精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

牡丹江二中2023—2024学年度第二学期高二学年月考试题 数学 考生注意 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.（根据学年修改考试时间） 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上 .选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效 ， 在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出给定直线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】直线的斜率，则该直线的倾斜角为. 故选：B. 2. 直线的截距式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接化简求解即可． 【详解】直线的截距式方程为. 故选：D. 3. 在平面直角坐标系 中， 以点 为圆心且与直线 相切的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式求得圆的半径，结合圆的标准方程，即可求解. 【详解】由圆心到直线 的距离， 即所求圆的半径为，所以所求圆的标准方程为. 故选：B. 4. 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，然后求出两直线的交点坐标，代入上式方程可求出，从而可求出直线方程 【详解】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为， 由，得，即和的交点为， 因为直线过点， 所以，得， 所以所求直线方程为， 故选：D 5. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出含有参数的不等式组求解即可. 【详解】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆, 需满足,解得. 故选:C. 6. 若点在圆上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，故在直线上，又点在圆上，则直线与圆有公共点，圆心到直线距离小于等于半径，解不等式即可. 【详解】圆化成标准方程为，圆心，半径为4； 设，故在直线上，又点在圆上， 则圆心到直线的距离， 即，故，解得， 则的取值范围为. 故选：B. 7. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，Q为x轴上一定点，，且，则点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可设，按照阿波罗尼斯圆定义得轨迹方程，根据已知轨迹方程列式即可得得值，从而可得点Q的坐标. 【详解】解：设，，所以. 由，得. 因为，所以，整理得：. 因为动点M的轨迹方程是，所以解得，所以. 故选：C. 8. 已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（ ） A. 12， B. ， C. 12，8 D. 9， 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合线段和差的三角不等式列式求解即可. 【详解】令椭圆的左焦点为，有，由椭圆定义知， 显然点在椭圆内，，直线交椭圆于， 而，即，当且仅当点共线时取等号， 当点与重合时，，则， 当点与重合时，，则， 所以的最大值和最小值为12，8. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 B. “"是直线与直线互相垂直的充要条件 C. 若直线的一个方向向量是，则直线的斜率为 D. 过两点的直线的方程都可以表示为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线方程、直线的方向向量、直线斜率、充要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，直线在两坐标轴上截距相等，所以A选项错误. B选项，若直线与直线互相垂直， 则，解得或， 所以“"是直线与直线互相垂直的充分不必要条件， 所以B选项错误. C选项，若直线的一个方向向量是，则直线的斜率为， 所以C选项正确. D选项，当或时，直线方程不能表示为， 所以D选项错误. 故选：ABD 10. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项：两圆方程作差即可求出公共弦方程；对于B选项：线段的垂直平分线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；对于C选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，利用弦长公式计算即可；对于D选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，加上半径即可求出最大值． 【详解】对于A选项：圆和圆， 将两圆的方程作差得，即， 所以直线的方程为，故A正确； 对于B选项：圆即，圆心，半径， 圆即，圆心， 直线的斜率为，即线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即，故B正确； 对于C选项：到直线的距离， 可得弦的长为，故C错误； 对于D选项：P到直线的距离的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 11. 下列结论正确的是（ ） A. 已知点在圆上，则的最大值是4 B. 已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C. 已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离 D. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用三角代换可判断A；求出直线所过定点，结合图形可判断B；利用点到直线的距离公式可判断C；转化为两圆相交问题可判断D. 【详解】A选项，因为点在圆上， 所以， 当时，取得最大值4，故A正确； B选项，由，所以，即直线过点， 因为直线和线段相交，故只需或，故B错误； C选项，圆的圆心到直线的距离， 而点是圆外一点，所以， 所以，所以直线与圆相交，故C错误； D选项，与点的距离为1的点在圆上， 由题意知圆与圆相交， 所以圆心距，满足，解得，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的焦距是，则m的值为_______. 【答案】或 【解析】 【分析】利用椭圆焦距的定义和性质即可求解. 【详解】因为椭圆的焦距是， 所以或， 解得或. 故答案为：或. 13. 设，是椭圆的两个焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为_______. 【答案】##0.625 【解析】 【分析】分别表示出、，在中由计算可得结果. 【详解】如图所示， 由图知， 所以，， 又因为，， 所以， 所以在中，由得， 解得：， 所以椭圆E的离心率为. 故答案为：. 14. 已知P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为A，B，则当四边形面积最小时，直线的方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求得四边形面积最小时点的坐标，再根据圆与圆的位置关系求得直线的方程. 【详解】圆，即， 所以圆心为，半径， ， 所以当最小，也即垂直时，四边形面积最小， 直线的斜率为，则此时直线的斜率为， 则直线的方程为，由，解得， 即，对应，， 以为圆心，半径为的圆的方程为：， 即， 由， 两式相减并化简得， 也即直线的方程为. 故答案为： 【点睛】研究直线和圆的位置关系问题，主要思路是数形结合的数学思想方法，直线和圆有关的相切问题，连接圆心和切点的直线，与切线相互垂直.与四边形面积的最值有关问题，可先求得面积的表达式，再根据表达式来求最值. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点． （1）若与直线：平行，求的方程； （2）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由两直线平行的性质即可得到直线方程； （2）截距相等需要分类讨论截距是否为0，解决不为0时用直线方程的截距式即可得到直线方程. 【小问1详解】 由题可知，的斜率为，因为平行， 的斜率为，所以的方程，即； 【小问2详解】 若在两坐标轴上的截距为0，即经过原点，设的方程为， 将代入解析式得，解得， 故的方程为， 若在两坐标轴上的截距不为0，则设的方程为， 由，得， 故的方程为， 综上，的方程为或 16. 