第04讲 向量的坐标及运算（2个知识点+9类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第二册）

第04讲 向量的坐标及其运算 课程标准 学习目标 1.了解直线上向量的坐标. 2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3.理解平面向量的坐标运算. 4.掌握向量平行的坐标表示． 1．掌握求直线上向量的坐标的方法． 2．熟练进行直线上向量的坐标运算． 3．掌握数轴上两点之间的距离公式及数轴上的中点坐标公式． 4．掌握向量的坐标表示与运算。 5．能根据向量的坐标解决平行问题 知识点01　直线上向量的坐标及其运算 1．直线上向量的坐标 (1)定义：给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时，x称为向量a的坐标． (2)向量的模和方向与x的关系 |a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|(e为单位向量)． 当x>0时，a的方向与e的方向相同； 当x＝0时，a是零向量； 当x<0时，a的方向与e的方向相反． 在直线上给定了单位向量，则直线上的向量完全被其坐标确定． (3)直线上向量的坐标：在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴，对于l上的任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标． 2．直线上向量的运算与坐标的关系 如果直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2. (1)a＝b的充要条件是x1＝x2. (2)a＋b的坐标为x1＋x2，a－b的坐标为x1－x2，λa的坐标为λx1. (3)设A(x1)，B(x2)是数轴上的两点，M(x)是线段AB的中点，则AB＝|x2－x1|，x＝. 【即学即练1】 1.如图，向量的坐标为________. 2.已知直线上向量a，b的坐标分别为－2，2，则向量a＋b的坐标为(　　) A.1　　　　　　　 B．－1 C．0 D．4 知识点02　平面向量的坐标及其运算 1．平面向量的坐标 (1)向量的垂直：平面上的两个非零向量a，b，如果它们所在的直线互相垂直，则称向量a，b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直． (2)向量的正交分解：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，则称这组基底为正交基底，在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解． (3)向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)． 2．平面上向量的运算与坐标的关系 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则： (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)． (2)a－b＝(x1－x2，y1－y2)． (3)λa＝(λx1，λy1)． (4)向量相等的充要条件：a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2. (5)模长公式：|a|＝. 3.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式 如图所示，在平面直角坐标系中，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： (1)向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，向量＝(x2－x1，y2－y1)． (2)它们之间的距离：AB＝|| ＝. (3)设AB的中点M(x，y)，则x＝，y＝. 【解读】(1)区别的坐标与a－b的坐标：的坐标为终点坐标减去始点坐标，而a－b的坐标是对应的坐标相减． (2)由于自由向量的始点可以任意选取，如果向量以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标相同；如果向量不以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标不同．　　 4．向量平行的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2. 【即学即练2】如图所示，{e1，e2}为正交基底，则向量2a＋b的坐标为(　　) A．(3，4) B．(2，4) C．(3，4)或(4，3) D．(4，2)或(2，4) 题型01 直线上向量的坐标及运算 【典例1】如图所示，直线上向量a，b的坐标分别为(　　) A．－2，4 B．2，4 C．4，－2 D．－4，－2 【变式1】已知向量a，b在同一直线上，|a|＝2|b|，若b的坐标为2，则a的坐标为(　　) A．4 B．－4 C．2或－2 D．4或－4 【变式2】若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a，b的坐标分别为x，y，下列说法错误的是(　　) A．|a|＝x　　　　　　　 B．b＝ye C．a＋b的坐标为x＋y D．|e|＝1 【变式3】若数轴上A，B两点的坐标分别为－2，x，且的坐标是－8，则x＝________． 【变式4】已知e是直线l上的一个单位向量，a＝4e，b＝－2e，则a＋b的坐标为(　　) A．1 B．2 C．－2 D．4 题型02 平面向量的坐标表示 【典例2】（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知平行四边形，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·浙江·期中）已知，把向量按向量平移后，所得向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024高二下·安徽·学业考试）点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知向量，则与向量方向相反的单位向量是（    ） A． B． C． D．