第02讲 指数函数的性质与图象（4个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第二册）

第02讲 指数函数的性质与图象 课程标准 学习目标 1.理解指数函数的概念与意义,掌握指数函数的定义域、值域的求法; 2.能画出具体指数函数的图象,并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质; 3.掌握指数函数的性质并会应用,能利用指数函数的单调性比较幂的大小。 1.通过理解指数函数的概念和意义,了解指数函数的实际背景,掌握指数函数的性质与图象,发展数学抽象的核心素养. 2.通过指数函数的实际应用,初步学会运用指数函数来解决问题,提升数学建模的核心素养. 3.通过例题熟练掌握指数函数的图象、性质.进一步深入理解指数函数的单调性及其应用,提升逻辑推理、数学运算及数学抽象的核心素养. 知识点01 指数函数的概念 　　一般地,函数y=ax称为指数函数,其中a是常数,a>0且a≠1。 【即学即练1】 1．下列函数中是指数函数的是　　　　。(填序号)  ①y=2×()x;②y=2x-1;③y=。 知识点02 指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 R 值域 (0,+∞) 过定点 (0,1),即当x=0时,y=　1　  单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 【即学即练2】 2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则(　　) A．a<0，b<0 B．a<0，b>0 C．0<a<1，b>1 D．0<a<1,0<b<1 知识点03比较指数幂的大小 比较幂的大小的常用方法： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 【即学即练3】 3.已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 知识点04简单指数不等式的解法 1、形如的不等式，可借助的单调性求解； 2、形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； 3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。 【即学即练4】 4.求不等式的解集. 题型01 指数函数的概念及应用 【典例1】若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【变式1】下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【变式3】若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 【变式4】若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型02 指数型函数的定义域 【典例2】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数的定义域为 ． 【变式3】函数（且）的定义域为，则 ． 【变式4】求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 题型03 指数型函数的值域 【典例3】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 【变式2】函数的定义域为．则其值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数的值域是 ． 【变式4】已知函数的值域为，则a的取值范围是 ． 题型04 指数型函数的单调性 【典例4】函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【变式1】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知指数函数单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型05 指数函数的图象问题 【典例5】已知函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数图象的大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【变式4】若函数的图象如图所示，且，则实数，的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5】若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 题型06 指数型函数过定点问题 【典例6】已知函数的图象经过定点，则 ． 【变式1】已知函数（且），则必过的定点M的坐标为 ． 【变式2】函数（且）无论取何值，函数图象恒过一个定点，则定点坐标为 . 【变式3】对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 . 题型07 比较指数幂的大小 【典例7】已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】若，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式4】已知，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 题型08 指数型函数不等式问题 【典例08】（23-24高一上·天津·期末）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数的定义域为 ． 【变式3】已知，则的取值范围 ． 【变式4】设，若，求实数x的取值范围. 题型09 指数型函数的奇偶性问题 【典例09】函数是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【变式1】已知偶函数和奇函数的定义域均为，且，则（    ） A． B． C．的最小值为2 D．是减函数 【变式2】函数为奇函数. (1)求的值; (2)判断的增减性，并证明. 【变式3】已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求的解析式； (2)求当时，函数的值域． 一、单选题 1．已知指数函数在上单调递增，则的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 2．