精品解析：河北省保定市竞秀区北京师范大学保定实验学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

9月月清数学作业清单 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共16小题，共42.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列方程一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，正确理解一元二次方程的定义是解答本题的关键．“方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程”．根据一元二次方程的定义，逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、中是分式，故不是关于的一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，故不是关于的一元二次方程，不符合题意； C、，当时，最高次为次，故不是关于的一元二次方程，不符合题意； D、是关于的一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A. 两组对边分别相等 B. 两条对角线相等 C. 四个内角都是直角 D. 每一条对角线平分一组对角 【答案】D 【解析】 【分析】菱形具有平行四边形的全部性质，故分析ABCD选项，添加一个条件证明平行四边形为菱形即为菱形具有而平行四边形不具有的性质，即可解题． 【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，对边相等， 且菱形具有平行四边形的全部性质， 故A、B、C选项错误； 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故D选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的邻角互补、对角线互相平分，对角相等的性质，菱形每条对角线平分一组对边的性质，本题中熟练掌握菱形、平行四边形的性质是解题的关键． 3. 在矩形中，对角线，交于点，若，则长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形性质可得，，即可得出结果． 【详解】解：如图： 四边形为矩形， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解答本题的关键． 4. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否相互平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量其中三个角是否都为直角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定，根据三个角都为直角的四边形是矩形可得答案． 【详解】解：由三个角都为直角的四边形是矩形， 可知测测量其中三个角是否都为直角可判断一个四边形门框是否为矩形， 故选：D． 5. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ） 0 1 2 3 4 5 13 23 A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查估计一元二次方程根的方法，根据和时的代数式的值，即可得到答案． 【详解】解：根据表格得： 当时，， 当时，， ∴的一个解x的取值范围为， 故选C． 6. 已知菱形的对角线、的长度分别为和，则菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质：对角线互相平分且垂直，得出两条对角线的一半为与．再利用勾股定理可求出菱形边长，从而得解． 【详解】解：四边形是菱形，设对角线相交于点O， ，，， ，， ，， ， 菱形的周长为：． 故选:C． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直平分． 7. 用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，那么掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ） A. 每两次必有1次正面向上 B. 可能有5次正面向上 C. 必有5次正面向上 D. 不可能有10次正面向上 【答案】B 【解析】 【分析】概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现，据此逐项判断即可． 【详解】解：抛掷硬币“正面朝上”的概率为0.5， 那么掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了概率的意义和应用，解题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． 8. 方程的解是（ ）． A. x1=x2=0 B. x1=x2=1 C. x1=0, x2=1 D. x1=0, x2=-1 【答案】D 【解析】 【分析】利用提公因式法解方程，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴或； 故选择：D. 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握提公因式法解方程是解题的关键. 9. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（　　） A. 6cm B. 4cm C. 3cm D. 2cm 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC-BE，代入数据进行计算即可得解． 详解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处， ∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1， 又∵∠BAD=90°， ∴四边形ABEB1是正方形， ∴BE=AB=6cm， ∴CE=BC-BE=8-6=2cm． 故选D． 点睛：本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键． 10. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（　）． A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】∵ABCD是菱形，∠BCD=120°， ∴∠B=60°，BA=BC． ∴△ABC是等边三角形． ∴△ABC的周长=3AB=15． 故选B． 11. 已知四边形是平行四边形，，相交于点O，下列结论错误的是（ ） A. ， B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当且时，四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，菱形，矩形，正方形的判定逐一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，故A正确， 四边形是平行四边形，， 不能推出四边形是菱形，故错误， 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，故C正确， 四边形是平行四边形，，， 四边形是正方形．故D正确． 故选B． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形，菱形，正方形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 12. 一元二次方程的两个根为，则等于（　　）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程的两根之和为，两根之积为是解题的关键． 13. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E、F分别是的中点，连接，若，，则的长是（ ） A. 5 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质结合勾股定理可求出，从而求出．再根据三角形中位线的性质即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴． ∵点E、F分别是的中点， ∴为的中位线， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键． 14. 2024年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设平均每天票房的增长率为x，则第二天票房为亿元，第三天票房为亿元，再根据三天累计票房为亿元即可列出对应的方程． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝10，则CD＝（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得出AE＝CE＝10，进而得出DE＝8，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝10， ∴AE＝CE＝10， ∵AD＝2， ∴DE＝8， ∵CD为AB边上的高， ∴在Rt△CDE中，CD＝＝＝6， 故选：D． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，勾股定理，关键是根据等腰三角形的性质得出AE＝CE＝10． 16. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用根的判别式和一元二次方程的定义，组成不等式组即可解答 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根， ∴ ， 解得：k≤ 且k≠1． 故选D． 【点睛】此题考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的情况与判别式的关系是解题关键 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共3小题，共9.0分） 17. 要使代数式的值等于21，则x的值是 _____． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：依题意，， 即， 解得， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，正确的计算是解题的关键． 18. 如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE=4，则线段BE的长为_____． 【答案】 【解析】 【详解】设正方形边长为a， ∵S△ABE=18， ∴S正方形ABCD=2S△ABE=36， ∴a2=36， ∵a＞0， ∴a=6， 在RT△BCE中，∵BC=6，CE=4，∠C=90°， ∴BE===． 故答案为：． 点睛：本题考查了正方形的性质、三角形的面积公式、勾股定理等知识，解题是关键是理解正方形面积是△ABE面积的2倍 19. 如果关于x的一元二次方程x2－4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是_______． 【答案】k≤4 【解析】 【分析】根据判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2－4x+k=0有实数根， ∴=16－4k≥0， 解得：k≤4． 故答案为：k≤4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数． 三、解答题（本大题共6小题，共69.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法化为，进而根据开平方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法化为，进而解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：． 21. 已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 【答案】（1）；（2）a的值是-1，该方程的另一根为-3． 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可. 【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0， 解得：a＜3， ∴a的取值范围是a＜3； （2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得： ， 解得：， 则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3． 22. 小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形、同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】 解：这个游戏对双方公平，理由如下： 如图， ∵由树状图可知，所有可能发生的组合有6种，能配成紫色的组合有3种， ∴P（紫色）=， ∴这个游戏对双方公平． 【解析】 【分析】画出树状图，求出配成紫色的概率即可求解． 【详解】略 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O． （1）证明：四边形ADCE为菱形． （2）BC＝6，AB＝10，求菱形ADCE的面积． 【答案】（1）见解析；（2）S菱形ADCE＝24． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形,再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD= AB=AD,即可得出四边形ADCE为菱形,（2）利用菱形的性质、勾股定理求得菱形ADCE的对角线的长度，然后根据菱形的面积=DE•AC解答即可． 【详解】（1）∵在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,D为AB中点, ∴CD＝AB＝AD, 又∵AE∥CD,CE∥AB, ∴四边形ADCE是平行四边形, ∴平行四边形ADCE是菱形, （2）在Rt△ABC中,AC＝＝＝8． ∵平行四边形ADCE是菱形, ∴CO＝OA, 又∵BD＝DA, ∴DO是△ABC的中位线, ∴BC＝2DO, 又∵DE＝2DO, ∴BC＝DE＝6, ∴S菱形ADCE＝＝＝24． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线性质,解决本题的关键是要熟练掌握菱形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线性质. 24. 下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次系数化为，得…第一步 移项，得…第二步 配方，得，即…第三步 由此，可得…第四步 所以，，…第五步 （1）小明同学解题过程中，从第______步开始出现错误． （2）请给出正确的解题过程 【答案】（1）三 （2）解题过程见详解 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式即可求解； （2）在小明同学的第三步开始，左右两边同时加，根据完全平方公式配方，然后直接开方解方程即可求解． 【小问1详解】 解：第三步中，的一次项系数是，根据完全平方公式可知常数项应该是，即左右两边同时加即可， ∴第三步出错， 故答案为：三． 【小问2详解】 解： 二次系数化为， 移项， 配方，，即 直接开方， ∴原方程的解为：，． 【点睛】本题主要考查配方法，直接开方法解一元二次方程，掌握完全公式的配方法解方程是解题的关键． 25. 某文具专柜销售一种进价为40元的书包，当售价为60元时，日销售量为100个，国庆（10.1-7）期间，通过市场调查发现，这种书包的单价每降低2元，日销售量可增加20个.现准备降价元销售，请回答： （1）该专柜原来销售这种书包每天可获利__________元； （2）降价销售时，现在每个书包获利__________元，每天可售出书包__________个； （3）若该专柜销售这种书包要想平均每天获利2240元，每个书包应降价多少元？ （4）在（3）中平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该专柜销售这种书包的利润率是多少？ 【答案】（1）2000 （2）， （3）每个书包应降价4元或6元 （4）该专柜销售这种书包的利润率是 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据利润售价进价列式即可求解； （2）降价销售时，现在每个书包获利元，每天可售出书包个； （3）根据销售这种书包平均每天获利2240元列出方程，解方程即可； （4）在（3）中盈利不变的前提下，要想尽可能地让利于顾客，得出每个书包应降价6元，再根据利润率计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得：（元）． 即该专柜原来销售这种书包每天可获利2000元； 故答案为2000； 【小问2详解】 解：由题意得：，． 即降价销售时，现在每个书包获利元，每天可售出书包个； 故答案为， 【小问3详解】 解：由题意可得：该专柜销售这种书包每天的盈利为：元， 要想每天盈利2240元，则有：， 整理得：． 解得，． 答：每个书包应降价4元或6元； 【小问4详解】 解：在（3）中盈利不变的前提下，要想尽可能地让利于顾客，则每个书包应降价6元， 此时，每个书包的售价为：（元），利润为（元）， 利润率为． 答：该专柜销售这种书包的利润率是． 26. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）或时，为直角三角形 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质及含角的直角三角形的性质，熟练掌握角所对的直角边是斜边的一半是解题关键． （1）由题意可知，，，根据含角的直角三角形的性质得出，根据，得出，即可证明四边形是平行四边形； （2）分和两种情况，画出图形，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：由题意得：，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图所示：当时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：； 如图所示，当时， 由（1）可得：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：； 综上所述：或，为直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9月月清数学作业清单 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共16小题，共42.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列方程一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A. 两组对边分别相等 B. 两条对角线相等 C. 四个内角都是直角 D. 每一条对角线平分一组对角 3. 在矩形中，对角线，交于点，若，则长为（　　） A. B. C. D. 4. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否相互平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量其中三个角是否都为直角 5. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ） 0 1 2 3 4 5 13 23 A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 6. 已知菱形的对角线、的长度分别为和，则菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 7. 用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，那么掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ） A. 每两次必有1次正面向上 B. 可能有5次正面向上 C. 必有5次正面向上 D. 不可能有10次正面向上 8. 方程的解是（ ）． A. x1=x2=0 B. x1=x2=1 C. x1=0, x2=1 D. x1=0, x2=-1 9. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（　　） A. 6cm B. 4cm C. 3cm D. 2cm 10. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（　）． A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 11. 已知四边形是平行四边形，，相交于点O，下列结论错误的是（ ） A. ， B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当且时，四边形是正方形 12. 一元二次方程的两个根为，则等于（　　）. A. B. C. D. 13. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E、F分别是的中点，连接，若，，则的长是（ ） A. 5 B. C. D. 3 14. 2024年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝10，则CD＝（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 16. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共3小题，共9.0分） 17. 要使代数式的值等于21，则x的值是 _____． 18. 如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE=4，则线段BE的长为_____． 19. 如果关于x的一元二次方程x2－4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是_______． 三、解答题（本大题共6小题，共69.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2） 21. 已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 22. 小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形、同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O． （1）证明：四边形ADCE为菱形． （2）BC＝6，AB＝10，求菱形ADCE的面积． 24. 下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次系数化为，得…第一步 移项，得…第二步 配方，得，即…第三步 由此，可得…第四步 所以，，…第五步 （1）小明同学解题过程中，从第______步开始出现错误． （2）请给出正确的解题过程 25. 某文具专柜销售一种进价为40元的书包，当售价为60元时，日销售量为100个，国庆（10.1-7）期间，通过市场调查发现，这种书包的单价每降低2元，日销售量可增加20个.现准备降价元销售，请回答： （1）该专柜原来销售这种书包每天可获利__________元； （2）降价销售时，现在每个书包获利__________元，每天可售出书包__________个； （3）若该专柜销售这种书包要想平均每天获利2240元，每个书包应降价多少元？ （4）在（3）中平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该专柜销售这种书包的利润率是多少？ 26. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $