第四章 指数函数、对数函数与幂函数（单元复习 重点20类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第二册）

第四章 指数函数、对数函数与幂函数知识归纳与题型突破（题型清单） 知识一、整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）；（2）；（3）；（4）． 知识二、根式的概念和运算法则 1、次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2、两个等式 （1）当且时，； （2） 知识三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 知识四、有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 （1）（2）（3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 知识五、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 知识六、实数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 知识七、指数函数的概念： 函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为． 知识八、指数函数的图象及性质： 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 知识九、指数函数底数变化与图象分布规律 （1） ①，②，③，④，则： 又即：时，（底大幂大） 时， （2）特殊函数 ，，，的图象： 知识点一、对数概念 知识十、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 知识十一、对数（且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 知识十二、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 知识十三、对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 知识十四、对数公式 1、对数恒等式： 2、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：． 知识十五、对数函数的概念 1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为． 2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 知识十六、对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 知识十七、底数对对数函数图象的影响 1、底数制约着图象的升降． 如图 2、底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图象愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图） 知识十八、反函数 1、反函数的定义 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为． 由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域． 2、反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． （2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上． 知识十九、二分法 1、二分法 对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法． 2、用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度． 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中． 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度． 3、关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位． （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． 知识二十、函数的零点 1、函数的零点 （1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. （2）二次函数的零点 二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表. 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 （3）二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 2、函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. 3、零点个数的判断方法 （1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. （2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. （3）数形结合法： ①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； ②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数. 4、判断函数零点所在区间 （1）将区间端点代入函数求函数的值； （2）将所得函数值相乘，并进行符号判断； （3）若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。 5、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 （1）直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式； （2）数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； （3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题． 题型一：指对数运算及化简 例题1．（23-24高一上·天津·期中）（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】将根式化为分数指数幂，根据分数指数幂的运算法则进行计算； 【详解】（1） ； （2） ； （3）. 例题2 ．（22-23高一上·河南郑州·期中）（1）求值：； （2）已知，求值：. 【答案】（1）3；（2）6 【分析】（1）利用指数运算性质化简求值即可； （2）结合指数运算性质，利用完全平方和公式求解即可. 【详解】（1）原式. （2）由，而， 则，故. 巩固训练 1．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）计算下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)4(2) 【分析】（1）应用指数的运算规则，包括负指数、分数指数以及根号与指数的转换，将每个部分化简到最基础的形式，从而可得出结果； （2）利用对数的性质，以及换底公式，将各个对数项转换为同底数对数相加或相减的形式，再进行计算即可. 【详解】（1）由题意可得，，， ，，将上述结果代入原式，可得： ； （2）由对数的运算性质可得， 因为，则， 因为，则 ； 且， 将上述结果代入原式，可得： .胡最终计算得到：. 2．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用分数指数幂的性质运算；（2）利用对数的性质运算 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 题型二：根据函数是指数函数求参数 例题1．（23-24高一上·安徽滁州·期中）已知函数为指数函数，函数为奇函数. (1)求的解析式； (2)设函数满足，若不等式恒成立 ，求实数的最大值. 【答案】(1)，(2)8 【分析】（1）根据指数函数解析式即可求得，再利用奇函数的定义求出即可； （2）由（1）求出，不等式恒成立，令，可得在时恒成立，利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）因为为指数函数， 所以，解得（舍去）或， 所以， 所以， 因为为奇函数，所以，即， 得到，解得，可得， 且，为奇函数 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以， 不等式恒成立，即恒成立， 令，则， 由，可得在时恒成立， 因为，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 所以，即实数的最大值为8. 