第四章 指数函数、对数函数与幂函数（单元复习 压轴题专练）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第二册）

第四章 指数函数、对数函数与幂函数（压轴题专练） 题型一：指数函数的图象及性质 1．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数，若，且，则的取值范围是 . 题型二：指数函数中的恒成立问题 1．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）设函数且的图象经过第二、三、四象限，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知实数，函数在上是单调函数，若的取值集合是，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．恒成立 D．，使得是指数函数 3．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)试判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，，求的取值范围. 4．（2024·山西·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 5．（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知定义域是的函数是奇函数. (1)求的值 (2)先判断函数单调性并证明； (3)若对于任意，不等式恒成立，求的范围. 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数（且）的图象经过点． (1)求的表达式； (2)求的最小值； (3)设，若恒成立，求实数的取值范围． 题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）设函数，则使成立的的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（     ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏镇江·开学考试）函数的定义域为，区间，对于任意，，恒满足，则称函数在区间上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象无对称中心 B． C．的图象与的图象关于原点对称 D．的图象与的图象关于直线对称 6．（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知是定义在上的奇函数． (1)试判断函数的单调性； (2)已知，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 题型四：对数函数中的恒成立问题 1．（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B． C．当时， D．对定义域内任意两个不相等的实数恒成立 2．（24-25高三上·福建·阶段练习）已知函数． (1)若，求满足的x的取值范围； (2)若对任意，恒成立，求a的取值范围． 3．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，函数 (1)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (2)若不等式对恒成立，求实数a的取值范围． 4．（2025·江苏南通·一模）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 5．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若，判断在的单调性，并用定义法给出证明； (3)若在区间上恒成立，求的取值范围． 题型五：利用函数的零点确定参数的取值范围 1．（2024高三·全国·专题练习）若函数的图象与函数的图象交点的横坐标所在的区间为，则整数k可能为（　　） A． B．0 C．1 D．2 2．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．函数在存在零点的充要条件是 3．（23-24高一上·重庆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数，是增函数，零点为 B．已知实数，则函数的零点所在的区间是 C．函数的零点个数为3个 D．函数在上存在零点，则正实数的取值范围是 4．（22-23高二上·全国·阶段练习）已知常数，函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数至少有一个零点在内，求实数的取值范围． 5．（24-25高一上·上海闵行·阶段练习）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若时，有零点，求的范围. 6．（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知函数． (1)若函数的零点在区间上，求正整数k的值； (2)记，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围． 题型六：方程根的个数与函数零点的存在性问题 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知定义在上的函数满足:对任意，都有.