第二十二章 二次函数（B卷·基础提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（湖北专用，人教版）

第22章 二次函数（B卷·拔高培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 注意事项: 亲爱的同学,在你答题前,请认真阅读下面的注意事项: 1.答题前,将你的姓名,准考证号填写在“试卷”和“答题卡"的相应位置. 2.答选择题时,选出每小答案后,用2B 铅笔把“答题卡”上相应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案写在“试卷"上无效. 3.答非选择题时,答案用0.5毫米黑色签字笔书写在“答题卡"上,答案写在“试卷”上无效. 4.认真阅读答题卡上的注意事项 预祝你取得优异成缋! 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1．若函数的图象经过点，则（ ） A． B．3 C． D．1 2．抛物线经过平移得到抛物线,平移过程正确的是（     ） A．先向下平移个单位,再向左平移个单位 B．先向上平移个单位,再向右平移个单位 C．先向下平移个单位,再向右平移个单位 D．先向上平移个单位,再向左平移个单位. 3．下列关于抛物线判断中，错误的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标 C．与轴的交点为 D．当时，随的增大而减小 4．若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，抛物线的对称轴为直线，并与轴交于 两点， 若， 则下列结论中： ① ； ②； ③； ④若为任意实数，则 ，错误结论的个数是（      ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知函数的图象上有两点和，则的值等于（    ） A．11 B．12 C．15 D．9 9．如图，二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点和．下列结论：①，②，③，④，以下4个结论中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为．若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上） 11．二次函数与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的解为 ． 12．若抛物线与轴有交点，则整数的最大值是 ． 13．已知某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于 ．    14．已知关于x的二次函数，当时，随的增大而减小．并且，当时，有最小值1．则的值为 ． 15．如图，抛物线与直线交于A，B两点（A在B左侧），连接，P在直线下方抛物线上，当的面积最大时，点P的坐标是 ． 16．对于拋物线．下列四个结论：①若，则拋物线的对称轴为；②若拋物线经过点，且，则；③若，当时，总有随的增大而减小，则；④关于的方程有两个正根，，且，若，则．其中正确结论的序号是 ． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知二次函数的图象的顶点坐标，且过点． (1)求二次函数解析式． (2)当x为何值时，函数值y随x的增大而增大？ 18．（8分）如图，已知抛物线经过点． (1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围． 19．（8分）如图，抛物线经过，两点，请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为D，对称轴所在的直线交x轴于点E，连接，点F为的中点，求出和线段的长． 20．（8分）如图，抛物线交x轴于A、B两点，与y轴交于点C．点在抛物线上． (1)求四边形的面积； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大，若存在，试求出点P的坐标． 21．（8分）如图1，已知直线与x轴、y轴分别交于B，C两点，抛物线经过点B，C交x轴于另一点A，点P为x轴上方抛物线上一动点（不与点C重合），设点P横坐标为m． (1)填空：B（___，___），C（___，___），抛物线的解析式为______； (2)过点P作轴，交直线于点M，当时，求点P的横坐标； (3)过点P作x轴的平行线交直线于点Q，线段的长记为d，求d关于m的函数． 22．（10分）某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果． 该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元，某农户日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为元． (1)分别求出与，与之间的函数解析式； (2)该农户决定从每天的销售利润中拿出100元设立“救助基金”，以帮助其他邻居共同致富，若捐款后该农户的剩余利润是900 元，求此时水果的售价； (3)若该水果的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 23．（10分）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 9 3 0 0 3 … (1)直接写出该函数图象的顶点坐标是_________，_________； (2)当x为何值时，y有最小值，求出最小值； (3)若两点都在该函数的图象上，求当m取何值时，． 24．（12分）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)请直接写出：此抛物线的函数解析式为_____________； (2)如图1，已知点在第二象限的抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在这样的、两点使得四边形为矩形？若存在，求、两点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，平移抛物线，使新抛物线的顶点在的延长线上，过点作轴于点，过原抛物线的顶点作轴，交新抛物线于点，若，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章 二次函数（B卷·拔高培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 注意事项: 亲爱的同学,在你答题前,请认真阅读下面的注意事项: 1.答题前,将你的姓名,准考证号填写在“试卷”和“答题卡"的相应位置. 2.答选择题时,选出每小答案后,用2B 铅笔把“答题卡”上相应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案写在“试卷"上无效. 3.答非选择题时,答案用0.5毫米黑色签字笔书写在“答题卡"上,答案写在“试卷”上无效. 4.认真阅读答题卡上的注意事项 预祝你取得优异成缋! 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1．若函数的图象经过点，则（ ） A． B．