或 题型03 平面向量的坐标运算 【典例3】（2024高二下·湖北·学业考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知点、、，求． 【变式3】（23-24高一下·全国·单元测试）已知，，求： (1)； (2). 题型04 根据线段比例求点的坐标 【典例4】（23-24高一·上海·课堂例题）已知点、，点是直线上一点，且，求点的坐标． 【变式1】（24-25高三上·湖北·期中）已知，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·四川绵阳·期中）（多选）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知点、，且，求点的坐标． 题型05 根据坐标求向量的模 【典例5】（2024高一·全国·专题练习）已知向量，，则（　　） A． B．2 C． D．10 【变式1】（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知向量，则向量的模为（    ） A． B．4 C．2 D． 【变式2】（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A．2 B． C．4 D．8 【变式3】（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知，平面向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高三上·山西忻州·开学考试）已知向量，，若，则k= . 题型06 根据坐标运算求参数 【典例6】（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知点，，，．若点在轴上，则实数的值为 ． 【变式1】（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）已知向量，，，则实数m的值为（ ） A． B． C． D．1 【变式2】（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【变式3】（24-25高三上·天津·阶段练习）在正六边形中，对角线，相交于点，若，则 ． 题型07向量共线的坐标表示 【典例7】（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．2 【变式1】（23-24高一下·北京顺义·期末）已知向量，，那么向量可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·河北保定·期中）已知向量，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型08 利用坐标法求最值（范围） 【典例8】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围 ． 【变式1】（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）正方形中棱长为4，E为的中点，为边上一点（不包括C，D），若，则的取值范围为 ． 【变式2】（23-24高一下·陕西咸阳·期中）（多选）如图，在长方形中，，点满足，其中，则的取值可以是（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 【变式3】（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）边长为4的正方形，点在正方形内（含边界），满足，当点在线段上时，则的最小值为 . 题型09 坐标法在几何中的应用 【典例9】（23-24高一下·山西运城·阶段练习）如图，正方形的边长为6，E是的中点，F是边上靠近点B的三等分点，与交于点M． (1)求的值； (2)已知点P是正方形四条边上的动点，若，求的长度． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 【变式2】如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证：（1）； （2）D，M，B三点共线. 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，，， （1）求点的坐标； （2）求证：四边形为等腰梯形． 一、单选题 1．直线上向量，的坐标分别为-3，5，则向量的坐标和模分别是（    ） A．-19，19 B．21，21 C．-19，5 D．1，1 2．（23-24高一下·广西梧州·期末）已知点，则向量（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·甘肃·期末）已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C．10 D． 5．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）已知向量，则与向量反向的单位向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（23-24高一下·山东东营·期末）如图，已知，则（   ） A． B． C． D． 8．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若E为AF的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024高一下·全国·专题练习）下面几种说法中正确的有（　　） A．相等向量的坐标相同 B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C．一个坐标对应于唯一的一个向量 D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应 10．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知为坐标原点，向量是线段的三等分点，则的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 三、填空题 12．已知点，点在线段的延长线上，且，则点P的坐标是 . 13．（23-24高一下·全国·课前预习）平面内距离公式与中点坐标公式：设，，则 ，两点之间的距离 ，中点的坐标为 . 14．如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知向量、. (1)求的模和其单位向量； (2)若，以、为基表示向量. 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，在平行四边形中，已知、、，其对角线交点为M.求： (1)向量与的坐标； (2)点D与M的坐标. 17．（23-24高一下·河南·期末）如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、. (1)求顶点的坐标； (2)在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由. 18．如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点． (1)用和表示； (2)设，求，的取值范围． 19．（23-24高一下·北京·期中）对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式，记作． (1)求下列行列式的值： ①；② (2)求证：向量与向量共线的充要条件是； (3)讨论关于，的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 向量的坐标及其运算 课程标准 学习目标 1.了解直线上向量的坐标. 2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3.理解平面向量的坐标运算. 4.掌握向量平行的坐标表示． 1．掌握求直线上向量的坐标的方法． 2．熟练进行直线上向量的坐标运算． 3．掌握数轴上两点之间的距离公式及数轴上的中点坐标公式． 4．掌握向量的坐标表示与运算。 5．能根据向量的坐标解决平行问题 知识点01　直线上向量的坐标及其运算 1．直线上向量的坐标 (1)定义：给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时，x称为向量a的坐标． (2)向量的模和方向与x的关系 |a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|(e为单位向量)． 当x>0时，a的方向与e的方向相同； 当x＝0时，a是零向量； 当x<0时，a的方向与e的方向相反． 在直线上给定了单位向量，则直线上的向量完全被其坐标确定． (3)直线上向量的坐标：在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴，对于l上的任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标． 2．直线上向量的运算与坐标的关系 如果直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2. (1)a＝b的充要条件是x1＝x2. (2)a＋b的坐标为x1＋x2，a－b的坐标为x1－x2，λa的坐标为λx1. (3)设A(x1)，B(x2)是数轴上的两点，M(x)是线段AB的中点，则AB＝|x2－x1|，x＝. 【即学即练1】 1.如图，向量的坐标为________. 【答案】3　 【解析】因为向量的始点在原点，因此终点A的坐标就是向量的坐标，故向量的坐标为3. 2.已知直线上向量a，b的坐标分别为－2，2，则向量a＋b的坐标为(　　) A.1　　　　　　　 B．－1 C．0 D．4 【答案】B　　 【解析】因为向量a，b的坐标分别为－2，2，所以向量a＋b的坐标为－2＋×2＝－1. 知识点02　平面向量的坐标及其运算 1．平面向量的坐标 (1)向量的垂直：平面上的两个非零向量a，b，如果它们所在的直线互相垂直，则称向量a，b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直． (2)向量的正交分解：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，则称这组基底为正交基底，在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解． (3)向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)． 2．平面上向量的运算与坐标的关系 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则： (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)． (2)a－b＝(x1－x2，y1－y2)． (3)λa＝(λx1，λy1)． (4)向量相等的充要条件：a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2. (5)模长公式：|a|＝. 3.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式 如图所示，在平面直角坐标系中，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： (1)向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，向量＝(x2－x1，y2－y1)． (2)它们之间的距离：AB＝|| ＝. (3)设AB的中点M(x，y)，则x＝，y＝. 【解读】(1)区别的坐标与a－b的坐标：的坐标为终点坐标减去始点坐标，而a－b的坐标是对应的坐标相减． (2)由于自由向量的始点可以任意选取，如果向量以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标相同；如果向量不以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标不同．　　 4．向量平行的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2. 【即学即练2】如图所示，{e1，e2}为正交基底，则向量2a＋b的坐标为(　　) A．(3，4) B．(2，4) C．(3，4)或(4，3) D．(4，2)或(2，4) 【答案】A　 【解析】∵a＝e1＋e2，∴2a＝2e1＋e2.又b＝e1＋3e2，∴2a＋b＝(2e1＋e2)＋(e1＋3e2)＝3e1＋4e2. ∴2a＋b在基底{e1，e2}下的坐标为(3，4)． 题型01 直线上向量的坐标及运算 【典例1】如图所示，直线上向量a，b的坐标分别为(　　) A．－2，4 B．2，4 C．4，－2 D．－4，－2 【答案】C 【解析】向量a的始点在原点，则a的坐标为4，把向量b的始点平移到原点，则b的坐标为－2.故选C. 【变式1】已知向量a，b在同一直线上，|a|＝2|b|，若b的坐标为2，则a的坐标为(　　) A．4 B．－4 C．2或－2 D．4或－4 【答案】D 【解析】由b的坐标为2，得b＝2e，由|a|＝2|b|，得a＝4e或a＝－4e，故a的坐标为4或－4.故选D. 【变式2】若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a，b的坐标分别为x，y，下列说法错误的是(　　) A．|a|＝x　　　　　　　 B．b＝ye C．a＋b的坐标为x＋y D．|e|＝1 【答案】A　 【解析】由题意知，|e|＝1，|a|＝|x|，b＝ye, a＋b＝xe＋ye＝(x＋y)e，所以a＋b的坐标为x＋y，只有A错误． 【变式3】若数轴上A，B两点的坐标分别为－2，x，且的坐标是－8，则x＝________． 【答案】－10 【解析】由题意得，的坐标为x＋2＝－8， 解得x＝－10， 故答案为－10. 【变式4】已知e是直线l上的一个单位向量，a＝4e，b＝－2e，则a＋b的坐标为(　　) A．1 B．2 C．－2 D．4 【答案】B 【解析】因为a＝4e，b＝－2e，所以a＋b＝4e－2e＝2e，故a＋b的坐标为2．故选B． 题型02 平面向量的坐标表示 【典例2】（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知平行四边形，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两点的坐标求得，由平行四边形的性质有，求值即可. 【详解】由，，有， 平行四边形中，有，即， 故选：D. 【变式1】（23-24高一下·浙江·期中）已知，把向量按向量平移后，所得向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】向量平移后与原向量为相等向量，所求坐标即为向量的坐标. 【详解】根据题意可知，，把向量按向量平移后，与原向量相等， 所得向量仍然为. 故选：C. 【变式2】（2024高二下·安徽·学业考试）点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量坐标的概念即可求解. 【详解】. 故选：B 【变式3】（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知向量，则与向量方向相反的单位向量是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用单位向量及相反向量的意义求解即得. 【详解】向量，则， 所以与向量方向相反的单位向量是. 故选：C 题型03 平面向量的坐标运算 【典例3】（2024高二下·湖北·学业考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用向量的坐标运算计算即可. 【详解】因为向量，所以. 故选：D. 【变式1】（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由平面向量加法的坐标运算求解即可． 【详解】已知向量，， 则，解得． 故选：B． 【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知点、、，求． 【答案】 【分析】首先表示出，，再根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为、、， 所以，， 所以. 【变式3】（23-24高一下·全国·单元测试）已知，，求： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）由向量线性运算的坐标运算，即可得到结果.. 【详解】（1）因为，， 所以. （2）因为，， 所以. 题型04 根据线段比例求点的坐标 【典例4】（23-24高一·上海·课堂例题）已知点、，点是直线上一点，且，求点的坐标． 【答案】或 【分析】设，由可得或，再设，表示出，，根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可. 【详解】因为点是直线上一点， 所以设，又，所以或， 即或， 设，又、， 所以，， 所以或， 即或， 解得或， 即或. 【变式1】（24-25高三上·湖北·期中）已知，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 【详解】因为点在线段的延长线上，且，所以点为中点， 设点，则，解得，所以点的坐标为. 故选：C. 【变式2】（23-24高一下·四川绵阳·期中）（多选）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合向量的坐标运算，并分类讨论，即可求解. 【详解】设点坐标为，因为向量，，则，， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 故选：AD 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知点、，且，求点的坐标． 【答案】 【分析】设点的坐标为，利用平面向量的坐标运算与向量相等列出方程组，求解即可． 【详解】设点，由得，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为． 题型05 根据坐标求向量的模 【典例5】（2024高一·全国·专题练习）已知向量，，则（　　） A． B．2 C． D．10 【答案】C 【分析】根据条件，利用向量的坐标运算得到，再利用模长的计算公式，即可求解. 【详解】因为，，所以， 得到， 故选：C. 【变式1】（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知向量，则向量的模为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】求出向量的坐标，再求模长. 【详解】因为向量， 所以向量， 所以. 故选：C. 【变式2】（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据题图写出向量坐标，再进行坐标运算即可. 【详解】根据题图，以题图向量起点为原点，该点横纵方向为轴， 则，，所以， 则. 故选：. 【变式3】（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知，平面向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的坐标运算结合二次函数性质求解即可. 【详解】易知 ,故 ，当时，最小， 此时由二次函数性质得，故， 故的最小值为，故A正确. 故选：A 【变式4】（23-24高三上·山西忻州·开学考试）已知向量，，若，则k= . 【答案】 【分析】利用平面向量的坐标运算求得的坐标，根据求模公式建立方程，解出即可. 【详解】因为向量，， 所以， 则， 解得. 故答案为： 题型06 根据坐标运算求参数 【典例6】（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知点，，，．若点在轴上，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据向量坐标运算，表示的坐标，结合点在轴上求的值. 【详解】∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵点在轴上， ∴， ∴. 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）已知向量，，，则实数m的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】先求得的坐标，再由求解. 【详解】因为向量，， 所以， 又因为， 所以， 解得. 故选：D. 【变式2】（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B 【变式3】（24-25高三上·天津·阶段练习）在正六边形中，对角线，相交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】建立直角坐标系坐标表示向量，由向量相等关系建立方程组求解系数即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设正六边形ABCDEF边长为， 则， ， 由，则， 所以有，解得，则. 故答案为： 题型07向量共线的坐标表示 【典例7】（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．2 【答案】D 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为， 则，解得. 故选：D. 【变式1】（23-24高一下·北京顺义·期末）已知向量，，那么向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共线向量的坐标表示判断即得. 【详解】对于A，由，得与不共线，A不是； 对于B，由，得与不共线，B不是； 对于C，由，得与不共线，C不是； 对于D，由，得，D是. 故选：D 【变式2】（23-24高一下·河北·期中）若向量，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面共线向量的坐标表示建立方程，解之即可求解. 【详解】因为，， 所以，解得或0． 即x的取值集合为. 故选：C 【变式3】（24-25高一上·河北保定·期中）已知向量，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量共线的坐标表示，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，且， 由可得，解得. 故选：B 【变式4】（23-24高一下·河南南阳·期中）已知，，，若，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】代入向量共线的坐标表示，即可求解． 【详解】，，， 则，， ， 则，解得． 故选：D 题型08 利用坐标法求最值（范围） 【典例8】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】由图建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算可得的范围. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，设，则，， 由题意设，则， 由得， 则，故， 即， 故答案为： 【变式1】（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）正方形中棱长为4，E为的中点，为边上一点（不包括C，D），若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】建系标点，设，根据向量的坐标表示可得，进而可得取值范围. 【详解】如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，设， 可得， 若， 则，解得， 可得， 因为，则，可得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一下·陕西咸阳·期中）（多选）如图，在长方形中，，点满足，其中，则的取值可以是（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】ABC 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到，，从而求出，求出值域。 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，则，，，， 设，因为，所以，即，，故，， 则， ，因为，所以. 故选：ABC    【变式3】（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）边长为4的正方形，点在正方形内（含边界），满足，当点在线段上时，则的最小值为 . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求出线段方程，由在线段上可得，利用二次函数值域计算即可得出结果. 【详解】建立平面直角坐标系如图所示，根据题意可得： ，，，， 设为，则，，， 因为， 所以，，，，所以， 易知线段方程为：，，， 因为点在上，所以，，， 所以，，， 所以，，，，， 则， 当时取得最小值为. 