专题 在平面直角坐标系中求图形的面积（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

（北师大版）八年级上册数学《第3章 位置与坐标》 专题 在平面直角坐标系中求图形的面积 题型一 直接利用面积公式求图形的面积 解题技巧提炼 当三角形的三边中有一条边落在坐标轴上，或者有一边与坐标轴平行时，可以直接求出边和其对应的高的长度，就直接利用三角形的面积公式求三角形的面积. 1．如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，其中C（﹣4，4）．则三角形ABC的面积是（　　） A．4 B．6 C．12 D．24 【分析】根据三角形面积公式求得即可． 【解答】解：由图象可知，A（﹣2，0），B（4，0）， ∴AB＝2+4＝6， ∵C（﹣4，4）， ∴S△ABC12， 故选：C． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）则△ABC的面积为　 　； 【分析】利用△ABC的面积为：3×5求出即可； 【解答】解：利用A，B，C的坐标得出：△ABC的面积为：3×5＝7.5； 【点评】此题主要考查了坐标与图形变化以及三角形面积求法，根据已知得出对应点坐标是解题关键． 3．（2023秋•南岗区期末）如图，把△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得到△A'B'C'，其中点A，B，C的对应点分别为点A'，B'，C'． （1）在图上画出△A'B'C'，请直接写出点A'，B'，C'的坐标； （2）在图上，连接A′A，A'C，请直接写出△A'AC的面积． 【分析】（1）根据点坐标的平移规律，先得到A、B、C对应点A'，B'，C'的坐标，然后描出A'，B'，C'，再顺次连接A'，B'，C'即可； （2）利用割补法求解即可． 【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求， ∵把△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得到△A'B'C'，A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣2）， ∴A'（0，6），B'（﹣1，2），C'（5，2）； （2）由题意得：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，三角形面积，熟知点的坐标平移规律是解题的关键． 4．（2024•南岗区校级开学）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（3，1）． （1）C点的坐标为 　　； （2）将三角形ABC先向下平移4个单位，在向左平移3个单位，它的像是三角形A1B1C1，画出三角形A1B1C1； （3）三角形A1B1C1的面积为 　 　． 【分析】（1）根据坐标系写出点C的坐标即可； （2）根据平移的性质，将三角形ABC先向下平移4个单位，再向左平移与3单位，得到三角形A1B1C1； （3）根据长方形减去三个三角形的面积即可求解． 【解答】解：（1）C点的坐标为（3，4）． 故答案为：（3，4）； （2）如图所示： （3）△A1B1C1的面积＝2×32×22×1＝3． 【点评】本题考查了平移作图，写出点的坐标，坐标与图形，掌握平移的性质是解题的关键． 5．（2023秋•宝丰县期末）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（3，4），C（3，﹣1）． （1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点； （2）求△ABC的面积． （3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标． 【分析】（1）根据点A、B、C的坐标及坐标的概念描点即可； （2）根据三角形的面积公式求解可得； （3）根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【解答】解：（1）如图所示，点A、B、C即为所求； （2）△ABC的面积为：5； （3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，则A1（1，﹣4）、B1（3，﹣4）、C1（3，1）． 【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是根据轴对称变换的定义和性质得出对应点． 6．（2023春•营口期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，4），B（﹣2，1）．C（﹣4，1），将三角形ABC向右平移3个单位再向下平移2个单位得到三角形A1B1C1，点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1． （1）画出三角形A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标； （2）直接写出三角形A1B1C1的面积； （3）点M（2a﹣b，b）在线段BC上．其平移后的对应占为M1（a+b．a），求点M的坐标． 【分析】（1）根据平移的性质即可画出三角形A1B1C1，进而可以写出点A1、B1、C1的坐标； （2）根据网格即可求出三角形A1B1C1的面积； （3）根据平移的性质可得a和b的值，进而即可求点M的坐标． 【解答】解：（1）如图，三角形A1B1C1即为所求； A1（2，2）、B1（1，﹣1）C1（﹣1，﹣1）； （2）三角形A1B1C1的面积2×3＝3； （3）∵点M（2a﹣b，b）在线段BC上．其平称后的对应占为M1（a+b．a）， ∴2a﹣b+3＝a+b，b﹣2＝a， ∴a＝﹣1，b＝1， ∴2a﹣b＝﹣3， ∴点M的坐标为（﹣3，1）． 【点评】本题考查了作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质． 7．（2023春•雄县期末）如图，在直角坐标平面内，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣3，﹣2）． （1）图中点C关于x轴对称的点D的坐标是　 ． （2）如果将点B沿着与y轴平行的方向向上平移5个单位得到点B1，那么A、B1两点之间的距离是　3　． （3）求三角形ACD的面积． 