3 C． D．1 【答案】D 【分析】把点代入解析式即可求解． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴把点代入得，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 2．抛物线经过平移得到抛物线,平移过程正确的是（     ） A．先向下平移个单位,再向左平移个单位 B．先向上平移个单位,再向右平移个单位 C．先向下平移个单位,再向右平移个单位 D．先向上平移个单位,再向左平移个单位. 【答案】D 【分析】先利用顶点式得到抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，然后利用点平移的规律确定抛物线的平移情况． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，而点先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得点， 抛物线先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得抛物线． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 3．下列关于抛物线判断中，错误的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标 C．与轴的交点为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，当时，， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，与轴的交点为，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小； 综上：只有选项D是错误的， 故选：D． 4．若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”得出向右平移一个单位长度得到抛物线，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得：向右平移一个单位长度得到抛物线， ∵点在抛物线上， ∴点向右平移一个单位长度后的点在抛物线上， ∵点向右平移一个单位长度后的点坐标为， ∴在抛物线上， 故选：B． 5．已知，点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性，增减性，是解题的关键． 由可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，的对称点为，当时，y随x的增大而增大，即得． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴的对称点为， ∵，， ∴， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴． 故选：A． 6．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：如图， 令，即，解得或，则点，， ∴， ∴向右平移两个长度单位得， ∵， ∴解析式为， 当与相切时，令，即， ∵， ∴； 当过点B时，即， ∴， ∴当时直线与、共有3个不同交点． 故选：D． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 7．如图，抛物线的对称轴为直线，并与轴交于 两点， 若， 则下列结论中： ① ； ②； ③； ④若为任意实数，则 ，错误结论的个数是（      ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据图象开口，与轴的交点，对称轴等知识可得，可判定结论①；根据图象与轴的交点，，设，根据对称轴，线段数量关系可求出点的坐标，可得，可判定②③；当时，抛物线有最小值，由此可判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵图象开口向上，与轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∴，故①错误； 设， ∴，且， ∴， 解得，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵抛物线的开口向上，对称轴为， ∴当时，的值最小， ∴对应任意实数，都有， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，错误的个数为①③④，共3个， 故选：C ． 8．已知函数的图象上有两点和，则的值等于（    ） A．11 B．12 C．15 D．9 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与方程之间的关系是解题的关键．由题意可得，是方程的两个根，则有，，即，又由，将所求式子变形为，然后再求值即可． 【详解】解：函数的图象上有两点和， ， 把代入得，， 函数的图象上有两点和， ，是方程的两个根， ，， ， ． 故选：B 9．如图，二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点和．下列结论：①，②，③，④，以下4个结论中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．①由抛物线开口方向和对称轴得到，，即可判断；②先把函数化为一般式，代入得到，再根据抛物线与轴有2个交点，得到，解之即可判断；③根据题意得到时，，即，再由抛物线过得到，结合，，即可推出；④由，，，从而推出． 【详解】解：抛物线开口向下 抛物线的对称轴在轴右侧 ，故①正确； 把该二次函数化为一般式得： 抛物线过 抛物线与轴有2个交点 ∴，即，故②正确； 根据图像可知时，，即 抛物线过 ，即 ，故③正确； ， ，故④正确； 综上，①②③④正确． 故选：D． 10．已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为．若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象抛物线与轴及常函数直线的交点横坐标与一元二次方程根的关系．根据题意可知一元二次方程的根应为整数，通过抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为．可以画出大致图象判断出直线，观察图象当时，抛物线始终与轴相交于与．故自变量的取值范围为．所以可以取得整数，1，2共3个．由于与关于对称轴直线对称，所以与对应一条平行于轴的直线，，时对应一条平行于轴且过抛物线顶点的直线，从而确定时，的值应有2个． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ，解得． 又抛物线与轴的一个交点为， 把代入得，， 解得：． ． 对称轴，最大值． 如图所示， 顶点坐标为， 令， 即， 解得或． 当时，抛物线始终与轴交于与， ． 即常函数直线，由， ， 由图象得当时，，其中为整数时，，1，2． 一元二次方程的整数解有3个． 又与关于直线轴对称， 当时，直线恰好过抛物线顶点， 所以值可以有2个． 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上） 11．