专题8.2 期中易错题专项复习（考试范围：第1～3章）【28大考点110题】-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（北师大版）
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内容正文：
专题8.2 期中易错题专项复习【28大考点110题】
（考试范围：第1~3章）
【北师大版】
【考点1 勾股定理】 2
【考点2 勾股定理的证明】 4
【考点3 勾股定理的逆定理】 7
【考点4 勾股树】 11
【考点5 勾股数】 12
【考点6 勾股定理的实际应用】 14
【考点7 平面最短路径问题】 16
【考点8 平方根】 19
【考点9 算术平方根】 20
【考点10 非负数的性质：算术平方根】 21
【考点11 立方根】 22
【考点12 无理数】 23
【考点13 实数及其性质】 24
【考点14 实数与数轴】 26
【考点15 实数大小比较】 30
【考点16 实数的运算】 31
【考点17 实数的应用】 33
【考点18 二次根式有意义的条件】 37
【考点19 二次根式的性质与化简】 37
【考点20 最简二次根式】 41
【考点21 分母有理化】 42
【考点22 同类二次根式】 46
【考点23 二次根式的运算】 47
【考点24 二次根式的化简求值】 52
【考点25 点的坐标】 57
【考点26 坐标确定位置】 59
【考点27 坐标与图形性质】 61
【考点28 坐标与图形变化-平移】 66
【考点1 勾股定理】
1．（23-24八年级·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，、，点为边上的一点，将沿直线折叠，点刚好落在边上的点处，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质及用勾股定理解三角形，熟练掌握长方形的性质折叠的性质及勾股定理是解题关键．
根据长方形的性质得到，，由折叠性质得到，，然后利用股股定理，得到，设，则，再根据勾股定理得，列出关于的方程，求解即可得出答案．
【详解】解：四边形为长方形，，，
将沿直线折叠，点刚好落在边上的点处，
，，
在中，，
，
设，则，，
在中，，
即，
解得：，
即的长为，
故选：C
2．（23-24八年级·浙江温州·期中）著名画家毕加索的作品《女孩》中充满着几何图形，她手中所握的帆船模型就是我们熟悉的三角形组合而成，如图，在中，，若，则的值为（ ）
A．16 B．24 C．32 D．60
【答案】D
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平方差公式的应用，先证明，，，再结合平方差公式可得答案；
【详解】解：∵，
∴，，，
∴
∵，
∴；
故选D
3．（2024·山东青岛·一模）如图，中，，，，点D为边上一点，将沿折叠后，点A的对应点恰好落在边上，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，在中，利用勾股定理求出，折叠的性质求出，，，然后等面积法求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵折叠，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得，
故选：B．
【考点2 勾股定理的证明】
4．（23-24八年级·浙江湖州·期中）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，小聪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题．
【详解】解：由勾股定理得：，
由题意得：，
故①、②、③、④正确，
故选：D
5．（23-24八年级·山西吕梁·期中）我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理与几何图形，解题的关键是数形结合．分别根据图1、图2求出几何图形的面积，即可求解．
【详解】解：根据图1可得该几何图形的面积为：，
根据图2可得该几何图形的面积为：，
，
故选：B．
6．（23-24八年级·福建宁德·期末）小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理．小明在证题中用两种方法表示五边形的面积，分别是S1= ，S2= ．
【答案】
【详解】解：如图所示：S1=c2+ab×2=c2+ab，S2=a2+b2+ab×2=a2+b2+ab．
故答案为c2+ab，a2+b2+ab．
【点睛】本题考查了利用图形面积的关系证明勾股定理，解题的关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．
7．（23-24八年级·江苏徐州·期中）勾股定理证明：如图，中，，，，，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，．
设正方形中，，
试求用含、、的代数式表示．
小明的方法
，
，．
，，
①，解得②．
小丽的方法
利用可以得到与、、的关系
……
(1)请补全小明的求解过程，并根据小丽的思路完成她的求解过程．
(2)请结合小明和小丽得到的结论完成勾股定理的证明．
【答案】(1)，，见解析
(2)见解析
【分析】本题考查勾股定理的证明，全等三角形的性质；
（1）根据列方程，即为①式，解①得到的值即为②，填入横线中即可；分别用代数式表示出，代入整理即可完成小丽的求解过程；
（2）利用小明和小丽得到的的值相等，列出等式，整理即可完成证明．
【详解】（1）解：，，
，．
，，
，
解得：，
故答案为：，．
小丽的求解过程：
，
其中，，，，
，
；
（2）证明：由小明的结论知：，由小丽的结论知：，
，
即，
即，
，
．
【考点3 勾股定理的逆定理】
8．（23-24八年级·宁夏吴忠·期中）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得，，求得，于是得到∠PDB=90°，根据等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，延长AP交格点于D，连接BD，
则，，
∴，
∴∠PDB=90°，则△DPB为等腰直角三角形，
∴∠DPB=45°，
∴∠PAB+∠PBA=∠DPB=45°，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
9．（23-24八年级·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和．
【详解】解：连接，如图，
，
，
米，米，
米，
米，米，
，
为直角三角形，
这块草坪的面积，
故选：A．
10．（23-24八年级·辽宁鞍山·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在中，利用勾股定理求出的长，再由勾股定理逆定理判断的形状，由三角形面积公式求得菜地的面积．
【详解】解：连接AC
在中，，，，，
在中，，，
∴
∴是直角三角形，且．
∴
∴这块菜地的面积是
故选：B
【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11．（23-24八年级·黑龙江双鸭山·期末）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（ ）
A．南偏东 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了方位角，勾股定理逆定理，根据题意画出图形，然后利用勾股定理逆定理判断出即可求解，掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，海里，海里，，
∵，，
∴，
∴点三点共线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴乙船的航向为南偏东或北偏西，
故选：．
【考点4 勾股树】
12．（23-24八年级·四川成都·期中）如图，分别以三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理与正方形的性质，根据勾股定理与正方形的性质解答，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：由正方形的性质可知，，，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
故选：．
13．（23-24八年级·湖北武汉·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2025 B．2024 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】如图，由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025，
故选：A．
【考点5 勾股数】
14．（23-24八年级·安徽合肥·期中）如表中a，b，c组成的五组“勾股数”反映出一定的规律，那么当时，按此规律b的值为（ ）
a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【分析】根据表中的数据得出规律，根据规律求出b的值即可．
【详解】解：从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，…，即，
b依次为8，15，24，35，48，…，即当时，．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股数，能根据表中数据得出是解题的关键．
15．（23-24八年级·全国·单元测试）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 ．
【答案】 11，60，61 和
【分析】（1）分析所给四组的勾股数∶3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41，可得下一组勾股数：11、60、61；
（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．
【详解】解：（1）∵，
∴下一组勾股数为：11、60、61；
故答案为：11，60，61．
（2）后两个数表示为和，
∵，
，
∴，
又∵，且为奇数，
∴由n，，三个数组成的数是勾股数．
故答案为：和．
【点睛】此题考查了勾股数之间的关系，解题的关键是根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可．
【考点6 勾股定理的实际应用】
16．（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时的形状，请说明理由．
【答案】20千米处，等腰直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定；设，则，根据勾股定理可得：在直角中，，在直角中，，则，即可求出；进而得出，，通过证明，得出，推出，即可得出是等腰直角三角形．
【详解】解：设，则，
在直角中，，
在直角中，，
∴，
解得：，
即；
∴市场E应建在距A的20千米处；
∵，，
在和中，
，
可得，
∴，
