专题02 常用逻辑用语（考点清单，5考点4题型解读）高一数学上学期北师大版必修第一册

专题02 常用逻辑用语（5个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】命题的概念 定义：用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句。其中，真命题:判断为真的语句；假命题:判断为假的语句 形式:“若,则”.其中称为命题的条件﹐称为命题的结论 【清单02】充分和必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件不能推出结论,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 【清单03】充分必要条件 ①若，则称是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充要条件． ③若，且，则称是的充分不必要条件． ④若，且，则称是的必要不充分条件． ⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件． 【清单04】全称量词命题和存在量词命题 1、 全称量词及全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对中任意一个,有成立”，可用符号简记为“” 2、 存在量词及存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在中的一个,有成立”，可用符号简记为“” 【清单05】集合命题的否定 1．命题否定的真假： 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．全称量词命题与存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定： 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定：； 存在量词命题的否定是全称量词命题． 【考点题型一】充分、必要条件 【例1】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知是的必要条件，则可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是的必要条件， 结合各选项知． 故选：C. 【变式1-1】.（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若，则“”是“”的充要条件 D．若，则“”的充要条件是“” 【答案】BC 【详解】对于A，当时，，当，，所以两者既不充分也不必要，故A错误； 对于B，当时，有，当时，取，， 所以是的充分不必要条件，故B正确； 对于C，即且，故C正确； 对于D，当时，，则，反之，当时，若，则，所以两者不是充要条件，故D错误. 故选：BC. 【变式1-2】.（23-24高一上·海南儋州·期中）（多选）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．命题“若，则”的否定是“若，则” C．设，则“”是“”必要不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BCD 【详解】对于选项A，由，得到，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项A错误， 对于选项B，命题“若，则”的否定是“若，则”，所以选项B正确， 对于选项C，因为推不出，但可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选项C正确， 对于选项D，因为推不出，但可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选项D正确， 故选：BCD. 【变式1-3】.（24-25高一上·江苏扬州·期中）（多选）下列说法正确的是（    ）． A．已知集合，则满足条件的集合N的个数为4 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．的一个必要条件是 【答案】AC 【详解】对于A，根据可知，即集合为集合的子集， 由中有2个元素，因此集合N的个数为个，即A正确； 对于B，若集合中只有一个元素，则方程只有一根， 若，方程为，满足题意； 若，则可得，解得，满足题意； 因此或，所以B错误； 对于C，由可得，即一元二次方程有两根，且两根之积为，所以两根为一正一负，即充分性成立； 若一元二次方程有一正一负根则须满足，且两根积为，即，可得必要性成立，即C正确； 对于D，由可得，易知可推出，所以可得的一个充分条件是，即D错误. 故选：AC 【考点题型二】从集合角度研究充分、必要条件 【例2】．（24-25高一上·全国·期中）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，命题，命题，且是的必要不充分条件，求实数取值集合的所有子集． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）因为，所以方程无实数根， 当，即时，原方程可化为，有实数根2，不满足题意； 当时，一元二次方程无实数根， 则，解得，即实数的取值范围为． （2），由题意可得，是A的真子集． 当时，得，此时，满足题意； 当时，得，此时不满足题意． 综上，的取值集合为，其所有子集为． 【变式2-1】.（24-25高一上·江西上饶·期中）已知集合．设，下列说法正确的是（    ） A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p是q的既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，， 故为的真子集，又，故p是q的必要不充分条件. 故选：B. 【变式2-2】.（24-25高一上·全国·期中）集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知集合是的真子集，由，可得， 由，可得； 当时，，此时，符合题意； 当时，，无解，所以为空集，符合题意； 当时，，此时，符合题意， 综上，实数的取值范围是． 故选：A 【变式2-3】.（24-25高三上·北京顺义·期中）已知，且；，且. (1)是否存在实数，使得，，若存在求出实数的值，若不存在，说明理由； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)存在， (2) 【详解】（1）解不等式，得或， 故或 假设存在，使得，， 则有且， 解得， 所以，当时满足题意； （2）若是的充分条件，则， 则，或 解得，或， 所以的取值范围为. 【变式2-4】.（23-24高一上·陕西咸阳·期中）已知集合，． (1)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为集合，． 若成立的一个必要条件是，所以， 则，所以， 故实数的取值范围. （2）若，则或， 所以或， 故实数的取值范围. 【变式2-5】.（23-24高一上·江苏南通·期中）已知全集，集合， (1)若，求 (2)若“”是“”充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，或， 因为，所以； （2）若“”是“”的充分不必要条件，即， 当时，，此时，满足， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数a的取值范围为 【变式2-6】.（23-24高一上·江西南昌·期中）在①；②“”是“”的充分不必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答. 问题：已知集合，. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【详解】（1）当时，集合，， 所以. （2）若选择①，则是的子集， 因为，所以， 又，所以解得， 所以实数的取值范围是. 若选择②“”是“”的充分不必要条件，则是真子集， 因为，所以， 又，所以（等号不同时成立）， 解得，所以实数的取值范围是． 若选择③，， 因为，， 所以或，解得或. 【变式2-7】.（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）设，已知集合，． (1)当时，求实数的范围； (2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可得，则； （2）由题可得是的真子集， 当，则；     当，，则（等号不同时成立），解得 综上，. 【考点题型三】全称量词命题和存在量词命题的否定 【例3】．（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）已知命题，那么命题的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题， 所以命题的否定为: . 故选：D 【变式3-1】.（21-22高一上·全国·课后作业）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】根据全称命题的否定为存在性命题的关系，可得： 命题“，”的否定是“，”. 故选：C. 【变式3-2】.（22-23高一上·福建莆田·阶段练习）命题的否定是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】命题的否定是：. 故选：C 【变式3-3】.（湖南省部分学校2024-2025学年高一上学期10月入学考试数学试题）命题“”的否定为 ． 【答案】 【详解】全称量词命题“”的否定为 存在量词命题“”． 故答案为： 【考点题型四】命题否定有关参数问题 【例4】.（23-24高一上·陕西西安·期中）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题， 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 【变式4-1】.