专题04 函数（考点清单，8清单&6题型解读）高一数学上学期北师大版必修第一册

专题04 函数（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】函数的概念 函数 两集合A，B 设A，B是两个非空的数集 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 【清单02】函数的三要素 定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可． 【清单03】区间的概念 (1)设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b). 【清单04】同一个函数的判定 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数． 【清单05】函数的定义域及其求法 ①常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}． ②对于抽象函数定义域的求解 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 【清单06】求函数值域的常用方法 方法 步骤 观察法 第一步 观察函数中的特殊函数； 第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 分离常数法 第一步 观察函数类型，型如； 第二步 对函数变形成形式； 第三步 求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域. 配方法 第一步 将二次函数配方成； 第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 换元法 第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联； 第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域. 基本不等式法 第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数； 第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域. 【清单07】函数解析式的求法 【清单08】分段函数的解析式及图象 ①分段函数求值的解题思路：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值. ②求分段函数自变量的值或范围的方法：求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围. 【考点题型一】函数的概念 【例1】.（23-24高一上·陕西渭南·期中）若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，该函数的定义域为，故A错误； 对B，该函数的定义域为，值域为，故B正确； 对C，该图像不为函数图像，故C错误； 对D，该函数的值域不为，故D错误. 故选：B 【变式1-1】.（23-24高一上·广东佛山·期中）下列图象中，不能作为函数图象的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】根据函数的定义，每一个自变量都对应着唯一的函数值，符合函数的图象的选项为; 对于,当时，有两个值，不满足函数的定义， 故选：. 【变式1-2】.（23-24高一上·贵州铜仁·阶段练习）（多选）下列各图象中，是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，由图可知，有一部分的有两个的值与其对应，所以不是函数图象，所以A错误， 对于B，由图可知，定义域内的每一个都只有一个和它对应，所以是函数图象，所以B正确， 对于C，由图可知，有一部分的有两个的值与其对应，所以不是函数图象，所以C错误， 对于D，由图可知，定义域内的每一个都只有一个和它对应，所以是函数图象，所以D正确. 故选：BD 【变式1-3】.（2024高一上·江苏扬州·期中）下列对应是集合到集合的函数的是（    ） A．， B．，， C．， D．， 【答案】A 【详解】对于A选项，满足函数的定义，A选项正确； 对于B选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故B选项错误； 对于C选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故C选项错误； 对于D选项，集合A中当时，在集合B中都有两个元素与x对应，不满足函数的定义，故D选项错误. 故选：A． 【变式1-4】.（23-24高一上·山东淄博·期中）（多选）函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BC 【详解】对于A：函数的定义域为，值域不为，故A错误； 对于B：函数的定义域为，值域为，符合题意，故B正确； 对于C：函数的定义域为，值域为，符合题意，故C正确； 对于D：图象不满足函数的定义，故D错误. 故选：BC 【考点题型二】函数的定义域求法 【例2】.（1）（23-24高一下·广东汕头·期中）函数的定义域为（    ） A．{且} B．{且} C． D．{且} 【答案】D 【详解】由题意得，解得且， 即定义域为. 故选：D. （2）．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为， 由，得， 则函数的定义域为 故选：C 【变式2-1】.（22-23高一上·江西·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意对于，得，解得且，故C正确. 故选：C. 【变式2-2】.（22-23高一上·全国·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的定义域是，由，解得， 所以函数的定义域为. 要使有意义，则，解得， 所以的定义域是. 故选：. 【变式2-3】.（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数的定义域是，则下列函数中，定义域为且的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项，由题意得且，解得且，不合要求，A错误； B选项，中，且，解得，不合要求，B错误； C选项，中，令且，解得且，满足要求，C正确； D选项，中，令且，解得且，不合要求，D错误. 故选：C 【变式2-4】.（21-22高一上·陕西渭南·期中）已知函数的定义域，则函数的定义域是 . 【答案】 【详解】由题意，，解得，即定义域为. 故答案为： 【考点题型三】同一个函数的判断 【例3】.（23-24高一上·天津·期中）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】对于A，和定义域均为R， ， 故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误； 对于B，和定义域均为R，， 故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确； 对于C，定义域为，定义域为R， 故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故C错误； 对于D，定义域为R，定义域为， 故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故D错误； 故选：B. 【变式3-1】.（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【详解】A：函数和的定义域为R，解析式一样，故A符合题意； B：函数与的定义域为R，解析式不一样，故B不符合题意； C：函数的定义域为，的定义域为R，解析式一样，故C不符合题意； D：函数的定义域为，的定义域为R，解析式不一样，故D不符合题意. 