第四章 指数函数、对数函数与幂函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第二册）

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 （单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶次根式被开方数非负，分母不为0，对数真数正数构造不等式组求解即可. 【详解】由题意得：得定义域为. 故选：D. 2．（2010·吉林·一模）若函数是上的单调函数，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数以及一次函数的单调性，结合分段函数单调性即可分类求解. 【详解】①函数单调性递增， 则满足，即 ， 解得. ②若函数单调性递减， 则满足即，此时无解. 综上实数取值范围为：. 故选：D. 3．（24-25高一上·上海·单元测试）对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图象，分别讨论和时，的单调性和的开口方向以及根的位置即可求解. 【详解】选项A、B中，由对数函数图象得，则二次函数中二次项系数，其对应方程的两个根为， 选项A中，由图象得，从而，选项A可能； 选项B中，由图象得，与相矛盾，选项B不可能； 选项D中，由对数函数的图象得，则，二次函数图象开口向下，选项D不可能； 选项C中，由图象与轴的交点的位置得，与相矛盾，选项C不可能. 故选：A. 4．（2018·北京通州·三模）标准的围棋共行列，个格点，每个点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况，而我国北宋学者括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”，即，下列数据最接近的是（）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指对恒等式（且），化简求值. 【详解】， 所以最接近的是. 故选：B 5．（23-24高三上·山东·阶段练习）若是偶函数，且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性确定a，再确定函数的单调性，结合单调性、奇偶性及函数的定义域转化不等式，即可得解. 【详解】由可得函数的定义域为， 若是偶函数， 则即在定义域内恒成立，所以， 当时，， 由在上均单调递减，所以在上单调递减， 所以不等式等价于，解得. 所以实数m的取值范围是. 故选：A. 6．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数，，的零点分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别令、、，根据函数定义域可得的范围，从而求出的范围可得答案. 【详解】令，可得，因为，所以，， 可得，所以； 令，可得，因为，所以，， 可得，所以； 令，可得，因为，所以，， 可得，所以； 综上，. 故选：A. 7．（2023·河南·模拟预测）函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若关于实数t的不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数是定义在上的偶函数，不等式可化为，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可． 【详解】函数是定义在上的偶函数，则， 又，则，即为， 即，即， 又因在区间上单调递增， 所以，则或，解得或， 所以的取值范围是． 故选：A． 8．（17-18高三上·河南南阳·阶段练习）函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【分析】确定函数在上单调递增，根据幂函数得到或，验证单调性得到，代入数据计算得到答案. 【详解】对任意的，且，满足，函数是单调增函数， 是幂函数，可得，解得或， 当时，；当时，，不满足单调性，排除， 故，． ，，故恒成立． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知实数满足且，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则的最小值为 C．的最大值为 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，可得，再结合均值不等式逐项分析判断作答. 【详解】由，得，而，则， 对于A，，A正确； 对于B，，则，显然均为正数，即有， 因此， 当且仅当，即时取等号，B正确； 对于C，显然， 由，得，因此，C错误； 对于D，由，得， 当且仅当时取等号，即，由，得，则的最小值为，D正确. 故选：ABD 10．（22-23高一下·河北保定·开学考试）已知函数，则（    ） A． B． C．的图象关于点对称 D．的图象与的图象关于直线对称 【答案】BCD 【分析】由特值法可判断A；计算验证可判断C；利用C中结论可判断B；由函数图象对称性的规律可判断D. 【详解】因为，可知A错误； 因为，所以的图象关于点对称，故C正确； 由C中结论可知，又，则，所以，故B正确． 的图象与的图象关于直线对称，故D正确； 故选：BCD. 11．（21-22高三上·福建三明·期中）已知函数．若存在，使得，则下列结论正确的有（    ） A． B．的最大值为4 C．t的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】AD 【分析】首先作出函数的图象，根据图象的对称性，判断A； 根据基本不等式判断B； 根据图象，以及与函数的图象有3个交点，判断C； 求出的范围，即可求解的取值范围，判断D. 【详解】如图，作出函数的图象，根据，可知，是与的两个交点， 根据对称性可知，则， 因为，所以，故A正确，B错误； ， 由图可知t的取值范围是，故C错误； 因为，所以，又，则的取值范围是，故D正确． 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先得到为奇函数，且在R上为增函数，从而得到，换元后得到，利用基本不等式求出最值，求出. 【详解】定义域为R， 且 ， 故为奇函数， 因为在R上为增函数，由复合函数单调性可知，在R上为增函数， 变形为， 故，令，得， 故， 由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立， 故，解得. 故答案为： 13．（22-23高一上·全国·单元测试）已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则的值为 . 【答案】1 【分析】由已知条件可得，函数的周期为4，再结合所给的解析式可求得答案. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以，因为，所以， 所以，所以的周期为4， 因为当时，，所以 ，故答案为：1. 14．（22-23高一上·四川凉山·期末）已知函数，若有4个零点分别为，，，，且满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数可计算规则可计算出时两个零点的乘积，根据韦达定理可以解出时两个零点的乘积，根据零点个数可确定m与a的关系，最后根据即可求出的取值范围. 【详解】不妨假设 时，； 当时，，因为有4个零点，所以，此时，，且根据韦达定理可知 ，故 综上所述：的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高三上·全国·单元测试）已知函数． (1)判断函数的单调性，并证明； (2)函数，若对任意满足的正数，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析(2) 【分析】（1）应用单调性定义证明函数单调性； （2）把恒成立转化为最值问题，结合基本不等式求出最小值即可. 【详解】（1）函数在上单调递增． 证明如下：对，则，所以函数的定义域为． 