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴是等腰直角三角形．
17．（23-24八年级·全国·课后作业）如图，为一棵大树，在树上距地面10米的处有两只猴子，他们同时发现处有一筐水果，一只猴子从处往上爬到树顶处，又沿滑绳滑到处，另一只猴子从滑到，再由跑到处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高．
【答案】树高为12米．
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用．在中，，则满足，米，米，米，根据两只猴子经过的路程一样可得解方程组可以求的值，即可计算树高．
【详解】解：中，，
设（米，米，米，
则米．
（米，米，
又在中，由勾股定理得：，
，
解得，，即（米)
（米)
答：树高为12米．
18．（23-24八年级·安徽合肥·期末）体会空气动力，展示飞天梦想−−纸飞机大比赛中，小明同学的纸飞机刚好飞越过学校操场的旗杆，同学们都好奇纸飞机究竟飞了多高，于是小明测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）．
(1)若旗杆的高度米，那么绳子的长度可以表示为______米（用含x的代数式表示）；
(2)计算小明同学的纸飞机飞越的高度是多少？
【答案】(1)
(2)小明同学的纸飞机飞越的高度是13米．
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
（1）由题意即可得出结论；
（2）在中，由勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设米，则绳子长为米，
故答案为：；
（2）在中，米，米，米，
由勾股定理得：，
解得：，
答：小明同学的纸飞机飞越的高度是13米．
【考点7 平面最短路径问题】
19．（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题的是平面展开−最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：如图所示：
∵长方体的底面边长分别为和，高为．
∴，，
∴．
∴蚂蚁爬行的最短路径长为；
故选：B．
20．（23-24八年级·广西北海·期中）如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点P移动的最短距离为，则圆柱的底面周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，先根据题意画出圆柱的侧面展开图，然后连接，再利用勾股定理即可得出的长即可得到结论．利用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
在圆柱的侧面展开图中，，，设，
∵点移动的最短距离为，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴圆柱的底面周长为：．
故选：C．
21．（23-24八年级·河南洛阳·期末）如图，在长方体，，，，一只蚂蚁在这个长方体的表面上从A点爬行到点，求它走的最短路径是多少？
【答案】
【分析】本题考查了平面展开—最短路线问题和勾股定理的应用，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：要分类讨论．连接，求出的长即可，分为三种情况：画出图形，根据勾股定理求出每种情况时长，再找出最短的即可．
【详解】解：若小虫在正面和上面上沿直线从点A爬到点处，在侧面展开图上，
则在中，，，，
由勾股定理知：，
若小虫在正面和侧面上沿直线从点A爬到点处，在侧面展开图上，
则在中，，，，
由勾股定理知：，
如图
同法可得：，
∵，
∴小虫走的最短路径是在正面和上面上沿直线从点A爬到点处，长度为．
【考点8 平方根】
22．（23-24八年级·重庆巴南·期中）若一个正数的平方根为和，则（ ）
A．7 B．16 C．25 D．49
【答案】D
【分析】首先根据正数的两个平方根互为相反数，列的方程：（）+（）=0，解方程即可求得a的值，代入即可求得x的两个平方根，则可求得x的值．
【详解】∵一个正数x的平方根为和，
∴（）+（）=0，
解得：a=7.
∴=7，=-7，
∴x=(±7) =49.
故选D.
【点睛】此题考查平方根，解题关键在于求出a的值.
23．（23-24八年级·湖北荆门·期中）如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（ ）
A．±（m+1） B．（m2+1） C． D．
【答案】D
【分析】首先根据平方根性质用m表示出该自然数a，由此进一步表示出，从而进一步即可得出答案．
【详解】由题意得：这个自然数a为：，
∴,
故的平方根用m表示为：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
【考点9 算术平方根】
24．（23-24八年级·四川泸州·期末）若实数有平方根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平方根的性质，根据平方根的性质求解即可．
【详解】∵实数有平方根，
∴
∴．
故选：D．
25．（23-24八年级·安徽黄山·期中）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查无理数的估算．掌握无理数的估算方法是解题关键．
根据进行估算，从而作出判断．
【详解】解：∵
∴，
故选：C．
26．（23-24八年级·北京朝阳·期末）将边长分别和的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【详解】解：∵将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，
∴正方形的面积为2，
∴该正方形的边长为：，
∵1＜＜，
∴1＜＜1.5，
∴该正方形的边长最接近整数是：1．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
【考点10 非负数的性质：算术平方根】
27．（23-24八年级·山东聊城·阶段练习）若，则=（ ）
A．－15 B．－9 C．9 D．15
【答案】D
【分析】此题主要考查了算术平方根的非负性质，正确得出，的值是解题关键．非负数和的值均为0时，算术平方根才有意义，直接利用算术平方根的非负性质得出，的值，进而得出答案．
【详解】解：，
，，
，
当时，，
．
故选：D
28．（23-24八年级·河北廊坊·期末）已知x，y为实数，且，则下列式子的值最大的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查非负数的性质、代数式求值、有理数的大小比较，根据非负数的性质求得，，分别代入求解，再进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，，，
∴的值最大，
故选：A．
29．（23-24八年级·吉林白城·期末）若 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根有意义的条件，解不等式组；根据算术平方根有意义的条件可求得x的值，从而求得y的值．根据算术平方根有意义的条件求出x的值是关键．
【详解】解：由题意得：，即，
故，
所以；
故答案为：．
【考点11 立方根】
30．（23-24八年级·四川凉山·期末）若， ，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了立方根的运算，解题的关键是对进行正确的变形．
【详解】解：，
故答案为：．
31．（23-24八年级·全国·期末）若，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查利用算术平方根定义解方程，涉及算术平方根、平方根及立方根定义与求法，利用平方根、算术平方根及立方根的解法求解即可得到答案，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键．
【详解】解：，
，解得或，
故答案为或．
32．（23-24八年级·安徽池州·期末）若，， ．
【答案】
【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
利用立方根的定义及负指数幂的性质判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
33．（23-24八年级·江西新余·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可．
【详解】解：由题意可得每个方块的体积为
则其边长为
故答案为：．
【考点12 无理数】
34．（23-24八年级·全国·期末）下列实数：①，②，③，④，⑤，其中无理数有 个．
【答案】
【分析】此题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的定义，并熟悉初中范围内常见无理数如：，等；开方开不尽的数；等有规律的无限不循环小数．根据无理数的定义即可判断．
【详解】解：①是分数，是有理数；
②是无理数；
③开方开不尽，是无理数；
④是整数，是有理数；
⑤是无限不循环小数，是无理数；
综上，无理数有个，
故答案为：．
35．（23-24八年级·河南开封·期末）把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数与数轴，估算无理数的大小即可得出答案，估算无理数的大小是解题的关键．
【详解】解：∵，∴不符合题意，
∵，∴符合题意，
∵，∴不符合题意，
∵，∴不符合题意，
故答案为：．
36．（23-24八年级·江苏镇江·阶段练习）请写出一个大于而小于的无理数 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了无理数的定义和实数的大小比较，能熟记无理数的定义的内容是解此题的关键．本题是一道开放型的题目，答案不唯一，根据无理数的定义和已知写出一个即可．
【详解】解：大于而小于，即
符合题意的有：，
故答案为：（答案不唯一）．
【考点13 实数及其性质】
37．（23-24八年级·浙江宁波·期中）将下列各数分别填入相应的大括号里：，，，，，，，，
（1）正数集合{______________________}；
（2）负整数集合{______________________}；
（3）无理数集合{______________________}；
【答案】（1），，；（2），；（3），，
【分析】（1）根据正数的定义进行判断即可；
（2）根据负整数的定义进行判断即可；
（3）根据无理数的定义进行判断即可．
【详解】（1）正数：大于的数．，，均为正数：
（2）负整数：小于的整数．，均为负整数：
（3）无理数：带圆周率的：开方开不尽的，人造数．故，，均为无理数．
故答案为：（1），，；（2），；（3），，．
【点睛】本题考查了实数的相关概念，掌握正数、负整数、无理数的定义是解题的关键．
38．（23-24八年级·河北邢台·期中）若正方形的边长为a，面积为10，下列关于a的四种说法：①a是10的算术平方根；②a是有理数；③a可以用数轴上的一个点来表示；④3＜a＜4.其中正确的有 (填序号)．
【答案】①③④
【分析】根据正方形的面积公式可得a=，如何结合算术平方根、无理数的定义，以及数轴和无理数大小比较的知识，逐一判断即可.
