精品解析：湖南省永兴县树德初级中学2024-—2025学年八年级上学期第一次月考数学试题

树德中学2024年下期八年级第一次月考数学试卷 总分：120分 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 在中，分式的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 下列分式中，不论x取何值，一定有意义的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右变形，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果分式中的x，y都扩大到原来的2倍，那么下列说法正确的是（ ） A. 分式值不变 B. 分式的值缩小为原来的倍 C. 分式的值扩大为原来的2倍 D. 分式的值扩大为原来的4倍 5. 将米用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 下列式子中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知水流速度为3千米/时，轮船顺水航行120千米所需的时间与逆水航行90千米所需的时间相同，求轮船在静水中的速度，设轮船在静水中的速度为x千米/时，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9 已知非零有理数，满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 对于正数x，规定，例如：，则的值为（　　） A. 2021 B. 2020 C. 2019.5 D. 2020.5 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若分式的值为零，则__________． 12. 若方程有增根，则方程的增根是__________． 13. 分式和 的最简公分母为_________． 14. 一份工作，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，则甲、乙两人合作一天的工作量是______． 15. 不改变分式的值，把分式的分子与分母的各项系数化为整数为_____________． 16. 若（，为有理数），那么_______． 17. 对于任意两个非零实数、，定义新运算“”如下：，例如：．若，则的值为________． 18. 阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②的奇数次幂都等于；③的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1，试根据以上材料探索使等式成立的的值为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20、21题每小题6分，第22、23题每小题8分，第24、25题每小题10分，第26题12分，共66分） 19. 计算． （1）； （2）． 20. 解方程： （1） （2） 21. 先化简，再求值：，然后从、0、1、2这几个数中选取一个合适的整数作为的值代入求值． 22. 今年是我们伟大的中国共产党建党100周年，烈士公园旁服装店用2000元购进一批特色纪念款文化衫，出售后发现供不应求，第二批又购进同样的文化衫，所购数量是第一批的3倍，但单件的进价贵了2元，购买第二批文化衫共用了6600元． （1）求第一批文化衫单件的进价； （2）若销售这两批文化衫时，每件售价都是30元，全部售出后服装店共盈利多少元？ 23. 已知，，． （1）求的值； （2）求值． 24. （1）已知关于的分式方程有增根，求的值． （2）关于的方程有整数解，求此时整数的值． 25. 阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行． （1）请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ． 完成下列问题： （2）已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； （3）若关于的方程无解，求的值． 26. 已知分式 A （1）化简这个分式； （2）当 a＞2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B，问：分式 B 的值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由； （3）若 A 的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 树德中学2024年下期八年级第一次月考数学试卷 总分：120分 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 在中，分式的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．熟知分式的定义是关键． 【详解】解：中分母中含有字母，因此是分式． 故选：． 2. 下列分式中，不论x取何值，一定有意义的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题关键在于掌握其性质． 分式有意义，分母不等于零．据此判定即可． 【详解】解∶A、当即时，该分式无意义，不符合题意； B、当时，该分式无意义，不符合题意； C、当即时，该分式无意义，不符合题意； D、∵， ∴不论x取何值，该分式都有意义，符合题意． 故选：D． 3. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．直接利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．不存在分子、分母同减去一个数分式的值不变，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：B． 4. 如果分式中的x，y都扩大到原来的2倍，那么下列说法正确的是（ ） A. 分式的值不变 B. 分式的值缩小为原来的倍 C. 分式的值扩大为原来的2倍 D. 分式的值扩大为原来的4倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的值的变化，根据分式的基本性质，进行计算后，判断即可． 【详解】解：由题意，， 故分式中的x，y都扩大到原来的2倍，分式的值扩大为原来的2倍； 故选C． 5. 将米用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：用科学记数法表示为，故B正确． 故选：B． 6. 下列式子中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的定义，分式的化简过程，平方差公式的运用，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、不是分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意， 故选：D． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算．根据负整数指数幂，同底数幂的除法，幂的乘方，零指数幂的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 8. 已知水流速度为3千米/时，轮船顺水航行120千米所需的时间与逆水航行90千米所需的时间相同，求轮船在静水中的速度，设轮船在静水中的速度为x千米/时，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据轮船顺水航行120千米所需的时间与逆水航行90千米所需的时间相同，列方程即可． 【详解】解：设轮船在静水中的速度为x千米/时， 由题意得， ； 故选：A 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程． 9. 已知非零有理数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式求值．根据题意得到，代入分式化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 10. 对于正数x，规定，例如：，则的值为（　　） A. 2021 B. 2020 C. 2019.5 D. 2020.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知规定，可得；进而可以解决问题． 【详解】∵，， ∴； ∵，， ∴； ， ∴； 则 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了规律型—数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若分式的值为零，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件分子等于零，分母不等于零得出，，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，， 解得：， 故答案为：． 12. 若方程有增根，则方程的增根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式方程的增根是分母为0时x的值进行求解即可． 【详解】解：∵方程有增根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求分式方程的增根，熟知分式方程的增根即为分母为0时未知数的值是解题的关键． 13. 