第五章 一元一次方程（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（山西专用，人教版2024）

第五章 一元一次方程（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．已知是关于的方程的解，则常数的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解，解一元一次方程，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． 把代入即可求出a的值． 【详解】解：把代入得， 解得：， 故选：C． 2．若是一元一次方程，则m等于（　　） A．1 B．2 C．1或2 D．任何数 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程，据此即可作答． 【详解】解：∵是一元一次方程， ∴ ∴ 故选：A 3．下列方程中变形正确的是（     ） ①变形为； ②变形为； ③ 变形为； ④变形为． A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质：等式两边加上（或减去）同一个数，等式仍然成立；等式两边乘以（或除以）同一个数，等式仍然成立． 【详解】解：①变形为，两边同时除以可得，所以正确； ②变形为， 两边同时加上，再减去可得，所以正确； ③变形为；两边同时乘以可得，所以正确； ④，两边同时除以得到：，所以错误. 故选D. 4．下面是嘉淇同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并回答相应的问题． 解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项，得，……第三步 合并同类项，得，……第四步 解得． 以上解题步骤中，开始出错的一步是（     ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答． 【详解】去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 ∴第二步开始出错， 故选：B． 5．若关于y的一元一次方程的解是，则a的值是（　　） A． B． C．40 D．50 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程，得到关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：把代入方程， 得：， 解得：． 则的值为． 故选：A． 6．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是，若输入的值是，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入中求出，再将代入中即可求解． 本题考查了求函数值．熟练掌握函数值的求法是解题的关键． 【详解】解：输入的值是，则输出的值是， ， 解得， 当时，． 故选：． 7．一商店出售书包时，将一种进价为50元的双肩背书包，按进价提高30%作为标价，由于清仓处理，需按打折出售，这样商场每卖出一个书包就可赢利8.5元．设每个双肩背书包打x折，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程．设每个双肩背书包的进价是x元，则每个双肩背书包的售价是元，根据利润=售价-进价，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设每个双肩背书包的进价是x元，则每个双肩背书包的售价是元， 根据题意得：． 故选：C． 8．整理一批图书，由一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，再增加人和他们一起做小时，完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，具体先安排人工作，则列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，准确理解题意是解题的关键．根据题中等量关系列出方程即可． 【详解】解：设应先安排人工作， 根据题意得：一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，工作量为，再增加人和他们一起做小时的工作量为， 故可列式， 故选：B． 9．2024年春节期间，某商场打出促销广告，如表所示． 优惠 条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元 优惠 办法 没有优惠 全部按九折优惠 其中500元仍按九折优惠，超过500元部分按八折优惠 春节的某一天，小雅妈妈在该商场购买了一些商品，经过商场打折优惠后支付了522元，则小雅妈妈比原价节省了（    ）元 A．58元 B．68元 C．130.5元 D．78元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由题知可推出小雅妈妈在该商场一次性购物超过500元，设小雅妈妈原价为元，根据“经过商场打折优惠后支付了522元”建立等式求解得到原价，再利用原价减去打折优惠后的价格，即可解题． 【详解】解：（元）， ， 小雅妈妈在该商场一次性购物超过500元， 设小雅妈妈原价为元， ， 解得， （元）， 故选：B． 10．某公园淡季的门票价是60元，比旺季门票便宜20%．这个公园旺季时门票票价多少元？下面四位同学想法，其中错误的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查列方程解应用题，百分数的应用，关键是根据题意找出基本数量关系． 根据题意，把公园旺季门票价钱看作单位“1”，有关系式：淡季门票=旺季门票旺季门票．关系式也可变形为：淡季门票=旺季门票或淡季门票旺季门票=旺季门票．设旺季门票为x元，列方程为：或或者是．由此判断． 【详解】解：把公园旺季门票价钱看作单位“1”，有关系式： 淡季门票=旺季门票-旺季门票， 或者：淡季门票=旺季门票， 或：淡季门票旺季门票=旺季门票． 设旺季门票为x元，列方程为： 或或者是． 所以A、C、D都是正确的，错误的是B． 故选：B． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．当 时，代数式与的值相等． 【答案】4 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列等式．