形是对余四边形，则与的度数之和为__________． (2)如图1，在上有A，B，C三点，是的直径，，相交于点D．四边形是对余四边形吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由，拓展探究： (3)如图2，在对余四边形中，，，，则线段和之间有怎样的数量关系？请给出你的猜想，并说明理由． 23．（13分）【综合探究】如图，是的直径，是的一条弦，，直线为的切线，交的延长线于点，连接、、．    (1)求证：； (2)连接，延长交于点，延长交于点．当为的中点时，求证：； (3)若的半径为，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．如图，的弦，为的中点，且，则的半径为（    ）    A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】连接，，由和是的半径，则，利用垂径定理可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，如图所示：    和是的半径， ， 又为的中点，且， ，， ， 在中，，， ， 的半径为：5， 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握勾股定理及垂径定理，借助辅助线解决问题是解题的关键． 2．如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，是的直径，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同弧或等弧所对圆心角相等，圆周角定理． 由得到，从而求得，进而根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 4．下列说法中，正确的是（　　） A．平分弦的直径必垂直弦且平分弦所对的弧 B．三点确定一个圆 C．相等圆周角所对的弧相等 D．同弧所对的圆周角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，垂径定理，弧与圆周角，圆心角的关系，熟知圆的相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故原说法错误，不符合题意； B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故原说法错误，不符合题意； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误，不符合题意； D、同弧或等弧所对的圆周角相等，原说法正确，符合题意； 故选：D． 5．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤， ③假设在中，， ④由，得，即， ②，这与三角形内角和为矛盾， ①因此假设不成立．， 综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④②①． 故选：C． 6．如图，P，Q分别是的内接正五边形的边，上的点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解题的关键．连接、、，证明，根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可． 【详解】解：连接、、， 五边形是的内接正五边形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ，， ． 故选：． 7．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，勾股定理解三角形的应用．依题意画出图形，连接，，过点作于点，利用等边三角形的性质和垂径定理得到，，在中，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：由题意画图如下，则为等边三角形，且内接于，   ，． 过点作于点，则， 连接，，则， ， ． ， ， ∴， 在中，，， ∴， ． 故选：A． 8．如图，均是上的点，且是的直径，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆与内接四边形的综合，掌握内接四边形的性质，直径所对圆周角是直角的知识是解题的关键． 根据均是上的点，可得四边形是内接四边形，则，由此可求出的度数，根据是的直径，可得，由此即可求解． 【详解】解：均是上的点， ∴四边形是内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：B． 9．如图，直线，与和分别相切于点和点．点和点分别是和上的动点，沿和平移．的半径为，．下列结论错误的是（    ）． A． B．若与相切，则 C．若，则与相切 D．和的距离为 【答案】B 【分析】根据直线与圆的相关知识，逐一判断． 【详解】解：A、平移使点与重合，，，解直角三角形得，正确； B、当与圆相切时，，在左侧以及，在，右侧时，或，错误； C、若，连接并延长交于点，则，故，，故上的高为，即到的距离等于半径．正确； D、，两平行线之间的距离为线段的长，即直径，正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了直线与圆相切的判断方法和性质，全等三角形的判定及性质，平行线间的距离，熟练掌握直线与圆相切的判断方法和性质是解题的关键． 10．如图，在边长为1的正方形中，以各顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积以及图形面积之间的转化． 图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，图中阴影部分的面积四个相同的图形1的面积之和，图形1的面积四边形的面积两个全等的弓形面积，由此可计算出阴影部分的面积． 【详解】解：图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，图形1如下图所示： 图中阴影部分的面积四个相同的图形1的面积之和， 图形1的面积四边形的面积两个全等的弓形面积，四边形和弓形如下图所示： 四边形的面积， 弓形的面积扇形的面积三角形的面积，扇形和三角形如下图所示： 扇形的面积， 三角形面积， 弓形的面积， 图形1的面积， 图中阴影部分的面积图形1的面积． 