第二十四章 圆（B卷·基础提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（湖北专用，人教版）

第24章 圆（B卷·拔高培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 注意事项: 亲爱的同学,在你答题前,请认真阅读下面的注意事项: 1.答题前,将你的姓名,准考证号填写在“试卷”和“答题卡"的相应位置. 2.答选择题时,选出每小答案后,用2B 铅笔把“答题卡”上相应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案写在“试卷"上无效. 3.答非选择题时,答案用0.5毫米黑色签字笔书写在“答题卡"上,答案写在“试卷”上无效. 4.认真阅读答题卡上的注意事项 预祝你取得优异成缋! 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1．下列各项命题中，属于真命题的是（   ） A．相等的弦，所对的圆周角相等 B．同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长 C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 D．相等的弦，所对的弧相等 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．据此判断即可． 【详解】解：A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故此选项不符合题意； B．在同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦不一定也长，故此选项不符合题意； C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故此选项符合题意； D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧相等或相等的弦所对的劣弧相等，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．如图，两个同心圆的半径分别为和，弦与小圆相切于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．根据切线的性质得出，由垂径定理可得，然后由勾股定理求得的长，继而可求得的长． 【详解】解：∵弦与小圆相切于点， ∴， ∴， ∵两个同心圆的半径分别为和， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形外心，坐标与图形，垂直平分线的性质，首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心，解题的关键是正确理解三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 【详解】解：如图， ∵的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴分别作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心， 根据坐标可得：， 故选：B． 4．如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点．连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出及的度数，进而可得出结论，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5．如图， 内接于，， 连 接， 则 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可知，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，即可求得答案． 【详解】解：连结， 所对的圆周角和圆心角分别是和， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 6．如图，正方形的边长为8，以为直径的半圆O交对角线于点E，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，解题的关键是修改利用分割法求阴影部分面积．据图形可得，阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，代入面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 7．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理． 连接交于点，根据垂径定理得到米，，再根据勾股定理得到即可得解． 【详解】解：连接交于点， 依题得：米，，米， 设，即， 中，， 即， 解得， 即米， 米， 即点到弦所在直线的距离是米． 故选：． 8．如图，是弦，半径于点C，为直径，，线段长为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理、圆周角定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．先根据垂径定理求出的长，设的半径为，在中利用勾股定理求出的值，易得，连接，由是直径，根据圆周角定理得到，利用是的中位线得到，然后在中利用勾股定理可计算出． 【详解】解：连接，如图， 弦，， ， 设的半径， ， 在中， ， 解得：， ； ，， ， 是直径， ， 是的中位线， ， 在中，． 故选：D 9．如图，已知直线交于A，B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D，且，的直径为10，则的长等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，连接，根据题意可证得，再根据角平分线的性质，得，过作，则，得四边形为矩形，设，在中，由勾股定理得，从而求得的值，由垂径定理得出的长． 【详解】连接，过作，垂足为， ， ， 平分， ， ， ∴， ， ， 四边形为矩形， ，． ， 设，则， 的直径为10， ， ， 在中，由勾股定理得． 即， 解得，． 大于，故舍去， ， ，， ，由垂径定理知，为的中点， ． 故选：C． 10．如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接，作，垂足为F，连接．则长的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】连接，取的中点K，连接，利用勾股定理求出，根据即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，取的中点K，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的外接圆的半径为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定的最小值是解决本题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上） 11．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆，勾股定理．根据题意可得能够完全覆盖这个三角形的最小圆为外接圆，圆心位于和的垂直平分线的交点处，求出，即可求解． 【详解】解：如图，均为网格的对角线长，，故点为外接圆的圆心，则为半径，    故能完全覆盖该三角形的最小圆面的半径是． 故答案为：． 12．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键． 连接，由正六边形的性质得出，由圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵多边形是正六边形， ， ， ， 故答案为：． 13．如图，与相切于点，与弦相交于点，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，余角性质，对顶角的性质，勾股定义，连接，由切线的性质可得，由得，又由得到，即可根据余角性质得到，进而得到，即得到，设，则，，由勾股定理可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， 即的长为， 故答案为：． 14．如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接．若点与圆心重合，，则半径等于 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，折叠的性质，作点关于的对称点，连接，交于点，得到垂直平分，根据点与圆心重合，得到，，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，交于点，则：垂直平分， ∴， ∵点与圆心重合，为直径， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得： ， ∴， ∴；即半径等于； 故答案为：． 15．如图，在正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，过B，C，D的弧交于点E，若每个正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】设过B，C，D的弧的圆心为O，连接，由勾股定理求出，，的值，进而由勾股定理的逆定理得是等腰直角三角形， 再由圆周角定理得，，为半圆的直径，则，然后由等腰直角三角形的性质得，，根据即可求解． 【详解】如图，设过B，C，D的弧的圆心为O，连接， 由勾股定理得，，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ，为半圆的直径， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、与圆有关的计算，熟练掌握勾股定理和圆周角定理是解题的关键． 16．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函数与轨迹圆最值问题是解题的关键．连接、，利用勾股定理可得，可知是的中位线，则，当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，则此时最大，求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 令，则， 故点， ∵， ∴， 设圆的半径为，则，    ∵点Q、O分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大， 则此时最大， 此时， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）如图，在中，是直径，是弦，延长，相交于点P，且，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆的特点，等腰三角形性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，连接，得到，进而得到，结合三角形外角性质得到，结合等腰三角形性质和三角形内角和定理得到，进而推出的度数，即可解题． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 18．（8分）如图，为的直径，切于点，交的延长线于点，且． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含30度的直角三角形三边的关系． （1）连接，如图，根据切线的性质得，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到，接着利用互余得到，解得，从而得到的度数； （2）在中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，然后计算即可． 【详解】（1）解：连接，如图， 切于点， ， ， ， ， ， ， 而． ，解得， ； （2）解：在中，， ，， ． 19．（8分）如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，根据等边对等角得出，推得，根据内错角相等，两直线平行得出，根据两直线平行，同位角相等得出，即可证明； （2）设半径为，根据勾股定理可得，据此列出方程，解方程求出即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 点是的中点， ∴， ， 又， ， ， ， 又于点， 于点， 为的切线． （2）解：设半径为， 在中，， ， 解得： 即的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角性质，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，切线的判定．熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 20．（8分）如图，在中，点是优弧的中点，分别是上的点，且，弦分别过点． (1)求证：； (2)和的长度相等吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)和的长度相等，理由见解析 【分析】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）连接，只要证明即可解决问题； （2）欲证明，只要证明即可； 【详解】（1）证明：连接． 点是优弧的中点， ， ， ，， ，， ， ． （2）解：和的长度相等，理由如下， 分别连接，， ， ，， ， ，， ， ，， ， ． 和的长度相等． 21．（8分）如图，是的直径，点是的内心，的延长线交于点，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用以上知识． （1）由点是的内心，得出，，再结合圆周角定理得：，，，进而得出，由此得证； （2）由题意可得，从而得出，再结合，可推出，可以证明，根据全等三角形的性质得到，进而得到在中，，根据直角三角形中所对的边等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）证明：点是的内心， ，． ，，， ， ； （2）解：连接． 是的直径， ， ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ． 22．（10分）如图，在边长为1的正方形网格纸上，以O为圆心，为半径作圆，点O、A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，①作的中点M： ②作，使得； ③取格点C，使为的一条切线．（做出符合题意的一点即可） (2)在图2中，作直径，E为外任一点，过E作的垂线垂足为F． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，涉及垂径定理、全等三角形的判定与性质、网格的特点，解本题的关键在正确画出符合题意的图形． （1）①连接，过点、格点作直线交于点，点即为所求点； ②在网格上找到点，连接，并延长交于点，则，即为所求，设点下方的格点为，点上方的格点为，连接、、，与交于点，与交于点，再根据“边角边”，得出，进而得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，，再根据对顶角相等，得出，进而得出，再根据垂线的定义，得出，再根据垂径定理，即可得出； ③根据题意作出点C，由网格的特点得，进而求解即可； （2）连接交于点F即为所求． 【详解】（1）①如图，点即为所求点； ②如图，在网格上找到点，连接，并延长交于点，则，即为所求． 