根据代数式值相等列式求解即可得到答案 【详解】解：∵代数式与的值相等． ∴， 解得：， 故答案为：4 12．有一些人共同买一个物品，若每人出8元，还盈余3元； 若每人出7元，则还差4元．问共有多少人？设有x人，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程． 根据设有x人，由物品的价格不变列出方程即可． 【详解】解：设有x人，根据题意，得 ， 故答案为：． 13．定义运算：，其中a、b为任意两个数， k为常数．比如： ，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的四则混合运算和解一元一次方程，根据得到方程，解方程得到，再计算即可． 【详解】解：由， 解得， ∴， 故答案为： 14．甲、乙、丙三人参加一次考试，甲、乙两人平均分比三人平均分多分，乙、丙两人平均分比三人平均分少分，已知乙得了94分，那么丙得了 分． 【答案】85 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设三人的平均分为x分，则甲的得分为分，丙的得分为分，再根据平均分的计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设三人的平均分为x分， 由题意得，， 解得， 所以， 所以丙得了85分， 故答案为：85． 15．A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是 次． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设两车相距时，行驶的时间为t小时，分快车从A到B，快车从B到A两种情况，每种情况中又分两车相遇前和相遇后两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：设两车相距时，行驶的时间为t小时，依题意得： 当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车相距时，则有： 解得； ②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，两车相距时， ， 解得； ③快车从A地到B地全程需要小时，此时慢车从B地到A地行驶， ∵ ∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有： ， 解得； ④快车返回A地终点所需时间是9小时，此刻慢车行驶了，距终点还需 行驶，则有： 解得． 综上所述，两车恰好相距的次数为4次． 故答案为：4． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1，； （2）解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1，． 17．（8分）（1）解方程： （2）已知，． ①化简； ②当，，求的值； 【答案】（1） （2）①；②17 【分析】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤进行求解即可； （2）①利用整式加减运算法则计算即可；②把，看作一个整体，代入化简以后的式子当中计算即可． 本题考查了解一元一次方程和整式的加减，代数式求值，熟练掌握解一元一次方程的步骤及整体思想的应用是解题的关键． 【详解】解：（1） 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得． （2）① ； ②当，时， ． 18．（8分）【列方程解应用题】一条铁路全长约380千米，其中桥梁和隧道相当于铁路全长的，平均每千米耗资约6000万元，比青藏铁路还多 ． (1)这段铁路中，桥梁和隧道一共长多少千米？ (2)青藏铁路平均每千米耗资多少万元？（用方程解答） 【答案】(1)长285千米 (2)3200万元 【分析】（1）根据题目信息“铁路全场约380千米，其中桥梁和隧道相当于铁路全长的”可知，单位“1”是铁路全长已知的，直接用铁路全长就可以求出桥梁和隧道一共多长． （2）从题目信息“平均每千米耗资约6000万元，比“天梯”青藏铁路还多．”我们知道单位“1”是青藏铁路平均每千米耗资，未知，就设它为万元，根据它和桥梁和隧道的耗资之间的关系列出方程解答． 本题考查了有理数乘法的实际应用，列方程以及运用一元一次方程解决实际问题，找出题中数量之间的相等关系． 【详解】（1）解： （千米） 答：这段铁路中，桥梁和隧道一共长285千米． （2）解：设青藏铁路平均每千米耗资万元． 答：青藏铁路平均每千米耗资3200万元． 19．（9分）我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 (1)判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”） (2)若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； (3)已知关于x的一元一次方程和n都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】(1)是 (2) (3)0 【分析】此题考查了方程的解和解一元一次方程、求代数式的值，整体代入和正确理解新定义是解题的关键． （1）根据差解方程的定义进行验证即可； （2）根据差解方程的定义得到，即可得到答案； （3）根据差解方程的定义分别求出，，整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的解是， ∴方程是“差解方程”， 故答案为：是； （2）∵是“差解方程”， ， ； （3）是“差解方程”， ， ， ， 是“差解方程”， ， ， ， ． 20．（8分）如图，已知数轴上点表示的数为， 是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是______，点表示的数是________； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点同时出发，则当点运动多少秒时，点与点相遇？ 【答案】(1)， (2)当点运动秒时，点与点相遇 【分析】（）根据两点之间的距离为个单位列式即可解答； （）设点运动秒时追上点，根据题意列出关于的方程即可解答； 本题主要考查了两点间的距离，数轴，一元一次方程等知识点，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，是数轴上在点左侧的一点，， ∴数轴上点表示的数是， 由题意得：动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点表示的数是， 故答案为：，； （2）设点运动秒时追上点， 根据题意得：， 解得：， 答：点运动秒时，点与点相遇． 21．（9分）在学习中我们掌握了代入法、消元法解方程，整体法、换元法也是初中需要掌握的一种思想方法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．例如，设，则原方程变形为，……，解得，即，所以原方程的解为． (1)补充求解的过程． (2)用换元法解方程． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是利用换元的思想解方程，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握换元思想将复杂的问题转化为简单的问题， （1）根据解一元一次方程的法则解答即可， （2）利用换元的思想解答即可； 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：． （2）解：， 设，则原方程可变形为， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得． 22．（12分）根据以下素材，探索未完成的任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市2024年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量）：水费为4.3元/，其中自来水为3.35元/，污水处理费为0.95元/． 第二阶梯 用水量：水费为5.97元/，其中自来水为5.02元/，污水处理费为0.95元/． 第三阶梯（用水量）：水费为11元/，其中自来水为10.05元/，污水处理费为0.95元/． 素材3 如某用户2024年2月份用水，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定水费 （1）某用户2024年4月用水，则应缴水费 元（用含的代数式表示）． 任务2 确定污水处理费 （2）已知某用户2024年5月份所缴水费中，自来水费为66.98元，求该用户5月份需缴污水处理费多少元？ 任务3 确定用水量 （3）如果该用户2024年6、7月份共用水（7月份用水量超过6月份用水量），共缴水费209.01元，则该用户6、7月份各用水多少吨？ 【答案】（1）；（2）该用户5月份需缴污水处理费为元；（3）该户居民6、7月份各用水和 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系建立方程求解是关键； （1）根据4月用水列代数式即可； （2）先判断5月份用水量超过不超过，设该用户5月份的用水量为，再建立方程求解即可； （3）由7月份用水量超过6月份用水量，设该用户6月份的用水量为，7月份的用水量为，再分两种情况分别列方程求解即可． 【详解】解：（1）当时，应缴水费为元； （2）∵， ∴5月份用水量超过不超过， 设该用户5月份的用水量为， ， 解答， （元）， 答：设该用户5月份的污水处理费为元； （3）设该用户6月份的用水量为，7月份的用水量为， 当时，， 解答（不合题意，舍去）， 时，， 解得：， ∴， 答：该户居民6，7月份各用水和． 23．（13分）点A，B在同一条直线上，点C在线段的延长线上，如果，那么我们把点C叫做点A关于点B的伴随点． (1)如图，在数轴上，点E表示的数是，点E关于原点O的伴随点F表示的数是______； (2)在（1）的条件下，点G表示的数是m，若点F关于点G的伴随点是点E，求m的值； (3)如图，数轴上的三个点P，Q，R分别表示的数是，1，4．有一动点M从点Q出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动；同时，另一动点N从点R出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动．当动点N运动至点P处时，两动点M，N同时停止运动．设动点M，N的运动时间为t秒，在运动过程中，若P，M，N三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的伴随点，请直接写出t的值． 【答案】(1)2 (2) (3)或或 【分析】本题主要考查新定义下数轴上两点之间的距离，熟练掌握新定义列出方程求值，是解题的关键． （1）求出，根据伴随点的定义求出，即得F点的值； （2）根据伴随点的定义，得到，代入m．即可求的m得值； （3） 当时，，，若点P关于点M的伴随点是点N， ，求得(舍去)；若点N关于点M的伴随点是点P， ，求得；当时，，，若点M关于点P的伴随点是点N，，求得；若点N关于点P的伴随点是点M，，求得； 【详解】（1）根据题意： ∵， ∴， ∴点F表示的数是2． 故答案为：2； （2）根据题意：，点G在点E、F之间， ∵， ∴， 解得：． （3）t秒后，N点的位置为：，M点的位置为：， 点P表示的数是， ①当时，点M在点P、N之间， 则， 若点P关于点M的伴随点是点N，有：， 则，解得(舍去)； 若点N关于点M的伴随点是点P，有：， 则， 解得； ②当时，点在P点M、N之间， ，， 若点N关于点P的伴随点是点M，有：， 则， 解得； 若点M关于点P的伴随点是点N，有：， 则， 解得； 综上：或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元一次方程（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．已知是关于的方程的解，则常数的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．若是一元一次方程，则m等于（　　） A．1 B．2 C．1或2 D．任何数 3．下列方程中变形正确的是（     ） ①变形为； ②变形为； ③ 变形为； ④变形为． A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 4．下面是嘉淇同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并回答相应的问题． 解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项，得，……第三步 合并同类项，得，……第四步 解得． 以上解题步骤中，开始出错的一步是（     ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 5．