故选：A 【变式3-2】.（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）（多选）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确； 对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误； 对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确； 对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误. 故选：AC 【变式3-3】.（23-24高一上·北京·期中）下列函数中与函数相等的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，的定义域为，而的定义域，故两者不是相等函数，故A错误； 对B，，其定义域为，则其与为相等函数，故B正确； 对C，的定义域为，而的定义域为，故两者不是相等函数，故C错误； 对D，，与的对应法则不同，故两者不是相等函数，故D错误. 故选：B. 【考点题型四】函数的值域求法 【例4】.（23-24高一上·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域. （2）已知，求函数 的最小值. 【答案】（1）（2） 【详解】（1）， 当且仅当时等号成立，则函数值域为. （2）因为， ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最小值为，此时. 【变式4-1】.（2024高一上·湖南长沙·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，所以，因为，所以，所以函数的值域为. 故选：A． 【变式4-2】.（23-24高一上·新疆·期中）画出函数的图象并求出函数的定义域，值域. 【答案】图象见解析；定义域为，值域为. 【详解】函数，函数图象开口向上，对称轴为， 如图为函数的图象， 当时，. 所以，函数的定义域为，值域为. 【变式4-3】.（2024高三·全国·对口高考）已知函数的值域是，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，画出图像，如图所示，    令，则，解得或， 令，则，解得（舍去）或， 对于A：当时，结合图像，得，故A错误； 对于B：当时，结合图像，得，故B错误； 对于C：当时，结合图像，得，故C错误； 对于D：当时，结合图像，得，故D正确； 故选：D． 【变式4-4】.（2024高三上·福建厦门·阶段练习）若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的值域是， 所以当时，， 当时， 即，解得， 所以函数的定义域为：， 故选：D 【考点题型五】函数的解析式求法 【例五】.（23-24高一上·湖北孝感·期中）（1）已知二次函数满足，且.求的解析式； （2）求函数的值域. 【答案】（1）；（2）． 【详解】（1）设二次函数（）， 因为，所以. 由，得， 得， 所以，得，故. （2）函数，令，（），那么， 则函数转化为，整理得：（）， 根据二次函数的性质可知：的开口向上，对称轴， 故当时，函数取得最小值为，无最大值，即， 所以函数的值域为. 【变式5-1】.（23-24高二下·广东深圳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 所以， 即. 故选：B. 【变式5-2】.（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，则. 故选：A. 【变式5-3】.（23-24高一上·浙江·期中）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 由已知可得，， 故的解析式为：． 故选：B． 【变式5-4】.（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数，满足，且，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】因为，所以， 联立可得，所以，， 因为，所以，则， 所以. 故选：C. 【变式5-5】.（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，设函数， 因为，， 所以，， 则，解得， 所以. 故选：D. 【考点题型六】分段函数 【例六】.（23-24高一上·青海西宁·期中）已知函数． (1)已知，求a的值； (2)作出函数的简图； (3)由简图指出函数的值域； 【答案】(1)或0 (2)见解析 (3) 【详解】（1）若，由解得或2， 若，由解得. 故或0. （2）由解析式可得 0 1 2 0 0 1 0 如图所示 （3）由图可知函数的值域为. 【变式6-1】.（23-24高一上·安徽淮北·期中）设，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】， ， . 故选：B. 【变式6-2】.（23-24高三上·陕西西安·期中）设函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 不等式等价于或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 故选：B 【变式6-3】.（23-24高一上·山西·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，的值域为． 当时，符合题意． 当时，函数的图象开口向上，不符合题意． 当，且，即时，在上的最大值为， 由题意可得，解得，故． 当，且，即时，在上的最大值为， 由题意可得，解得，故． 综上，的取值范围是． 故选：D 【变式6-4】.（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知时，， 显然在单调递减，在单调递增， 所以在处取到最小值，， 当时， 时，在单调递减， 不符合，舍去； 当时，时，开口向下，不符合，舍去； 当时，时，开口向上，且对称轴为， 在单调减，在单调增， 若即，则，所以； 若即，则得； 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 【变式6-5】.（23-24高一上·江苏连云港·期中）（多选）定义为中最大值，设，则的函数值可以取（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】CD 【详解】在同一坐标系内分别作出， 可得的图象（图中实线部分），    所以的值域为， 结合选项可知CD正确，AB错误. 故选：CD. 【变式6-6】.（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数 (1)求； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）函数，则， 所以. （2）函数， 由可得或或， 解得或或， 所以a的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】函数的概念 函数 两集合A，B 设A，B是两个非空的数集 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 【清单02】函数的三要素 定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可． 【清单03】区间的概念 (1)设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b). 