的值域是（ ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．已知函数，则函数的增区间是（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．已知，那么大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．若函数有最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知指数函数在上的最大值与最小值之差为2，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．的图象关于坐标原点对称 B．的图象关于轴对称 C．的最大值为1 D．在定义域上单调递减 11．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．在上单调递增 三、填空题 12．若函数（且）经过的定点是P，则P点的坐标是 ． 13．已知函数在上单调递减，则的取值范围为 . 14．已知函数，若对于任意的，总存在，使得成立，则实数m的取值范围为 ． 四、解答题 15．求函数的单调区间与值域. 16．已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域 17．已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若的最大值为9，求a的值． 18．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求a，b的值； (2)求该函数的值域： (3)若对于任意，不等式恒成立，求k的范围． 19．已知函数（且）在上的最大值与最小值之和为20，记． (1)求a的值及函数的值域； (2)证明：为定值；并求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 指数函数的性质与图象 课程标准 学习目标 1.理解指数函数的概念与意义,掌握指数函数的定义域、值域的求法; 2.能画出具体指数函数的图象,并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质; 3.掌握指数函数的性质并会应用,能利用指数函数的单调性比较幂的大小。 1.通过理解指数函数的概念和意义,了解指数函数的实际背景,掌握指数函数的性质与图象,发展数学抽象的核心素养. 2.通过指数函数的实际应用,初步学会运用指数函数来解决问题,提升数学建模的核心素养. 3.通过例题熟练掌握指数函数的图象、性质.进一步深入理解指数函数的单调性及其应用,提升逻辑推理、数学运算及数学抽象的核心素养. 知识点01 指数函数的概念 　　一般地,函数y=ax称为指数函数,其中a是常数,a>0且a≠1。 【即学即练1】 1．下列函数中是指数函数的是　　　　。(填序号)  ①y=2×()x;②y=2x-1;③y=。 【答案】　③ 【详解】　①中指数式()x的系数不为1,故不是指数函数;②中y=2x-1=×2x,指数式2x的系数不为1,故不是指数函数;③是指数函数。 知识点02 指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 R 值域 (0,+∞) 过定点 (0,1),即当x=0时,y=　1　  单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 【即学即练2】 2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则(　　) A．a<0，b<0 B．a<0，b>0 C．0<a<1，b>1 D．0<a<1,0<b<1 【答案】C　 【详解】函数y＝ax的图象是下降的，所以0<a<1；函数y＝bx的图象是上升的，所以b>1． 知识点03比较指数幂的大小 比较幂的大小的常用方法： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 【即学即练3】 3.已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可. 【详解】易知， 又定义域上单调递减，，所以， 易知单调递增，， 则， 综上. 故选：A. 知识点04简单指数不等式的解法 1、形如的不等式，可借助的单调性求解； 2、形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； 3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。 【即学即练4】 4.求不等式的解集. 【答案】. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以，即， ， 解得， 所以不等式的解集为. 题型01 指数函数的概念及应用 【典例1】若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据指数函数的概念可得且且，解之可得，进而求解. 【详解】函数是指数函数， 且且，解得， ，. 故选：A． 【变式1】下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数概念判定. 【详解】形如的函数为指数函数. 故是指数函数，其他选项函数都不是指数函数. 故选：D. 【变式2】已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】先求得的解析式，进而求得. 【详解】设且， 将代入得， 解得，所以， 所以. 故选：C 【变式3】若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 【答案】A 【分析】根据指数函数定义求参. 【详解】因为是指数函数， 所以，且 所以. 故选：A. 【变式4】若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义即可求解. 【详解】因为函数（是自变量）是指数函数，所以，解得：且； 故选：C 题型02 指数型函数的定义域 【典例2】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 【变式1】设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的定义域后可求的定义域， 【详解】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 【变式2】函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】函数的定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足：，解得且. 