若函数的零点个数为有限的n(n∈N)个，则n的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024高一上·江苏·专题练习）已知，则方程实数根的个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（22-23高三上·新疆阿克苏·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数且满足，当时， ，则函数的零点个数为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 4．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．点是函数的一个对称中心 C．当时， D．函数恰有6个零点 6．（23-24高一上·安徽·期末）已函数则函数的零点个数为 . 7．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）设，函数，当时，函数有 个零点；若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 ． 题型七：嵌套函数的零点问题 1．（23-24高二下·吉林白山·期末）已知函数则方程的实数个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（23-24高一下·云南·期末）设，若关于的方程恰有5个不同实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·安徽·阶段练习）定义在上的满足对，关于的方程有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数，关于x的方程恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是 . 5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程有8个不同的实根，求的取值范围． 题型八：唯一零点求值问题 1．（24-25高三上·四川眉山·开学考试）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·云南·阶段练习）设，若存在唯一的零点，则（    ） A． B．1 C． D．2 3．（23-24高二下·浙江宁波·期末）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知函数有唯一零点，则 . 5．（23-24高二下·北京·期末）设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是 . 6．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若函数有一个零点，则实数b的取值集合是 题型九：分段函数的零点问题 1．（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）已知分段函数，则方程的解的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（23-24高一上·北京西城·期末）一种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：其中，而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的．若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·北京·阶段练习）若分段函数，将函数的最大值记作，那么当时，的取值范围是 . 4．（20-21高一上·浙江·期中）已知分段函数，若函数图象与x轴有三个交点，则实数t的取值范围是 ． 5．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，若方程有4个解，分别记为，，，，且，则 . 6．（22-23高一上·湖南永州·期中）已知函数 (1)将函数写成分段函数形式，并作出函数的简图 (2)如果方程有四个不同的实根，求实数的取值范围 7．（23-24高一下·上海浦东新·期末）设函数，其中. （1）在实数集上用分段函数形式写出函数的解析式； （2）求函数的最小值. 题型十：等高线问题 1．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 3．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（   ） A． B．3 C． D． 4．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知函数，若方程有四个不同的实数根，从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数有3个不同的零点则实数的取值范围是 ；若，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数（压轴题专练） 题型一：指数函数的图象及性质 1．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，得到，令，从而将问题转化成求在区间上的最值，即可求解. 【详解】由，得到，令， 则，对称轴， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值和最小值分别是，， 故选：B. 2．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数和一次函数性质可得当时，函数为增函数，结合条件及二次函数性质和增函数定义列不等式可求结论. 【详解】因为当时，， 又函数在区间上都为增函数， 所以函数在区间上为增函数， 又函数在上单调， 所以， 所以， 所以的取值范围是. 