例题2．（23-24高一下·山西·期末）已知函数是指数函数. (1)求实数的值； (2)解不等式 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题意可得从而可求出实数的值； （2）由（1）可得，再由幂函数的单调性可得，解不等式组可得答案 【详解】（1）由题可知解得 （2）由（1）得 ∵在上单调递增， ∴，解得， 故原不等式的解集为 巩固训练 1．（19-20高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数是指数函数. （1）求实数的值；并求出关于的不等式：的解集； （2）判断的奇偶性，并加以证明. 【答案】（1），；（2）函数为奇函数，证明见解析. 【分析】（1）根据指数函数定义可构造方程求得，从而将不等式化为，由对数函数单调性和定义域要求可构造不等式组，解不等式组求得解集； （2）由（1）可得解析式，确定定义域关于原点对称，通过可得到函数奇偶性. 【详解】（1）为指数函数    且，，解得： 为 ，解得： 不等式的解集为 （2）由（1）知：     由得：    的定义域为     为定义域上的奇函数 2．（22-23高一下·安徽马鞍山·阶段练习）已知点在指数函数的图象上 (1)求，的值； (2)判定函数在上的单调性并证明． 【答案】(1)，.(2)单调递增，证明见解析. 【分析】（1）根据指数函数的性质，可得，代入点进行计算可得； （2）根据指数函数的单调性，可判断函数的单调性，利用定义法可证明的单调性. 【详解】（1）由已知得，为指数函数，，解得，故点在指数函数的图象上，得，解得，，得到. （2），因为为单调增函数，且也为单调递增函数，故在上为单调递增函数，证明如下： 设，且，有，得 ， 故在上为单调递增函数. 题型三：根据指数型函数图象判断参数范围 例题1．（23-24高一上·浙江温州·期中）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数单调性判断与的大小，再由图象与轴的交点位置判断的正负. 【详解】由图象可知，函数为减函数， 从而有； 法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标， 令，得， 由，即，解得 . 法二：函数图象可看作是由向左平移得到的， 则，即. 故选：D. 例题2．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】 根据的单调性确定，由确定. 【详解】，由图知为减函数，故，所以，故A正确C错误； 由图知，所以，故B错误D正确. 故选：AD 巩固训练 1．（23-24高一上·江西·期中）已知函数（且）的大致图象如下所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据指数函数的性质求解. 【详解】由图可知，函数在定义域上单调递减，所以， 又因为由的图象向上平移大于2个单位且小于3个单位可得到函数的图象， 所以， 故选:BC. 2．（23-24高一上·宁夏吴忠·期中）如图是指数函数（1），（2），（3），（4）的图象，则，，，与的大小关系是 【答案】 【分析】作直线，由图可知，，，与的大小关系. 【详解】 作直线，由图可得，即. 故答案为：. 题型四：指数型函数图象过定点问题 例题1．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质求解． 【详解】     ，恒过定点， ，，，其图象如图所示， 因此不经过第四象限， 故选：D． 例题2．（24-25高三上·宁夏吴忠·阶段练习）函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，且，则的最小值为（   ） A．13 B．16 C． D．28 【答案】B 【分析】由函数图象过定点得，则有，由，利用基本不等式可得最小值. 【详解】函数的图象恒过定点， 点A在直线上，有，又， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为16. 故选：B. 巩固训练 1．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由指数函数的性质可知恒过定点，再由指数函数的性质可知不过第二象限. 【详解】由已知条件得当时，，则函数恒过点， 即，此时， 由于由向下平移2个单位得到，且过点， 由此可知不过第二象限. 故选：B 2．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数且的图象恒过定点 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的最小值为6 D．函数的单调增区间为 【答案】BD 【分析】根据题意，由指数函数的性质分析A，由函数的定义域分析B，由复合函数的值域分析C，由复合函数的单调性分析D，综合可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项： A．函数，当，即时，，则函数的图象恒过定点，A错误，不符合题意； B．已知函数的定义域为， 对于函数，则有，解可得，即函数的定义域为，B正确，符合题意； C．设，则， 又由，结合对勾函数的性质可得在区间上递增， 则，C错误，不符合题意； D．函数，有，解可得，即函数的定义域为，； 设，则， 在区间上，为增函数，在区间上，为减函数， 由于为定义域为的减函数，故有， 故函数的单调增区间为，正确，符合题意； 故选：BD． 题型五：比较指对幂的大小 例题1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数，对数函数单调性可得答案. 【详解】因函数在上单调递增， 则，， 则. 故选：A 例题2．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数、对数函数单调性即可得解. 【详解】. 故选：B. 巩固训练 1．（24-25高三上·北京房山·阶段练习）已知，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数单调性和指数函数单调性得到，比较出大小. 【详解】, 故. 故选：D 2．（23-24高一上·青海海东·期中）下列判断正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】在上是减函数，，故A不正确； 在上是增函数，，故B正确； 在上是增函数，，故C正确； 在上是减函数，，故D正确． 故选：BCD. 题型六：含参指数函数的值域 8．（23-24高三上·北京·阶段练习）若函数有最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，将转化为关于的函数，讨论开口方向与对称轴判断即可. 【详解】设，则，，有最小值. 当时，二次函数开口向下，无最小值； 当时，无最小值； 当时，若在上有最小值，则对称轴，解得. 故选：A 40．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值是7，则 . 【答案】或 【分析】设，把函数化为关于的一元二次函数，分离讨论的范围，根据函数最大值建立方程，解出即可. 【详解】设，又， 若，则， 函数， 对称轴为， 则，即时，， 解得或（舍）； 若时，， 函数， 对称轴为， 则，即时，， 解得或（舍）； 故答案为：或. 巩固训练 1．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)设函数，若存在最小值，求实数的值. 【答案】(1)最小值为，最大值为8(2)6 【分析】（1）根据题意，设，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，令，结合二次函数的最值，分类讨论，即可得到结果. 【详解】（1）当时，， 设，则，开口向上，对称轴， 所以函数在上单调递减，上单调递增， 所以，， 所以在上的最小值为，最大值为8. （2） ， 设，当且仅当，即时取得等号， 所以，，对称轴. 当，即时，，在上单调递增， 则当时，，解得，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增， 所以时，，解得或（舍去）， 综上，实数的值为6. 2．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知指数函数 的图象经过点 . (1)求函数 的解析式并判断 的单调性； (2)函数 ， 求函数 在区间 上的最小值. 【答案】(1)；在R上单调递增；(2) 【分析】（1）将代入即可求解，则解析式和单调性可求； （2）利用换元法，结合指数函数以及二次函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点，则， 解得，因此，， 由于，结合指数函数的性质可知，是R上的单调递增函数； （2），令，因为，则， 令，， 关于对称， 当时，函数在上单调递增，此时，， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，， 当时，函数在上单调递减，此时，， 综上：. 