【详解】①a是10的算术平方根是正确的；
②a是有理数是错误的；
③a可以用数轴上的一个点来表示是正确的；
④3＜a＜4是正确的.
所以正确的答案为①③④.
【点睛】本题考查了算术平方根、数轴和无理数的相关知识，解题的关键是明确无理数的意义与数轴上点的对应关系以及算术平方根的定义.
39．（23-24八年级·福建泉州·期中）已知实数满足，化简．
【答案】
【分析】根据实数的性质，绝对值的性质，相反数的意义，判断出的符号，进而化简绝对值，再根据整式的加减进行化简即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∴
∴
．
【点睛】本题考查了实数的性质，整式的加减，化简绝对值，判断出的符号是解题的关键．
40．（23-24八年级·江苏泰州·期中）已知实数满足,且是负数，求取值范围．
【答案】
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，然后根据y是负数即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
则6-m＜0，
解得：m＞6．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【考点14 实数与数轴】
41．（23-24八年级·江西上饶·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
(1)实数m的值是_______；
(2)求的值；
(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的值．
【答案】(1)
(2)的值为2
(3)
【分析】本题考查数轴，非负数及二次根式的运算，解题关键是熟练掌握绝对值与平方根的意义．
（1）通过在数轴上表示的数进行运算．
（2）化简绝对值进行运算．
（3）根据非负数的意义进行解答．
【详解】（1）解：∵点在点右侧2个单位处，
∴点所表示的数为：，即，
故答案为：；
（2）∵，
则，
∴；
答：的值为2．
（3）∵与互为相反数，
∴，
∴，且，
解得：，
∴．
∴．
42．（23-24八年级·江西赣州·期中）如图，数轴上有、、三点，表示和的对应点分别为、，点到点的距离与点到原点的距离相等．
(1)的长为_______；点表示的数为：_______；
(2)求的长．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题主要考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值，或者用较大的数减去较小的数．
（1）根据数轴上两点间的距离即可求出的长；根据题意可得，即可求出点表示的数；
（2）根据数轴上两点间的距离即可求解．
【详解】（1）解： 和的对应点分别为、，
，
点到点的距离与点到原点的距离相等，
，
点表示的数为：，
故答案为：；；
（2）点所表示的数为：，点表示的数为，
．
43．（23-24八年级·浙江台州·期中）（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形．
①小正方形的对角线长为 ；
②如图2，把图1中其中一个小正方形放置到数轴上，以1为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，B，则点A，B表示的数分别为 ， ．
（2）小张同学把长为5，宽为1的长方形按图3所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形．
①大正方形的边长为 ；
②请在图4中画出表示的点（保留作图痕迹）．
【答案】（1） ①； ②，；（2）①；②见解析
【分析】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是掌握掌握正方形面积公式和数轴上点表示数的规律．
（1）①由小正方形边长为1，可知小正方形的对角线长为；
②表示的数为，表示的数为；
（2）①由大正方形的面积为5，可得大正方形的边长为；
②以表示的点为圆心，大正方形的边长为半径作弧交原点右侧的数轴于点，点即为所求．
【详解】解：（1）①小正方形边长为1，
小正方形的对角线长为；
故答案为：；
②根据题意，表示的数为，表示的数为；
故答案为：，；
（2）①根据已知得，长方形的面积为，
大正方形的面积为5，
大正方形的边长为；
故答案为：；
②以表示的点为圆心，大正方形的边长为半径作弧交原点右侧的数轴于点，如图：
点即为所求．
44．（23-24八年级·安徽合肥·期中）如图，已知A点表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B
(1)则点B表示的数为______；
(2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性．
（1）根据数轴上点的移动规律：左减右加的性质，进行计算即可；
（2）根据互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性，列出关于，得到方程，求出，，从而求出答案．
【详解】（1）解：设点表示的数为，由题意得：
点表示的数为，
点表示的数是，
故答案为：；
（2）解：与互为相反数，
，
，，
解得：．，
，
的平方根是．
【考点15 实数大小比较】
45．（2024·河南南阳·三模）下列四个实数1，，，中，最小的实数是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】∵，，，
且，
∴，
则最小的实数为：，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握“正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小”，是解答此题的关键．
46．（23-24八年级·安徽六安·期中）下列两实数比较大小，表示正确的是（ ）
A． B． C．1 D．π
【答案】C
【分析】根据实数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A．7>6，
，
故此选项错误；
B．5>3，
，
，
故此选项错误；
C．4<5<9，
∴2<<3，
∴，
∴．
故此选项正确；
D．π，
故此选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了实数大小比较，熟知实数比较大小的法则是解答此题的关键．
47．（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）已知n是正整数，并且n-1＜＜n，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据实数的大小关系比较，得到5＜＜6，从而得到3+的范围，就可以求出n的值．
【详解】解：∵＜＜，即5＜＜6，
∴8＜3+＜9，
∴n=9．
故选：C．
【点睛】本题考查实数的大小关系，解题的关键是能够确定的范围．
【考点16 实数的运算】
48．（23-24八年级·安徽合肥·期中）下列各数中，与的和为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了实数的运算，根据实数的运算法则分别进行计算，再判断是否为有理数即可．
【详解】解：A、，和为无理数，故不符合题意；
B、，和为有理数，故符合题意；
C、，和为无理数，故不符合题意；
D、，和为无理数，故不符合题意；
故选：B．
49．（23-24八年级·全国·课后作业）计算的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查实数的运算，先根据立方根，算术平方根，有理数的乘方和绝对值将原式化简，然后进行乘法运算，最后进行加减运算即可．
【详解】解：
．
故选：A．
50．（23-24八年级·浙江温州·期中）下列各组数中，运算结果相等的一组是（ ）
A．与 B．23与32 C．与 D．与
【答案】D
【分析】本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质及有理数乘方的法则是解题的关键．分别计算出各数值，再进行比较即可．
【详解】解：A、，
，本选项不符合题意；
B、，，
，本选项不符合题意；
C、，
，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意．
故选：D．
51．（23-24八年级·重庆开州·期中）计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，利用立方根的定义、乘方运算分别计算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
故答案为：．
52．（23-24八年级·四川内江·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的混合计算，先计算算术平方根和立方根，再去绝对值，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
53．（23-24八年级·福建龙岩·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和立方根，再计算乘方和去绝对值，最后计算加减法即可．
【详解】解：原式
．
【考点17 实数的应用】
54．（23-24八年级·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？
【答案】圆形广场围墙米，正方形广场围墙米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解
【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度，比较即可作答．
【详解】当为圆形时，设圆的半径为，则有：，
即：（负值舍去），
则此时花园的围墙为：（米）；
当广场为正方形时，设正方形边长为，则有：，
即：（负值舍去），
则此时花园的围墙为：（米）；
∵，
∴建造成圆形时，广场的围墙会更短，
则建造成本更低，
∴作为投资商，会选择建圆形花园．
【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．
55．（23-24八年级·湖北宜昌·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4．
(1)求该长方形的长宽各为多少？
(2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？
【答案】(1)该长方形的长为35米，宽为20米
(2)能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用
【分析】（1）设该长方形的长为米，则宽为米，再根据面积为700平方米建立方程，利用平方根解方程即可得；
（2）设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米，根据面积之和为600平方米建立方程，解方程可得，再根据无理数的估算进行分析判断即可得．
【详解】（1）解：设该长方形的长为米，则宽为米，
由题意得：，
解得或（不符题意，舍去），
则，
答：该长方形的长为35米，宽为20米．
（2）解：设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米，
由题意得：，
解得或（不符题意，舍去），
则较大的小正方形的边长为米，较小的小正方形的边长为米，
，
，，
能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，
改造出这样的两块不相连的正方形试验田所需铁栅栏围墙长为（米），