分式和 的最简公分母为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．观察两个分式的分母，利用公因式即可求解． 【详解】解：的分母为：， 的分母为：， 两个分式的最简公分母为：． 故答案为：． 14. 一份工作，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，则甲、乙两人合作一天的工作量是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式加减的应用，利用分式表示出甲乙各自的工作效率，熟练掌握分式加减计算法则是解题关键．根据甲、乙合做一天的工作量甲一天的工作量乙一天的工作量，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成， ∴甲一天的工作量为，乙一天的工作量为， ∴甲、乙合作一天可以完成的工作量为， 故答案为：． 15. 不改变分式的值，把分式的分子与分母的各项系数化为整数为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】，据此即可求解． 【详解】解： 将分子、分母同时扩大倍，不改变分式的值 故答案为： 【点睛】本题考查将分式的分子与分母的各项系数化为整数．合理利用分式的性质是解题关键． 16. 若（，为有理数），那么_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分式的加法的应用，解二元一次方程组，负整数幂，熟练掌握异分母分式的加法运算法则是解题的关键．先计算，再利用待定系数法列式求解出的值，的代入中，根据负整数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴ 故答案为：． 17. 对于任意两个非零实数、，定义新运算“”如下：，例如：．若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得： ，即， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的求值，理解新运算法则，得到，是解题的关键． 18. 阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②的奇数次幂都等于；③的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1，试根据以上材料探索使等式成立的的值为_______． 【答案】4或##或4 【解析】 【分析】本题考查的是乘方运算，特别是乘方的结果为的情况，分类讨论的思想是解题的关键．根据1的乘方，的乘方，非零的零次幂，可得答案． 【详解】解：①当时，解得：， 此时，则， 所以． ②当时，解得：，此时， 则， 不符合题意． ③当时，解得：，此时， 则， 所以． 综上所述，当或时，等式成立． 故答案为：4或． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20、21题每小题6分，第22、23题每小题8分，第24、25题每小题10分，第26题12分，共66分） 19. 计算． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算乘方，再将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，以及化简求值，掌握分式的运算法则，准确的计算是解题的关键． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是： （1）方程两边都乘，得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【小问1详解】 解：， 方程两边同乘得：， 解得：， 经检验，是原方程的增根， ∴原方程无解； 【小问2详解】 解： 去分母得，， 解得：， 经检验：当是原方程根， ∴原方程的解为． 21. 先化简，再求值：，然后从、0、1、2这几个数中选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后化简，再从、0、1、2中选取一个使分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴原式． 22. 今年是我们伟大的中国共产党建党100周年，烈士公园旁服装店用2000元购进一批特色纪念款文化衫，出售后发现供不应求，第二批又购进同样的文化衫，所购数量是第一批的3倍，但单件的进价贵了2元，购买第二批文化衫共用了6600元． （1）求第一批文化衫单件的进价； （2）若销售这两批文化衫时，每件售价都是30元，全部售出后服装店共盈利多少元？ 【答案】（1）20元 （2）3400元 【解析】 【分析】（1）设第一批购进了x件，则第二批购进了3x件，根据单价＝总价÷数量，结合第二批的进价比第一批每件贵了2元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）根据利润＝销售收入−成本，即可算出该店销售这两批文化衫共盈利多少元． 【小问1详解】 解：设第一批文化衫单件的进价x元，则第二批文化衫单件的进价为元 由题意得，， 解得：． 经检验，是原分式方程解，且符合题意． 答：第一批文化衫单件的进价为20元． 【小问2详解】 解：由（1）得，第一批文化衫数量是件， 则第二批文化衫数量是300件 总盈利为（元） 答：服装店共盈利3400元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据单价＝总价÷数量，结合第二批的进价比第一批每件贵了2元，列出关于x的分式方程；（2）根据利润＝销售收入−成本，列式计算．注意：分式方程要验根． 23. 已知，，． （1）求值； （2）求的值． 【答案】（1）40 （2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可； （2）根据同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 ，， ； 【小问2详解】 ，， ． 24. （1）已知关于的分式方程有增根，求的值． （2）关于方程有整数解，求此时整数的值． 【答案】（1）3；（2）m的值为3或0或4 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解法、增根问题、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法和增根问题是解题的关键． （1）解分式方程得到，求出增根，则，即可求得a值； （2）解方程得到，根据分式方程有整数解得到或且，进一步求解即可得到整数m的值． 【详解】解：（1）， 去分母得到， 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴， 解得：， ∴a的值为3； （2）， 去分母得到， 解得， ∵方程有整数解， ∴或且， 解得：或3或0或4且， ∴或0或4， ∴此时整数m的值为3或0或4． 25. 阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行． （1）请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ． 完成下列问题： （2）已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； （3）若关于的方程无解，求的值． 【答案】（1）小聪，分式的分母不能为0； （2）且； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对； （2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出的取值范围； （3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围． 【小问1详解】 解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0 ∴小聪说得对，分式的分母不能为0． 【小问2详解】 解：原方程可化为 去分母得： 解得： ∵解为非负数 ∴，即 又∵ ∴，即 ∴且 【小问3详解】 解：去分母得： 解得： ∵原方程无解 ∴或者 ①当时，得： ②当时，，得： 综上：当或时原方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况． 26. 已知分式 A （1）化简这个分式； （2）当 a＞2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B，问：分式 B 的值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由； （3）若 A 的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和． 【答案】（1）；（2）原分式值变小了，见解析；（3）11 【解析】 【分析】（1）根据分式混合运算顺序和运算法则化简即可得； （2）根据题意列出算式，化简可得，结合a的范围判断结果与0的大小即可得； （3）由可知，=±1、±2、±4，结合a的取值范围可得． 【详解】解：（1）A= = = =； （2）变小了，理由如下： ∵， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴分式的值变小了； （3）∵A是整数，a是整数， 则， ∴、、， ∵， ∴的值可能为：3、0、4、6、-2； ∴； ∴符合条件的所有a值的和为11． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$