题型七：求指数型复合函数的值域 例题1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求的解析式； (2)求当时，函数的值域． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出a，b作答. （2）由（1）的结论，求出函数的解析式，结合二次函数求出值域.. 【详解】（1）由函数是上的奇函数，则有，解得，即， ，， 即，，解得，经验证得，时，是奇函数， 所以. （2）由（1）知，， 当时，，因此当时，，当时，， 所以所求值域为. 例题2．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知函数为奇函数． (1)写出k的值并求函数的值域； (2)当时，恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)；函数的值域为(2) 【分析】（1）根据奇函数定义取特值可得，并检验；根据函数解析式，结合指数函数值域以及奇函数性质求的值域； （2）根据（1）可得在内单调递减，可得，结合指数函数最值分析求解. 【详解】（1）令，解得， 可知函数的定义域为，关于原点对称， 若函数为奇函数， 则，解得，可得， 且， 可知符合题意，即， 若，则，，可得； 根据奇函数对称性可得：若，； 综上所述：函数的值域为. （2）由（1）可知：，且若，；若，； 因为在内单调递增， 可知在内单调递减，且， 若，可得，即， 因为，则，可得，解得， 所以m的取值范围为. 巩固训练 1．（23-24高一上·西藏那曲·期末）已知函数． (1)若，求实数x的取值范围； (2)求的值域． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据指数函数单调性可得，结合二次不等式运算求解即可； （2）根据二次函数分析可知，结合指数函数性质求值域. 【详解】（1）因为，且在定义域上单调递增， 则，解得， 所以实数x的取值范围为. （2）因为，当且仅当时等号成立， 且在定义域上单调递增，则， 又因为，所以的值域为. 2．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数，． (1)当时，求函数的值域； (2)设函数，若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）令，根据二次函数的性质求解即可； （2）对任意，存在，使得，则，即，在上恒成立，再利用分离参数法求解即可. 【详解】（1）当时，，， 令，因为，则， 所以，其中， 则时，，时，，即， 所以的值域为； （2）由，， 设，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数为增函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故， 因为对任意，存在，使得，则， 所以，在上恒成立， 令，因为，则，即在上恒成立， 则在上恒成立，因为函数在上单调递增， 故，所以，即． 题型八：判断指数函数的单调性 例题1．（24-25高三上·黑龙江鹤岗·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义加以证明； (3)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)在定义域内单调递增，证明见解析；(3). 【分析】（1）利用奇函数性质求出，再利用定义验证即得. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得. （3）利用奇函数性质及单调性质脱去法则。分离参数，借助基本不等式求解即得. 【详解】（1）定义在R上的函数为奇函数，得，解得， 此时，则， 即函数是奇函数，所以. （2）由（1）知， 函数在定义域内单调递增，证明如下： 设，则， 由，得，则，所以函数在R上单调递增. （3）依题意，对任意的，成立， 则，即在上恒成立，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 例题2．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知是其定义域上的奇函数，且 (1)求的值； (2)求a与b的值，并求出的解析式（注明定义域）； (3)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1)3 (2)； (3)在区间上的单调递减，证明见解析 【分析】（1）根据奇函数的性质可知； （2）由函数为奇函数可得，即可求得，从而可得函数解析式，再根据分母不等于零即可得函数的定义域； （3）任取，且，利用作差法判断的大小即可得出结论. 【详解】（1）因为是其定义域上的奇函数，所以； （2）因为是其定义域上的奇函数，所以， 又由，有，解得，经验证是奇函数，则，定义域为； （3）在区间上的单调递减，理由如下： 对任意，且， ， 因为在单调递增，且，所以，所以， 所以在区间上的单调递减. 巩固训练 1．（23-24高一下·湖南张家界·阶段练习）已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并加以证明； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)函数在定义域上单调递增，证明见解析(3) 【分析】（1）由奇函数的性质可得出，求出实数的值，然后利用函数奇偶性的定义检验即可； （2）判断出函数为上的增函数，然后利用函数单调性的定义证明即可； （3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，利用函数的单调性可得出对任意的恒成立，由可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：对任意的，，则函数的定义域为， 则，解得，此时，， 所以，， 所以，当时，函数为奇函数. （2）解：由（1）知：， 则函数在定义域上单调递增，证明如下： 设任意的，则 因为，则，则， 又，，所以，，即， 所以，函数在定义域上单调递增. （3）解：因为不等式对任意的恒成立， 所以，对任意的恒成立， 因为函数为上的奇函数，且为增函数，则， 则对任意的恒成立，所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 2．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数在上单调递减，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】当时，， 因为和都是减函数，所以在上单调递减， 当时，，要使其在上单调递减，则， 所以，解得，故D正确. 故选：D. 题型九：利用换底公式证明恒等式 例题1．（24-25高一·全国·课后作业）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（    ） A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 【答案】B 【分析】根据换底公式可判断A、B的正误，根据对数的运算性质可判断C、D的正误． 【详解】由logab·logcb＝·≠logca，故A错； 由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确； 对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立. 故选：B. 例题2．（23-24高三上·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项. 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 巩固训练 1．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）直接利用换底公式即可证明结果； （2）直接利用换底公式即可证明结果； （3）根据条件，利用换底公式得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以命题得证. （2）因为，所以命题得证. （3）因为，所以， 故，即的值为. 2．（20-21高一上·江苏苏州·阶段练习）已知a，b，c满足. （1）当时，试讨论a､b､c三个数的大小关系； （2）当a，b，c均为正数，求证：. 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析 【解析】（1）设，得到，在同一坐标系中，分别作出和的图象，结合图象，即可求解； （2）由（1）得到，结合对数的运算公式和换底公式，即可求解. 