设点下方的格点为G，点上方的格点为，连接、、，与交于点，与交于点， ∵， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③如图所示，点C即为所求； 由网格的特点可得， 又∵是的半径 ∴为的一条切线； （2）如图所示，连接交于点F即为所求； 由网格的特点可得，． 23．（10分）用无刻度的直尺完成下列画图．    (1)如图1，的三个顶点在上，，，是的中点．先分别画出，的中点，，再画的内接正五边形； (2)如图2，正五边形五个顶点在上，过点画的切线． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，熟练应用垂径定理及切线的判定是解题的关键． （1） 连接并延长交于点，连接，与交于点， 连接并延长交于点，连接并延长交于点，依次连接，正五边形即为所求； （2）连接并延长交于点，连接，并延长交于点，连接，即为所求． 【详解】（1）解：如图即为所求．    （2）如图即为所求．    24．（12分）已知是的直径，是弦，的角平分线交于点D，于 (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图1，若，，求的长； (3)如图2，过点B作的切线，交的延长线于F，若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 (3) 【分析】（1）连接，则利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可以推出，从而证明，则，再由，得到，则，由此即可证明结论； （2）连接交于F，先利用勾股定理求出，然后整理四边形是矩形，得到，再由垂径定理求得，由此即可得到答案； （3）连接，先证明，得到，再由勾股定理得到，，从而可以推出，即，则， 设，则，解方程即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵ ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，连接交于F， ∵是直径， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即 ∴， 设， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，垂径定理，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 圆（B卷·拔高培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 注意事项: 亲爱的同学,在你答题前,请认真阅读下面的注意事项: 1.答题前,将你的姓名,准考证号填写在“试卷”和“答题卡"的相应位置. 2.答选择题时,选出每小答案后,用2B 铅笔把“答题卡”上相应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案写在“试卷"上无效. 3.答非选择题时,答案用0.5毫米黑色签字笔书写在“答题卡"上,答案写在“试卷”上无效. 4.认真阅读答题卡上的注意事项 预祝你取得优异成缋! 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1．下列各项命题中，属于真命题的是（   ） A．相等的弦，所对的圆周角相等 B．同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长 C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 D．相等的弦，所对的弧相等 2．如图，两个同心圆的半径分别为和，弦与小圆相切于点，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 4．如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点．连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 5．如图， 内接于，， 连 接， 则 的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，正方形的边长为8，以为直径的半圆O交对角线于点E，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 7．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．如图，是弦，半径于点C，为直径，，线段长为（    ） A． B．8 C． D． 9．如图，已知直线交于A，B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D，且，的直径为10，则的长等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 10．如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接，作，垂足为F，连接．则长的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上） 11．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 12．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 13．如图，与相切于点，与弦相交于点，，若，，则的长为 ． 14．如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接．若点与圆心重合，，则半径等于 ． 15．如图，在正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，过B，C，D的弧交于点E，若每个正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 16．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ．    三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）如图，在中，是直径，是弦，延长，相交于点P，且，，求的度数． 18．（8分）如图，为的直径，切于点，交的延长线于点，且． (1)求的度数； (2)若，求的长． 19．（8分）如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 20．（8分）如图，在中，点是优弧的中点，分别是上的点，且，弦分别过点． (1)求证：； (2)和的长度相等吗？请说明理由． 21．（8分）如图，是的直径，点是的内心，的延长线交于点，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的值． 22．（10分）如图，在边长为1的正方形网格纸上，以O为圆心，为半径作圆，点O、A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，①作的中点M： ②作，使得； ③取格点C，使为的一条切线．（做出符合题意的一点即可） (2)在图2中，作直径，E为外任一点，过E作的垂线垂足为F． 23．（10分）用无刻度的直尺完成下列画图．    (1)如图1，的三个顶点在上，，，是的中点．先分别画出，的中点，，再画的内接正五边形； (2)如图2，正五边形五个顶点在上，过点画的切线． 24．（12分）已知是的直径，是弦，的角平分线交于点D，于 (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图1，若，，求的长； (3)如图2，过点B作的切线，交的延长线于F，若，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$