专题06 三角形有关模型汇总（6大经典基础题+3大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（福建专用）

专题06 三角形有关模型汇总 A字模型 1．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建南安·期中）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线方向运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点A时，P，Q两点同时停止运动，连接．设运动时间为t秒．    (1) ______， ______． (2)当t为何值时，的面积为． (3)是否存在某一时刻t，使是以为底边的等腰三角形？如果存在，求出t值，如果不存在，请说明理由． 8字模型 1．（23-24八年级上·福建同安·期中）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图所示，，且，求和的度数．    3．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图1，线段相交于点，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： (1)在图1中，证明：； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_____个； (3)图2中，当度，度时，求的度数． (4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 燕尾模型 1．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”． （1）求证：； （2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若，求的度数． 2．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图， 度． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求的度数； ③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数． 两内角角平分线模型 1．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，已知，、的平分线、相交于点O，则的度数为 ．    2．（23-24八年级上·福建闽侯·期中）(1)如图1，在△ABC中，点是和的角平分线的交点，请你判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在四边形中，点是和的角平分线的交点，请你用和表示，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，是的平分线所在直线与外角的平分线所在直线构成的锐角，直接写出用和表示的结果．    两外角角平分线模型 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 2．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，五边形在处的外角分别是分别平分和且相交于点P．若，则 ． 一内一外角平分线模型 1．（23-24八年级上·福建霞浦·期中）如图，在中，、分别平分，，的延长线交外角的角平分线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 2．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝ 全等手拉手模型（等腰旋转） 1．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图1，已知△ABC、△ADE都是等边三角形，点E在直线BC上，F在直线AC上，且FE＝EA，DE与AB相交于点G，连接BD、EF． （1）如图1，当点E在线段BC上时， ①求证：∠BAE＝∠BDE； ②求证：BD＋CF＝BC． （2）如图2，如果点E在线段BC的延长线上，其他条件不变，请直接写出线段BD、CF、BC三条线段之间的数量关系． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）在中，，，点为直线上的一个动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连． （1）如图1，当点在线段上时， ①与的位置关系是______； ②线段、、之间的数量关系是______． （2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出正确的结论再给出证明． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE． (1)求证：△ABD≌△ACE； (2)若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，若BD＝3，CF＝4，请直接写出AD的长． 全等半角模型 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图①，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，连接、、． (1)试判断，，之间的数量关系； (2)如图②，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程． (3)如图③，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，请直接写出，，之间数量关系． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，线段之间的关系是 ；（不需要证明） （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （）如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    3．（23-24八年级上·福建南安·期中）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 全等对角模型 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，四边形中，平分，于点，．求证：． 2．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图，在四边形中，于M，，．求证： (1)； (2)． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角形有关模型汇总 A字模型 1．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】 根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可． 【详解】 解：， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 2．（23-24八年级上·福建南安·期中）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 【答案】见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可． 【详解】解：和是的外角， ． 又， ． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线方向运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点A时，P，Q两点同时停止运动，连接．设运动时间为t秒．    (1) ______， ______． (2)当t为何值时，的面积为． (3)是否存在某一时刻t，使是以为底边的等腰三角形？如果存在，求出t值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)3；6 (2)当t为1或2时，的面积为 (3)存在；当，使是以为底边的等腰三角形 【分析】（1）根据矩形的性质和含角的直角三角形的性质解答即可； （2）过点Q作于点H，，，，根据直角三角形的性质和三角形的面积公式解答即可； （3）根据是以为底边的等腰三角形，得，再列方程解答即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴，， ∵， 即， 解得：，负值舍去， ∴， 故答案为：3；6． （2）解：过点Q作于点H，如图所示：   ，，则， 在中，， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得：，，均符合题意， 答：当t为1或2时，的面积为． （3）解：存在，理由如下： ∵是以为底边的等腰三角形， ∴，即， 解得：，符合题意， 答：当，使是以为底边的等腰三角形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形，一元二次方程的解法等知识，解题的关键是学会用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题． 8字模型 1．（23-24八年级上·福建同安·期中）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】邻补角的定义理解、三角形的外角的定义及性质 【分析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案． 【详解】解：如下图标记， ， ， ， 又， ， ， ， 故选C． 【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键． 2．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图所示，，且，求和的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形全等的性质，找到相应等量关系的角是解题的关键，做题时要结合图形进行思考．由，可得，根据三角形外角性质可得，可得的度数；根据三角形内角和定理可得，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ， ∴， 在中，．   3．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图1，线段相交于点，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： (1)在图1中，证明：； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_____个； (3)图2中，当度，度时，求的度数． (4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) (4) 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等、三角形的个数问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）利用三角形的内角和定理与对顶角相等可得结论； （2）由交点有点，再分类确定即可得到答案； （3）由（1）可得， ，再两式相加，结合角平分线的定义可得，再把，代入计算即可得到答案； （4）由（1）可得，，再两式相加，结合角平分线的定义可得． 【详解】（1）证明：∵， 又∵， ∴； （2）交点有点， 以为交点的8字形有1个，为与， 以为交点的8字形有4个，为与，与，与，与， 以为交点的8字形有1个，为与， 所以，“8字形”图形共有6个． 故答案为：6； （3）由（1）可得，①， ②， ∵和的平分线和相交于点， ∴，， 由①+②，得， 即， 又∵，， ∴， ∴； （4）关系：． 理由：由（1）得①， ② ， ∵和的平分线和相交于点， ∴，， 由①＋②，得， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的应用、角平分线的定义等知识，掌握利用三角形的内角和定理解决“8字形”中的角度问题是解题的关键． 燕尾模型 1．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”． （1）求证：； （2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）240° 【知识点】对顶角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）延长CD交AB于点E，根据三角形外角性质可证，，运用角的等量转换即可证明． （2）根据三角形外角性质，运用第（1）题的方法可证，，和是对顶角，可推出的度数等于2倍的度数，计算得出答案． 【详解】（1）证明：延长CD交AB于点E，如图： ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴． （2）解：∵和是对顶角， ∴． 由（1）的结论可知， ， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，灵活运用三角形外角性质是解题关键． 2．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图， 度． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，如图，连连接，记、的交点为， 先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案．作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接，记、的交点为， ，，， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求的度数； ③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2)①；②；③ 【分析】（1）首先连接并延长，然后根据外角的性质，即可判断出； （2）①由（1）可得，然后根据，，即可求出的值；②由（1）可得，再根据，求出的值；然后根据，即可求出的度数；③设，，结合已知可得，，再根据（1）可得，，即可判断出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接并延长． 根据外角的性质，可得，， 又∵，， ∴， 故答案为：； （2）①由（1）可得， ∵，， ∴； ②由（1）可得， ∴， ∴， ∴； ③设，， 则，， 则，， 解得， 所以， 即的度数为． 【点睛】此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和． 两内角角平分线模型 1．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，已知，、的平分线、相交于点O，则的度数为 ．    【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解. 【详解】 在中, ， ∵与的角平分线相交于点， ∴， 在中, ， 故答案为:. 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键. 2．（23-24八年级上·福建闽侯·期中）(1)如图1，在△ABC中，点是和的角平分线的交点，请你判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在四边形中，点是和的角平分线的交点，请你用和表示，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，是的平分线所在直线与外角的平分线所在直线构成的锐角，直接写出用和表示的结果．    【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）根据三角形内角和定理，以及角平分线的定义的； （2）根据平分，平分，可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解； （3）根据题意可得，根据三角形的内角和定理可得，进而，即可求解． 【详解】解：（1） 理由如下： 平分，平分， ，． 在中，， 在中，， ． ．    （3）． 理由如下： 由四边形内角和定理得 ． 、分别平分和， ． ． 即．    （3）． 理由如下，    ∵ 又∵是的平分线所在直线与外角的平分线所在直线构成的锐角， ∴ ． 即． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和定理，三角形的角平分线的性质，多边形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 两外角角平分线模型 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 【答案】61° 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用 【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答． 【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°， ∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°， ∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°， ∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°， ∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF， ∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF， ∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°， ∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°， ∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°， 故答案为：61°． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键． 2．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，五边形在处的外角分别是分别平分和且相交于点P．若，则 ． 【答案】105° 【分析】根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，根据题意求出∠BCD＋∠CDE的度数，从而求出∠PCD＋∠PDC的度数，运用三角形内角和定理即可求出∠CPD的度数． 【详解】解：∵∠A＝160°，∠B＝80°，∠E＝90°， ∴∠BCD＋∠CDE＝（5−2）×180°−160°−80°−90°＝210°， ∴∠PCD＋∠PDC＝（180°×2−210°）＝75°， 在△CPD中，∠CPD＝180°−（∠PCD＋∠PDC）＝180°−75°＝105°， 故答案为：105°． 【点睛】本题主要考查多边形内角和公式，三角形内角和定理，以及外角的平分线，根据已知条件求出∠BCD＋∠CDE的度数是解题的关键． 一内一外角平分线模型 1．（23-24八年级上·福建霞浦·期中）如图，在中，、分别平分，，的延长线交外角的角平分线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①③/③① 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，，，即可得出答案． 【详解】解：∵为外角的平分线，平分， ∴， 又∵是的外角， ∴， 即，故①正确； ∵、分别平分，， ∴， ∴ ，故④错误； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴，故②错误、③正确； 综上，正确的有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义． 2．