【分析】（1）关于x轴的对称点的坐标特点可得答案； （2）利用坐标系确定B1点位置，然后可得答案； （3）首先确定高和底，然后再计算面积即可． 【解答】解：（1）点C的坐标为（3，﹣2），则关于x轴对称的点D的坐标是（3，2）， 故答案为：（3，2）； （2）∵点B的坐标是（﹣3，﹣2）， ∴将点B沿着与y轴平行的方向向上平移5个单位得到点B1（﹣3，3）， ∵点A的坐标是（0，3）， ∴A、B1两点之间的距离是：3， 故答案为：3； （3）三角形ACD的面积：4×3＝6． 【点评】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特点，以及坐标与图形的变化﹣﹣平移和三角形的面积，关键是关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 8．如图所示，将图中的点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2），（﹣4，2），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣4，3）做如下变化： （1）横坐标不变，纵坐标分别减4，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？ （2）纵坐标不变，横坐标分别加6，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？ （3）求出以点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2）为顶点的三角形的面积？ 【分析】（1）根据点的坐标平移特征得到每个点向下平移了4个单位； （2）根据点的坐标平移特征得到每个点向右平移了6个单位； （3）根据三角形的面积公式即可得到结果． 【解答】解：（1）如图1，横坐标不变，纵坐标分别减4，所得图案向下平移4个单位； （2）如图2，纵坐标不变，横坐标分别加6，所得图案向右平移6个单位； （3）以点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2）为顶点的三角形的面积4×2＝4． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，根据点的坐标计算出相应的线段长和判断线段与坐标轴的位置关系是解题的关键． 题型二 利用割补法求三角形的面积 解题技巧提炼 1.当三角形的三边不与坐标轴平行时，无法直接求出边和高的长度，就不能直接利用三角形的面积公式求三角形的面积，可把图形补成一个边与坐标轴平行的长方形或直角梯形来求解. 2.由图形中一些点的坐标求面积时，需要过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3.利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的关系，同时运用面积的和差计算不规则的图形的面积． 1．如图，已知：A（3，2），B（5，0），E（4，1），求△AOE的面积． 【分析】根据S△AOE＝S△AOB﹣S△BOE计算即可． 【解答】解：由题意，得：S△AOE＝S△AOB﹣S△BOE5×25×1． 【点评】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会用分割法求三角形的面积． 2．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，6），C（2，），求△ABC的面积． 【分析】分别过点A，B作垂直x轴的垂线与 过C点作x轴的平行线交于点D，E，利用割补法即可求解． 【解答】解：如图，分别过点A，B作垂直x轴的垂线与 过C点作x轴的平行线交于点D，E， S△ABC＝S梯形ADEB﹣S△ADC﹣S△BCE 2） ． 答：△ABC的面积为． 【点评】本题考查了三角形的面积，利用割补法求解是解题的关键． 3．（2023春•肇州县期末）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A （1，4），B（4，2），C（3，5），请回答下列问题： （1）写出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1的顶点坐标． （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）依据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出△A1B1C1的顶点坐标． （2）依据割补法进行计算，即可得出△ABC的面积． 【解答】解：（1）△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1的顶点坐标为： A1（1，﹣4），B1（4，﹣2），C1（3，﹣5）． （2）△ABC的面积为：3×31×21×32×3＝9﹣1﹣1.5﹣3＝3.5． 【点评】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特征，关于x轴的对称点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 4．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，△ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点． （1）写出图中所示△ABC各顶点的坐标． （2）求出此三角形的面积． 【分析】（1）根据平面直角坐标系的特点写出各点的坐标即可； （2）根据△ABC的面积＝S矩形DECF﹣S△BEC﹣S△AFC﹣S△ADB，即可解答． 【解答】解：（1）A（3，3），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣3）； （2）如图所示： S△ABC＝S矩形DECF﹣S△BEC﹣S△ADB﹣S△AFC ． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系的坐标的特点是解题的关键． 5．（2023秋•西湖区月考）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）． （1）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 　 　； （2）在平面直角坐标系中画出△ABC，求△ABC的面积． 