原来长方形空地的铁栅栏围墙长为米，
，
，
原来的铁栅栏围墙不够用，
答：能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用、利用平方根解方程、无理数的估算、实数运算的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
56．（23-24八年级·浙江·期末）阅读材料，回答问题：
（1）对于任意实数x，符号表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，就是x，当x不是整数时，是点x左侧的第一个整数点，如，，，，则________，________．
（2）2015年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体收费标准如下：
里程范围
4公里以内（含4公里）
4-12公里以内（含12公里）
12-24公里以内（含24公里）
24公里以上
收费标准
2元
4公里/元
6公里/元
8公里/元
①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元；
②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情况）？
【答案】（1）；；（2）①2；3；6．②这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于公里小于等于32公里．
【分析】（1）根据题意，确定实数左侧第一个整数点所对应的数即得；
（2）①根据表格确定乘坐里程的对应段，然后将乘坐里程分段计费并累加即得；
②根据表格将每段的费用从左至右依次累加直至费用为7元，进而确定7元乘坐的具体里程即得．
【详解】（1）∵
∴
∵
∴
故答案为：；．
（2）①∵
∴3.07公里需要2元
∵
∴7.93公里所需费用分为两段即：前4公里2元 ，后3.93公里1元
∴7.93公里所需费用为：（元）
∵
∴公里所需费用分为三段计费即： 前4公里2元，4至12公里2元，12公里至19.17公里2元；
∴公里所需费用为：（元）
故答案为：2；3；6．
②由题意得：乘坐24公里所需费用分为三段：前4公里2元，4至12公里2元，12公里至24公里2元；
∴乘坐24公里所需费用为：（元）
∵由表格可知：乘坐24公里以上的部分，每一元可以坐8公里
∴7元可以乘坐的地铁最大里程为：（公里）
∴这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于公里小于等于32公里
答：这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于公里小于等于32公里．
【点睛】本题是阅读材料题，考查了实数的实际应用，根据材料中的新定义举一反三并挖掘材料中深层次含义是解题关键．
【考点18 二次根式有意义的条件】
57．（23-24八年级·贵州黔东南·期中）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数自变量的范围的确定，解题的关键是根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数以及分母不等于0，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故选：B．
58．（23-24八年级·广西梧州·阶段练习）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．且 B．
C． D．且
【答案】D
【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：且，
解得：且；
故选：D．
【考点19 二次根式的性质与化简】
59．（23-24八年级·重庆沙坪坝·期中）若，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，点的坐标，由二次根式有意义的条件可得，即得，即可得到点的坐标，据此即可判断求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由二次根式有意义的条件得，，
∴，
∴，
∴，
∴点在第四象限，
故选：．
60．（23-24八年级·福建福州·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．根据二次根式的性质可判断A，B；根据完全平方公式可判断C，D．
【详解】解：A．，正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．，故不正确；
故选A．
61．（23-24八年级·辽宁鞍山·期中）已知，则化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的化简与性质．二次根式的被开方数必须是非负数，从而必须保证开方出来的数也需要是非负数．
由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知a，b必须异号，而，易确定a，b的取值范围，也就易求二次根式的值．
【详解】解：由题意得，，
∴，
又∵，
∴或，
∴
故选：A．
62．（23-24八年级·四川内江·期中）将中根号外的移到根号里后得到的式子为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的性质即可解答．
【详解】解：由题意可知：，
，
故选：A．
63．（23-24八年级·辽宁葫芦岛·期中）若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答．
【详解】∵，
∴，
∴-2．
故选A．
【点睛】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质列出不等式是解题的关键．
64．（23-24八年级·山东济宁·阶段练习）把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意易得x>2，然后根据二次根式的性质可进行求解．
【详解】解：由题意得：
，解得：x>2，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
65．（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）已知是整数，则正整数n的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了性质．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数n为3．
【详解】解：∵，且是整数；
∴是整数，即是完全平方数；
∴n的最小正整数值为3．
故答案为：3．
66．（23-24八年级·天津·期中）已知，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分式的运算，完全平方公式的应用，由，，判断，，化简原式再代入计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴原式
，
故答案为：．
【考点20 最简二次根式】
67．（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）下列二次根式：、、、中，是最简二次根式的（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据所给二次根式的被开方数（式）是否能够再次被开方可以作出判断．
【详解】解：，而 的被开方数（式）再也不能被开方，∴最简二次根式有2个 ．
故选B．
【点睛】本题考查最简二次根式，在正确理解最简二次根式的基础上作出判断是解题关键 ．
68．（23-24八年级·河南商丘·期中）下列二次根式中，已经化简为最简形式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A、，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
C、不能化简，是最简二次根式，符合题意；
D、，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
69．（23-24八年级·吉林·期中）若与最简二次根式可以合并，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了同类二次根式及最简二次根式，熟练掌握基础知识是解题的关键．
根据题意得，求出的值即可．
【详解】解：依题意得：，
解得，
故答案为：1．
70．（23-24八年级·全国·单元测试）最简二次根式与能合并，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，代数式求值等知识．熟练掌握同类二次根式，最简二次根式，代数式求值是解题的关键．
由题意知，，，计算求解，然后代值求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
解得，，，
∴，
故答案为：2．
【考点21 分母有理化】
71．（23-24八年级·湖南湘西·期中）分母有理化： ．
【答案】/
【分析】本题考查了分母有理化，根据，分子和分母同时乘上，化简即可作答．
【详解】解：依题意，
故答案为：．
72．（23-24八年级·江苏扬州·期中）“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中有这样相辅相成的例子：，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则 ；
．
则＝ ．
【答案】
【分析】本题考查分母有理化，平方差公式以及分式的运算，先将代入得到原式，再根据分母有理化的方法将分式进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
73．（23-24八年级·四川成都·期中）若，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的化简和二次根式的混合运算，先利用分母有理化得到，把代数式变形后整体代入即可．
【详解】解:
，
．
故答案为：．
74．（23-24八年级·上海青浦·期中）写出的一个有理化因式
【答案】(答案不唯一)
【分析】本题考查有理化因式，根据有理化因式的定义求解即可．有理化因式即为与之乘积为有理式的因式．
【详解】解：由得：的一个有理化因式可以是：，
故答案为：(答案不唯一)．
75．（23-24八年级·辽宁鞍山·期中）在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到形如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；
．
像这样，把代数中分母化为有理数过程叫做分母有理化．化简：
(1)
(2) （n为正整数）；
(3)求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算和分母有理化，能正确分母有理化是解此题的关键．
（1）先分母有理化，再求出答案即可；
（2）先分母有理化，再求出答案即可；
（3）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【详解】（1）解： ．
（2）解：
（3）解：
．
．
76．（23-24八年级·贵州黔东南·期中）先阅读下列解答过程：
材料一：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，使，
即，，那么便有．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，，