求下列曲线方程： （1）求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程. （2）已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一，根据题意可得，进而得到椭圆的焦点坐标，再结合椭圆定义即可得到的值，进而求解；方法二，根据题意可得，进而将点代入椭圆方程，结合解方程组即可求解；方法三，先设椭圆的标准方程为，进而将点代入椭圆方程，解方程即可求解； （2）设圆的半径为，进而得到点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而求解即可. 【小问1详解】 方法一：由题意得. 因此所求椭圆的焦点坐标为，. 由椭圆定义得， 即，所以. 故所求椭圆的标准方程为. 方法二：因为所求椭圆与椭圆的焦点相同， 所以其焦点在x轴上，且. 设所求椭圆的标准方程为，则①. 又点在所求椭圆上，所以，即②. 由①②得，，故所求椭圆的标准方程为. 方法三： 由条件设所求椭圆的标准方程为. 将点P的坐标代入，得，解得或（舍去）. 故所求椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知，动圆与圆内切，与圆外切，设圆的半径为， 则， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设点的轨迹方程， 所以，则， 所以点的轨迹方程为. 17. 已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. （1）求直线的方程和点C的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1），， （2）. 【解析】 【分析】（1）设点的坐标是，由的中点在直线上，求得点的坐标，再求出点关于直线的对称点即可求得直线的方程，联立方程组求出点坐标. （2）利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积. 【小问1详解】 由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上， 于是，解得，即点， 设关于直线的对称点为，则有，解得，即， 显然点在直线上，直线的斜率为， 因此直线的方程为，即， 由，解得，则点， 所以直线的方程为，点C的坐标为. 【小问2详解】 由（1）得，点到直线的距离， 所以的面积. 18. 已知的圆心在轴上，经过点，并且与直线相切. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于、两点， （i）若，求直线的方程； （ii）求弦最短时直线的方程. 【答案】（1） （2）①或；②. 【解析】 【分析】（1）设圆心为，根据题中条件求出的值，可求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （2）①求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直线写出直线的方程，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出结果； ②分析可知，当时，取最小值，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程. 【小问1详解】 解：设圆心为，由题意可得，解得， 所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：①当时，圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，此时，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. ②当时，圆心到直线的距离最大，此时，取最小值， 因为，则， 此时，直线的方程为，即. 19. 已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 【答案】（1） （2） 设，则， 直线方程是，代入，得， 直线方程是，代入，得， 所以 ，即为定值． 【解析】 【分析】（1）设，根据，求出，代入圆的方程，可得解； （2）设，求出直线，从而得到点的坐标，化简，得证. 【小问1详解】 根据题意，，， 设，则， 由于，所以， 则，得，将其代入， 得，故点的轨迹方程为； 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法： （1）直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含的等式，就得到轨迹方程。 （2）相关点法：若轨迹点与已知曲线上的动点有关联，则可先列出关于的方程组，利用表示出，把代入已知曲线方程便得动点的轨迹方程。 （3）定义法：运用解析几何中一些常用定义（圆锥曲线的定义），再从曲线定义出发直接写出轨迹方程。 （4）参数法（交轨法）：如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把联系起来．其实某种意来说，交轨法也可看作参数法。 （5）点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的问题一般可用点差法， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江二中2023—2024学年度第二学期高二学年月考试题 数学 考生注意 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.（根据学年修改考试时间） 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上 .选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效 ， 在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的截距式方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系 中， 以点 为圆心且与直线 相切的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若点在圆上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，Q为x轴上一定点，，且，则点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（ ） A. 12， B. ， C. 12，8 D. 9， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 B. “"是直线与直线互相垂直的充要条件 C. 若直线的一个方向向量是，则直线的斜率为 D. 过两点的直线的方程都可以表示为 10. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 11. 下列结论正确的是（ ） A. 已知点在圆上，则的最大值是4 B. 已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C. 已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离 D. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的焦距是，则m的值为_______. 13. 设，是椭圆的两个焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为_______. 14. 已知P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为A，B，则当四边形面积最小时，直线的方程为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点． （1）若与直线：平行，求的方程； （2）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程． 16. 求下列曲线方程： （1）求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程. （2）已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程． 17. 已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. （1）求直线的方程和点C的坐标； （2）求的面积． 18. 已知的圆心在轴上，经过点，并且与直线相切. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于、两点， （i）若，求直线的方程； （ii）求弦最短时直线的方程. 19. 已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $