专题08 期中考压轴题汇编-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（福建专用）

专题08 期中考压轴题汇编 选择题压轴 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线（是常数，）经过点和点，若该抛物线的顶点在第三象限，记，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，，点是内的一点，连接，，，满足，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C．8 D．13 3．（23-24九年级上·福建宁德·期中）如图，已知点A1，A2，，A2020在函数y=x2位于第二象限的图像上，点B1，B2，，B2020在函数y=x2位于第一象限的图像上，点C1，C2，，C2020在y轴的正半轴上，若四边形OA1C1B1、C1A2C2B2，⋯，C2019A2020C2020B2020都是正方形，则正方形C2019A2020C2020B2020的对角线长为（    ） A．2020 B．2019 C．4040 D．4038 4．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在正方形中，、是射线上的动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接，在下列结论中：①；②；③；④若，则， ⑤，其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（23-24九年级上·福建南平·期中）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是上一点，的半径为2，将绕O点顺时针方向旋转得，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C．5 D．6 填空题压轴 1．（23-24九年级上·福建福州·期中）已知抛物线与轴交于两个不同的点，设，则的取值范围是 ． 2．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，在等边中，，D，E 分别是边上的动点（不与的顶点重合），连接相交于点F，连接，若，则的最小值为 ．    3．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知y＝﹣x（x+3﹣a）+1是关于x的二次函数，当1≤x≤5时，如果y在x＝1时取得最小值，则实数a的取值范围是 ． 4．（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图，正方形的边长为4，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将烧点E顺时什旋转60°得到，连接，则的最小值为 ． 5．（23-24九年级上·福建宁德·期中）如图，点为坐标原点，的半径为，点，动点在上，连接，作等边（，，为顺时针顺序），则的最大值为 ． 6．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，是的弦，，点是优弧上的动点，，连接，，是的中线， （1）若，则 ； （2）的最大值 解答题压轴 1．（23-24九年级上·福建宁德·期中）在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中，，． (1)______； (2)小昕同学将三角板绕点按顺时针方向旋转． （i）如图2，当点落在边上时，延长交于点，求的长． （ii）若点､､在同一条直线上，请画出示意图并求点到直线的距离． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知二次函数，其中为常数． (1)当时，求的值；用含的式子表示 (2)抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，过点作直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，点在第四象限，连接，分别交轴于点，． 当时，求点的横坐标的值；用含，的式子表示 当时，求证：是一个定值． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象与x轴交于坐标原点O和点A，顶点为点P． （1）求点P的坐标（用含a的式子表示）； （2）已知点P纵坐标与点A横坐标相同，直线y＝kx﹣6与抛物线交于M，N两点（点M在点N左侧），连接AM，AN．设直线AM为y1＝k1x+m，直线AN为y2＝k2x+n； ①当M，N两点关于抛物线的对称轴对称时，求k1•k2的值； ②求证：当k≠3时，k1•k2的值不变． 4．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，、均为等边三角形，，．将绕点A沿顺时针方向旋转，连接、． (1)在图①中证明； (2)如图②，当时，连接，求的面积； (3)在的旋转过程中，直接写出的面积S的取值范围． 5．（23-24九年级上·福建三明·期中）设是互不相等的实数，且，我们把有序实数对轮换匹配给抛物线所得的三条抛物线，，称为的轮序抛物线． （1）写出有序实数对的三条轮序抛物线； （2）设时，分别是有序实数对的三条轮序抛物线上的点，当时，求的取值范围； （3）若的三条轮序抛物线在x轴上有一个公共交点， ①求证：的三条轮序抛物线中的每一条抛物线与x轴必有另外一个交点； ②求的值. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 期中考压轴题汇编 选择题压轴 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线（是常数，）经过点和点，若该抛物线的顶点在第三象限，记，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由顶点在第三象限，经过点和点，可得出： ，，即可得出，又由于，求出的范围即可． 【详解】∵抛物线过点和点， ∴，， 即， ∵顶点在第三象限，经过点和点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∵， ∴ ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为． 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，，点是内的一点，连接，，，满足，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C．8 D．13 【答案】C 【分析】如图，取中点，连接．则点在以点为圆心，长为直径的圆周上运动，当、、在同一直线上时，最短，此时为最短．所以，即为的最小值． 【详解】解：如图，取中点，连接． ， 点在以点为圆心，长为直径的圆周上运动，且， 当、、在同一直线上时，最短，此时为最短． 在中， ，， 则， ， 即的最小值是8． 故选：． 【点睛】本题主要考查了两点之间最短距离的问题，解题的关键是正确构造圆和运用勾股定理． 3．（23-24九年级上·福建宁德·期中）如图，已知点A1，A2，，A2020在函数y=x2位于第二象限的图像上，点B1，B2，，B2020在函数y=x2位于第一象限的图像上，点C1，C2，，C2020在y轴的正半轴上，若四边形OA1C1B1、C1A2C2B2，⋯，C2019A2020C2020B2020都是正方形，则正方形C2019A2020C2020B2020的对角线长为（    ） A．2020 B．2019 C．4040 D．4038 【答案】C 【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得OB1与y轴的夹角为45°，然后表示出OB1的解析式，再与抛物线解析式联立求出点B1的坐标，然后求出OB1的长，再根据正方形的性质求出OC1，表示出C1B2的解析式，与抛物线联立求出B2的坐标，然后求出C1B2的长，再求出C1C2的长，然后表示出C2B3的解析式，与抛物线联立求出B3的坐标，然后求出C2B3的长，可求出C2C3,然后观察OC1、C1C2、C2C3存在的规律；最后根据规律即可解答． 【详解】解：∵四边形OA1C1B1是正方形， ∴OB1与y轴的夹角为45°， ∴OB1的解析式为y=x， 联立，解得或， ∴点B1（1,1）， ∴OB1=， ∵四边形OA1C1B1是正方形， ∴OC1=， ∵四边形C1A2C2B2是正方形， ∴C1B2与y轴的夹角是45°， ∴C1B2的解析式为y=x+2， 联立，解得或， ∴点B2（2,4）， ∴C1B2=， ∵四边形C1A2C2B2是正方形， ∴C1C2==2， ∵四边形C2A3C3B3是正方形， ∴C2B3与y轴的夹角是45°， ∴C2B3的解析式为y=x+6， 联立，解得或， ∴点B3（3,9）， ∴C2B3=， ∵四边形C1A2C2B2是正方形， ∴C2C3=， …… 依此类推，正方形C2019A2020C2020B2020的对角线长为C2019C2020=2020×2=4040． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性、正方形的性质等知识点，表示出正方形的边长所在直线的解析式与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出正方形边长、对角线的边长是解答本题的关键． 4．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在正方形中，、是射线上的动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接，在下列结论中：①；②；③；④若，则， ⑤，其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由“”可证，可得，故正确； 如图，在上截取连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得， ，故正确； 如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，，由“”可证，可得，由勾股定理可得，故正确； 如图1，设，则，利用勾股定理可求,故错误； 由三角形的面积公式可求，故正确； 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 故正确； 如图1，在上截取，连接， ，,， ， ,， ， ， ， 又，， ， ，， 故正确； 如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，， ，，， ， ，， ， ， 又，， ， ， 在中， ， ， 故正确； ， 设，则， ， 如图1，在上截取，连接， 由可得：， 设，则， ， ， ， ， ， 故错误； 如图1，， ， ， 故正确； 正确的结论有，共个． 故选： 【点睛】本题属于几何综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 5．（23-24九年级上·福建南平·期中）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是上一点，的半径为2，将绕O点顺时针方向旋转得，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】把绕O点顺时针方向旋转得，过点作轴于点，过点作轴于点，以点为圆心作，使的半径为2， 点B是上一点，则点是上一点，当点三点共线，即点在上时，最小． 【详解】解：如图，把绕O点顺时针方向旋转得，过点作轴于点，过点作轴于点，以点为圆心作，使的半径为2，    ，， ， ， ， ， 过作于点，， 在中，， 点B是上一点，则点是上一点，， 当点三点共线，即点在上时，最小， ， 故线段的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，本题的关键是作出正确的辅助线，运用数形结合的思想方法． 填空题压轴 1．（23-24九年级上·福建福州·期中）已知抛物线与轴交于两个不同的点，设，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线与x轴交于两个不同的点，得到，，，进而求出m的取值范围，通过完全平方公式用m表示出w的值，进而确定w的取值范围． 【详解】解：令得，， ∵抛物线与x轴交于两个不同的点， ∴，，， ∴， ∴ ， ∵，当时，w随m的增大而减小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点问题，关键根据二次函数与x轴有两个交点，求出m的取值范围． 2．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，在等边中，，D，E 分别是边上的动点（不与的顶点重合），连接相交于点F，连接，若，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】根据等边三角形的性质，结合，得到，对顶角相等，得到，进而得到点在以为圆心，的长为半径，且的圆弧上运动，连接，则：，证明，得到为含30度角的直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：∵等边， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，的长为半径，且的圆弧上运动，如图，连接，则：，    ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，即：的最小值为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求圆外一点到圆上一点的最值，解题的关键是确定点的运动轨迹． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知y＝﹣x（x+3﹣a）+1是关于x的二次函数，当1≤x≤5时，如果y在x＝1时取得最小值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】a≥9 【分析】由于二次函数的顶点坐标不能确定，故应分对称轴不在[1，5]和对称轴在[1，5]内两种情况进行解答． 【详解】第一种情况： 当二次函数的对称轴不在1≤x≤5内时，此时，对称轴一定在1≤x≤5的右边，函数方能在x=1时取得最小值，x5，即a＞13． 第二种情况： 当对称轴在1≤x≤5内时，对称轴一定是在区间1≤x≤5的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x=5的地方取得最小值，即： x，即a≥9（此处若a取9的话，函数就在1和5的地方都取得最小值） 综合上所述：a≥9． 故答案为a≥9． 【点睛】本题考查了二次函数的最值确定与自变量x的取值范围的关系，难度较大． 4．（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图，正方形的边长为4，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将烧点E顺时什旋转60°得到，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值． 【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动， 将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EBH为等边三角形，△EBF≌△EHG， ∴∠EHG=∠ABC=90°，HE=BE=1，∠BEH=60°， ∴点G在垂直于HE的直线HN上． 作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形， ∴∠CEP=180°-60°-90°=30°， ∴CP=CE=×(4-1)=， 则CM=MP+CP=， 即的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，线段最值问题，全等三角形的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，以及垂线段最短等知识，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型． 5．（23-24九年级上·福建宁德·期中）如图，点为坐标原点，的半径为，点，动点在上，连接，作等边（，，为顺时针顺序），则的最大值为 ． 【答案】 【分析】以为边，在的下方作等边，连接，，，证明，得，即可得出结论． 