由于，，即，，
所以．
材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：
，
请根据材枓解答下列问题：
(1)填空：①______； ②______．
(2)化简：（诸写出计算过程）；
(3)化简：．
【答案】(1)①；②
(2)
(3)1
【分析】本题主要考查了化简二次根式，分母有理化：
（1）①仿照题意求解即可；②根据分母有理化的方法求解即可；
（2）根据例题把，变成，然后根据阅读材料进行化简；
（3）先根据阅读材料将分母进行化简，然后分母有理化，再合并同类二次根式化为最简形式．
【详解】（1）解：①∵，，即，，
∴；
②；
（2）解：解：
∵，，
∴，，
∴．
故答案为：；
（3）解：
．
【考点22 同类二次根式】
77．（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
根据同类二次根式的定义分别判断即可．
【详解】解：与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、与是同类二次根式，故本选项符合题意；
故选：D
78．（23-24八年级·云南大理·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：∵，且最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴
故答案为：．
79．（23-24八年级·上海青浦·期中）当 时，最简根式与是同类二次根式．
【答案】
【分析】本题考查同类二次根式的概念，根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解．
【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式，
∴，
解得：，
故答案为：
80．（23-24八年级·全国·单元测试）最简二次根式与能合并，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，代数式求值等知识．熟练掌握同类二次根式，最简二次根式，代数式求值是解题的关键．
由题意知，，，计算求解，然后代值求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
解得，，，
∴，
故答案为：2．
【考点23 二次根式的运算】
81．（23-24八年级·河北承德·期中）计算 ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先计算二次根式的乘除运算，再化简二次根式，最后合并即可．
【详解】解：
．
82．（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）计算的结果为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、分母有理化等知识点，灵活运用二次根式的性质成为解题的关键．
先根据二次根式的性质和分母有理化化简，然后再合并同类二次根式即可．
【详解】解: ．
故答案为：．
83．（23-24八年级·山东烟台·期中）按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是 ．
【答案】/
【分析】本题考查程序框图的运算，仔细判断方向，准确计算是解题的关键．根据输入的数字从左往右依次计算即可．
【详解】解：输入3，
第一步，
第二步，
第三步．
故答案为：．
84．（23-24八年级·上海·期中）若的整数部分为a，小数部分为b，则的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意估算出的取值范围是解答此题的关键．先估算出a、b的值，再代入代数式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：2.
85．（23-24八年级·广西梧州·期中）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的等式．根据各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等可得，求出、、的值即可求解．
【详解】解：各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，
，
解得：，，，
，
故答案为：．
86．（23-24八年级·福建福州·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)27；
(2)．
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则求解即可；
【详解】（1）
；
（2）
．
87．（23-24八年级·山东潍坊·期中）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的性质及化简，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．
（1）先化简二次根式，计算立方根，再计算加减即可；
（2）先化简二次根式，利用完全平方公式和平方差去掉括号，再计算加减即可；
（3）先化简二次根式，计算乘除法，再计算加减即可；
（4）先化简二次根式，计算乘法，再计算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
88．（23-24八年级·山东青岛·期中）观察下列等式，然后解答问题：
，
，
，
，
．
(1)计算：
①__________；
②；
(2)计算：
①；
②．
【答案】(1)①②2022
(2)①②
【分析】（1）①观察题目中的等式，即可求得答案；②将原式整理为，进而可得，然后利用平方差公式进行求解即可；
（2）①利用积的乘方的逆运算，将原式整理为，然后利用平方差公式进行求解即可；②将原式整理为，然后利用平方差公式和完全平方公式求解即可．
【详解】（1）解：① ；
故答案为：；
②原式
；
（2）①原式
；
②原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式运算、运用平方差公式和完全平方公式进行运算、积的乘方的逆运算等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．
【考点24 二次根式的化简求值】
89．（23-24八年级·云南昆明·期中）已知
(1)求的值．
(2)若x的小数部分是m， y的小数部分是n，求的值．
【答案】(1)15
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先利用分母有理化化简和，从而求出和的值，然后再利用完全平方公式进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得：，，然后代入式子中进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2），
，
，
的小数部分是，
，
，
，
的小数部分是，
，
．
90．（23-24八年级·山东潍坊·期中）阅读材料：
在解决问题“已知，求的值”时，小亮是这样分析与解答的：，，，，，．
请你根据小亮的分析过程，解决如下问题：
(1)化简：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键．
（1）根据平方差公式计算；
（2）利用分母有理化把化简，再根据完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
91．（23-24八年级·山东烟台·期中）【问题背景】
已知 ，求 的值．
【问题解决】
（1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程；
【拓展应用】
（2）已知 ，求 的值；
（3）已知，求 的值．
【答案】（1），见解析；（2）；（3）
【分析】本题考查了完全平方公式的变形，二次根式的运算等知识．熟练掌握完全平方公式的变形，二次根式的混合运算法则是解题的关键．
（1）根据题意可得，根据，代值求解即可；
（2）同理（1）计算求解即可；
（3）同理（1）可得，进而可求
【详解】（1）解：∵ ，
∴
，
∴的值为．
（2）解： ，
∴，
∴的值为；
（3）解：，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
92．（23-24八年级·河南信阳·阶段练习）已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化：
（1）先利用分母有理化法则求出，进而得到，，再根据完全平方公式的变形求解即可；
（2）根据进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
，，
∴；
（2）解：
．
93．（23-24八年级·四川南充·期中）已知x＋y=－8，xy=8，求的值．
【答案】
【分析】根据已知条件可知，x，y是负数，再由二次根式的性质化简，把原式用x+y和xy表示即可求解．
【详解】解：∵x＋y=－8，xy=8，
∴x＜0，y＜0，
∴
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法法则和加减法法则，先要根据式子，找出题目中的隐含条件，判断所含字母或式子的符号，再结合二次根式的定义和运算法则，把式子用x+y和xy表示，再整体代入求值．
【考点25 点的坐标】
94．（23-24八年级·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，轴，，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了在平面直角坐标系中确定点的坐标，直线轴，，则直线上的任何一点的横坐标都是，再根据线段的长度，即可在点A的上方或下方确定点B的坐标，这样即可找出正确的选项．
【详解】解：轴，，
点B的横坐标是，
，
当点B在点A的上方时，点B的坐标为：即，
当点B在点A的下方时，点B的坐标为：即，
故选：D．
95．（23-24八年级·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，其中a为整数．点C在线段上，且点C的横、纵坐标均为整数．若点C在y轴上，则满足条件的点C的坐标有（ ）个．
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题考查了点坐标．分类讨论是解题的关键．
由题意知，分当时；当时； 当时，3种情况求解作答即可．
【详解】解：当时，如图1，
此时，线段上不存在点C在y轴上；
当时，如图2，
此时，线段上不存在点C在y轴上；
∵为整数，
∴的取值为，
∴满足条件的点C的坐标有4个；
当，如图3，
此时，线段上不存在点C在y轴上；
综上，满足条件的点C的坐标有4个，
故选：B．
96．（23-24八年级·山东临沂·期中）已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】A
【分析】本题考查了点的坐标，根据到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程，然后分情况求解即可．
【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等，
∴，
∴或，
解得或，
时，，
时，，
所以，点P的坐标为或．
故选：A．
97．（23-24八年级·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点不可能在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．
【详解】解：当时，，则，
∴在平面直角坐标系中，点不可能在的象限是第一象限．
故选：A．
【考点26 坐标确定位置】
98．（23-24八年级·云南昆明·期中）一只跳蚤每秒跳一格，起点A处用有序数对表示为，按如图所示的规律一直跳下去，第2024秒时跳蚤的位置用有序数对表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查坐标类规律探索，先根据图形找到点的变化规律，再求出周期，即可求解．
【详解】解：由图可得：从起点开始，坐标依次为，，，，，，，，，……，
∴纵坐标的循环周期为8，
，
纵坐标为0，
横坐标每个周期增加4，
∴横坐标为：，
即第2024秒时跳蚤的位置用有序数对表示为，
故选：C．
99．（23-24八年级·河北邯郸·期末）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为，，则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据棋子“马”和“车”的点的坐标可得出原点的位置，建立起平面直角坐标系， 进而得出答案．
【详解】解：∵表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为，，
∴可得平面直角坐标系如图所示：
∴棋子“炮”的点的坐标为：．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
100．（23-24八年级·全国·课后作业）如图所示，小亮从学校到家所走最短路线是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据点的坐标写出即可．
【详解】由图可知小亮从学校到家所走最短路线是，
故选：B．
【点睛】本题考查学生利用类比点的坐标来解决实际问题的能力和阅读理解能力，实际操作一下能直观地得到结论．
【考点27 坐标与图形性质】
101．（23-24八年级·重庆綦江·阶段练习）我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，向北走走6米，记为（4，6），则向西走5米，向北走3米，记为 ；
【答案】(－5，3)
【详解】解：∵向东走为+，向北走为+，∴向西走为﹣，向南走为﹣，∴向西走5米，再向北走3米，记作（﹣5，3）．
102．（23-24八年级·湖北恩施·期中）某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示．例如，北偏东方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东的时刻是2时，那么这个地点就用代码020045来表示，按这种表示的方式，南偏西方向66千米的位置，可用代码表示为 ．
【答案】070066
【分析】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解代码的各位数字的实际意义是解题的关键．根据代码编写要求，第1、2、3、4位数字表示时间，第5、6位数字表示距离，再根据南偏西方向方向与对应，然后写出即可．
【详解】解：∵南偏西方向的时刻是，
∴南偏西方向66千米的位置，可用代码表示为070066．
故答案为：070066．
103．（23-24八年级·山东潍坊·期末）如图，一艘船在A处遇险，与救生船B相距80海里．从A处看，船B的方向与正东方向的夹角为．用方向和距离描述A处相对于救生船B的位置 ．
【答案】南偏西，距离80海里
【分析】本题主要考查了用方位角和距离表示位置，从A处看，船B的方向与正东方向的夹角为，那么从B处看，船A的方向与正南方向的夹角为，再由距离为80海里即可得到答案．
【详解】解：∵从A处看，船B的方向与正东方向的夹角为，
∴从B处看，船A的方向与正南方向的夹角为，即A处相对于救生船B的位置为南偏西，距离80海里，
故答案为：南偏西，距离80海里．
104．（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，长方形的两条边的长分别为4，6，建立直角坐标系，若使其中三个顶点在坐标轴上，且点C的坐标为，则点B的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查根据坐标画直角坐标系，然后根据坐标系就能得出相应的坐标．
【详解】解：根据坐标，长方形的两条边长分别为4、6 ，
作图如下：
∴点坐标为．
故答案为：
105．（23-24八年级·山东德州·阶段练习）在平面直角坐标系中，三角形的面积为3，点A的坐标为，点B的坐标为．若线段平行于x轴，则的值为 ．
【答案】1或
【分析】两点的连线与轴平行，则它们的纵坐标相等．求出．结合面积为3，列式，进行计算即可作答．本题考查了与坐标轴平行的直线，掌握与坐标轴平行的直线特征是解题的关键．
【详解】解： 轴，
点和点的纵坐标相等，
则，
∴，
的面积为3，
∴，
或3，
则，
或．
故答案为：1或．
106．（23-24八年级·黑龙江大庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知点的坐标是．．
(1)点的坐标为（ ， ），点的坐标为（ ， ）．
(2)的面积是 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了坐标与图形，割补法求三角形面积；
（1）根据坐标系写出答案即可；
（2）利用长方形面积减去周围三个直角三角形的面积可得的面积．
【详解】（1）点B的坐标为，点C的坐标为；
故答案为：；
（2）的面积是：，
故答案为：10．
107．（23-24八年级·山东济南·阶段练习）在直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且．
(1)求点的坐标；
(2)是否存在位于坐标轴上的点，？若存在，请求出点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或
【分析】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高，也考查了坐标与图形．数形结合是解决问题的关键．
（1）设点坐标为，根据的面积为18得到，解出即可得到点坐标；
（2）讨论：当点在轴上，设点坐标为，利用三角形面积公式由得到，然后解方程求出即可得到点坐标；当点在轴上，不满足．
【详解】（1）解：点在轴正半轴上，
设点坐标为，
，，
两点在轴上，则，
在直角坐标系中，轴与轴相互垂直，
，
，
，即，
解得，
点的坐标为；
（2）解：存在．
当点在轴上，设点坐标为，
，，
两点在轴上，
，，
在直角坐标系中，轴与轴相互垂直，
，，
，
，
则或，
解得，，
此时点坐标为或；
当点在轴上时，点到轴的距离为，
点到轴的距离为，
当时，，即，
由可知，不存在点使，
点坐标为或．
【考点28 坐标与图形变化-平移】
108．（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向右平移3单位长度，再向上平移2个单位长度正好与原点重合，那么点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”，即可求解．
【详解】解：∵将点)向右平移3单位长度，再向上平移2个单位长度正好与原点重合，
∴，
∴，
∴点的坐标是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化−平移，解题的关键是熟记平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
109．（23-24八年级·重庆南岸·阶段练习）如图A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，，的坐标分别为，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由已知得出线段向右平移了3个单位，向上平移了2个单位，即可得出、的值，从而得出答案．
【详解】解：由的对应点的坐标为知，线段向上平移了2个单位，
由的对应点的坐标为知，线段向右平移了3个单位，
则，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
110．（23-24八年级·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，…；按此做法进行下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键．先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，得到点的坐标为，由此求解即可．
【详解】解：解：∵把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；
把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；
把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；
把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，
∴第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，
∵O到是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，到是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，到是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，到是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，到是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，
∴可以看作每四次坐标变换为一个循环，
∴点的坐标为，
∵，
∴点的坐标为，
点的坐标为，
故选：A．
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$$
专题8.2 期中易错题专项复习【28大考点110题】
（考试范围：第1~3章）
【北师大版】
【考点1 勾股定理】 2
【考点2 勾股定理的证明】 2
【考点3 勾股定理的逆定理】 4
【考点4 勾股树】 5
【考点5 勾股数】 6
【考点6 勾股定理的实际应用】 6
【考点7 平面最短路径问题】 7
【考点8 平方根】 8
【考点9 算术平方根】 8
【考点10 非负数的性质：算术平方根】 9
【考点11 立方根】 9
【考点12 无理数】 9
【考点13 实数及其性质】 10
【考点14 实数与数轴】 10
【考点15 实数大小比较】 11
【考点16 实数的运算】 11
【考点17 实数的应用】 12
【考点18 二次根式有意义的条件】 13
【考点19 二次根式的性质与化简】 13
【考点20 最简二次根式】 14
【考点21 分母有理化】 14
【考点22 同类二次根式】 15
【考点23 二次根式的运算】 16
【考点24 二次根式的化简求值】 17
【考点25 点的坐标】 18
【考点26 坐标确定位置】 19
【考点27 坐标与图形性质】 19
【考点28 坐标与图形变化-平移】 21
【考点1 勾股定理】
1．（23-24八年级·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，、，点为边上的一点，将沿直线折叠，点刚好落在边上的点处，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级·浙江温州·期中）著名画家毕加索的作品《女孩》中充满着几何图形，她手中所握的帆船模型就是我们熟悉的三角形组合而成，如图，在中，，若，则的值为（ ）
A．16 B．24 C．32 D．60
3．（2024·山东青岛·一模）如图，中，，，，点D为边上一点，将沿折叠后，点A的对应点恰好落在边上，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点2 勾股定理的证明】
4．（23-24八年级·浙江湖州·期中）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，小聪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（23-24八年级·山西吕梁·期中）我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24八年级·福建宁德·期末）小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理．小明在证题中用两种方法表示五边形的面积，分别是S1= ，S2= ．
7．（23-24八年级·江苏徐州·期中）勾股定理证明：如图，中，，，，，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，．
设正方形中，，
试求用含、、的代数式表示．
小明的方法
，
，．
，，
①，解得②．
小丽的方法
利用可以得到与、、的关系
……
(1)请补全小明的求解过程，并根据小丽的思路完成她的求解过程．
(2)请结合小明和小丽得到的结论完成勾股定理的证明．
【考点3 勾股定理的逆定理】
8．（23-24八年级·宁夏吴忠·期中）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
9．（23-24八年级·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24八年级·辽宁鞍山·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24八年级·黑龙江双鸭山·期末）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（ ）
A．南偏东 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．无法确定
【考点4 勾股树】
12．（23-24八年级·四川成都·期中）如图，分别以三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24八年级·湖北武汉·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2025 B．2024 C． D．
【考点5 勾股数】
14．（23-24八年级·安徽合肥·期中）如表中a，b，c组成的五组“勾股数”反映出一定的规律，那么当时，按此规律b的值为（ ）
a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
15．（23-24八年级·全国·单元测试）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 ．
【考点6 勾股定理的实际应用】
16．（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时的形状，请说明理由．
17．（23-24八年级·全国·课后作业）如图，为一棵大树，在树上距地面10米的处有两只猴子，他们同时发现处有一筐水果，一只猴子从处往上爬到树顶处，又沿滑绳滑到处，另一只猴子从滑到，再由跑到处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高．
18．（23-24八年级·安徽合肥·期末）体会空气动力，展示飞天梦想−−纸飞机大比赛中，小明同学的纸飞机刚好飞越过学校操场的旗杆，同学们都好奇纸飞机究竟飞了多高，于是小明测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）．
(1)若旗杆的高度米，那么绳子的长度可以表示为______米（用含x的代数式表示）；
(2)计算小明同学的纸飞机飞越的高度是多少？
【考点7 平面最短路径问题】
19．（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）
A． B． C． D．
20．（23-24八年级·广西北海·期中）如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点P移动的最短距离为，则圆柱的底面周长为（ ）
A． B． C． D．
21．（23-24八年级·河南洛阳·期末）如图，在长方体，，，，一只蚂蚁在这个长方体的表面上从A点爬行到点，求它走的最短路径是多少？
【考点8 平方根】
22．（23-24八年级·重庆巴南·期中）若一个正数的平方根为和，则（ ）
A．7 B．16 C．25 D．49
23．（23-24八年级·湖北荆门·期中）如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（ ）
A．±（m+1） B．（m2+1） C． D．
【考点9 算术平方根】
24．（23-24八年级·四川泸州·期末）若实数有平方根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
25．（23-24八年级·安徽黄山·期中）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
26．（23-24八年级·北京朝阳·期末）将边长分别和的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点10 非负数的性质：算术平方根】
27．（23-24八年级·山东聊城·阶段练习）若，则=（ ）
A．－15 B．－9 C．9 D．15
28．（23-24八年级·河北廊坊·期末）已知x，y为实数，且，则下列式子的值最大的是（ ）．
A． B． C． D．
29．（23-24八年级·吉林白城·期末）若 ．
【考点11 立方根】
30．（23-24八年级·四川凉山·期末）若， ，那么 ．
31．（23-24八年级·全国·期末）若，则 ．
32．（23-24八年级·安徽池州·期末）若，， ．
33．（23-24八年级·江西新余·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为 ．
【考点12 无理数】
34．（23-24八年级·全国·期末）下列实数：①，②，③，④，⑤，其中无理数有 个．
35．（23-24八年级·河南开封·期末）把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ．
36．（23-24八年级·江苏镇江·阶段练习）请写出一个大于而小于的无理数 ．
【考点13 实数及其性质】
37．（23-24八年级·浙江宁波·期中）将下列各数分别填入相应的大括号里：，，，，，，，，
（1）正数集合{______________________}；
（2）负整数集合{______________________}；
（3）无理数集合{______________________}；
38．（23-24八年级·河北邢台·期中）若正方形的边长为a，面积为10，下列关于a的四种说法：①a是10的算术平方根；②a是有理数；③a可以用数轴上的一个点来表示；④3＜a＜4.其中正确的有 (填序号)．
39．（23-24八年级·福建泉州·期中）已知实数满足，化简．
40．（23-24八年级·江苏泰州·期中）已知实数满足,且是负数，求取值范围．
【考点14 实数与数轴】
41．（23-24八年级·江西上饶·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
(1)实数m的值是_______；
(2)求的值；
(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的值．
42．（23-24八年级·江西赣州·期中）如图，数轴上有、、三点，表示和的对应点分别为、，点到点的距离与点到原点的距离相等．
(1)的长为_______；点表示的数为：_______；
(2)求的长．
43．（23-24八年级·浙江台州·期中）（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形．
①小正方形的对角线长为 ；
②如图2，把图1中其中一个小正方形放置到数轴上，以1为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，B，则点A，B表示的数分别为 ， ．
（2）小张同学把长为5，宽为1的长方形按图3所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形．
①大正方形的边长为 ；
②请在图4中画出表示的点（保留作图痕迹）．
44．（23-24八年级·安徽合肥·期中）如图，已知A点表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B
(1)则点B表示的数为______；
(2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
【考点15 实数大小比较】
45．（2024·河南南阳·三模）下列四个实数1，，，中，最小的实数是（ ）
A．1 B． C． D．
46．（23-24八年级·安徽六安·期中）下列两实数比较大小，表示正确的是（ ）
A． B． C．1 D．π
47．（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）已知n是正整数，并且n-1＜＜n，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点16 实数的运算】
48．（23-24八年级·安徽合肥·期中）下列各数中，与的和为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
49．（23-24八年级·全国·课后作业）计算的值是（ ）
A． B． C． D．
50．（23-24八年级·浙江温州·期中）下列各组数中，运算结果相等的一组是（ ）
A．与 B．23与32 C．与 D．与
51．（23-24八年级·重庆开州·期中）计算：
52．（23-24八年级·四川内江·期中）计算：．
53．（23-24八年级·福建龙岩·期中）计算：．
【考点17 实数的应用】
54．（23-24八年级·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？
55．（23-24八年级·湖北宜昌·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4．
(1)求该长方形的长宽各为多少？
(2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？
56．（23-24八年级·浙江·期末）阅读材料，回答问题：
（1）对于任意实数x，符号表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，就是x，当x不是整数时，是点x左侧的第一个整数点，如，，，，则________，________．
（2）2015年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体收费标准如下：
里程范围
4公里以内（含4公里）
4-12公里以内（含12公里）