又，即，故函数为奇函数． 任取， 则， 故，因此，所以函数在区间上单调递增． 又函数为上的奇函数，所以函数在上单调递增． （2）因为在上单调递增，所以，即， 故， 因为，当且仅当时等号成立， 结合二次函数性质，知，因此， 所以实数的取值范围为． 16．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数，其中是奇函数． (1)求a的值； (2)求解不等式； (3)当时，恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据函数的奇函数，满足，列式求解； （2）根据（1）的结果，解指数不等式； （3）首先判断函数的单调性，再根据函数是奇函数，化简不等式得，再讨论得到取值，求解的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为函数是奇函数，所以， ， 则，则； （2），即，整理得，则， 所以． （3），所以在和上是严格减函数， 且当时，；当时，； 由可得：，， 当时，， 当时，，所以，即，又，所以； 当时，，则，而，，则满足题意； 函数的定义域，则时不符，舍去． 综上． 17．（23-24高一上·广西河池·期末）已知函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)证明：函数在区间上单调递增； (3)令（其中），求函数的值域. 【答案】(1)偶函数(2)证明见解析(3)答案见解析 【分析】（1）定义法证明函数的奇偶性； （2）定义法证明函数的单调性； （3）由的解析式可知，，由的奇偶性和单调性可知，函数在上的值域为，令，可得，利用二次函数的性质求值域. 【详解】（1）函数的定义域为， 由，可知函数为偶函数； （2）证明：设，有 ， ， ， 故函数在区间上单调递增； （3）由，有， 由函数在区间上单调递增，，可知函数在区间上的值域为， 又由函数为偶函数，可知函数在上的值域为， 令，可得，有， 令，有， ①当时，，此时函数的值域为； ②当时，，此时函数的值域为， 由函数和函数的值域一样，故可得， 当时，函数的值域为； 当时，函数的值域为． 18．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知函数． (1)求的反函数； (2)若函数，当时，，求a的取值范围． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由反函数的概念求解， （2）由换元法与对数函数性质求值域，再分类讨论解不等式． 【详解】（1）令，所以， 所以，解得， 所以的反函数，． （2）因为，所以． 设，所以， 所以． 设，则在区间上单调递减，值域为， 当时，，即， 所以，解得； 当时，，即， 所以，解得（舍）． 综上a的取值范围为． 19．（2024·江苏南通·二模）某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用． (1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ (2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4） 【答案】(1)8小时(2)1.6 【分析】（1）由可求出结果； （2）根据题意求出从第一次喷洒起，经小时后，其浓度关于的函数解析式，再根据基本不等式求出其最小值，再由最小值不低于4，解不等式可得结果. 【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的消毒剂， 所以其浓度为 当时，，解得，此时， 当时，，解得，此时， 所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时． （2）设从第一次喷洒起，经小时后， 其浓度， 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立； 所以其最小值为，由，解得， 所以a的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 （单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2010·吉林·一模）若函数是上的单调函数，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·单元测试）对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2018·北京通州·三模）标准的围棋共行列，个格点，每个点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况，而我国北宋学者括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”，即，下列数据最接近的是（）（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·山东·阶段练习）若是偶函数，且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数，，的零点分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·河南·模拟预测）函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若关于实数t的不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（17-18高三上·河南南阳·阶段练习）函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知实数满足且，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则的最小值为 C．的最大值为 D．若，则的最小值为 10．（22-23高一下·河北保定·开学考试）已知函数，则（    ） A． B． C．的图象关于点对称 D．的图象与的图象关于直线对称 11．（21-22高三上·福建三明·期中）已知函数．若存在，使得，则下列结论正确的有（    ） A． B．的最大值为4 C．t的取值范围是 D．的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为 ． 13．（22-23高一上·全国·单元测试）已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则的值为 . 14．（22-23高一上·四川凉山·期末）已知函数，若有4个零点分别为，，，，且满足，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高三上·全国·单元测试）已知函数． (1)判断函数的单调性，并证明； (2)函数，若对任意满足的正数，都有，求实数的取值范围． 16．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数，其中是奇函数． (1)求a的值； (2)求解不等式； (3)当时，恒成立，求实数t的取值范围． 17．（23-24高一上·广西河池·期末）已知函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)证明：函数在区间上单调递增； (3)令（其中），求函数的值域. 18．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知函数． (1)求的反函数； (2)若函数，当时，，求a的取值范围． 19．（2024·江苏南通·二模）某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用． (1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ (2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$