专题05 三角形中的分类讨论（6大经典基础题+3大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（福建专用）

专题05 三角形中的分类讨论 有关边的分类讨论 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）已知一个三角形有两条边相等，一边长为，另一边长为，则这个三角形的周长为（   ） A． B． C．不能确定 D．或 2．（23-24八年级上·福建泉州·期中）等腰三角形的边长分别为4和8，则周长为 ． 3．（23-24八年级上·福建南平·期中）已知三角形的三边为a，b，c； (1)若，，c为最长边且为整数，求三角形的周长； (2)化简：． 4．（23-24八年级上·福建福州·期中）已知，的三边长为3，5，x． (1)求x的取值范围； (2)若的周长为偶数，求x的值． 有关角的分类讨论 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）一个等腰三角形，一个角的度数是另一个角度数的，这个等腰三角形顶角的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（ ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24八年级上·福建莆田·期中）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（　　） A． B．或 C．或 D． 4．（23-24八年级上·福建宁德·期中）若等腰三角形一个外角是度，那么它的底角是 度． 有关垂直平分线的分类讨论 1．（23-24八年级上·福建三明·期中）在中，边的垂直平分线交于点，交于点边的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）在中，，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，连接，，则的度数为 ．（用含的代数式表示） 3．（23-24八年级上·福建泉州·期中）已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交直线AB于点D，连接CD．若∠ABC＝40°，∠ACD＝20°，则∠BAC的度数为 ． 4．（23-24八年级上·福建漳州·期中）已知MN是线段AB的垂直平分线，P、Q是直线MN上两点，且∠PAB＝35°，∠QBA＝60°，则∠QAP的度数为 ． 有关中线的分类讨论 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）是的中线，它把分成的两个三角形的周长差是，，则边长 ． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）中，，，若的中线把的周长分成两部分的比是，求边，的长． 3．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成50和35两部分，求和的长． 3．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成55和45两部分，求和的长．    有关高的分类讨论 1．（23-24八年级上·福建南平·期中）如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为29°，那么等腰三角形的顶角为 度． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为 ． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期中）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 ． 4．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰成，则此等腰三角形的顶角是 ． 有关等腰三角形构造的分类讨论 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P． 动点运动时间的分类讨论 1．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图．在中．．若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为 2．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，为高，，点为上的一点，，连接交于点，（和 是对应角）．    (1)求 的度数； (2)有一动点从点出发沿线段以每秒4个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当为何值时，为等边三角形？ (2)当为何值时，为直角三角形？ 动点与周长最值 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，等腰三角形的面积为24，底边，腰的垂直平分线分别交边、于、两点，点为线段上一动点，点为的中点，连接、．在点的运动过程中，的周长存在最小值为 ． 2．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上动点，则周长的最小值为 ． 3．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，等腰底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 动点与线段之和最值 1．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 2．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形中的分类讨论 有关边的分类讨论 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）已知一个三角形有两条边相等，一边长为，另一边长为，则这个三角形的周长为（   ） A． B． C．不能确定 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是利用三角形的三边关系确定第三边的长度．分情况考虑，当相等的两边是时或当相等的两边是时，根据三角形的三边关系进行验证，然后求出三角形的周长即可得答案． 【详解】解：∵一个三角形有两条边相等，一边长为，另一边长为， ∴①当相等的两边是时，三边长为：、、， ∵，符合三角形三边关系， ∴这个三角形的周长为， ②当相等的两边是时，三边长为：、、， ∵，符合三角形三边关系， ∴这个三角形的周长为， 综上所述：这个三角形的周长为或， 故选：D． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期中）等腰三角形的边长分别为4和8，则周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及等腰三角形的定义：要注意分类讨论以及检验三边是否符合三角形的三边关系，即可作答． 【详解】解：因为等腰三角形的边长分别为4和8， 所以当腰长为，则三边为4、4、8，则，不符合三角形的三边关系，故舍去； 当腰长为8，则三边为4、8、8，符合三角形的三边关系， 此时周长为 故答案为：20 3．（23-24八年级上·福建南平·期中）已知三角形的三边为a，b，c； (1)若，，c为最长边且为整数，求三角形的周长； (2)化简：． 【答案】(1)17或16 (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系得出的取值范围，进而解答即可； （2）根据三角形三边关系判断绝对值号内的正负，进而解答即可． 【详解】（1）解：，， ， 即， 为最长边且为整数， 或8， 三角形的周长或； （2）三角形的三边为，，， ，，， ． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，根据三角形三边关系定理列出不等式，求出的取值范围是解题的关键． 4．（23-24八年级上·福建福州·期中）已知，的三边长为3，5，x． (1)求x的取值范围； (2)若的周长为偶数，求x的值． 【答案】(1) (2)4或6 【分析】（1）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可解答； （2）根据（1）中求出的x的取值范围，选择符合题意的x的值进行计算即可． 【详解】（1）解：∵的三边长为3，5，x， ∴， 即； （2）解：∵的三边长为3，5，x，的周长为偶数， ∴为偶数， ∵，8为偶数，， ∴为4或6． 【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 有关角的分类讨论 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）一个等腰三角形，一个角的度数是另一个角度数的，这个等腰三角形顶角的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想解决问题是关键．设顶角度数为，分两种情况讨论：①若底角度数是顶角度数的；②若顶角度数是底角度数的，分别列方程求解即可． 【详解】解：设顶角度数为， ①若底角度数是顶角度数的，则底角度数为， 则， 解得：； ②若顶角度数是底角度数的，则底角度数为， 则， 解得：； 即这个等腰三角形顶角的度数是或， 故选：D． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：①等腰三角形的顶角为， 它的一个底角度数为； ②等腰三角形的底角为， 综上所述：底角为或， 故选：C． 3．（23-24八年级上·福建莆田·期中）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键． 分这个角为底角和顶角两种情况，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和求解即可． 【详解】解：当底角为时，则底角为， 当顶角为时，底角为：， 所以底角为或． 故答案为：B． 4．（23-24八年级上·福建宁德·期中）若等腰三角形一个外角是度，那么它的底角是 度． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是分类讨论． 已知等腰三角形的一个外角是，则等腰三角形的一个内角是，但题中没有说明这个角是顶角还是底角，所以分两种情况进行讨论． 【详解】等腰三角形的一个外角是， 等腰三角形的一个内角是， 当为顶角时，其他两个角都是底角且等于， 当为底角时，其他两个角为、， 等腰三角形的底角为或． 故答案为：或． 有关垂直平分线的分类讨论 1．（23-24八年级上·福建三明·期中）在中，边的垂直平分线交于点，交于点边的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，分类讨论：当在之间时和当D在之间时，并结合图形，运用垂直平分线的性质得出，，再结合三角形的内角和定理，，代入化简进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设 如图所示：当在之间时 ∵边的垂直平分线交于点，交于点边的垂直平分线交于点，交于点． ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 如图所示：当E在之间时 ∵边的垂直平分线交于点，交于点边的垂直平分线交于点，交于点． ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故选：C 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）在中，，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，连接，，则的度数为 ．（用含的代数式表示） 【答案】或 【分析】先根据线段垂直平分线的性质，得到，，进而得到，再分两种情况：①为钝角；②为锐角进行讨论，利用角的和差关系进行计算即可得出答案． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，当为钝角时，    ∵垂直平分，垂直平分 ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∵ ∴ ②如图所示，当为锐角时，    ∵垂直平分，垂直平分 ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∵ ∴ 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，灵活运用所学的知识是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期中）已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交直线AB于点D，连接CD．若∠ABC＝40°，∠ACD＝20°，则∠BAC的度数为 ． 【答案】80°或120° 【分析】分两种情况作出图形，然后根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：由题意得，直线MN是线段BC的垂直平分线， ∴BD=CD， ∴∠BCD=∠B=40°， 如图1， ∵∠ACD=20°， ∴∠ACB=40°+20°=60°， ∴∠BAC=180°-60°-40°=80°； 如图2， ∵∠ACD=20°， ∴∠ACB=40°-20°=20°， ∴∠BAC=180°-20°-40°=120°， 综上所述，∠BAC的度数为80°或120°， 故答案为：80°或120°． 【点睛】此题主要考查了作图-基本作图以及线段垂直平分线的性质，得出∠ACB的度数是解题的关键． 4．（23-24八年级上·福建漳州·期中）已知MN是线段AB的垂直平分线，P、Q是直线MN上两点，且∠PAB＝35°，∠QBA＝60°，则∠QAP的度数为 ． 【答案】95°或25° 【分析】根据P、Q不在AB同一侧和P、Q在AB同一侧两种情况作出图形进行分析，再根据角的和差关系得出结果． 【详解】解：（1）如图所示，当P、Q不在AB同一侧时， ∵MN是线段AB的垂直平分线，∠PAB＝35°，∠QBA＝60°， ∴QA=QB ∴∠QAP＝∠QBA＝60°， ∴∠QAP＝∠PAB+∠QAP＝35°+60°=95°． （2）如图所示，当P、Q在AB同一侧时， ∵MN是线段AB的垂直平分线，∠PAB＝35°，∠QBA＝60°， ∴QA=QB， ∴∠QAP＝∠QBA＝60°， ∴∠QAP＝∠QAP-∠PAB＝60°-35°=25°． 故答案为：95°或25°． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 有关中线的分类讨论 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）是的中线，它把分成的两个三角形的周长差是，，则边长 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线得到，根据题意，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵它把分成的两个三角形的周长差是， ∴或， ∴或； 故答案为：或． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）中，，，若的中线把的周长分成两部分的比是，求边，的长． 【答案】，或， 【分析】此题主要考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形中线的定义，并注意分类讨论．首先设，，则，根据的中线把的周长分成两部分的比是可得①；②，分两种情况进行计算即可． 【详解】解：如图：    利用，设，， ∵， ∴， ∵的中线把的周长分成两部分的比是， 则①当时， 由题意得：， 解得：， 则，； ②当时， 由题意得：， 解得：， 则，， 答：，或，． 3．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成50和35两部分，求和的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质和三边的关系，先根据和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①，②，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解题的关键是找到等量关系，列出方程． 【详解】解：设，则， 边上的中线把的周长分成50和35两部分，， ①当，时， ， 解得：， ， ， ， ，满足条件； ，满足三边关系， ，； ②当，时， ， 解得：， ， ， ， ， 不满足三角形的三边关系， 不合题意，舍去， 综上：，． 3．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成55和45两部分，求和的长．    【答案】， 【分析】本题考查了三角形的三边关系，中线的含义，一元一次方程应用，先根据是边上的中线得出，设，，则，根据题意得出方程组，求出方程组的解，再根据三角形的三边关系定理判断即可． 【详解】解：设，，则， 边上的中线把的周长分成55和45两部分，， ，， 即， 解得：， 当，，时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形， ∴，． 有关高的分类讨论 1．（23-24八年级上·福建南平·期中）如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为29°，那么等腰三角形的顶角为 度． 【答案】或 【分析】本题考查三角形内角和及三角形外角的性质；分等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况考虑． 【详解】解：已知，且，是边上的高； ①当等腰三角形是锐角三角形时，如图， ∵， ∴； ②当等腰三角形是钝角三角形时，如图， ∵， ∴； 综上，等腰三角形的顶角为或． 故答案为：或． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为 ． 【答案】69°或21° 【分析】分两种情况①若∠A<90°，利用直角三角形两锐角互余，求∠A，若∠A>90°，利用直角三角形两锐角互余求出∠A的补角即可． 【详解】分两种情况讨论： ①若∠A<90°，如图1所示： ∵BD⊥AC， ∴∠A+∠ABD=90°， ∵∠ABD=48°， ∴∠A=90°−48°=42°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C= (180°−42°)=69°； ②若∠A>90°，如图2所示： 同①可得：∠DAB=90°−48°=42°， ∴∠BAC=180°−42°=138°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C= (180°−138°)=21°； 综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°． 故答案为69°或21°． 【点睛】本题考查直角三角形的两锐角互余性质，等腰三角形性质，三角形内角和，掌握直角三角形的两锐角互余性质，等腰三角形性质，三角形内角和是解题关键． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期中）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 ． 【答案】或 【分析】分该三角形顶角为锐角和该三角形顶角为钝角两种情况，结合“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”的逆用以及等腰三角形的性质，即可获得答案． 【详解】解：（1）当该三角形顶角为锐角时，如下图，    由题意可知，，，且， ∴， ∴； （2）当该三角形顶角为钝角时，如下图，    由题意可知，，，且， ∴， ∴． 综上所述，这个等腰三角形的底角为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键． 4．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰成，则此等腰三角形的顶角是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，根据题意进行分类讨论，当该等腰三角形为锐角三角形时，当该等腰三角形为钝角三角形时，画出对应的示意图，根据三角形内角和定理，即可解答． 【详解】解：当该等腰三角形为锐角三角形时，如图： ， ∴， ∴； 当该等腰三角形为钝角三角形时，如图： ， ∴， ∴， ∴； 综上所述，该等腰三角形的顶角度数为或， 故答案为：或． 有关等腰三角形构造的分类讨论 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】分或为等腰三角形两种情况画出图形即可判断． 【详解】解：如图：当时，是等腰三角形；    ∵，∴是等边三角形，∴； 当时，是等腰三角形； 当，，当时，都是等腰三角形； 综上，符合条件的点D的个数有6个． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形存在问题，如果题中没有说明等腰三角形的腰或者底分别是哪条线段，都要进行分类讨论，让三条线段分别两两相等，得出三种情况，再根据题意看有没有需要排除的情况，然后再一一分析符合条件的图形． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】①以B为圆心，长为半径画弧，交于点D，就是等腰三角形； ②以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，就是等腰三角形； ③以C为圆心，长为半径画弧，交于点F，就是等腰三角形； ④作的垂直平分线交于点H，就是等腰三角形； ⑤作的垂直平分线交于G，则是等腰三角形； ⑥作的垂直平分线交于I，则和都是等腰三角形． ⑦作的垂直平分线交于M，则和都是等腰三角形． 【详解】解：作图如下 故选：D 3．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P． 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形的定义找到符合题意的点． 【详解】解：如图， AE=P1E，AP2=AE，AP3=EP3，AE=EP4，AP5=EP5， 则共有5个点P，使得△AEP为等腰三角形． 【点睛】此题主要考查了复杂作图以及等腰三角形的性质，利用分类讨论得出是解题关键． 动点运动时间的分类讨论 1．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图．在中．．若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为 【答案】，或4.8 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理， 30度角所对的直角边是斜边的一半，分三种情况讨论，当时，则，，当时，，再分别列出方程求解即可 【详解】解：①如图（1），当时，则，， ∵ ∴ 解得：； ②如图（2），当时， ∵， ∴， ∴ 若则， 解得，， ③当时， ∵ ∴， ∴， 若时，则； 故答案为 ，或4.8 2．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，为高，，点为上的一点，，连接交于点，（和 是对应角）．    (1)求 的度数； (2)有一动点从点出发沿线段以每秒4个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的值为或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，用表示出三角形的高是解题的关键． （1）根据题意可知，再由，推出，结合即可得到； （2）由，，可推出，，，由（1）可知，，即以为底时高为，从而推出当时，在线段上，此时，则，解之得到；当 时，在线段上，此时，则，解之得到． 【详解】（1）解：在中，为高 ， 又 ， （2）解：，， ， 由（1）可知，，且点从点出发，在上以4个单位的速度运动，那么 ，即以为底时高为，如图所示    当时，在线段上，则 解得： 当 时，在线段上，则 解得： 综上所述，存在的值为或 ． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当为何值时，为等边三角形？ (2)当为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形的判定，本题的关键是用含的代数式表示出、，熟练掌握等边三角形的判定，当不确定哪个是直角时注意分类讨论的思想方法． （1）用含的代数式表示出、，由于，当时，为等边三角形，列式求解即可； （2）分两种情况进行讨论：当时，时，利用直角三角形中，含角的边的关系，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵在中， ，， ∴， ∵，点的运动速度为， ∴， ∵点的运动时间为， ∴，， ∴， 当时，为等边三角形， 即， 解得：； 所以当时，为等边三角形； （2）解：若为直角三角形， ①当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； ②当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上所述，当或时，为直角三角形． 动点与周长最值 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，等腰三角形的面积为24，底边，腰的垂直平分线分别交边、于、两点，点为线段上一动点，点为的中点，连接、．在点的运动过程中，的周长存在最小值为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题关键．连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，得出 ，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短为：， 故答案为：11． 2．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上动点，则周长的最小值为 ． 【答案】10 【分析】连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，即可求解，本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，利用轴对称求最短路径，解题的关键是：掌握轴对称的性质． 【详解】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ，， ， 解得：, 是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长为， 的周长最小值， 故答案为：10． 3．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，等腰底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是轴对称的最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质和垂直平分线的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：8． 动点与线段之和最值 1．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关键． 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出△为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，， 则，， ， 的最小值为的长． ，，，， ，， ， △为等边三角形， ， 即 的值最小为3； 故答案为：3 2．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，等面积法，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵是的平分线， ∴垂直平分， ∴． 过点B作于点Q，交于点P，如图所示． 则此时取最小值，最小值为的长， ∵ ∴． 故答案为：9.6． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$