12-24公里以内（含24公里）
24公里以上
收费标准
2元
4公里/元
6公里/元
8公里/元
①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元；
②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情况）？
【考点18 二次根式有意义的条件】
57．（23-24八年级·贵州黔东南·期中）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
58．（23-24八年级·广西梧州·阶段练习）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．且 B．
C． D．且
【考点19 二次根式的性质与化简】
59．（23-24八年级·重庆沙坪坝·期中）若，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
60．（23-24八年级·福建福州·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
61．（23-24八年级·辽宁鞍山·期中）已知，则化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
62．（23-24八年级·四川内江·期中）将中根号外的移到根号里后得到的式子为（ ）
A． B． C． D．
63．（23-24八年级·辽宁葫芦岛·期中）若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
64．（23-24八年级·山东济宁·阶段练习）把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ）
A． B． C． D．
65．（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）已知是整数，则正整数n的最小值为 ．
66．（23-24八年级·天津·期中）已知，，则的值为 ．
【考点20 最简二次根式】
67．（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）下列二次根式：、、、中，是最简二次根式的（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
68．（23-24八年级·河南商丘·期中）下列二次根式中，已经化简为最简形式的是（ ）
A． B． C． D．
69．（23-24八年级·吉林·期中）若与最简二次根式可以合并，则 ．
70．（23-24八年级·全国·单元测试）最简二次根式与能合并，则 ．
【考点21 分母有理化】
71．（23-24八年级·湖南湘西·期中）分母有理化： ．
72．（23-24八年级·江苏扬州·期中）“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中有这样相辅相成的例子：，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则 ；
．
则＝ ．
73．（23-24八年级·四川成都·期中）若，则 ．
74．（23-24八年级·上海青浦·期中）写出的一个有理化因式
75．（23-24八年级·辽宁鞍山·期中）在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到形如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；
．
像这样，把代数中分母化为有理数过程叫做分母有理化．化简：
(1)
(2) （n为正整数）；
(3)求 的值．
76．（23-24八年级·贵州黔东南·期中）先阅读下列解答过程：
材料一：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，使，
即，，那么便有．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，，
由于，，即，，
所以．
材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：
，
请根据材枓解答下列问题：
(1)填空：①______； ②______．
(2)化简：（诸写出计算过程）；
(3)化简：．
【考点22 同类二次根式】
77．（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
78．（23-24八年级·云南大理·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ．
79．（23-24八年级·上海青浦·期中）当 时，最简根式与是同类二次根式．
80．（23-24八年级·全国·单元测试）最简二次根式与能合并，则 ．
【考点23 二次根式的运算】
81．（23-24八年级·河北承德·期中）计算 ．
82．（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）计算的结果为 ．
83．（23-24八年级·山东烟台·期中）按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是 ．
84．（23-24八年级·上海·期中）若的整数部分为a，小数部分为b，则的值为 ．
85．（23-24八年级·广西梧州·期中）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则 ．
86．（23-24八年级·福建福州·期中）计算：
(1)；
(2)．
87．（23-24八年级·山东潍坊·期中）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
88．（23-24八年级·山东青岛·期中）观察下列等式，然后解答问题：
，
，
，
，
．
(1)计算：
①__________；
②；
(2)计算：
①；
②．
【考点24 二次根式的化简求值】
89．（23-24八年级·云南昆明·期中）已知
(1)求的值．
(2)若x的小数部分是m， y的小数部分是n，求的值．
90．（23-24八年级·山东潍坊·期中）阅读材料：
在解决问题“已知，求的值”时，小亮是这样分析与解答的：，，，，，．
请你根据小亮的分析过程，解决如下问题：
(1)化简：；
(2)若，求的值．
91．（23-24八年级·山东烟台·期中）【问题背景】
已知 ，求 的值．
【问题解决】
（1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程；
【拓展应用】
（2）已知 ，求 的值；
（3）已知，求 的值．
92．（23-24八年级·河南信阳·阶段练习）已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
93．（23-24八年级·四川南充·期中）已知x＋y=－8，xy=8，求的值．
【考点25 点的坐标】
94．（23-24八年级·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，轴，，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
95．（23-24八年级·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，其中a为整数．点C在线段上，且点C的横、纵坐标均为整数．若点C在y轴上，则满足条件的点C的坐标有（ ）个．
A．3 B．4 C．6 D．7
96．（23-24八年级·山东临沂·期中）已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（ ）
A．或 B． C． D．或
97．（23-24八年级·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点不可能在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点26 坐标确定位置】
98．（23-24八年级·云南昆明·期中）一只跳蚤每秒跳一格，起点A处用有序数对表示为，按如图所示的规律一直跳下去，第2024秒时跳蚤的位置用有序数对表示为（ ）
A． B． C． D．
99．（23-24八年级·河北邯郸·期末）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为，，则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
100．（23-24八年级·全国·课后作业）如图所示，小亮从学校到家所走最短路线是( )
A．
B．
C．
D．
【考点27 坐标与图形性质】
101．（23-24八年级·重庆綦江·阶段练习）我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，向北走走6米，记为（4，6），则向西走5米，向北走3米，记为 ；
102．（23-24八年级·湖北恩施·期中）某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示．例如，北偏东方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东的时刻是2时，那么这个地点就用代码020045来表示，按这种表示的方式，南偏西方向66千米的位置，可用代码表示为 ．
103．（23-24八年级·山东潍坊·期末）如图，一艘船在A处遇险，与救生船B相距80海里．从A处看，船B的方向与正东方向的夹角为．用方向和距离描述A处相对于救生船B的位置 ．
104．（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，长方形的两条边的长分别为4，6，建立直角坐标系，若使其中三个顶点在坐标轴上，且点C的坐标为，则点B的坐标为 ．
105．（23-24八年级·山东德州·阶段练习）在平面直角坐标系中，三角形的面积为3，点A的坐标为，点B的坐标为．若线段平行于x轴，则的值为 ．
106．（23-24八年级·黑龙江大庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知点的坐标是．．
(1)点的坐标为（ ， ），点的坐标为（ ， ）．
(2)的面积是 ．
107．（23-24八年级·山东济南·阶段练习）在直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且．
(1)求点的坐标；
(2)是否存在位于坐标轴上的点，？若存在，请求出点坐标；若不存在，说明理由．
【考点28 坐标与图形变化-平移】
108．（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向右平移3单位长度，再向上平移2个单位长度正好与原点重合，那么点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
109．（23-24八年级·重庆南岸·阶段练习）如图A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，，的坐标分别为，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
110．（23-24八年级·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，…；按此做法进行下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
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