故选：C. 3．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数单调性求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以，即， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 4．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】时，递增，因此时也必须递增，由二次函数的性质及临界点的函数值的大小关系列不等式组求解可得． 【详解】时，递增， 时，， 要使得在上单调递增，则，解得， 故选：B． 5．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数，若，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】画出函数图象，分析出，，故，，结合函数单调性得到值域，求出取值范围. 【详解】画出的图象， 当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且， 令，解得，令，则， 若，且，则，， 所以，， 当时，取得最小值，最小值为， 又时，，时，， 故. 故答案为： 题型二：指数函数中的恒成立问题 1．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）设函数且的图象经过第二、三、四象限，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数性质可确定单调性，进而得到，由此可得，解不等式可求得结果. 【详解】的图象经过第二、三、四象限， ，解得：，在上单调递减， 则由得：，即， ，解得：， 实数的取值范围为. 故选：B. 2．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知实数，函数在上是单调函数，若的取值集合是，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．恒成立 D．，使得是指数函数 【答案】ACD 【分析】根据分段函数的单调性，求出的取值集合，逐一判断各个选项. 【详解】根据题意，，所以函数是R上的增函数， 则，解得， ，故A正确，B错误； 对于C，，恒成立，故C正确； 对于D，当时，是指数函数，故D正确. 故选：ACD. 3．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)试判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，，求的取值范围. 【答案】(1)(2)奇函数，理由见解析(3) 【分析】（1）把图象上的点代入函数解析式即可求的值； （2）由函数奇偶性的定义判断并证明； （3）由函数单调性解不等式，取最值解决恒成立问题. 【详解】（1）函数的图象经过点，有， 即，解得. （2）为奇函数，理由如下： 由（1）得，函数定义域为R， ，所以为奇函数. （3）函数和在R上都为增函数，所以在R上单调递增， 由，则有， 所以，恒成立，则有， 所以的取值范围为. 4．（2024·山西·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用偶函数性质以及函数值可得，再由偶函数定义可得其解析式； （2）将不等式恒成立转化为求恒成立问题，由基本不等式计算可得的取值范围. 【详解】（1）因为是偶函数，所以， 解得， 当时，可得，所以， 所以函数的解析式为 （2）由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 所以， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是. 5．（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知定义域是的函数是奇函数. (1)求的值 (2)先判断函数单调性并证明； (3)若对于任意，不等式恒成立，求的范围. 【答案】(1)1；(2)在R上单调递增，证明见详解；(3). 【分析】（1）由题意可知，进而求解； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）由题意及（2）可将原不等式变形为在上恒成立，分离常数求解即可. 【详解】（1）因为是定义域为R的奇函数， 所以 解得，经检验：符合题意. （2）在上单调递增，证明如下： 由可知， 任取实数，且， 则， 因为，所以，且， 所以， 即时，， 所以在上单调递增. （3）因为是奇函数，所以等价于， 由（2）知在上单调递增， 所以在上恒成立； 等价于在上恒成立， 只需即可， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增； 因为时，；时，；所以；所以. 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数（且）的图象经过点． (1)求的表达式； (2)求的最小值； (3)设，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）将点代入计算即可； （2）整体思想，转化为二次函数的最值问题即可； （3）利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）将代入，得，解得或（舍）， 故． （2）由（1）易知， 当时取等号，故的最小值为． （3）由题意，得， 当且仅当，即时取等号，故要使恒成立，则， 故的取值范围是． 