故答案为： 题型09 坐标法在几何中的应用 【典例9】（23-24高一下·山西运城·阶段练习）如图，正方形的边长为6，E是的中点，F是边上靠近点B的三等分点，与交于点M． (1)求的值； (2)已知点P是正方形四条边上的动点，若，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）建立适当的平面直角坐标系，求出的坐标，由向量坐标的数量积公式即可求解； （2）首先由，，得出点满足的两条直线方程，联立得的坐标，进一步由，对分类讨论即可求出它的位置，由向量模的坐标公式即可求解. 【详解】（1）如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系． 则，，，， 所以，， 所以． （2）设， 所以， 因为， 所以， 所以． 因为，，， 所以，所以， 所以，所以，，所以． 由题得，又，由图易知，点P在线段上或线段， ①若P在上，设，，，，则， 解得， 所以，． ②若P在上，设，，，，则， 解得， 所以，． 综上，的长度为或． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据结合，根据直角三角形中的关系结合求解即可； （2）先求得，再根据向量平行的性质证明即可 【详解】（1）由题意，因为，，故，故，即点B的坐标为 （2）由题意，，又，故，且不共线，故 【变式2】如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证：（1）； （2）D，M，B三点共线. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）建立平面直角坐标系，证明四边形为正方形，分别写出各点的坐标，然后利用向量共线证明即可； （2）用向量证明，结合与有公共点，即可求证 【详解】以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图. 令，则，因为，， 所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为 . （1）因为，， 所以，即. （2）因为M为的中点，所以， 所以，， 所以，所以. 又与有公共点，所以D，M，B三点共线. 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，，， （1）求点的坐标； （2）求证：四边形为等腰梯形． 【答案】（1）；；（2）证明见解析． 【分析】（1）先根据，，求得B的坐标，再加上向量的坐标即得点C的坐标； （2）利用向量的坐标可得,计算模可得，从而证得. 【详解】解：（1）设，则， ， ， ， ； （2）证明：连接, ，， ，且， 又，， , 四边形为等腰梯形. 一、单选题 1．直线上向量，的坐标分别为-3，5，则向量的坐标和模分别是（    ） A．-19，19 B．21，21 C．-19，5 D．1，1 【答案】A 【分析】根据直线上向量的坐标运算法则代入数据即可求得答案. 【详解】由题可知，向量的坐标为， 向量的模为 故选：A 2．（23-24高一下·广西梧州·期末）已知点，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】， 故选：C 3．（23-24高一下·甘肃·期末）已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的数乘运算，向量坐标与终点、始点的关系求解. 【详解】因为，分别为AB，AC的中点，所以. 设，又，所以，即解得 即点的坐标为. 故选：A. 4．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】C 【分析】运用向量共线的结论可解. 【详解】向量，由，得，所以. 故选：C 5．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）已知向量，则与向量反向的单位向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】与向量方向相反的单位向量为求解即可. 【详解】因为，所以， 与向量方向相反的单位向量为， 故选：B 6．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由三点共线转化为两个向量共线，即共线，由向量共线的坐标表示计算． 【详解】，， 因为A，B，C三点共线，所以， 则，解得或， ，. 故选：D. 7．（23-24高一下·山东东营·期末）如图，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题中有90°，因此建立平面直角坐标系，用坐标表示向量进行运算即可． 【详解】建立如图所示的直角坐标系， ， ， 设， ， ，解得， 所以. 故选：A. 8．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若E为AF的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构建以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，标注相关点的坐标，进而可得坐标，结合，应用向量线性运算的坐标表示列方程求出即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，又为的中点，    ∴，则， 由，得：， ∴，解得，则 故选：B. 二、多选题 9．（2024高一下·全国·专题练习）下面几种说法中正确的有（　　） A．相等向量的坐标相同 B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C．一个坐标对应于唯一的一个向量 D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应 【答案】ABD 【分析】根据向量的定义和坐标的定义，即可判断选项. 【详解】A.相等向量的坐标相同，故A正确； B.根据向量坐标的定义，可知平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标，故B正确； C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误； D. 平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应，故D正确. 故选：ABD 10．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知为坐标原点，向量是线段的三等分点，则的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 【详解】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：AC. 11．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意分析可知不共线，结合向量共线的坐标表示运算求解. 【详解】因为，，， 则， 若点A，B，C能构成三角形，即A，B，C不共线，则不共线， 可得，即， 结合选项可知A错误；BCD正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．已知点，点在线段的延长线上，且，则点P的坐标是 . 【答案】 【分析】根据题意转化为，设，结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解. 【详解】因为点，点在线段的延长线上，且， 可得， 设，则，即 ， 解得，即点的坐标为. 故答案为：. 13．（23-24高一下·全国·课前预习）平面内距离公式与中点坐标公式：设，，则 ，两点之间的距离 ，中点的坐标为 . 【答案】 【分析】由向量的坐标表示，及两点间距离公式、中点坐标公式即可求解. 【详解】由，， 可得：， 由两点间距离公式可得：， 由中点坐标公式可得中点的坐标为：， 故答案为：，， 14．如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】建立平面直角坐标系，设，求得相关点坐标，求出的表达式，结合二次函数的性质即可求得答案. 【详解】由在直角梯形中．， 则，则以A为原点，为轴建立平面直角坐标系， 设，设，则， 故， 所以，故， 当且仅当即时取得等号， 即的最小值为4， 故答案为：4 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知向量、. (1)求的模和其单位向量； (2)若，以、为基表示向量. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用平面向量的坐标运算求出向量的模，再利用单位向量的性质求解单位向量即可. （2）利用平面向量的坐标运算建立方程，求解参数，表示即可. 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， ∴的单位向量. （2）设，则， ∴解得，∴ 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，在平行四边形中，已知、、，其对角线交点为M.求： (1)向量与的坐标； (2)点D与M的坐标. 【答案】(1)，. (2)， 【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解；（2）利用中点坐标公式，然后求解M点坐标，再根据向量相等，即可利用坐标相等求解D点坐标. 【详解】（1）因为 所以， . （2）设，因为M为中点，、， 所以，所以. 设，则， 由得， 即所以即. 17．（23-24高一下·河南·期末）如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、. (1)求顶点的坐标； (2)在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用和平面向量的坐标表示建立方程组，解之即可求解； （2）设，根据平面向量线性运算的坐标表示可得，结合向量的垂直表示建立方程，解之即可求解. 【详解】（1）设，又、、， ，. 又四边形是平行四边形，所以， ， 即解得 顶点A的坐标为. （2）存在. 由（1）可知，，，， 设，则. 又，， 解得，，即. 18．如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点． (1)用和表示； (2)设，求，的取值范围． 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）利用向量的线性运算，结合已知条件，即可容易表达； （2）以为坐标原点，建立平面直角坐标系，写出对应向量的坐标，用点横坐标表达，进而根据点横坐标的范围，即可求得结果. 【详解】（1）因为为上靠近的三等分点，故可得， 又//，且，故， 则 . 即. （2）根据题意，因为，故以为坐标原点， 建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 因为点在上运动，故可设其坐标为， 则， 由可得， 则，因为，则， 故. 19．（23-24高一下·北京·期中）对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式，记作． (1)求下列行列式的值： ①；② (2)求证：向量与向量共线的充要条件是； (3)讨论关于，的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示） 【答案】(1)①1； ②0 (2)证明见详解 (3)答案见详解 【分析】（1）利用行列式的定义可以直接求出行列式的值； （2）根据向量共线的坐标运算结合充要条件分析证明； （3）求出，，由此能求出当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，并能求出解. 【详解】（1）①由题意可得：； ②由题意可得：. （2）若向量与向量共线，则： 当时，有，即， 当时，有，即，所以必要性得证. 反之，若，即， 当c，d不全为0时，即时， 不妨设，则，可得， 因为，则， 可得，则与共线， 当且时，，则与共线，充分性得证； 综上所述：向量与向量共线的充要条件是. （3）用和分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减，消去y得： ，③ 同理，消去x，得：，④ 当时，即时，由③④得： ，， 所以当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，且，. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助行列式的定义表示出x、y，从而得出其有唯一解的条件. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$