第01讲 实数指数幂及其运算（4个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第二册）

第01讲 实数指数幂及其运算 课程标准 学习目标 ①有理指数幂含义及运算 ②实数指数幂 1.理解有理数指数幂的含义,会用幂的运算法则进行有关计算. 2.通过具体实例了解实数指数幂的意义. 3.通过本节的学习,体会“用有理数逼近无理数”的思想,可利用计算器或计算机实际操作,感受“逼近”的过程. 知识点01 n次方根的定义及表示 (1)定义 给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__ __，则__ _称为__ __的n次方根． (2)表示 ①0的任意正整数次方根均为___，记为__ __； ②正数a的偶数次方根有__ __个，它们互为__ __数，其中正的方根称为a的n次____根，记为____，负的方根记为____；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a＜0且n为偶数时，没有意义； ③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为____．而且正数的奇数次方根是一个____数，负数的奇数次方根是一个____数． 【即学即练1】 1．若＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．[2，4)∪(4，＋∞) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，4)∪(4，＋∞) 知识点02 根式的定义和性质 (1)定义 当 有意义时， 称为根式，n称为____，a称为_ _． (2)性质 ①＝____； ②当n为奇数时，＝____；当n为偶数时，＝____． 【即学即练2】 2．（    ） A．0 B． C．1 D．2 知识点03有理数指数幂 （1）如果m，n∈N*，n＞1，且是既约分数，那么当有意义时，规定：＝____，a＝____． （2）有理数指数幂的运算法则 asat＝__ __，(as)t＝__ __，(ab)s＝__ _． 【即学即练3】 3．（多选）下列表达式不正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点04实数指数幂的运算律 （1）aras＝__ __(a>0，r，s∈__R_). （2）(ar)s＝__ __(a>0，r，s∈__R__). （3）(ab)r＝__ __(a>0，b>0，r∈__R__). 【即学即练4】 4．的值是(　　) A．3 B．3 C．9 D．81 题型01 根式的性质与运算 【典例1】下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）下列说法中正确的是（    ） A．16的4次方根是 B． C． D． 【变式2】 . 【变式3】已知，化简： ． 【变式4】求下列各根式的值： (1) (2)（其中）． 题型02 根式与分数指数幂的互化 【典例2】（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 【变式1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】化简：= . 【变式4】（1）求值： （2）用分数指数幂表示 题型03 指数幂的运算与化简 【典例3】计算：． 【变式1】．若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 【变式2】已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】（多选）下列运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】化简： . 【变式5】计算： . 题型03 条件求值问题 【典例4】已知，求下列各式的值： ①； ②. 【变式1】已知实数满足，则的值为（    ） A．14 B．16 C．12 D．18 【变式2】已知，那么等于（    ） A． B． C． D．7 【变式3】已知，则的值为 . 【变式4】已知，求下列各式的值： ① ；       ②；       ③. 一、单选题 1． （    ） A． B． C． D． 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．化简的结果为（    ） A．5 B． C． D． 5．已知且，则有（ ） A． B． C． D． 6．若，则（    ） A．1 B． C． D． 7．已知，则的值(    ) A． B． C． D． 8．已知，则的值是（　　） A． B． C．24 D． 9．当有意义时，化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 12．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 13．若实数满足，则（    ） A．且 B．的最大值为 C．的最小值为7 D． 三、填空题 14．计算 ． 15．化简： . 16．借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）.根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于 . 四、解答题 17．化简求值: (1)； (2)． 18．计算． (1)； (2)． 19．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 实数指数幂及其运算 课程标准 学习目标 ①有理指数幂含义及运算 ②实数指数幂 1.理解有理数指数幂的含义,会用幂的运算法则进行有关计算. 2.通过具体实例了解实数指数幂的意义. 3.通过本节的学习,体会“用有理数逼近无理数”的思想,可利用计算器或计算机实际操作,感受“逼近”的过程. 知识点01 n次方根的定义及表示 (1)定义 给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__xn＝a__，则__x__称为__a__的n次方根． (2)表示 ①0的任意正整数次方根均为__0__，记为____； ②正数a的偶数次方根有__两__个，它们互为__相反__数，其中正的方根称为a的n次__算术__根，记为____，负的方根记为__－__；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a＜0且n为偶数时，没有意义； ③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为____．