题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性、单调性、对数运算等知识列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，是偶函数，且在区间单调递减， 由得， 所以，所以或， 所以或， 所以的取值范围是. 故选：D 2．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）设函数，则使成立的的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域、奇偶性和单调性，应用函数的奇偶性和单调性解之即可 【详解】因为函数定义域是，，所以函数为偶函数. 当时，由复合函数的单调性可知单调递增. 由偶函数性质可知，函数在上单调递减. 所以等价于， 进而等价于，即， 所以，解之可得或 故选：B 3．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知两点的中点坐标及的图象上纵坐标为的点，结合函数图象建立不等式，即可得解. 【详解】如图所示，设，，的中点为， 点在的图象上，且轴，则， 由图知点在的左侧，即， 故选：B 4．（24-25高三上·江苏镇江·开学考试）函数的定义域为，区间，对于任意，，恒满足，则称函数在区间上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对A：，结合对数函数性质化简即可得；对B：，举出反例即可得；对C：，化简即可得；对D：，化简即可得. 【详解】对A：，， ， 由在上单调递增，故其等价于， 化简可得，故满足题意，故A正确； 对B：，，， 取，，可得，， 又，故此时不满足题意，故B错误； 对C：，，， 化简得恒成立，不满足题意，故C错误； 对D：，，， 左右平方后化简可得，故满足题意，故D正确.故选：AD. 5．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象无对称中心 B． C．的图象与的图象关于原点对称 D．的图象与的图象关于直线对称 【答案】BC 【分析】由点的对称性判断图象的对称性，从而判断AC，直接代入计算判断B，利用反函数的解析式判断D． 【详解】选项A，由已知的定义域是且， 假设的图象有对称中心，取，其中，关于点的对称点是，但不在的定义域内，即不是图象上的点，与对称性矛盾，因此假设错误，所以A正确； 选项B，，B正确； 选项C，设是图象关于原点对称的图象上任一点，它关于原点的对称点为在的图象上， 因此，即， 所以的图象上任一点关于原点的对称点在的图象上， 同理可证的图象上任一点关于原点的对称点都在的图象上，C正确； 选项D，由得，，所以的图象关于直线对称的图象的函数式为，D错， 故选：BC． 6．（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知是定义在上的奇函数． (1)试判断函数的单调性； (2)已知，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)函数是上的增函数(2) 【分析】（1）由是上的奇函数求出，，然后，即可判断出其单调性； （2）先化简得，根据题意恒成立，利用换元法和基本不等式可得实数m的取值范围． 【详解】（1）因为是奇函数，则， 整理得：， 要使上式对任意的x成立， 则，解得或， 当时，的定义域为，不合题意， 当时，的定义域为，符合题意， 所以，对任意的，， 有， 所以，故函数是上的增函数； （2）， 因为恒成立， 等价为恒成立， 令，， 则，则， 可得在时恒成立， 由基本不等式，当且仅当时，等号成立，故． 题型四：对数函数中的恒成立问题 1．（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B． C．当时， D．对定义域内任意两个不相等的实数恒成立 【答案】ABD 【分析】根据可判断选项A；根据的奇偶性可判断选项B；根据的单调性，判断的单调性可判断选项C；由复合函数单调性和奇偶性可判断选项D. 【详解】对于A，由，得，即恒成立，故A正确； 对于B，令，则， ， 为上的奇函数，，故B正确； 对于C，令，易知在单调递减，且， 则在单调递减，所以，且时,,所以,故C错误； 对于D，由C选项知，在单调递减，且， 在单调递减，且， 为上的奇函数， 在单调递减，且， 又，在上单调递减， 在上单调递减， 对定义域内的任意两个不相等的实数，，恒成立，故D正确. 故选：ABD. 2．（24-25高三上·福建·阶段练习）已知函数． (1)若，求满足的x的取值范围； (2)若对任意，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）当时，不等式转化为，得到，即可求解； （2）把不等式，转化为对任意恒成立， 设，得到对任意恒成立， 设，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：当时，可得， 由不等式，即，可得，解得， 所以不等式的解集为． （2）解：由不等式，即， 等价于对任意恒成立， 设，即对任意恒成立， 设， 当时，，解得， 当时，，a无解， 综上，a的取值范围是． 3．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，函数 (1)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (2)若不等式对恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析(2) 【分析】（1）利用函数的单调性的定义以及对数函数的性质进行证明； （2）遇到恒成立的问题，经常转化为求最值的问题，从而得出关于a的不等式组，求解即可. 【详解】（1） 在其定义域上单调递增. 证明如下：设任意，则有： ， ， ，，， ，， 在上单调递增，，即 . 函数在上单调递增. （2）由（1）知：当时，， 由不等式对恒成立， 得， 为单调递增函数， ， ， 解得 .