若关于y的一元一次方程的解是，则a的值是（　　） A． B． C．40 D．50 6．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是，若输入的值是，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 7．一商店出售书包时，将一种进价为50元的双肩背书包，按进价提高30%作为标价，由于清仓处理，需按打折出售，这样商场每卖出一个书包就可赢利8.5元．设每个双肩背书包打x折，根据题意列一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．整理一批图书，由一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，再增加人和他们一起做小时，完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，具体先安排人工作，则列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 9．2024年春节期间，某商场打出促销广告，如表所示． 优惠 条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元 优惠 办法 没有优惠 全部按九折优惠 其中500元仍按九折优惠，超过500元部分按八折优惠 春节的某一天，小雅妈妈在该商场购买了一些商品，经过商场打折优惠后支付了522元，则小雅妈妈比原价节省了（    ）元 A．58元 B．68元 C．130.5元 D．78元 10．某公园淡季的门票价是60元，比旺季门票便宜20%．这个公园旺季时门票票价多少元？下面四位同学想法，其中错误的是（ ）． A． B． C． D． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．当 时，代数式与的值相等． 12．有一些人共同买一个物品，若每人出8元，还盈余3元； 若每人出7元，则还差4元．问共有多少人？设有x人，则根据题意可列方程为 ． 13．定义运算：，其中a、b为任意两个数， k为常数．比如： ，若，则 ． 14．甲、乙、丙三人参加一次考试，甲、乙两人平均分比三人平均分多分，乙、丙两人平均分比三人平均分少分，已知乙得了94分，那么丙得了 分． 15．A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是 次． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）解方程： (1) (2) 17．（8分）（1）解方程： （2）已知，． ①化简； ②当，，求的值； 18．（8分）【列方程解应用题】一条铁路全长约380千米，其中桥梁和隧道相当于铁路全长的，平均每千米耗资约6000万元，比青藏铁路还多 ． (1)这段铁路中，桥梁和隧道一共长多少千米？ (2)青藏铁路平均每千米耗资多少万元？（用方程解答） 19．（9分）我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 (1)判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”） (2)若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； (3)已知关于x的一元一次方程和n都是“差解方程”，求代数式的值． 20．（8分）如图，已知数轴上点表示的数为， 是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是______，点表示的数是________； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点同时出发，则当点运动多少秒时，点与点相遇？ 21．（9分）在学习中我们掌握了代入法、消元法解方程，整体法、换元法也是初中需要掌握的一种思想方法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．例如，设，则原方程变形为，……，解得，即，所以原方程的解为． (1)补充求解的过程． (2)用换元法解方程． 22．（12分）根据以下素材，探索未完成的任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市2024年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量）：水费为4.3元/，其中自来水为3.35元/，污水处理费为0.95元/． 第二阶梯 用水量：水费为5.97元/，其中自来水为5.02元/，污水处理费为0.95元/． 第三阶梯（用水量）：水费为11元/，其中自来水为10.05元/，污水处理费为0.95元/． 素材3 如某用户2024年2月份用水，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定水费 （1）某用户2024年4月用水，则应缴水费 元（用含的代数式表示）． 任务2 确定污水处理费 （2）已知某用户2024年5月份所缴水费中，自来水费为66.98元，求该用户5月份需缴污水处理费多少元？ 任务3 确定用水量 （3）如果该用户2024年6、7月份共用水（7月份用水量超过6月份用水量），共缴水费209.01元，则该用户6、7月份各用水多少吨？ 23．（13分）点A，B在同一条直线上，点C在线段的延长线上，如果，那么我们把点C叫做点A关于点B的伴随点． (1)如图，在数轴上，点E表示的数是，点E关于原点O的伴随点F表示的数是______； (2)在（1）的条件下，点G表示的数是m，若点F关于点G的伴随点是点E，求m的值； (3)如图，数轴上的三个点P，Q，R分别表示的数是，1，4．有一动点M从点Q出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动；同时，另一动点N从点R出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动．当动点N运动至点P处时，两动点M，N同时停止运动．设动点M，N的运动时间为t秒，在运动过程中，若P，M，N三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的伴随点，请直接写出t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$