故答案为： 【变式3】函数（且）的定义域为，则 ． 【答案】/ 【分析】根据函数的定义域列不等式，结合指数函数和对数运算等知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 当时，，与已知矛盾. 当时，， 函数的定义域为， 所以，，两边平方得. 故答案为： 【变式4】求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）根据二次根式与指数函数性质求解； （2）利用指数函数性质结合分式的定义求解； 【详解】（1）由题意，，，所以定义域为； （2）由题意，即，所以定义域为； （3）由题意，即，，，所以定义域为． 题型03 指数型函数的值域 【典例3】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求出的范围，根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】依题意， 令，则， 因为单调递减，且 所以， 所以. 故选：A. 【变式1】函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性来得到值域. 【详解】因为， 那么可知 ， 而函数在上是增函数，故有：， 所以: ，故C项正确 故选：C. 【变式2】函数的定义域为．则其值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，结合指数函数单调性即可求解. 【详解】由题意，所以，. 故选：C. 【变式3】函数的值域是 ． 【答案】 【解析】 令则， 由于在单调递减,单调递增， 所以，故的值域为. 【变式4】已知函数的值域为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，，而函数在上单调递增， 又是增函数， 因此函数在上单调递增， ，即函数在上的值域为， 当时，函数的值域为，而函数的值域为， 因此，而当时，， 必有，解得， 所以a的取值范围是. 题型04 指数型函数的单调性 【典例4】函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数是实数集上的减函数， 因为二次函数的开口向下，对称轴为， 所以二次函数在时单调递增，在时单调递减， 由复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间是，故选：C 【变式1】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由复合函数的单调性，代入计算，即可得到结果. 【详解】令，则，单调递减， ，单调递增，且在上单调递增， 由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为. 故选：B 【变式2】设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性列式求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式3】已知指数函数单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质，列式求解. 【详解】指数函数单调递减，则，得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【变式4】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得：在上单调递增，根据二次函数的性质列不等式即可. 【详解】由题意得：在上单调递增， 所以对称轴，所以. 故选：B. 题型05 指数函数的图象问题 【典例5】已知函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排除法，根据函数的定义域、符号性逐项分析判断. 【详解】由题意可知：的定义域为， 对于选项A：因为的定义域为，不合题意，故A错误； 对于选项B：因为，不合题意，故B错误； 对于选项C：当x趋近于时，趋近于0，不合题意，故C错误； 故选：D. 【变式1】函数图象的大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】结合指数函数单调性以及特殊点即可判断. 【详解】由题意， 所以当时，单调递增，且， 当时，单调递减，且， 且当从左边趋于0时，趋于，当从右边趋于0时，趋于1. 故选：A. 【变式2】函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先分析题意，根据指数函数性质进行判断即可. 【详解】，故为偶函数，图象关于y轴对称.观察可知函数在为增函数，增长方式上应与指数函数相似. .故选：D. 【变式3】已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意画出函数图象，结合指数函数图象相关性质和对数的运算法则进行计算即可. 【详解】由题意得，， 作出函数图象如图所示，    令，解得或， 则当，时，取得最大值， 此时. 故选：B 【变式4】若函数的图象如图所示，且，则实数，的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】依据函数的图象的单调性，先确定出，在结合，得到，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得函数为单调递增函数，所以， 又由，可得，可得， 结合选项，只有C项适合. 故选：C. 【变式5】若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论． 【详解】解：如图所示，图象与轴的交点在轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且， ，且． 故选：． 题型06 指数型函数过定点问题 【典例6】已知函数的图象经过定点，则 ． 【答案】9 【解析】因为函数的图象经过定点， 则，解得， 可知，所以． 【变式1】已知函数（且），则必过的定点M的坐标为 ． 【答案】 【解析】不论（且）为何值，当时，， 所以函数必过的定点的坐标为. 【变式2】函数（且）无论取何值，函数图象恒过一个定点，则定点坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意，令，求得和，即可求解. 【详解】由函数（且）， 令，解得，则，所以函数恒经过定点. 故答案为：. 【变式3】对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 . 