实数a的取值范围 4．（2025·江苏南通·一模）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2). 【分析】（1）利用奇偶性定义证明判断即可； （2）根据对数复合函数单调性确定在上最小值，把问题化为在上恒成立，即可求结果. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由解析式易知，函数定义域为， 而，故为奇函数. （2）由在上为减函数，而在定义域上为增函数， 所以在上为减函数，故， 要使任意，，不等式恒成立， 只需在上恒成立，即在上恒成立， 由开口向上，则， 综上，. 5．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若，判断在的单调性，并用定义法给出证明； (3)若在区间上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析(3) 【分析】（1）根据，得到方程，求出； （2）先得到，定义法判断函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论； （3）参变分离得到，构造，换元后得到，根据单调性求出其最值，得到结论. 【详解】（1）定义域为R， ， 由于函数为偶函数，所以， 即，即， 即恒成立， ． （2）已知函数，由于函数在上单调递增， 由第（1）问可得，因此 不妨设，，且 则 因为，因此，由因为，，因此， 所以，故，所以函数在单调递增． （3）由题得在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 因为，所以，所以在区间上恒成立， 令，令， 则， 因为在单调递增， 所以函数在上单调递减，故． ． 对任意的恒成立，且，． 实数的取值范围是． 题型五：利用函数的零点确定参数的取值范围 1．（2024高三·全国·专题练习）若函数的图象与函数的图象交点的横坐标所在的区间为，则整数k可能为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】作出函数与的大致图象，设，求出、的正负可得答案． 【详解】作图易知函数的图象与函数的图象 在y轴两侧各有一个交点， 设， 则，， ，， 故，， 所以函数的零点所在区间是，． 故或． 故选：C.    2．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．函数在存在零点的充要条件是 【答案】AD 【分析】对于A，直接由奇函数的定义即可判断；对于B，C分别取，即可推翻结论；对于D，分离参数即可验算. 【详解】对于A，定义域关于原点对称，且，所以为奇函数，故A正确； 对于B，取时，此时单调递增，最小值为，而无意义，故B错误； 对于C，取时，此时在上单调递减，不是最小值，故C错误； 对于D，若，则，而，所以函数在存在零点的充要条件是，故D正确. 故选：AD. 3．（23-24高一上·重庆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数，是增函数，零点为 B．已知实数，则函数的零点所在的区间是 C．函数的零点个数为3个 D．函数在上存在零点，则正实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A，根据指数函数的性质及零点的定义即可判定；对于B，根据零点存在性定理判定即可；对于C,利用函数图象即可判定；对于D,根据题意建立不等式组，解出即可. 【详解】根据指数函数的性质知， 是上的增函数，令，得， 则函数得零点为，故A错误； 因为函数，， 易得函数为上的增函数，又， 故函数的零点所在的区间是，故B正确； 函数的零点个数，为函数与的图象交点个数， 如图所示， 两个函数图象有三个交点，故函数有三个零点，则C正确； 因为函数在上存在零点， 则有，解得， 故D正确，故选：BCD. 4．（22-23高二上·全国·阶段练习）已知常数，函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数至少有一个零点在内，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）将代入，解该对数不等式即可; （2）将化简为，通过构造函数借助零点存在性定理求解即可. 【详解】（1）若，则， 得即，解得. 所以不等式的解集为. （2）结合题意可得：， 化简得，令， 则在上与x轴有交点，且需满足， 故，即，                            由对称轴，，得， 所以，得实数的取值范围为． 5．（24-25高一上·上海闵行·阶段练习）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若时，有零点，求的范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）化简不等式，再求解即可； （2）转化为方程有解，再分离参数，求函数的值域即可. 【详解】（1）当时，， 所以由可得， 即，所以，解得， 故不等式的解集为. （2）因为时，有零点， 所以在上有解， 即在上有解， 令， 因为，， 所以，故， 所以. 6．（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知函数． (1)若函数的零点在区间上，求正整数k的值； (2)记，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由零点存在性定理以及函数单调性的定义得出结果； （2）根据对数运算、对数函数的定义域以及参变分离结合基本不等式求得结果. 【详解】（1）由， 得， 令，定义域为． 