故选：A． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图，四边形为菱形，且顶点都在上，过点作的切线，与的延长线相交于点．若的半径为2，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆的综合题，菱形的性质，切线的判定与性质，正确添加辅助线，注意数形结合思想的应用是解题的关键． 连接，由菱形的性质得，再由三角函数即可解答． 【详解】解：连接．   四边形是菱形， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ． 12．如图， 的直径，C是圆O上一点，点D平分，，则弦 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，三角形中位线定理．由题意可知点D平分， 为的中位线，根据直径求出半径，进而求出的长度，再根据中位线原理即可解答． 【详解】解：∵点D平分， ∴平分， ∴为的中位线， ∴， 又∵ 的直径， ∴， ∵， ∴， ∴弦， 故答案为：． 13．如图，切于点A、B，直线切⊙O于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是 ． 【答案】16 【分析】本题考查切线长定理，根据切线长定理推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵切于点A、B，直线切⊙O于点E， ∴， ∴的周长； 故答案为：． 14．如图，内接于，是的直径且长为4，与相交于点E，，则劣弧的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧长公式，圆周角定理，熟练掌握弧长公式是解题的关键，连接，根据圆周角定理求出，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵是的直径且长为4， ∴ ∴劣弧的长为：， 故答案为：． 15．如图，是中的两条弦，相交于点，且，点为劣弧上一动点，为中点，若，连接，则最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查的重点是垂径定理，解直角三角形，中位线等知识，难点是找点的运动轨迹，当找到点的运动轨迹以后再利用两点之间直线最短就可以计算出的最小值． 连接，过点作，交于点，，交于点，构造正方形，计算圆的半径，然后作的中点，连接，连接，推导出点的运动轨迹是以为圆心的圆，连接与圆的交点就是的最小值． 【详解】解：如图所示，连接，过点作，交于点，，交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 如图所示，作的中点，连接，连接，    ∵点是的中点，为中点， ∴， ∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动， 连接交于点，过点作， ∴当点三点共线时，即点和点重合时，的值最小， ∵点是的中点，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴的最小值为 ， 故答案为：． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）如图，是的直径，点C为的中点，为的弦，且，垂足为E，连接交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据弧与弦的关系证明，根据同弧所对的圆周角相等，证明，结合对顶角相等，根据证明：； （2）连接，设的半径为r，由列出关于r的勾股方程即可求解； 【详解】（1）证明：∵点C为的中点， ∴， ∵是的直径，且 ∴， ∴， ∴， ， ， 在和中， ， ∴； （2）解：如图，连接，设的半径为r， 中，，即， 中，，即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 17．（8分）如图，在中． (1)尺规作图：以边上一点为圆心，线段的长为半径作，使得与边相切于点；（保留作图痕迹，不写作法．） (2)在（）的条件下，连接，记与边的另一交点为，，．求的半径． 【答案】(1)作图见解析； (2)的半径为． 【分析】（）作的角平分线，交边于点，以为圆心，线段的长为半径作，则与边相切于点； （）设，根据（）的条件知，在中，由勾股定理解即可求解； 本题考查了尺规作图—作角平分线，切线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）如图，作的角平分线，交边于点，以为圆心，线段的长为半径作，则与边相切于点， （2）如图所示，设， 由（）可知， ∵，， 在中，，， ∴， 即， 解得：， ∴的半径为． 18．（9分）如图，四边形内接于，平分，边上的点满足，连接并延长交于点，连结． (1)求证：； (2)若恰好是的中点，当，时，求半径的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，于是，根据，，可得，于是得解； （2）连接，交于点，连接，先证明，然后可证得，根据恰好是的中点，可得，则有，，设的半径为，在中，依据，可得，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接，交于点，连接， ，，， ， ， ， ， 恰好是的中点， ， ， ， 设的半径为， 则，， 在中，， ， 解得：， 半径的长为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定（等角对等边），圆周角定理，锐角三角函数，垂径定理，勾股定理，圆的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握圆周角定理及勾股定理是解题的关键． 19．（9分）（1）如图，已知与外一点，请利用直尺和圆规按要求作图： ①连接，利用尺规作出的垂直平分线，与交于点； ②以为圆心，长为半径作，与交于，两点； ③连接，． 根据所做图形，完成下列题目： （2）求证：是的切线； （3）若的半径为2，过做的平行线，与所在直线相交于点，恰好是的切线，请求出的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【分析】（1）根据步骤完成作图即可； （2）连接． 由题意可知为的半径．根据直径所对的圆周角是直角得到．根据切线判定定理即可得到结论； （3）设切于点，连接．证明四边形为正方形．则．证明，得到．求出．在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：作图如图所示． （2）证明：如图，连接． 是上一点， 为的半径． 为的直径， ． 是的切线． （3）解：如图，设切于点，连接． ， ． 是的切线， ． 四边形为矩形． 又， 四边形为正方形． ． 为的中点， ． 又， ∴． ． ． 在中， 【点睛】此题考查了基本作图，切线的判定和性质、圆周角定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，准确作图和熟练掌握切线的判定是解题的关键． 20．（8分）已知是的直径，弦与相交，． (1)如图①，若D为的中点，求和的大小； (2)如图②，若D为上的点，且，过点D作与的延长线交于点P，求证：是的切线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定，等边对等角，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等等： （1）根据直径所对的圆周角是直角得到，则由三角形内角和定理得到，由题意可得，则，即可得到 （2）如图所示，连接，根据等边对等角得到，，再由平行线的性质得到，据此证明，即可证明． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴； ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 21．（8分）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务。 我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角，图1中即弦切角，同学们研究发现：A为圆上任意一点，当弦经过圆心O，且切于点B时，易证：弦切角． 问题拓展：如图2，A是优弧上任意一点，切于点B，求证：． 证明：连接并延长交于点N，连接，如图2所示． ∵是直径， ∴（依据____________________）， ∴．… 任务： (1)材料中的依据为____________________． (2)补全剩余的证明过程． 【答案】(1)直径所对的圆周角是直角 (2)见解析 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握切线的性质定理是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角进行解题即可； （2）利用圆切线的性质及圆周角定理的推论即可解决． 【详解】（1）材料中的依据为：直径所对的圆周角是直角， 故答案为：直径所对的圆周角是直角； （2）证明：连接并延长交于点N，连接，如图2所示． ∵是直径， ∴， ∴， 又∵切于点B， ∴，即， ∴， 又∵， ∴． 22．（12分）综合与实践 问题情境：小华发现这么一类四边形，有一组对角之和为直角的四边形，小华将这类四边形命名为对余四边形． 猜想证明： (1)若四边形是对余四边形，则与的度数之和为__________． (2)如图1，在上有A，B，C三点，是的直径，，相交于点D．四边形是对余四边形吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由，拓展探究： (3)如图2，在对余四边形中，，，，则线段和之间有怎样的数量关系？请给出你的猜想，并说明理由． 【答案】(1)或； (2)是，证明见详解； (3)，理由见详解． 【分析】（1）对余四边形的定义即可得出结果； （2）根据对余四边形的定义，由圆周角定理得出，说明即可； （3）将绕着点B逆时针旋转得到，连接，利用已知条件得出，利用勾股定理可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形是对余四边形， 或 时，． ∴或． 故答案为或． （2） 证明：是的直径，点A，B，C在上， ． 即． ∴四边形是对余四边形． （3）猜想：线段和之间的数量关系为：．理由如下： ， ∴将绕着点B逆时针旋转得到，连接，如图，    则，． ． 为等边三角形． ． ， ． ∴∠BFA+∠ADB=30°． ， ． ． ． ． ． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了对余四边形的定义、圆周角定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；熟练掌握对余四边形的定义和旋转的性质是解题的关键． 23．（13分）【综合探究】如图，是的直径，是的一条弦，，直线为的切线，交的延长线于点，连接、、．    (1)求证：； (2)连接，延长交于点，延长交于点．当为的中点时，求证：； (3)若的半径为，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，再由等腰三角形的性质及角的转换即可得证； （2）由垂径定理和等边三角形的性质即可得证； （3）通过证明得到是等边三角形，再根据进行计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图1，    图1 ∵直线为的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图2， 图2 ∵， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由（1），， ∴， ∴； （3）解：如图3， 图3 由（1）， 由（2）， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴是等边三角形， ∴，， ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、扇形面积的计算，熟练掌握圆的切线的性质、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$