【详解】解：如图，以为边，在的下方作等边，连接，，， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的半径为，点， ∴，， OB=1，， ∴（当点，，三点共线时取“”号）， 即， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的基本性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，数轴上两点之间的距离等知识，本题难度较大．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，是的弦，，点是优弧上的动点，，连接，，是的中线， （1）若，则 ； （2）的最大值 【答案】 2 【分析】（1）如图，延长交于点D，连接，根据，由圆周角定理得到，再根据已知，可得到，所以是的直径，再根据是的中线，由垂径定理的推论得到，最后利用勾股定理可求解； （2）由是的中线，可得，即点在以为直径的圆上运动．连接、，设的中点为，以点为圆心，为半径作，当，，三点共线，且点在之间时，有最大值，最大值为，即最大值为．再由，可得，是等腰直角三角形，结合，运用特殊角的三角函数值和勾股定理，求得，，从而求得的最大值． 【详解】解：（1）如图，延长交于点D，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的直径， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 解得． 故答案为：2 （2）∵是的中线， ∴是的中点， ∵是的弦，点是优弧上的动点， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动． 如图，连接、，设的中点为， 以点为圆心，为半径作， ∵点在以为直径的圆上运动， ∴当，，三点共线，且点在之间时， 有最大值，最大值为，即最大值为． 连接，， ∵， ∴， ∵是的弦， ∴， ∵，，， ∴， ∵的中点为， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴的最大值为， 故答案为： 【点睛】本题考查的是圆与三角形的综合问题—动点问题，主要考查了圆周角定理、垂径定理的推论、勾股定理、三角形的三边关系定理等知识．其中，探究点的运动轨迹是解决问题的关键． 解答题压轴 1．（23-24九年级上·福建宁德·期中）在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中，，． (1)______； (2)小昕同学将三角板绕点按顺时针方向旋转． （i）如图2，当点落在边上时，延长交于点，求的长． （ii）若点､､在同一条直线上，请画出示意图并求点到直线的距离． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）图见解析， 【分析】（1）根据含30度直角三角形的性质可进行求解； （2）（i）由题意易得是等边三角形，然后问题可求解；（ii）①当点在上方时，过点作，垂足为，②当点在下方时，然后根据等积法可分类进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：（i）如图2，由旋转知 ，， ∴是等边三角形， ∴； （ii）①当点在上方时，如图， 过点作，垂足为， 在中，，，， ∴， ∴． ∵点、、在同一直线上，且， ∴． 又∵在中，，，， ∴， ∴． ∵在中，， ∴； ②当点在下方时，如图， 在中，∵，，， ∴． ∴， 过点作，垂足为， 在中，， ∴； 综上，点到直线的距离为． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质及等积法，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质及等积法是解题的关键． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知二次函数，其中为常数． (1)当时，求的值；用含的式子表示 (2)抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，过点作直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，点在第四象限，连接，分别交轴于点，． 当时，求点的横坐标的值；用含，的式子表示 当时，求证：是一个定值． 【答案】(1)，； (2)；②详见解析 【分析】（1）令，得：，运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）当时，利用不等式性质可得：，根据点在点的左侧，可得，利用待定系数法求得直线的解析式为，联立方程组，消去，得：，由根与系数关系，得，即可得出答案； 当时，二次函数解析式为，根据条件可得，，再根据直线过点，可推出，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ， 或， ，； （2）解：当时，由（1）可知：，， ， ， ， 点在点的左侧， ， 设直线的解析式为， ，， ，解得：， 直线的解析式为， 联立方程组，得：， 消去，得：， 由根与系数关系，得， ； 证明：当时，二次函数解析式为， ，， ， ， ， 直线的解析式为：， 联立方程组，得：， ， ，， 即， 直线过点， ， ， ， ， 、不重合，即， ， 为定值． 【点睛】本题考查二次函数的性质，待定系数法，一次函数图象和性质，一元二次方程根与系数关系等，此题综合性较强，熟练掌握二次函数的图象及性质、灵活应用根与系数的关系是解题的关键． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象与x轴交于坐标原点O和点A，顶点为点P． （1）求点P的坐标（用含a的式子表示）； （2）已知点P纵坐标与点A横坐标相同，直线y＝kx﹣6与抛物线交于M，N两点（点M在点N左侧），连接AM，AN．