（22-23高一上·海南·阶段练习）命题“使得”是真命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为使得是真命题， 即在R上有解，只需， 又函数，所以，解得 即实数的取值范围为. 故选：B. 【变式4-2】.（22-23高一上·福建福州·期中）（多选）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C．m<3 D．m<4 【答案】CD 【详解】因为命题“”是真命题，只需， 即命题“”是真命题的充要条件为， 要使得命题为真命题的一个充分不必要条件，即为集合的真子集， 结合选项，可得选项C、D符合题意. 故选：CD. 【变式4-3】.（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知命题“，都有”，且是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】是假命题，则是真命题. 由于，都有， 则. 可得 . 实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-4】.（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知集合，，且. (1)若，求实数m的取值范围; (2)若命题“，”是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，且， 所以 ，解得； （2）因为，所以，得. 因为命题“，”是真命题，所以， 所以，或，得. 综上，. 【变式4-5】.（24-25高一上·全国·课后作业）已知命题，；命题，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，，为真命题， 则，即，故为真命题时，的取值范围为. （2）当为真命题时，，即，所以为假命题时，； 当为真命题时，，即，所以为假命题时，； 若同时为假命题，则， 所以若至少有一个真命题时，. 【变式4-6】.（23-24高二下·湖北武汉·期末）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. （2）若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 常用逻辑用语（5个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】命题的概念 定义：用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句。其中，真命题:判断为真的语句；假命题:判断为假的语句 形式:“若,则”.其中称为命题的条件﹐称为命题的结论 【清单02】充分和必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件不能推出结论,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 【清单03】充分必要条件 ①若，则称是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充要条件． ③若，且，则称是的充分不必要条件． ④若，且，则称是的必要不充分条件． ⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件． 【清单04】全称量词命题和存在量词命题 1、 全称量词及全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对中任意一个,有成立”，可用符号简记为“” 2、 存在量词及存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在中的一个,有成立”，可用符号简记为“” 【清单05】集合命题的否定 1．命题否定的真假： 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．全称量词命题与存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定： 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定：； 存在量词命题的否定是全称量词命题． 【考点题型一】充分、必要条件 【例1】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知是的必要条件，则可以为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】.（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若，则“”是“”的充要条件 D．若，则“”的充要条件是“” 【变式1-2】.（23-24高一上·海南儋州·期中）（多选）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．命题“若，则”的否定是“若，则” C．设，则“”是“”必要不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【变式1-3】.（24-25高一上·江苏扬州·期中）（多选）下列说法正确的是（    ）． A．已知集合，则满足条件的集合N的个数为4 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．的一个必要条件是 【考点题型二】从集合角度研究充分、必要条件 【例2】．（24-25高一上·全国·期中）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，命题，命题，且是的必要不充分条件，求实数取值集合的所有子集． 【变式2-1】.（24-25高一上·江西上饶·期中）已知集合．设，下列说法正确的是（    ） A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p是q的既不充分也不必要条件 【变式2-2】.（24-25高一上·全国·期中）集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】.（24-25高三上·北京顺义·期中）已知，且；，且. (1)是否存在实数，使得，，若存在求出实数的值，若不存在，说明理由； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【变式2-4】.（23-24高一上·陕西咸阳·期中）已知集合，． (1)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【变式2-5】.（23-24高一上·江苏南通·期中）已知全集，集合， (1)若，求 (2)若“”是“”充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 【变式2-6】.（23-24高一上·江西南昌·期中）在①；②“”是“”的充分不必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答. 问题：已知集合，. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式2-7】.（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）设，已知集合，． (1)当时，求实数的范围； (2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． 【考点题型三】全称量词命题和存在量词命题的否定 【例3】．（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）已知命题，那么命题的否定为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】.（21-22高一上·全国·课后作业）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-2】.（22-23高一上·福建莆田·阶段练习）命题的否定是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】.（湖南省部分学校2024-2025学年高一上学期10月入学考试数学试题）命题“”的否定为 ． 【考点题型四】命题否定有关参数问题 【例4】.（23-24高一上·陕西西安·期中）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】.（22-23高一上·海南·阶段练习）命题“使得”是真命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（22-23高一上·福建福州·期中）（多选）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C．m<3 D．m<4 【变式4-3】.（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知命题“，都有”，且是假命题，则实数的取值范围是 . 【变式4-4】.（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知集合，，且. (1)若，求实数m的取值范围; (2)若命题“，”是真命题，求实数m的取值范围. 【变式4-5】.（24-25高一上·全国·课后作业）已知命题，；命题，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个真命题，求实数的取值范围. 【变式4-6】.（23-24高二下·湖北武汉·期末）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$