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝ 【答案】40° 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O， ∴∠ACO=∠ACB， ∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD=∠ACE， ∵∠ACB+∠ACE=180°， ∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=（∠ACB+∠ACE）=×180°=90°， ∵∠BOC＝130°， ∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键． 全等手拉手模型（等腰旋转） 1．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图1，已知△ABC、△ADE都是等边三角形，点E在直线BC上，F在直线AC上，且FE＝EA，DE与AB相交于点G，连接BD、EF． （1）如图1，当点E在线段BC上时， ①求证：∠BAE＝∠BDE； ②求证：BD＋CF＝BC． （2）如图2，如果点E在线段BC的延长线上，其他条件不变，请直接写出线段BD、CF、BC三条线段之间的数量关系． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）CF＝BC+BD，理由见解析 【分析】（1）①先证明得到,得到，从而证得∠BAE＝∠BDE； ②结合，得到，继而证明，得到，结合图形即可得到BD＋CF＝BC； （2）先证，得到，继而证明，得到，结合图形即可得到CF＝BC+BD； 【详解】解：①∵△ABC、△ADE都是等边三角形， ∴=DE， , ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴∠BAE＝∠BDE ②∵, ∴， ∵∠DBE＝∠DBA+∠ABC=60º+60º=120º, 又∠ECF＝180º-∠ACB=180º-60º=120º, ∴∠DBE=∠ECF ∵FE＝EA ∴∠EAC=∠EFA ∴ 又，而 ∴ ∴∠EFA=∠BED 又∵FE＝EA=DE ∴ ∴, ∴ （2），简证如下： ∵△ABC、△ADE都是等边三角形， 同理可得：，得到，， 由， 得到， 又FE＝EA，∴∠EAC=∠EFA，∴ 又，而， ∴∠DAB＝∠BED， ∴∠EFA＝∠BED， ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）在中，，，点为直线上的一个动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连． （1）如图1，当点在线段上时， ①与的位置关系是______； ②线段、、之间的数量关系是______． （2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出正确的结论再给出证明． 【答案】（1）①垂直；②；（2）位置关系：垂直，数量关系：，证明见解析； 【分析】（1）①先求证，得到，从而求得，即可求解；②根据①中的全等三角形，得到，从而求得； （2）先求证，得到，，从而求得， 【详解】解：（1）∵， ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴， ①∴，∴ ②∴ （2）位置关系：垂直，数量关系：，证明如下： ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定方法及有关性质是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE． (1)求证：△ABD≌△ACE； (2)若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，若BD＝3，CF＝4，请直接写出AD的长． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）根据等角的余角相等证明∠BAD=∠CAE，后利用SAS证明全等即可． （2）连接FE，先证，再证，后利用SAS证明全等△DAF≌△EAF即可． （3）连接DE，先计算DF长，再计算DC及其DE的长，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵AE⊥AD， ∴∠DAE=∠DAC+∠2=90°， 又∵∠BAC=∠DAC+∠1=90°， ∴∠1=∠2， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE． （2）结论：．理由如下： 连接FE，∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠3=45°， 由⑴知△ABD≌△ACE， ∴∠4=∠B=45°，BD=CE， ∴∠ECF=∠3+∠4=90°， ∴， ∴， ∵AF平分∠DAE， ∴∠DAF=∠EAF， 在△DAF和△EAF中 ， ∴△DAF≌△EAF， ∴DF=EF， ∴． （3）连接DE， 由⑵的结论，， 因为BD＝3，CF＝4， 所以， ∴DF=5， ∴DC=DF+CF=9， 在Rt△CDE中，， ∴， ∴DE=3； ∴在等腰直角△ADE中， ， ∴， ∴AD=． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键． 全等半角模型 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图①，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，连接、、． (1)试判断，，之间的数量关系； (2)如图②，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程． (3)如图③，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，请直接写出，，之间数量关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】根据旋转的性质求解、根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． （1）首先利用证明，得，从而得出答案； （2）在上取,连接，首先由，得，，再利用证明，得，即可证明结论； （3）将绕点逆时针旋转得，由旋转的性质得点、、共线，由（1）同理可得，得，从而解决问题． 【详解】（1）解：，证明如下： 四边形是正方形， ， 由旋转的性质可得：，，，， ， 点、、共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：， 证明如下： 如图，在上取，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图，将绕点逆时针旋转得， ，，， ， ， 点、、共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，线段之间的关系是 ；（不需要证明） （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （）如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【答案】（）；（）（）中的结论仍然成立，理由见解析；（）（）中的结论不成立，． 【分析】()延长至，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，再证明，根据全等三角形的性质得出，结合图形计算，即可证明结论； ()延长至，使，连接 ，仿照()的证明方法解答； ()在上截取，连接，仿照()的证明方法解答． 【详解】解：（）， 理由如下： 如图，延长至，使，连接，    在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （）（）中的结论仍然成立， 理由如下： 如图，延长至，使，连接，    ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （）（）中的结论不成立，， 理由如下：如图，在上截取，连接，    同（）中证法可得，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理、灵活运用类比思想是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建南安·期中）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、其他模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 全等对角模型 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，四边形中，平分，于点，．求证：． 【答案】证明过程见详解 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】如图所示（见详解），过点作的延长线于，平分，于点，可证，，可求出，可证，则有，，由此即可求证． 【详解】解：如图所示，过点作的延长线于， ∵平分，， ∴，为公共边， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴在，中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，本题难点在于要进行二次全等证明． 2．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图，在四边形中，于M，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等三角形的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）先作辅助线，证明，再证明，最后用邻补角的定义和等量代换即可证明； （2）利用（1）中三角形全等，得出相等线段，再等量代换即可． 【详解】（1）证明：如图，过C点作，交的延长线于E点． ∵，， ∴， 在和中， ∴． ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴． （2）由(1)知， ， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，通过添加辅助线，证明三角形全等是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$