二次函数与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点问题，根据抛物线的对称轴，确定抛物线与轴的两个交点的坐标，交点的横坐标就是方程的解． 【详解】二次函数的对称轴是 关于的对称点为 一元二次方程的解为， 故答案为，． 12．若抛物线与轴有交点，则整数的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数与一元二次方程的联系，得有实数根，所以且，求解取最大整数解，得答案． 【详解】解：由题意知，，方程有实数根 ∴，且 解得，且 ∴整数a的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的定义，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程根的判别，一元一次不等式的求解，理解二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键． 13．已知某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于 ．    【答案】/4米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意把直接代入解析式计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得点的横坐标为， 把代入得， ∴， ∴水面与桥拱顶的高度等于， 故答案为：． 14．已知关于x的二次函数，当时，随的增大而减小．并且，当时，有最小值1．则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的性质，解析式化成顶点式，得到顶点为，对称轴为直线，根据当时，随的增大而减小，即可得到开口向上，，由当时，有最小值1可知顶点为，即可得到，解方程组即可求得的值． 【详解】解：二次函数， 顶点为，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 开口向上，， 当时，有最小值1， 顶点为， ， 解得，或， ， 的值为， 故答案为． 15．如图，抛物线与直线交于A，B两点（A在B左侧），连接，P在直线下方抛物线上，当的面积最大时，点P的坐标是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数求最值，解题的关键是利用割补法表示三角形的面积． 先求出，设，由得到，化简得：，由，得当时，的面积取得最大值为，此时． 【详解】解：过点分别作轴的垂线，垂足为， 联立， 解得：或， ∴ 设 ∵， ∴ 化简得：， ∵， ∴当时，的面积取得最大值为， 此时， 故答案为：． 16．对于拋物线．下列四个结论：①若，则拋物线的对称轴为；②若拋物线经过点，且，则；③若，当时，总有随的增大而减小，则；④关于的方程有两个正根，，且，若，则．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称轴公式，判断①；将点，代入解析式，结合，判断②；根据抛物线的开口方向和增减性判断③；根据抛物线与一元二次方程的关系，判断④．掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 【详解】解：，对称轴为，故①正确； 抛物线经过点， ， ， ∴， ，故②正确； ，当时，总有随的增大而减小， ， ，故③错误； ， ∴， ∵关于的方程有两个正根，， ， ，， ∵， ，， 当时，， ，故④正确． 综上所述，①②④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知二次函数的图象的顶点坐标，且过点． (1)求二次函数解析式． (2)当x为何值时，函数值y随x的增大而增大？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，正确求出函数解析式是解答的关键． （1）将顶点坐标和已知点的坐标代入求解即可； （2）求得该函数图象的开口方向和对称轴，利用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象的顶点坐标，且过点， ∴，将点代入，得， 解得， ∴该二次函数解析式为； （2）解：由得，该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数值y随x的增大而增大． 18．（8分）如图，已知抛物线经过点． (1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围是解题的关键． （1）把代入，可求，则，进而可求顶点坐标； （2）由，可知抛物线开口向下，有最大值4，当时，，当时，，进而可求y的取值范围． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是． 19．（8分）如图，抛物线经过，两点，请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为D，对称轴所在的直线交x轴于点E，连接，点F为的中点，求出和线段的长． 【答案】(1) (2)4； 【分析】本题考查了待定系数法，抛物线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法和定理是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据解析式，确定顶点坐标，利用勾股定理计算，结合点F为的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算线段的长． 【详解】（1）解：由抛物线经过，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式． （2）解：抛物线的解析式， ∴． 对称轴所在的直线交x轴于点E， ∴轴，且， ∴，， ∴； ∵，点F为的中点， ∴． 20．（8分）如图，抛物线交x轴于A、B两点，与y轴交于点C．点在抛物线上． (1)求四边形的面积； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大，若存在，试求出点P的坐标． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，求一次函数的解析式，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）分别求得抛物线与轴和轴的交点，从而得出的值，进一步得出结果； （2）连接，则，过当三点共线时最大，据此求出直线与对称轴的交点坐标即可得到答案，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图，连接， 当时，， ， 由得，， ， 当时，， ， ∴ ； （2）解：如图， 抛物线的对称轴为：直线， 连接， 根据抛物线对称性可得：， 则， 故当三点共线，的值最大，最大值即为的长， 设直线的解析式为：， ， ， ， 当时，， ． 21．（8分）如图1，已知直线与x轴、y轴分别交于B，C两点，抛物线经过点B，C交x轴于另一点A，点P为x轴上方抛物线上一动点（不与点C重合），设点P横坐标为m． (1)填空：B（___，___），C（___，___），抛物线的解析式为______； (2)过点P作轴，交直线于点M，当时，求点P的横坐标； (3)过点P作x轴的平行线交直线于点Q，线段的长记为d，求d关于m的函数． 