设直线AM为y1＝k1x+m，直线AN为y2＝k2x+n； ①当M，N两点关于抛物线的对称轴对称时，求k1•k2的值； ②求证：当k≠3时，k1•k2的值不变． 【答案】（1）（1，-a）；（2）①-12；②-12． 【分析】（1）把原点代入解析式求出c，然后运用待定系数法解答即可； （2）①先求出抛物线的解析式，然后确定M、N的坐标，再运用待定系数法确定k1、k2的值，最后求积即可；②先将直线MN和抛物线联立，得出x1和x2的关系，再把k1k2用含有x1和x2的式子表示出来化简即可． 【详解】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象与x轴交于坐标原点O ∴0＝a×02﹣2a×0+c，即c=0 ∴y＝ax2﹣2ax=a（x-1）2-a ∴该抛物线的顶点坐标为（1，-a）； （2）①∵y＝ax2﹣2ax ∴O（0,0），A（2,0），对称轴为直线=1 ∴P（1,2） ∴2＝a×12﹣2a×1，解得a=-2 ∴y＝-2x2+4x ∵M、N关于抛物线对称轴对称 ∴M、N的纵坐标相同，横坐标的中点在x=1上 ∴MN//x轴，即k=0 ∴y=kx-6=-6 令y=-6，得-6＝-2x2+4x，解得x1=-1，x2=3 ∴M（-1，-6），N（3,-6） ∴AM: y1＝k1x+m过A（2,0），M（-1，-6） ∴，解得： 同理： ∴k1•k2=2×（-6）=-12； ②设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则， 联立 ，解得：2x2-（k-4）x+6=0 ∴x1x2==-3，x1+x2= ， ∵点M在AM上，A(2，0) ∴y1＝k1x+m，即0=2 k1+m，即m=-2k1 ∵点N在AN上，A(2，0) ∴y2＝k2x+n，即0=2 k1+n，即n=-2k2 ∴， ∴ ∵k≠3，即k-3≠0 ∴=-12． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，确定抛物线的解析式并将直线和抛物线联立以及运用根与系数的关系表示出k1k2成为解答本题的关键． 4．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，、均为等边三角形，，．将绕点A沿顺时针方向旋转，连接、． (1)在图①中证明； (2)如图②，当时，连接，求的面积； (3)在的旋转过程中，直接写出的面积S的取值范围． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据和为等边三角形得到对应边和角相等，再利用角度的变化即可求证全等； （2）利用得，过点A作交与点H，过点D作交与点G，再利用含的直角三角形解得的值，结合面积公式即可求得； （3）利用第二问结论，分析出的面积最大时与在同一条直线上，且点D在外部，的面积最小时与在同一条直线上，且点D在内部，根据三角形面积公式即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵、均为等边三角形， ∴， ∵ ∴， 在和中， ∴． （2）连接，同理有成立，得， ∵， ∴， 过点A作交与点H，过点D作交与点G，如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 在中， 在中，， ∴， 则． （3）过点A作交于点H，当与在同一条直线上，且点D在外部时的面积最大，如图，    ∵，， ∴， 则； 当AD与AH在同一条直线上，且点D在内部时的面积最小，如图，    则， 那么， 的面积S的取值范围：． 【点睛】本题主要考查几何图形的变化，利用等边三角形的性质、勾股定理和含的直角三角形性质判定三角形的全等、求三角形面积的知识点，解题的关键为作辅助线求面积． 5．（23-24九年级上·福建三明·期中）设是互不相等的实数，且，我们把有序实数对轮换匹配给抛物线所得的三条抛物线，，称为的轮序抛物线． （1）写出有序实数对的三条轮序抛物线； （2）设时，分别是有序实数对的三条轮序抛物线上的点，当时，求的取值范围； （3）若的三条轮序抛物线在x轴上有一个公共交点， ①求证：的三条轮序抛物线中的每一条抛物线与x轴必有另外一个交点； ②求的值. 【答案】（1），；（2）.（3）①证明见解析；②3 【详解】【分析】（1）根据轮序抛物线的概念写出有序实数对的三条轮序抛物线即可； （2）先求出有序实数对的三条轮序抛物线上的公共点，再分别求出每两条抛物线的另一个交点，结合图形即可确定出符合条件的k的取值范围； （3）（i）由已知可得,然后再分别讨论方程， ，的根的情况即可进行证明； （ii）由已知可得，再由=即可得. 【详解】（1）有序实数对的三条轮序抛物线为， ； （2）， 因为当时， ， 所以三条轮序抛物线的公共交点， 当时， ，解得：， 所以的另一交点， 当时， ，解得：， 所以的另一交点 当时，，解得：， 所以只有一个交点； 的顶点分别为， 其抛物线的图形如图所示，根据三条轮序抛物线的图形可知： 当时，， 所以的取值范围为； （3）（i）∵的三条轮序抛物线， ，在轴上有一个公共交点， 又∵当时，， ∴， ∴， 设，则， ∵是互不相等，且不为0的实数， ∴， 有两个不相等的实数根， 同理可证有两个不相等的实数根， 所以的三条轮序抛物线中的每一条抛物线与轴必有另外一个交点； （ii）由得： 又因为，所以， ， ， ， ， . 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，读懂概念，熟练掌握一元二次方程的根的判别式、抛物线与x轴的交点情况等知识是解题的关键. 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