任取， ∵，∴，， ∴，在上单调递增． ，，由零点存在定理知． （2）由已知得恒成立，即， 显然，首先对任意成立，即， 由，得，所以． 其次，，设，，则有，，令，， ，由基本不等式知，，当且仅当时， 有最大值1，∴ 综上，实数a的取值范围为． 题型六：方程根的个数与函数零点的存在性问题 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知定义在上的函数满足:对任意，都有.若函数的零点个数为有限的n(n∈N)个，则n的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设函数的零点为，结合题设可得，进而求解. 【详解】由题意，对任意，都有， 设函数的零点为， 则，即， 所以，即， 设， 则函数为开口向上，对称轴为，且，， 所以函数在上有2个零点， 即函数的零点个数最多为2个. 故选：B. 2．（2024高一上·江苏·专题练习）已知，则方程实数根的个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由方程先求出或或，再解方程即可． 【详解】解：①当时， ， 解得，， 或， 或， 故或； ②若，则， 或， 或， 若，则或， 则或或； 若，则或， 则（舍去）或或， 综上所述，方程实数根的个数是7， 故选：C． 3．（22-23高三上·新疆阿克苏·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数且满足，当时， ，则函数的零点个数为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据函数的性质得出函数为周期函数，零点可转化为两偶函数图象交点个数问题，作出图象数形结合求解即可得解. 【详解】由题意知，， 所以，所以函数的周期为2， 由可得， 所以将函数的零点个数转化为函数的图象与的图象交点个数，对于，定义域为， 因为，所以为偶函数， 所以作出和在轴右侧的图象如图所示， 由图象可知有2个交点， 所以的图象与的图象交点个数为4， 即的零点个数为4． 故选：C 4．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先判断函数的对称中心，再结合图象及交点个数，最后结合对称性得出所有根的和. 【详解】由题知 是奇函数,则有： ,  关于对称， 且 , 时， , 恒过，且 关于对称， 方程的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和， 根据 对称性及解析式画出图象如下： 由图象可知 有5个交点，其中一个交点横坐标为1, 另外四个，两两分别关于对称， 故五个交点横坐标和为, 即所有根之和5. 故选：C. 5．（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．点是函数的一个对称中心 C．当时， D．函数恰有6个零点 【答案】AC 【分析】根据题意，由条件可得关于轴，对称，且，由函数的周期性即可判断A，由函数的对称性即可判断BC，结合函数的图象，即可判断D. 【详解】 由题意可知关于轴，对称， 当，则，且，故， 对于A,， ，故A正确； 对于B，对称中心为，故B错误； 对于C，函数在和上的图象关于点中心对称， 当时，， 故C正确； 对于D，由图象可知函数与函数有7个交点，故D错误. 故选：AC 6．（23-24高一上·安徽·期末）已函数则函数的零点个数为 . 【答案】6 【分析】根据函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数，在同一坐标系下画出与的图象，由此求出结果． 【详解】函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数， 当 时，， 所以， 所以当时，是周期为4的函数； 当时，； 所以的图象如图所示， 在同一坐标系下画出的图象， 因为，所以两函数有6个交点，即函数有6个零点． 故答案为：6．    7．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）设，函数，当时，函数有 个零点；若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 2 【分析】根据方程的根，结合复合函数，即可求根求解空1，令，先考虑时，函数在,上有2个零点，再考虑，分与两种情况，结合函数图象，得到不等式，求出答案． 【详解】当时，，令，解得， 令，则，故或，此时有2个零点， 设，当时，，此时， 由得，即，解得或， 所以在,上有2个零点， 时，若，，对称轴为， 函数的大致图象如下： 此时，即，则， 所以无解，则无零点，无零点， 综上，此时只有两个零点，不符合题意， 若，此时的大致图象如下： 令，解得， 显然令在上存在唯一负解， 要使恰有3个零点， 只需在上除或外不能再有其他解， 即不能再有除或外的其他解， 故，即，解得，所以． 故答案为：2， 题型七：嵌套函数的零点问题 1．（23-24高二下·吉林白山·期末）已知函数则方程的实数个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】作出函数的部分图象，利用整体法求出或，再根据图象观察交点个数即可. 【详解】函数的部分图象如图所示. 由方程，解得或. 当时，有5个实根，当时，有6个实根， 故方程的实根个数为11. 故选：C. 2．（23-24高一下·云南·期末）设，若关于的方程恰有5个不同实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化方程为或，分析函数的性质，再利用数形结合法求出的范围. 【详解】方程化为，解得或， 函数在上单调递增，函数值的集合为，在上单调递减，函数值的集合为， 在上单调递增，函数值的集合为， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 显然直线与函数的图象有两个交点， 由关于的方程恰有5个不同实数解，则直线与函数的图象有3个交点， 此时，所以实数的取值范围是. 