【详解】（1）设，可得，其中， 在同一坐标系中，分别作出和的图象， 当时，如图图（1）所示，可得； 当时，如图图（2）所示，可得； 当时，如图图（3）所示，可得. （2）设，可得，其中， 可得，， 所以. 题型十：求对数型复合函数的定义域 例题1．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知函数的值域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合对数函数的单调性计算即可得. 【详解】因为的值域是，所以，解得． 故选：A. 例题2．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】求使式子有意义的实数的集合即可. 【详解】要使函数解析式有意义， 则有，即，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 巩固训练 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）函数的定义域为 【答案】 【分析】根据对数的真数为正和二次根号下非负可求定义域. 【详解】由题设有，故，故函数的定义域为， 故答案为：. 2．（24-25高三上·河南·阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据对数函数的性质及分式的意义求解． 【详解】由题意，解得且， 所以定义域为． 故答案为：． 题型十一：求对数型复合函数的值域 例题1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，对进行分类讨论，可得答案. 【详解】的值域为， 当时， 则，为增函数，， 而时，为增函数， 此时，，不符题意； 当时， 则，为减函数，， 而时，为减函数， 此时，， 因为的值域为，当且仅当时，满足题意， 此时，，则，整理得，，解得； 综上，时满足题意. 故选：A 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】求出当时，函数的值域是，再讨论当时，函数的值域，对分两种情况讨论分析即可. 【详解】当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即； 若函数的值域是，则时，． 当时，在上单调递增， 此时，不合题意； 当时，在上单调递减， 此时，即，则， 所以，显然，解得， 又，所以． 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：. 巩固训练 1．（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若，求的值域； (3)讨论的定义域． 【答案】(1)(2)(3)答案见解析 【分析】（1）换元法求函数解析式即可； （2）换元后求出真数的取值范围，再利用对数函数的单调性求值域； （3）分类讨论m的取值范围，再得出函数的定义域. 【详解】（1）令，得， 则， 所以． （2）若，则， 令，当且仅当时，u取得最小值，且最小值为4． 因为为减函数，所以， 故的值域为． （3）． 当时，，则的定义域为； 当时，，则的定义域为； 当时，由，得或， 则的定义域为． 综上，当时，的定义域为；当时，的定义域为． 2．（22-23高二下·山东日照·阶段练习）函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法、对数的单调性进行求解即可； （2）根据（1）的结论，通过常变量分离，结合构造函数、对钩函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）， 令，则有， 因为，所以，因此， 所以函数的值域为； （2）由（1）可知：令，因为，所以， ， 设函数，函数在上单调递增， 所以函数在时单调递增，故， 因此对于恒成立，只需， 因此的取值范围为. 题型十二：对数型函数图象过定点问题 例题1．（24-25高一上·上海·课堂例题）设且，函数的图象恒过定点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用对数函数恒过定点，即可求得这个对数型函数的恒过定点. 【详解】因为的图象恒过定点, 所以函数的图象恒过定点. 故答案为：. 例题2．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据指数函数图象性质可得，再由对数函数图象性质可判断出结论. 【详解】当时，函数单调递增，图象经过第一象限，不合题意； 当时，函数单调递减，图象不经过第一象限，合题意； 显然此时，则函数为单调递增，又恒过点， 因此函数的图象不过第四象限. 故选：D 巩固训练 1．（24-25高二上·山西·开学考试）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】先求出对数函数的定点,再结合点在线上得出1,最后应用基本不等式常值代换计算求解. 【详解】因为当时，所以函数 的图象恒过定点，即，因为点在直线上， 所以即 因为 所以 当且仅当 即时取等号. 故选：D. 2．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数经过的定点，再带入直线可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为函数且的图象恒过定点， 所以，即， 所以， 所以， 当且仅当且，即时取等号. 故选：B. 题型十三：对数型复合函数的单调性 例题1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，且，再根据二次函数的性质即可求解. 【详解】设， 由题意可知，函数在上单调递减，且， 函数的对称轴为， 所以，解得. 故选：. 例题2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 则取值的范围为. 故答案为：. 巩固训练 1．（24-25高三上·四川德阳·开学考试）已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意结合函数是定义在上的增函数得在上单调递增且在上恒成立，从而根据一元二次函数性质即可求解. 【详解】因为在上单调递增， 而函数是定义在上的增函数， 所以在上单调递增，且在上恒成立， 所以，所以a的取值范围是. 故答案为：. 2．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，且. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若函数的最小值为，求的值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）确定函数的定义域，结合复合函数的单调性的判断，即可求得答案； （2）令，分和两种情况讨论，根据函数单调性结合最值，即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以，解得， 即函数的定义域为， ， 因为在上单调递增，在上单调递减， 又，所以在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 即得的单调递增区间为； （2）由（1）令，则，， 当时，函数在上单调递增，函数不存在最小值，故舍去； 当时，函数在上单调递减，， 所以，解得，符合题意，故. 题型十四：求反函数 例题1．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）若函数是函数（，且）的反函数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数的关系可得，再由代入求出，即可得解. 【详解】函数（且）的反函数为， 即，又，所以，所以， 则. 故选：A 例题2．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）若函数是函数（）的反函数，且的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出的解析式，再代入求值即可. 【详解】由函数是函数（）的反函数，得， 又函数的图象经过点，则，因此， 所以. 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数，函数与互为反函数. (1)若函数的值域为，求实数的取值范围； (2)求证：函数仅有1个零点，且. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）由反函数定义可得，从而结合的值域为，讨论m的取值，结合解不等式，求得答案； （2）利用零点存在定理，并结合函数的单调性可证明函数仅有1个零点，从而得到，进而将要证明的不等式等价转化为，由此构造函数，利用函数的单调性证明结论. 【详解】（1）因为函数与互为反函数，所以. 因为的值域为，所以能取遍内的所有值， 当时，能取遍内的所有值，符合题意； 当时，则只需，解得， 综上所述，实数的取值范围为； （2）由（1）可得，定义域为， 因为，， （） 由零点存在定理有，存在零点，使得， 又因为在上单调递增，所以仅有1个零点， 且. 