而且正数的奇数次方根是一个__正__数，负数的奇数次方根是一个__负__数． 【即学即练1】 1．若＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．[2，4)∪(4，＋∞) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，4)∪(4，＋∞) 【答案】B 【解析】要使原式有意义，需满足解得2≤a<4或a>4. 知识点02 根式的定义和性质 (1)定义 当有意义时，称为根式，n称为__根指数__，a称为__被开方数__． (2)性质 ①＝__a__； ②当n为奇数时，＝__a__；当n为偶数时，＝__|a|__． 【即学即练2】 2．（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据指数幂运算计算即可. 【详解】，故选：D. 知识点03有理数指数幂 （1）如果m，n∈N*，n＞1，且是既约分数，那么当有意义时，规定：＝____，a＝____． （2）有理数指数幂的运算法则 asat＝__as＋t__，(as)t＝__ast__，(ab)s＝__asbs__． 【即学即练3】 3．（多选）下列表达式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对于AB，根据指数幂的运算性质分析判断，对于CD，根据根式的运算性质分析判断. 【详解】对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B正确， 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误． 故选：CD． 知识点04实数指数幂的运算律 （1）aras＝__ar＋s__(a>0，r，s∈__R_). （2）(ar)s＝__ars__(a>0，r，s∈__R__). （3）(ab)r＝__arbr__(a>0，b>0，r∈__R__). 【即学即练4】 4．的值是(　　) A．3 B．3 C．9 D．81 【答案】B 【解析】()×()＝[()2]＝3. 题型01 根式的性质与运算 【典例1】下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误. 【详解】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 【变式1】（多选）下列说法中正确的是（    ） A．16的4次方根是 B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用根式的定义即可求解. 【详解】对于A，16的4次方根有两个，为，故A正确； 对于B，负数的3次方根是一个负数，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，是非负数，所以，故D正确． 故选：AD. 【变式2】 . 【答案】1 【分析】由根式的运算性质求解即可. 【详解】. 故答案为：1 【变式3】已知，化简： ． 【答案】 【分析】根据根式运算法则计算出结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：0 【变式4】求下列各根式的值： (1) (2)（其中）． 【答案】(1) (2) 【分析】根据奇数次根式和偶次根式运算法则可得； 【详解】（1） （2）（其中）． 题型02 根式与分数指数幂的互化 【典例2】（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】将根式化为分数指数幂，根据分数指数幂的运算法则进行计算； 【详解】（1） ； （2） ； （3）. 【变式1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式与分数指数幂之间的关系，结合指数幂运算求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 【变式2】（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】运用分数指数幂与根式转化公式，结合指数幂性质求解即可. 【详解】A项错误，,而； B项正确，； C项正确，； D项正确，. 故选：BCD. 【变式3】化简：= . 【答案】1 【分析】根据指数幂的运算法则计算即可. 【详解】解:由题意可知， 所以. 故答案为：1 【变式4】（1）求值： （2）用分数指数幂表示 【答案】 【分析】根据次方根及分数指数幂运算即可. 【详解】（1）； （2）. 故答案为： 题型03 指数幂的运算与化简 【典例3】计算：． 【答案】 【分析】根据分数指数幂的运算法则计算即可得解. 【详解】原式 ． 【变式1】．若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合指数幂运算求解. 【详解】因为，，所以. 故选：B. 【变式2】已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用幂的运算，将已知等式进行变形，根据等式的性质可得，即可求出． 【详解】因为， 所以， 所以， 则，即，则. 故选：A. 【变式3】（多选）下列运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】借助指数幂的运算逐项计算即可得. 【详解】对A：和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：ABD. 【变式4】化简： . 【答案】1 【分析】运用指数幂性质，结合平方差公式可解. 【详解】原式. 故答案为：1． 【变式5】计算： . 【答案】 【分析】根据指数幂的运即可求解. 【详解】, 故答案为： 题型03 条件求值问题 【典例4】已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】①7；② 【分析】利用平方关系求解. 【详解】①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 【变式1】已知实数满足，则的值为（    ） A．14 B．16 C．12 D．18 【答案】A 【分析】由，变形代值即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 【变式2】已知，那么等于（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】将所求式取平方，求出其值，再判断其值为正即可求得. 【详解】由， 因，故， 即得，. 故选：A. 【变式3】已知，则的值为 . 【答案】1或 【分析】根据题意，先求，即可得解. 【详解】根据题意，， 所以， 则或. 故答案为：1或. 【变式4】已知，求下列各式的值： ① ；       ②；       ③. 【答案】①；②7；③ 【详解】①因为，所以， 又，所以. ②因为，所以，所以. ③因为，且， 所以，所以. 一、单选题 1． （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数运算，可得答案. 【详解】因为，所以，， 所以. 故选：B. 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】直接由必要条件、充分条件的定义以及分数指数幂的运算化简即可判断. 【详解】由题意，即， 而“”是“”的必要而不充分条件，所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 3．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的计算公式及根式与分数指数幂的互化计算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 4．化简的结果为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】，故选：A 5．已知且，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式运算性质，得到，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，解得. 故选：A. 6．若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用根式与分数指数幂的互化与运算法则即可得解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 7．已知，则的值(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数的运算性质即可求得. 【详解】因为，所以. 故选：D. 8．已知，则的值是（　　） A． B． C．24 D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算求出、的值，再代入计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以. 故选：B 9．当有意义时，化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式有意义求得的范围，化简所求根式即可. 【详解】因为有意义，所以，则， 则 ， 故选：C. 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据式子结构，对所求式子平方后即可求解. 【详解】由，可得. 故选：B. 二、多选题 11．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用根式的运算直接求解. 【详解】当n为偶数时，故A，C选项中的式子不正确； 当n为奇数时， 则， 故B，D选项中的式子正确. 故选：BD. 12．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】直接根据指数幂的运算法则依次计算即可. 【详解】对选项A：，故，错误； 对选项B：，正确； 对选项C：，错误； 对选项D：，正确； 故选：BD 13．若实数满足，则（    ） A．且 B．的最大值为 C．的最小值为7 D． 【答案】ABD 【分析】对于AD，利用指数函数的性质即可判断；对于BC，利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断. 【详解】由，可得，所以且，故A正确； 由，可得，即，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确； ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为9，故C错误； 因为，则， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 14．计算 ． 【答案】19678 【分析】根据指数幂的运算，即可求得答案. 【详解】， 故答案为：19678 15．化简： . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】 . 故答案为： 16．借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）.根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于 . 【答案】 【分析】由，结合题意可得，当越来越大时，会无限趋近于，会无限趋近于，即可得解. 【详解】， 由越来越大时，会无限趋近于， 故越来越大时，会无限趋近于，则会无限趋近， 又越来越大时会无限趋近于，故会无限趋近于， 故会无限趋近于. 故答案为：. 四、解答题 17．化简求值: (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）将根式化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则得到答案； （2）利用分数指数幂的运算法则得到答案. 【详解】（1）； （2） = 18．计算． (1)； (2)． 【答案】(1)3(2)2 【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则计算即可； （2）先将根式转化为指数幂，利用指数的运算法则计算即可. 【详解】（1） =； （2） . 19．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)7(2) 【分析】（1）由完全平方公式以及分数指数幂的运算即可得解. （2）由完全平方公式、立方和公式以及分数指数幂的运算即可得解. 【详解】（1）由题意，所以. （2）由题意， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$