故选：B 3．（23-24高一下·安徽·阶段练习）定义在上的满足对，关于的方程有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，对化简得，即，画出图象，结合图象即可得到答案. 【详解】关于的方程可化简为， 即有7个不同的根，画出的图象，      观察可以看出当有4个不同的根， 故只需有3个不同的根即可，所以. 故选：A. 4．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数，关于x的方程恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是 . 【答案】或 【分析】作出的图象，由，得，所以或，所以与和的图象共3个公共点，结合图象分析求解即可. 【详解】作出的图象：    因为，故， 解得：或， 由题意，与和的图象共3个公共点， 由图象可得或， 故或， 所以的取值范围为或. 故答案为：或. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程有8个不同的实根，求的取值范围． 【答案】 【分析】先讨论，结合函数解析式，确定显然不满足题意；再讨论，画出的图象，利用数形结合的方法，即可求出结果. 【详解】若，当时，恒成立； 当时，由得，即仅有一个根； 所以由可得，则；即方程仅有一个实根； 故不满足有8个不同的实根； 若时, 画出的大致图象如下， 由可得，，， 又有8个不同的实根， 由图象可得，显然有三个根，显然有两个根， 所以必有三个根，而，， 为使有三个根，只需，结合，解得． 综上，，即的取值范围是． 题型八：唯一零点求值问题 1．（24-25高三上·四川眉山·开学考试）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根，然后分类讨论结合一次方程和二次方程根的分布列不等式求解即可. 【详解】因为函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根， 当时，方程可化为，解得，满足题意； 当时，方程为一元二次方程，其对称轴为，. 若，，此时方程的解为，满足题意； 若，由题意只需，解得且， 又时，，经检验满足题意，时，，经检验满足题意， 所以且； 综上，实数a的取值范围为. 故选：D 2．（24-25高三上·云南·阶段练习）设，若存在唯一的零点，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据函数解析式可知为偶函数，再由偶函数性质可得结论. 【详解】令，，则； 满足， 且，所以均为偶函数， 因此为偶函数，其图象关于轴对称， 又存在唯一的零点，则， 可得. 故选：A 3．（23-24高二下·浙江宁波·期末）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对进行讨论，即可结合二次函数的性质以及零点存在性定理求解. 【详解】若时，，则，满足题意， 若，当，解得且，此时满足题意， 若时，，此时， 此时方程在只有一根，满足题意， 若时，，此时， 此时方程在只有一根，满足题意， 当，得时，此时， 此时方差的根为，满足题意， 综上可得或 故选：C 4．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知函数有唯一零点，则 . 【答案】/ 【分析】函数零点转化为函数等于0的方程的解，整理等式后变成两个函数交点问题，分析出两个函数均为偶函数，所以交点只能在处，从而得出结果. 【详解】令，则方程有且仅有一个解， 所以，令，则， 令，， 又因为，则为偶函数； ，也为偶函数， 若与在有至少一个交点， 则在也至少有一个交点，则与题意不符. 故与在上没有交点， 即存在唯一解， 所以，解得.故答案为：. 5．（23-24高二下·北京·期末）设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，按和分类讨论，结合指数函数值域求解即得. 【详解】当时，若，则， 若，则，当且仅当时取等号， 则当时，恰有一个零点，因此； 当时，若，则， 若，，显然，此时有一个解， 由恰有一个零点，则当且仅当，解得， 所以的取值范围是.故答案为： 6．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若函数有一个零点，则实数b的取值集合是 【答案】 【分析】的零点问题可转化为与的交点个数问题，画出相应图形即可得解. 【详解】函数有一个零点，即与的图象有1个交点， 作出与的大致图象如图所示： 由图可知实数b的取值集合是. 故答案为：. 题型九：分段函数的零点问题 1．（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）已知分段函数，则方程的解的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据给定函数，分段解方程即可得解. 【详解】函数，由，得或， 解得或，解得， 所以方程有3个解. 故选：B 2．（23-24高一上·北京西城·期末）一种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：其中，而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的．若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得以及，解方程组即可求出. 【详解】由已知细胞5岁和60岁的分裂速度相等，即， 所以，整理得①， 又分裂速度变化是连续的，则，整理得， 所以， 解得 故选：B, 3．（22-23高三上·北京·阶段练习）若分段函数，将函数的最大值记作，那么当时，的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出，作出函数的图象，然后对分类，求的最大值即可. 【详解】由题知，，得， 对于最大值型，对应函数，图象草图如下： 当，时，， 由图象知，使，则时函数最大值为，而时函数最大值为， 所以，上述情况最大值范围为； 当，时，， 由图象知，函数最大值恒为3； 当，时，， 由图象知，存在时，则时函数最大值为，而时函数最大值为， 所以，上述情况最大值范围为； 综上，的取值范围是， 故答案为： 4．（20-21高一上·浙江·期中）已知分段函数，若函数图象与x轴有三个交点，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【解析】分别讨论和的零点，根据 是偶函数的性质可得． 【详解】令，，令 得或， 是函数的零点， 所以． 故答案为：． 5．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，若方程有4个解，分别记为，，，，且，则 . 【答案】 【分析】画出的大致图象，根据对称性以及对数运算等知识求得正确答案. 【详解】画出的大致图象如下图所示， 当时，，对称轴为， 所以. 当时，， 由，得， ， . 故答案为：    6．（22-23高一上·湖南永州·期中）已知函数 (1)将函数写成分段函数形式，并作出函数的简图 (2)如果方程有四个不同的实根，求实数的取值范围 【答案】(1)，图见解析(2). 【分析】（1）根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号得分段函数，然后结合二次函数图象分段作出函数图象； （2）由图象得，解之可得． 【详解】（1）由绝对值的定义得：时，，时，， 即， 作图如下：                        （2）的最小值是，， 根据的图象， 如果方程有四个不同的实根，则必有： ，解得． 7．（23-24高一下·上海浦东新·期末）设函数，其中. （1）在实数集上用分段函数形式写出函数的解析式； （2）求函数的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）令，解得的范围，再结合的意义分段函数形式写出函数的解析式即可. （2）利用的奇偶性，只需要考虑的情形，只需分两种情形讨论：，当时，分别求出的最小值即可. 【详解】（1）， 令，得， 解得或， （2）因为是偶函数，所以只需考虑的情形， 当时，，当时， 当时，，当时，， 时，. 题型十：等高线问题 1．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分段函数的性质画出函数图象，若，将问题转化为曲线与直线的交点问题，应用数形结合判断交点的区间，结合绝对值函数、对数函数的性质可得，，，结合对勾函数的性质求范围即可． 【详解】令，则或，令，则或， 由解析式知：在上递减且值域为，在上递增且值域为，在上递减且值域为，在上递增且值域为． 作出的草图如下， 令，不妨设，则，，，为曲线与直线的交点横坐标， 由图知：，且， 则， 由对勾函数可知在上递减，故， 故. 故选：C 2．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象，根据数形结合计算即可得出结果. 【详解】由题意得：为R上的增函数，且 当时，，， 当时，，， 方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点， 作出函数与的图象如下图所示： 由图可知与图象关于对称， 则两点关于对称，中点在图象上， 由，解得：. 所以. 故选：B 3．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】CD 【分析】设，则直线与函数的图象有三个交点，结合函数的对称性求出的取值范围即可. 【详解】设，作出函数与的图象，如图： 观察图形知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 点、关于直线对称，则，且函数在上为增函数， 由，，得，因此， 所以的取值可以是，. 故选：CD 4．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知函数，若方程有四个不同的实数根，从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，画出与的图象，数形结合得到；B选项，数形结合得到，，且当时，，此时，B错误；C选项，先得到，从而计算出答案；D选项，求出，从而，利用对勾函数性质得到答案. 【详解】A选项，画出与的图象， 可以看出，A正确； B选项，令得或， 令得， 故，， 且当时，，此时，B错误； C选项，由图可得， 令，解得，故， 且当时，，故， ，C正确； D选项，由图象可知，故， 则， 因为，所以在上单调递增， 故，所以，D正确. 故选：ACD 5．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数有3个不同的零点则实数的取值范围是 ；若，则 . 【答案】 / 【分析】令，得到或，结合的图象求解计算即可. 【详解】令， 解得或. 作出的图象如图. 要使有3个不同的零点， 则的图象与直线和一共有3个交点， 由图可知当即时，的图象与直线有1个交点，与直线有2个交点，符合条件. 易得，所以，即， 不妨设，由，得， 由，得， 所以. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！48 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！47 学科网（北京）股份有限公司 $$