等价于， 令，显然函数在定义域上单调递增， 因为，所以， 因为，所以，则. 所以，故，得证. 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知， (1)求的反函数； (2)已知，若，使得，求的最大值． 【答案】(1)(2)． 【分析】（1）易得，从而根据其单调性求得值域，然后再利用反函数的定义求解； （2）易得，由，得到其定义域为，由在上单调递增，其中．根据，由得到求解. 【详解】（1）解：， 则其在上单调递增，其值域为． 在中互换得，整理得， ，即反函数，定义域为． （2）依题意， 其中，解得，即的定义域为， 则在上单调递增，其中． ， ，． ， 当且仅当，即时取得，此时成立， 的最大值为． 题型十五：求幂函数的定义域 例题1．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知幂函数是定义域上的奇函数，则（    ） A．或3 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及性质列式计算即得. 【详解】由函数是幂函数，得，解得或， 当时，是R上的偶函数，不符合题意， 当时，是上的奇函数，符合题意， 所以. 故选：D 例题2．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知幂函数，则下列结论正确的有（    ） A． B．的定义域为 C．是奇函数 D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】根据幂函数的定义得到，再代入计算即可判断A；根据指数即可得到其定义域，即可判断B；根据函数奇偶性的判断方法即可判断C；根据函数奇偶性和单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】对A，由题知，，得，即，故A正确； 对B，函数的定义域是，故不正确； 对C，因为，所以函数是偶函数，故不正确， 对D，当时，单调递减，所以，解得，且， 即不等式的解集为，故D正确． 故选：AD. 巩固训练 1．（22-23高一上·四川成都·期末）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．函数的定义域为 D．函数的值域为 【答案】BD 【分析】根据幂函数解析式求出,得出解析式,再分别求出定义域值域判断即可. 【详解】因为是幂函数,所以,解得,故B正确; 所以,又因的图象经过点,所以,所以,解得,故A错误; 因为,则其定义域,值域均为,故C错误,D正确. 故选:BD. 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）函数 的定义域是 ． 【答案】 【分析】利用具体函数定义域求法可令根号下的式子大于等于0，且分母不为0，解不等式即可求出定义域. 【详解】易知，要使式子有意义则需满足； 解得， 所以函数的定义域为.故答案为：. 题型十六：幂函数过定点问题 例题1．（23-24高一上·广东韶关·期中）给出下列命题，其中正确的是（ ） A．幂函数图象一定不过第四象限 B．函数的图象过定点 C．是奇函数 D． 【答案】ACD 【分析】由幂函数性质可判断A项，由代入求解可判断B项，由奇函数定义可判断C项，运用换底公式及对数函数单调性可判断D项. 【详解】对于A项，根据幂函数的性质，可知幂函数图象一定不过第四象限，故A项正确； 对于B项，函数， 令，可得，代入可得，图象过定点，故B项错误； 对于C项，令，定义域为， 又因为，且的定义域关于原点对称， 所以是奇函数，故C项正确； 对于D项，， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，故D项正确. 故选：ACD． 例题2．（23-24高一上·贵州毕节·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都通过点 B．互为反函数的两个函数的图象关于直线对称 C．函数恒过定点 D．函数在整个定义域内是单调递减的 【答案】BC 【分析】根据幂函数的性质即可判断A；根据反函数的定义即可判断B；根据指数函数的定点即可判断C；根据反比例函数的单调性即可判断D. 【详解】对于A，幂函数不过，故A错误； 对于B，互为反函数的两个函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，令，则， 所以函数恒过定点，故C正确； 对于D，函数的单调减区间为， 当时，，当时，，故D错误. 故选：BC. 巩固训练 1．（23-24高一上·宁夏银川·期中）已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B．恒过定点 C．若时， D．若时，关于轴对称 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的定义可求得的值判断出；根据幂函数的性质可判断；根据幂函数的单调性可判断；根据函数的奇偶性定义可判断. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，则，故正确； 根据幂函数的图象恒过定点，故正确； 当时，，故函数上单调递增， 则，故错误； 当时，，定义域为，且， 故为偶函数，关于轴对称，故正确. 故选： 2．（22-23高一上·浙江嘉兴·期中）下列有关幂函数的结论中，正确的是（    ） A．的图象都经过点 B．的图象可能会出现在第四象限 C．当时，在是增函数 D．当时，在是减函数 【答案】ACD 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【详解】由幂函数的性质可知，即的图象都经过点，故A正确； 若函数的图象出现在第四象限，且函数在第一象限内必有图象， 从而存在，使得一个对应两个值，与函数的定义矛盾，故B错误； 当时，在是增函数，故C正确； 当时，在是减函数，故D正确. 故选：ACD. 题型十七：判断五种常见幂函数的奇偶性 例题1．（2024·广东深圳·一模）已知函数是定义域上的偶函数，在区间上单调递增，且对任意、均有成立，则下列函数中符合条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，结合函数单调性、奇偶性定义逐一判断每个选项即可得解. 【详解】对于A，因为的定义域为， 又，则是定义域上的偶函数， 当时，显然单调递增， 又，满足题意，故A正确； 对于B，因为幂函数是奇函数，而非偶函数，故B错误； 对于C，对于，有， 而，显然两者不相等，故C错误； 对于D，对于定义域为，有， ，显然两者不相等，故D错误； 故选：A. 例题2．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化问题为函数与有3个交点，进而结合图象求解即可. 【详解】由题意，函数有三个不同的零点， 即方程有3个解， 即函数与有3个交点， 画出函数的大致图象： 由图可知，要使函数与有3个交点， 则， 所以实数b的取值范围为. 故选：D. 巩固训练 1．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】代入法求出，然后根据幂函数的性质判断ABC，平方作差法判断D． 【详解】将点代入函数得：，则． 所以， 显然在定义域上为增函数，所以A正确． 的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确． 当时，，即，所以C正确． 当时， 即成立，所以D正确． 故选：ACD． 2．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】由幂函数的定义：系数为1，再结合偶函数求参数m的值. 【详解】由为幂函数知：，解得或， ∴当时，；当时， 又是偶函数，故，即. 故答案为：. 题型十八：由幂函数的单调性解不等式 例题1．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】设出幂函数解析式代入点待定，再结合函数的单调性与定义域得不等式组求解即可得. 【详解】设幂函数，因为函数图象过点， 则，解得， 则，其定义域为，且在单调递减. 所以由， 可得，解得. 所以实数a的取值范围是.故答案为：. 例题2．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知幂函数的图象与坐标轴无交点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1)；(2)且. 【分析】（1）利用幂函数的定义，结合图象特征求出即得. （2）由幂函数的单调性结合奇偶性求解不等式. 【详解】（1）由是幂函数，得，解得或， 由的图象与坐标轴无交点，得，则， 所以的解析式是. （2）显然函数是偶函数，且在上单调递减， 不等式， 因此，解得且， 所以原不等式的解集为且. 巩固训练 1．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知幂函数满足. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2). 【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值，结合单调性，确定的值，从而得到的解析式； （2）根据的单调性求解不等式. 【详解】（1）由是幂函数， 可得，解得或； 当时，在上单调递减，不满足； 当时，在上单调递增，满足， 故. （2）由（1）知，则函数的定义域为，且函数在上单调递增， 又， 所以解得， 所以实数的取值范围是. 2．（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）已知幂函数在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性即可求得. （2）构造函数，根据其单调性即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为幂函数，所以， 即，解得或， 又因为幂函数在上单调递减，所以，即， 则（舍去），所以. （2）因为，，则， 因为在上单调递增，所以，则， 所以实数的取值范围为. 题型十九：根据零点求函数解析式中的参数 例题1．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据函数零点的存在性定理可知零点，结合对二分法的理解即可得出结果. 【详解】因为， 由零点存在性知：零点， 根据二分法，第二次应计算，即. 故选：B. 例题2．（23-24高一上·安徽亳州·阶段练习）已知幂函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．当的图象经过点时，为奇函数 C．若幂函数的图象经过点，函数在为减函数 D．函数的图象都不经过第四象限 【答案】BCD 【分析】根据幂函数的定义及性质即可判断. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得：， 则. 对于选项A：，故选项A错误； 对于选项B：当的图象经过点时，有，解得：. 则，此时函数为奇函数，故选项B正确； 对于选项C：若幂函数的图象经过点， 则，解得：， 则，此时函数在为减函数，故选项C正确； 对于选项D：因为，当时，由不等式性质可得：， 所以函数的图象都不经过第四象限，故选项D正确. 故选：BCD 巩固训练 1．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数的两个零点分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知条件得到，，进而逐项判断即可. 【详解】由题意可得：① ，②，③ 由①+②可得：，所以，A正确； ， 因为，所以，B正确； ②①可得：， 所以，C错误； 因为，，D正确. 故选：ABD 2．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数 (1)若函数只有一个零点，求的值； (2)证明：曲线是轴对称图形； (3)若函数的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)2(2)证明见解析(3) 【分析】（1）由有一个解，即方程有一个根，根据判别式为0求解即可； （2）因为关于直线对称，不妨猜测也关于直线对称，因此只需验证是否成立即可； （3）若函数的值域为，只需能取遍所有正数即可，因此方程的判别式即可. 【详解】（1）依题意， 所以方程有一个解， 即方程只有一个根， 所以， 解得. （2）因为， 所以关于直线对称， 因此曲线是轴对称图形. （3）若函数的值域为， 只需能取遍所有正数即可， 因此方程的判别式， 解得. 题型二十：二分法求函数零点的过程 例题1．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65 【答案】C 【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果 【详解】由题意可知，对区间内，设零点为， 因为，，，所以，精确度为， 又，，，精确度为， 又，，，精确度为 又，，，精确度为， 需要求解的值， 然后达到零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次. 故选：C 例题2．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数的部分函数值如下表所示： 1 0.625 0.5625 0.632 0.2776 0.0897 那么的一个零点的近似值（精确到0.01）为（    ） A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.70 【答案】B 【分析】根据给定条件直接判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断作答. 【详解】因为在上均单调递增， 则函数在R上单调递增， 由数表知：， 由零点存在性定义知，函数的零点在区间内， 所以函数的一个零点的近似值为. 故选：B 巩固训练 1．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数恰有两个零点，则实数a可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABC 【分析】利用函数图象的两个交点，写出结果即可． 【详解】函数有两个零点， 则的图象有两个交点， 画出函数和的图象，如图 结合图象可知. 故选：ABC 2．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知. (1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程的近似解（精确到0.1） (2)设，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）先说明的单调性，再由，，应用二分法求近似解； （2）由题设可得，进而有，且，转化为证，结合（1）即可证结论. 【详解】（1）由解析式知：在上递增， ，， ，则， ，则， 又，且，， 所以更接近于零点，故方程的近似解为. （2）由题设， 故，且， 要证，只需，即， 由（1）知，显然成立， 综上，，得证. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数知识归纳与题型突破（题型清单） 知识一、整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）；（2）；（3）；（4）． 知识二、根式的概念和运算法则 1、次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2、两个等式 （1）当且时，； （2） 知识三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 知识四、有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 （1）（2）（3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 知识五、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 知识六、实数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 知识七、指数函数的概念： 函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为． 知识八、指数函数的图象及性质： 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 知识九、指数函数底数变化与图象分布规律 （1） ①，②，③，④，则： 又即：时，（底大幂大） 时， （2）特殊函数 ，，，的图象： 知识点一、对数概念 知识十、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 知识十一、对数（且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 知识十二、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 知识十三、对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 知识十四、对数公式 1、对数恒等式： 2、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：． 知识十五、对数函数的概念 1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为． 2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 知识十六、对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 知识十七、底数对对数函数图象的影响 1、底数制约着图象的升降． 如图 2、底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图象愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图） 知识十八、反函数 1、反函数的定义 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为． 由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域． 2、反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． （2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上． 知识十九、二分法 1、二分法 对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法． 2、用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度． 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中． 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度． 3、关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位． （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． 知识二十、函数的零点 1、函数的零点 （1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. （2）二次函数的零点 二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表. 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 （3）二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 2、函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. 3、零点个数的判断方法 （1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. （2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. （3）数形结合法： ①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； ②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数. 4、判断函数零点所在区间 （1）将区间端点代入函数求函数的值； （2）将所得函数值相乘，并进行符号判断； （3）若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。 5、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 （1）直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式； （2）数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； （3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题． 题型一：指对数运算及化简 例题1．（23-24高一上·天津·期中）（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 例题2 ．（22-23高一上·河南郑州·期中）（1）求值：； （2）已知，求值：. 巩固训练 1．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）计算下列各式的值： (1) (2) 2．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）计算： (1)； (2)． 题型二：根据函数是指数函数求参数 例题1．（23-24高一上·安徽滁州·期中）已知函数为指数函数，函数为奇函数. (1)求的解析式； (2)设函数满足，若不等式恒成立 ，求实数的最大值. 例题2．（23-24高一下·山西·期末）已知函数是指数函数. (1)求实数的值； (2)解不等式 巩固训练 1．（19-20高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数是指数函数. （1）求实数的值；并求出关于的不等式：的解集； （2）判断的奇偶性，并加以证明. 2．（22-23高一下·安徽马鞍山·阶段练习）已知点在指数函数的图象上 (1)求，的值； (2)判定函数在上的单调性并证明． 题型三：根据指数型函数图象判断参数范围 例题1．（23-24高一上·浙江温州·期中）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 根据的单调性确定，由确定. 巩固训练 1．（23-24高一上·江西·期中）已知函数（且）的大致图象如下所示，则（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一上·宁夏吴忠·期中）如图是指数函数（1），（2），（3），（4）的图象，则，，，与的大小关系是 题型四：指数型函数图象过定点问题 例题1．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例题2．（24-25高三上·宁夏吴忠·阶段练习）函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，且，则的最小值为（   ） A．13 B．16 C． D．28 巩固训练 1．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数且的图象恒过定点 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的最小值为6 D．函数的单调增区间为 题型五：比较指对幂的大小 例题1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25高三上·北京房山·阶段练习）已知，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·青海海东·期中）下列判断正确的有（    ） A． B． C． D． 题型六：含参指数函数的值域 8．（23-24高三上·北京·阶段练习）若函数有最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值是7，则 . 巩固训练 1．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)设函数，若存在最小值，求实数的值. 2．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知指数函数 的图象经过点 . (1)求函数 的解析式并判断 的单调性； (2)函数 ， 求函数 在区间 上的最小值. 题型七：求指数型复合函数的值域 例题1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求的解析式； (2)求当时，函数的值域． 例题2．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知函数为奇函数． (1)写出k的值并求函数的值域； (2)当时，恒成立，求m的取值范围． 巩固训练 1．（23-24高一上·西藏那曲·期末）已知函数． (1)若，求实数x的取值范围； (2)求的值域． 2．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数，． (1)当时，求函数的值域； (2)设函数，若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围． 题型八：判断指数函数的单调性 例题1．（24-25高三上·黑龙江鹤岗·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义加以证明； (3)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 例题2．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知是其定义域上的奇函数，且 (1)求的值； (2)求a与b的值，并求出的解析式（注明定义域）； (3)判断在上的单调性，并根据定义证明. 巩固训练 1．（23-24高一下·湖南张家界·阶段练习）已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并加以证明； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 2．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型九：利用换底公式证明恒等式 例题1．（24-25高一·全国·课后作业）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（    ） A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 例题2．（23-24高三上·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 2．（20-21高一上·江苏苏州·阶段练习）已知a，b，c满足. （1）当时，试讨论a､b､c三个数的大小关系； （2）当a，b，c均为正数，求证：. 题型十：求对数型复合函数的定义域 例题1．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知函数的值域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）函数的定义域为 . 巩固训练 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）函数的定义域为 2．（24-25高三上·河南·阶段练习）函数的定义域为 . 题型十一：求对数型复合函数的值域 例题1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是 巩固训练 1．（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若，求的值域； (3)讨论的定义域． 2．（22-23高二下·山东日照·阶段练习）函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 题型十二：对数型函数图象过定点问题 例题1．（24-25高一上·上海·课堂例题）设且，函数的图象恒过定点，则点的坐标是 ． 例题2．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 巩固训练 1．（24-25高二上·山西·开学考试）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．8 2．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十三：对数型复合函数的单调性 例题1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围 ． 巩固训练 1．（24-25高三上·四川德阳·开学考试）已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 2．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，且. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若函数的最小值为，求的值. 题型十四：求反函数 例题1．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）若函数是函数（，且）的反函数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）若函数是函数（）的反函数，且的图象经过点，则 ． 巩固训练 1．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数，函数与互为反函数. (1)若函数的值域为，求实数的取值范围； (2)求证：函数仅有1个零点，且. 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知， (1)求的反函数； (2)已知，若，使得，求的最大值． 题型十五：求幂函数的定义域 例题1．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知幂函数是定义域上的奇函数，则（    ） A．或3 B．3 C． D． 例题2．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知幂函数，则下列结论正确的有（    ） A． B．的定义域为 C．是奇函数 D．不等式的解集为 巩固训练 1．（22-23高一上·四川成都·期末）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．函数的定义域为 D．函数的值域为 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）函数 的定义域是 ． 题型十六：幂函数过定点问题 例题1．（23-24高一上·广东韶关·期中）给出下列命题，其中正确的是（ ） A．幂函数图象一定不过第四象限 B．函数的图象过定点 C．是奇函数 D． 例题2．（23-24高一上·贵州毕节·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都通过点 B．互为反函数的两个函数的图象关于直线对称 C．函数恒过定点 D．函数在整个定义域内是单调递减的 巩固训练 1．（23-24高一上·宁夏银川·期中）已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B．恒过定点 C．若时， D．若时，关于轴对称 2．（22-23高一上·浙江嘉兴·期中）下列有关幂函数的结论中，正确的是（    ） A．的图象都经过点 B．的图象可能会出现在第四象限 C．当时，在是增函数 D．当时，在是减函数 题型十七：判断五种常见幂函数的奇偶性 例题1．（2024·广东深圳·一模）已知函数是定义域上的偶函数，在区间上单调递增，且对任意、均有成立，则下列函数中符合条件的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 题型十八：由幂函数的单调性解不等式 例题1．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 . 例题2．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知幂函数的图象与坐标轴无交点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 巩固训练 1．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知幂函数满足. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 2．（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）已知幂函数在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 题型十九：根据零点求函数解析式中的参数 例题1．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 例题2．（23-24高一上·安徽亳州·阶段练习）已知幂函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．当的图象经过点时，为奇函数 C．若幂函数的图象经过点，函数在为减函数 D．函数的图象都不经过第四象限 巩固训练 1．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数的两个零点分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数 (1)若函数只有一个零点，求的值； (2)证明：曲线是轴对称图形； (3)若函数的值域为，求的取值范围． 题型二十：二分法求函数零点的过程 例题1．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65 例题2．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数的部分函数值如下表所示： 1 0.625 0.5625 0.632 0.2776 0.0897 那么的一个零点的近似值（精确到0.01）为（    ） A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.70 巩固训练 1．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数恰有两个零点，则实数a可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知. (1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程的近似解（精确到0.1） (2)设，求证：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$