【答案】(1)3，0，0，3， (2)点P的横坐标为：1或2或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合，涉及求点的坐标与函数解析式等知识点，综合运用“数形结合”的思想是解题的关键． （1）分别令横纵坐标为0，并结合一次函数的解析式即可求得点B与点C的坐标；利用待定系数法即可求得二次函数的解析式． （2）先表示出点P与点M的纵坐标，然后用点P与点M的纵坐标之差的绝对值等于2建立二次方程并求解，最后再结合m的取值范围即可确定点P的横坐标． （3）先根据平行于x轴的纵坐标相等建立方程，然后求得点Q的横坐标，然后用点P与点Q横坐标之差的绝对值表示出线段PQ，再结合m的取值范围分段写出d关于m的函数． 【详解】（1）解：在直线中，令，得；令，得,即， 故，将两点的坐标代入中得： 解得： ∴抛物线的解析式为 故答案为：3，0，0，3，． （2）设点P的横坐标为m，则，即：， ∴或 解方程得，或； 解方程得， 因点P位于x轴的上方，故，解得：， 因，故不合题意舍去． 故点P的横坐标为：1或2或． （3）解：如图， ∵点P的横坐标为m，且点P在抛物线上， ∴点P的纵坐标为， ∵直线轴， ∴点Q的纵坐标也为， 设点Q的横坐标为a，因点Q在直线上， ∴，解得：， 即点Q的横坐标为， ∴， ∵点P与点C不重合，则，又， ∴当时，， 当时，， 故d关于m的函数为：． 22．（10分）某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果． 该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元，某农户日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为元． (1)分别求出与，与之间的函数解析式； (2)该农户决定从每天的销售利润中拿出100元设立“救助基金”，以帮助其他邻居共同致富，若捐款后该农户的剩余利润是900 元，求此时水果的售价； (3)若该水果的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 【答案】(1)； (2)该食品的售价为30元/千克 (3)售价为35元时，每天获利最大为1350元 【分析】（1）设与的函数关系式为：，代入，，可求得和；根据利润（售价进价）销量，可表示出； （2）根据利润（售价进价）销量，列出一元二次方程，然后解方程即可求得答案，注意售价的范围是否满足要求； （3）根据该水果的日销量不低于90千克，可求得，由可知，该图象开口向下，对称轴为直线，从而判断出时，有最大值，将代入，可求得答案． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为：， 把，代入得， 解得， 与的函数关系式为： 即 （2）解：由题意得，， 整理得， 解得， 答：此时水果的售价为30元/千克； （3）解：， 解得， ， ，对称轴为直线， ∴该图象开口向下， 在时，随的增大而增大， 时，取最大值，此时（元）， 答：售价为35元时，每天获利最大为1350元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与利润问题，二次函数的最值问题，一元二次方程与利润问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23．（10分）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 9 3 0 0 3 … (1)直接写出该函数图象的顶点坐标是_________，_________； (2)当x为何值时，y有最小值，求出最小值； (3)若两点都在该函数的图象上，求当m取何值时，． 【答案】(1)；3 (2)当时， (3) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，解不等式，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）由表格可知，二次函数的图象与x轴交点为，，从而得到对称轴为，进而得到顶点坐标为；由当时，即可求出c； （2）根据二次函数的图象开口向上，顶点坐标为即可解答； （3）由待定系数法求出二次函数解析式为，进而得到，，根据得到关于m的不等式，求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，二次函数的图象与x轴交点为，， 根据对称性可得该函数图象的对称轴为， 由表格得到，当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； 由表格得到：当时， ∴． 故答案为：；3 （2）解：由表格得到，二次函数的图象开口向上，顶点坐标为， ∴当时，y有最小值，为． （3）解：由表格可知，当时，；当时，；当时，， ∴，解得， ∴二次函数解析式为． ∵两点都在该函数的图象上， ∴， ， ∵， ∴， 解得． 24．（12分）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)请直接写出：此抛物线的函数解析式为_____________； (2)如图1，已知点在第二象限的抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在这样的、两点使得四边形为矩形？若存在，求、两点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，平移抛物线，使新抛物线的顶点在的延长线上，过点作轴于点，过原抛物线的顶点作轴，交新抛物线于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）首先求出对称轴为直线，，设，，首先根据平行四边形的性质得到，然后代入求出，，然后利用两点间距离公式得到，证明出四边形为矩形，符合题意，即可求解； （3）首先求出抛物线的顶点坐标，求出所在直线表达式为，得到新抛物线的顶点P的坐标为，然后求出表示出，根据列方程求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：将，代入函数解析式得， ， 解得， 此二次函数的解析式为； （2）∵ ∴对称轴为直线 当时， ∴ ∵点在第二象限的抛物线上，点在抛物线的对称轴上 ∴设， 当四边形为矩形时，四边形为平行四边形 ∴，即 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴四边形为矩形，符合题意， ∴，； （3）抛物线 ∴顶点坐标 ∵， ∴设所在直线表达式为 ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 ∵平移抛物线，使新抛物线的顶点在的延长线上， ∴新抛物线的顶点P的坐标为 ∴设新抛物线的表达式为 将代入得， ∴ ∵ ∴ 解得或 ∵新抛物线的顶点在的延长线上 ∴，故应舍去 ∴ ∴． 【点睛】本题属于二次函数和一次函数综合题，考查了待定系数法，特殊四边形的存在性问题，抛物线的平移，勾股定理等知识，解题的关键是掌握待定系数法以及二次函数的性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$