【答案】 【分析】由题意首先得，然后代入得，由此即可得解. 【详解】因为函数 的图象恒过定点，所以，所以， 所以， 又的图象也过点， 所以，又，解得， 所以. 故答案为：. 题型07 比较指数幂的大小 【典例7】已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数的图象性质比较大小即得. 【详解】依题意，结合指数函数图象以及单调性，知，所以. 故选：A 【变式1】已知是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由可得，然后结合不等式的性质和充分条件与必要条件的定义分析判断. 【详解】因为在上递增，且， 所以，所以， 所以，即， 当时，可能，可能，也可能， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式2】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知利用指数函数的单调性有，再利用函数和的单调性比较三个数的大小. 【详解】若，且， 函数在R上为减函数，，则， 函数在R上为减函数，有， 函数在上为增函数，， 可得. 故选：C. 【变式3】若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据指数函数的单调性知，， 而，故，故选：D 【变式4】已知，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在上单调递减，且， 可得，即， 又因为在上单调递增，且，可得， 所以.故选：A. 题型08 指数型函数不等式问题 【典例08】（23-24高一上·天津·期末）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化成同底数指数幂，然后参变分离，可知的取值范围. 【详解】因为，所以， ，即 ， 当时，有最小值， ， 故选：A 【变式1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用指数函数的性质，转化为或，进而求得不等式的解集. 【详解】由不等式等价于，可得， 所以或，解得或， 所以不等式的解集为． 故选：B. 【变式2】函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据根式的性质得到不等式，解二次不等式，得到定义域. 【详解】令，解得，故定义域为. 故答案为： 【变式3】已知，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】原不等式等价于, 因为指数函数在R上单调递增， 所以, 解得, 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【变式4】设，若，求实数x的取值范围. 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为指数函数在上单调递增， 又，所以， 整理得，解得或， 可得实数的范围为. 题型09 指数型函数的奇偶性问题 【典例09】函数是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断. 【详解】解：函数的定义域为R， 因为， 所以函数是偶函数， 故选：B. 【变式1】已知偶函数和奇函数的定义域均为，且，则（    ） A． B． C．的最小值为2 D．是减函数 【答案】BC 【分析】根据函数的奇偶性构造方程求出函数解析式，据此判断AB，再由均值不等式及单调性判断CD. 【详解】由， 得，两式相加得， 则， 所以，，A错误，B正确． 因为，所以（当且仅当时，等号成立）， 因为均是上的增函数，是上的增函数，C正确，D错误． 故选：BC 【变式2】函数为奇函数. (1)求的值; (2)判断的增减性，并证明. 【答案】(1)1 (2)增函数，证明见解析 【分析】（1）根据奇函数性质解得，并代入检验即可； （2）根据函数单调性的定义结合指数函数性质分析证明即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且为奇函数， 则，解得； 若，则， 可得， 即，可知为奇函数； 综上所述：. （2）是增函数，理由如下： 任取，令， 则， 因为，则，可得， 则，即， 所以为定义在上的增函数. 【变式3】已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求的解析式； (2)求当时，函数的值域． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出a，b作答. （2）由（1）的结论，求出函数的解析式，结合二次函数求出值域.. 【详解】（1）由函数是上的奇函数，则有，解得，即， ，， 即，，解得，经验证得，时，是奇函数， 所以. （2）由（1）知，， 当时，，因此当时，，当时，， 所以所求值域为. 一、单选题 1．已知指数函数在上单调递增，则的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】令系数为，解出的值，又函数在上单调递增，可得答案． 【详解】解得， 又函数在上单调递增，则， 故选：B 2．的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性，即可求解函数的值域. 【详解】函数单调递减，所以函数的最大值为， 最小值为，所以函数的值域为. 故选：D 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性及二次根式的意义可求得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，可得，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：A. 4．已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由，列出方程，求出的值，再检验定义域是否关于原点对称即可. 【详解】由得：， 解得，. 当时，，定义域为关于原点对称， 故符合题意， 故选：B. 5．已知函数，则函数的增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性结合指数函数单调性分析判断. 【详解】令，可得， 可知在内单调递减，在内单调递增， 且在定义域内单调递增， 则在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 6．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性及零点个数即可判断得解. 