【清单04】同一个函数的判定 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数． 【清单05】函数的定义域及其求法 ①常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}． ②对于抽象函数定义域的求解 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 【清单06】求函数值域的常用方法 方法 步骤 观察法 第一步 观察函数中的特殊函数； 第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 分离常数法 第一步 观察函数类型，型如； 第二步 对函数变形成形式； 第三步 求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域. 配方法 第一步 将二次函数配方成； 第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 换元法 第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联； 第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域. 基本不等式法 第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数； 第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域. 【清单07】函数解析式的求法 【清单08】分段函数的解析式及图象 ①分段函数求值的解题思路：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值. ②求分段函数自变量的值或范围的方法：求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围. 【考点题型一】函数的概念 【例1】.（23-24高一上·陕西渭南·期中）若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】.（23-24高一上·广东佛山·期中）下列图象中，不能作为函数图象的是（    ） A．B． C．D． 【变式1-2】.（23-24高一上·贵州铜仁·阶段练习）（多选）下列各图象中，是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】.（2024高一上·江苏扬州·期中）下列对应是集合到集合的函数的是（    ） A．， B．，， C．， D．， 【变式1-4】.（23-24高一上·山东淄博·期中）（多选）函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【考点题型二】函数的定义域求法 【例2】.（1）（23-24高一下·广东汕头·期中）函数的定义域为（    ） A．{且} B．{且} C． D．{且} （2）．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】.（22-23高一上·江西·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（22-23高一上·全国·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】.（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数的定义域是，则下列函数中，定义域为且的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】.（21-22高一上·陕西渭南·期中）已知函数的定义域，则函数的定义域是 . 【考点题型三】同一个函数的判断 【例3】.（23-24高一上·天津·期中）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-1】.（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式3-2】.（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）（多选）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式3-3】.（23-24高一上·北京·期中）下列函数中与函数相等的函数是（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】函数的值域求法 【例4】.（23-24高一上·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域. （2）已知，求函数 的最小值. 【变式4-1】.（2024高一上·湖南长沙·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（23-24高一上·新疆·期中）画出函数的图象并求出函数的定义域，值域. 【变式4-3】.（2024高三·全国·对口高考）已知函数的值域是，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】.（2024高三上·福建厦门·阶段练习）若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】函数的解析式求法 【例五】.（23-24高一上·湖北孝感·期中）（1）已知二次函数满足，且.求的解析式； （2）求函数的值域. 【变式5-1】.（23-24高二下·广东深圳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】.（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】.（23-24高一上·浙江·期中）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】.（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数，满足，且，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式5-5】.（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型六】分段函数 【例六】.（23-24高一上·青海西宁·期中）已知函数． (1)已知，求a的值； (2)作出函数的简图； (3)由简图指出函数的值域； 【变式6-1】.（23-24高一上·安徽淮北·期中）设，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式6-2】.（23-24高三上·陕西西安·期中）设函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】.（23-24高一上·山西·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】.（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-5】.（23-24高一上·江苏连云港·期中）（多选）定义为中最大值，设，则的函数值可以取（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-6】.（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数 (1)求； (2)若，求a的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司9 学科网（北京）股份有限公司 $$