【详解】函数的定义域为R，，函数是奇函数，图象关于原点对称，BD错误； 由，得，因此函数有唯一零点，的图象与x轴仅只一个交点，C错误，A满足. 故选：A 7．已知，那么大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数单调性，结合中间值比较大小. 【详解】，故. 故选：B 8．若函数有最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，将转化为关于的函数，讨论开口方向与对称轴判断即可. 【详解】设，则，，有最小值. 当时，二次函数开口向下，无最小值； 当时，无最小值； 当时，若在上有最小值，则对称轴，解得. 故选：A 二、多选题 9．已知指数函数在上的最大值与最小值之差为2，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分和两种情况，根据题意列方程求解即可. 【详解】当时，单调递减， 所以，，即，解得（负根已舍弃）； 当时，单调递增， 所以，，即，解得（不符合条件的根已舍弃）. 综上，实数的值为或. 故选：BD 10．已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．的图象关于坐标原点对称 B．的图象关于轴对称 C．的最大值为1 D．在定义域上单调递减 【答案】AD 【分析】根据函数的奇偶性可判断AB；分离常数求出值域可判断C；分离常数后判断单调性可判断D. 【详解】因为，所以为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A正确； 因为，，，所以不是偶函数，图象不关于轴对称，故不B正确； 因为，又，所以，所以， 所以，故C不正确； 因为，且为增函数，所以在定义域上单调递减，故D正确. 故选：AD 11．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】由已知结合指数函数的性质及函数图象的平移可求，进而可求函数解析式，根据解析式分析相关的性质. 【详解】函数的图象过原点，则，即， 函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交，故是图象的一条渐近线， 则， ，A选项正确，B选项错误； 函数，定义域为R， ，是偶函数，C选项正确； 时，，所以在上单调递减，D选项错误； 故选：AC 三、填空题 12．若函数（且）经过的定点是P，则P点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据的图象过点可得答案. 【详解】的图象过点， 图象由的图象右移3个单位、上移7个单位得到， 故过定点． 故答案为：． 13．已知函数在上单调递减，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据二次函数、指数函数的单调性，结合复合函数单调性判断的区间单调性，结合已知单调区间求参数范围. 【详解】令，则在上递减，在上递增，而在定义域上为增函数， 所以在上递减，在上递增， 又在上单调递减，故，则. 故答案为： 14．已知函数，若对于任意的，总存在，使得成立，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】若对意，存在，使得成立，只需 ，分别利用单调性求出两个函数的最小值即得． 【详解】因为，对当 单调递减，当单调递增，故，所以存在使得成立． 令，， 则存在使得成立，即成立 所以． 又因为，所以 所以． 故答案为： 四、解答题 15．求函数的单调区间与值域. 【答案】单调减区间是，单调增区间是；值域是 【分析】单调性根据复合函数的单调性同增异减得出，值域根据换元法得出. 【详解】函数， 设. ， 当时，， ，即. 函数在上的值域是. 又原函数是由和两个函数复合而成， 第一个函数是单调减函数，第二个函数在区间上是单调增函数，在区间上是单调减函数 函数的单调减区间是，单调增区间是. 16．已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入即可求解， （2）利用换元法，结合指数函数以及二次函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点，则， 解得，因此，． （2），令，因为，则， 令， 当时，函数单调递减，此时，， 当时，函数单调递增，此时，， 故当时，， 又因为，故， 所以，函数在上的值域为． 17．已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若的最大值为9，求a的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据二次函数、指数函数单调性求复合函数的值域； （2）令，由指数函数单调性得，结合二次函数性质列方程求参数. 【详解】（1）由题设，若，则， 在上递减，在上递增，则， 在定义域上递增，则， 所以的值域为. （2）令，则， 又在定义域上递增，而的最大值为9，即， 则开口向下且对称轴为，， 所以. 18．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求a，b的值； (2)求该函数的值域： (3)若对于任意，不等式恒成立，求k的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合和，列出方程，即可求解； （2）由（1）得到，得出为递减函数，结合指数函数的性质，进而求得函数的值域； （3）根据题意，转化为，得到恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为定义域为的函数是奇函数， 所以，解得，即 又由，可得，解得，所以， 经检验，符合题意，所以. （2）解：由（1）知，，可得函数为单调递减函数， 又因为，可得，所以，所以， 所以函数的值域为. （3）解：对于任意，不等式恒成立， 因为函数为奇函数，可得， 又因为函数为单调递减函数，可得，即恒成立， 又由，所以， 所以实数的取值范围为. 19．已知函数（且）在上的最大值与最小值之和为20，记． (1)求a的值及函数的值域； (2)证明：为定值；并求的值． 【答案】(1)，的值域为 (2)证明见解析；100 【分析】（1）根据指数函数的单调性即可根据最值求解，理由分离常数即可结合不等式的性质求解值域， （2）代入即可根据指数幂的运算化简即可求解，进而可求解. 【详解】（1）由题意有，解得或（舍去）， 则， ∵，∴，，， ∴，函数的值域为. （2）， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$