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点解答即可； （2）在坐标系内描出各点，再利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． 【解答】解：（1）∵C（4，3）．点D与点C关于y轴对称， ∴点D的坐标为（﹣4，3）． 故答案为：（﹣4，3）； （2）如图， S△ABC＝3×42×12×42×3 ＝12﹣1﹣4﹣3 ＝4． 【点评】本题考查的是关于y轴对称的点的坐标，三角形的面积，熟知关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键． 6．（2023春•来凤县期中）如图，△ABC的三个顶点坐标为：A（﹣3，1），B（1，﹣2），C（2，2），△ABC内有一点P（m，n）经过平移后的对应点为P1（m﹣1，n+2），将△ABC做同样平移得到△A1B1C1． （1）画出平移后的三角形A1B1C1； （2）写出A1、B1、C1三点的坐标； （3）求三角形A1B1C1的面积． 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）根据点的位置确定坐标即可． （3）利用分割法求解即可． 【解答】解：（1）如图，三角形A1B1C1即为所求作． （2）A1（﹣4，3），B1（0，0），C1（1，4）． （3）三角形A1B1C1的面积＝4×51×53×41×4＝9.5． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．（2023•温州模拟）已知△ABC中，点A（﹣1，2），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣3） ①在直角坐标系中，画出△ABC； ②求△ABC的面积． 【分析】（1）根据平面直角坐标系找出点A、B、C的位置，然后顺次连接即可； （2）根据三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解． 【解答】解：（1）△ABC如图所示； （2）△ABC的面积＝6×52×41×65×4， ＝30﹣4﹣3﹣10， ＝30﹣17， ＝13． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，熟练掌握网格结构以及点的坐标位置的确定方法是解题的关键． 8．（2023秋•东莞市期末）△ABC在如图的直角坐标系中， （1）写出点A，B，C的坐标：A：　 　，B：　 　，C：　 　． （2）写出△ABC中点A，B，C关于y轴对称的△A′B′C′的对称点A′，B′，C′的坐标分别是A′：　 　，B′：　 　，C′：　 　． （3）求出△ABC的面积． 【分析】（1）根据点的位置，可得点的坐标； （2）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案； （3）根据图形割补法，可得规则的图形，根据面积的和差，可得答案． 【解答】解：（1）写出点A，B，C的坐标：A：（2，4），B：（﹣3，﹣2），C：（3，1）． （2）写出△ABC中点A，B，C关于y轴对称的△A′B′C′的对称点A′，B′，C′的坐标分别是A′：（﹣2，4），B′：（3，﹣2），C′：（﹣3，1）； 故答案为：（2，4），（﹣3，﹣2），（3，1）；（﹣2，4），（3，﹣2），（﹣3，1）； （3）如图： S△ABC＝S正方形BDEF﹣S△BCD﹣S△ACE﹣S△ABF＝6×66×33×15×6． 【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，利用图形割补法是求面积的关键． 9．（2023秋•梅县区期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，已知点A的坐标是（﹣4，3）． （1）点B的坐标为（　 　，　 　），点C的坐标为（　 　，　 　）． （2）△ABC的面积是　 ． （3）作点C关于y轴的对称点C'，那么A、C'两点之间的距离是　 　． 【分析】（1）根据坐标系写出答案即可； （2）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积可得△ABC的面积； （3）首先确定C'位置，然后再利用勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（﹣2，5）， 故答案为：3；0；﹣2；5； （2））△ABC的面积是：7×53×72×25×5＝35﹣10.5﹣2﹣12.5＝10， 故答案为：10； （3）A、C'两点之间的距离是：2， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了关于y轴对称、三角形面积，以及勾股定理的应用，关键是正确确定C′点位置． 题型三 利用割补法求四边形的面积 解题技巧提炼 1、当四边形的其中有一边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，可以用分割法； 2、当四边形没有一边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，可以补形法； 3、不规则四边形面积的求法是利用割补法把其分割成规则且容易求的面积的图形，从而求出整个图形的面积． 1．（2023春•长安区校级月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2），则四边形ABCO的面积为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】连接OB，然后把四边形ABCD的面积转化为△OAB和△OBC的面积和，列式计算即可得解． 【解答】解：如图，连接OB， ∴S四边形OABC＝S△OAB+S△OBC ＝11． 故选：C． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，把四边形分解成规则的三角形和梯形是解题的关键，作出图形更形象直观． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点都在格点上． （1）写出四边形ABCD各顶点的坐标； （2）请计算四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据各点平面直角坐标系的位置，写出四边形ABCD各顶点的坐标即可； （2）四边形ABCD的面积等于两个直角三角形的面积与一个梯形面积的和． 【解答】解：（1）A（1，4），B（﹣2，3），C（﹣3，0），D（3，0）； （2）四边形ABCD的面积为：（3+4）×316． 【点评】此题主要考查了坐标与图形性质，计算四边形的面积，关键是掌握四边形ABCD的面积是有两个直角三角形和一个梯形组成的． 3．（2023春•湖北期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′． （1）在图中画出△A′B′C′； （2）写出点A′、B′的坐标； （3）连接A′A、C′C，求四边形A′ACC′的面积． 【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可； （2）根据各点在坐标系中的位置写出点A′、B′的坐标； （3）根据三角形的面积公式即可求出结果． 【解答】解：（1）如图所示： （2）由图可知，A′（0，4），B′（﹣1，1）； （3）四边形A′ACC′的面积＝S△A′AC′+S△ACC′5×315． 【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． 4．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中M点的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）． （1）已知点N关于x轴的对称点为点B，则点B的坐标为 　 ； （2）在（1）的条件下，求四边形ABNM的面积． 【分析】（1）根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案； （2）利用矩形面积减去周围多于三角形的面积即可． 【解答】解：（1）点B的坐标为（3，2）， 故答案为：（3，2）； （2）边形ABNM的面积：6×63×52×36×1＝36﹣7.5﹣3﹣3＝22.5． 【点评】此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 5．（2023秋•高明区月考）已知：A（﹣5，﹣2），B（﹣1，2），C（5，4），D（6，﹣2）． （1）在坐标系中描出各点，画出四边形ABCD； （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据各点的坐标描点再连线即可． （2）利用割补法求四边形的面积即可． 【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求． （2）四边形ABCD的面积为41． 【点评】本题考查坐标与图形的性质、四边形的面积，能够利用割补法求四边形的面积是解答本题的关键． 6．已知A（0，3），B（﹣4，0），C（﹣2，﹣3），D（4，﹣1），求图中四边形ABCD的面积． 【分析】由图可得：四边形ABCD的面积＝矩形EFGH的面积﹣△AEB的面积﹣△AHD的面积﹣△BFC的面积﹣△CGD的面积，即可解答． 【解答】解：如图， S四边形ABCD＝S矩形EFGH﹣S△AEB﹣S△AHD﹣S△BFC﹣S△CDG ＝25． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，解决本题的关键是结合图形四边形ABCD的面积＝矩形EFGH的面积﹣△AEB的面积﹣△AHD的面积﹣△BFC的面积﹣△CGD的面积． 7．如图，面积为12cm2的△ABC向x轴正方向平移至△DEF的位置，相应的坐标如图所示（a，b为常数）， （1）求点D、E的坐标； （2）求四边形ACED的面积． 【分析】（1）根据对应点C、F确定出平移距离，再求出CE的长，然后根据平面直角坐标系写出点D、E的坐标即可； （2）根据梯形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：（1）∵△ABC向x轴正方向平移至△DEF的位置， ∴平移距离＝CF＝﹣2a， ∴CE＝﹣2a+a＝﹣a， ∴点D（﹣2a，b），E（﹣a，0）； （2）由平移性质得，AD∥CE， 所以四边形ACED的面积（﹣a﹣2a）bab． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握平移的性质并求出CE的长是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，4），B（6，6），C（8，2），求四边形OABC的面积． 【分析】分别过A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，如图，根据三角形面积公式和梯形面积公式，利用四边形OABC的面积＝S△AOD+S梯形ABED+S梯形BCFE﹣S△COF进行计算即可． 【解答】解：分别过A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，如图， 四边形OABC的面积＝S△AOD+S梯形ABED+S梯形BCFE﹣S△COF 2×4（4+6）×（6﹣2）（2+6）×（8﹣6）8×2 ＝24． 【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应的线段长和判断线段与坐标轴的位置关系．若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 题型四 与图形面积相关的点的存在性问题 解题技巧提炼 1.上面题主要考查坐标与图形性质，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答． 2.由于点的位置不明确，因此在解题时要注意分情况讨论. 1．（2023春•余干县期中）已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标是（　　） A．（﹣4，0） B．（6，0） C．（﹣4，0）或（6，0） D．（0，12）或（0，8） 【分析】根据B点的坐标可知AP边上的高为2，而△PAB的面积为5，点P在x轴上，说明AP＝5，已知点A的坐标，可求P点坐标． 【解答】解：∵A（1，0），B（0，2），点P在x轴上， ∴AP边上的高为2， 又△PAB的面积为5， ∴AP＝5， 而点P可能在点A（1，0）的左边或者右边， ∴P（﹣4，0）或（6，0）． 故选：C． 【点评】本题考查了直角坐标系中，利用三角形的面积公式来求出三角形的底边． 2．（2023秋•泰山区校级月考）已知点O（0，0），点A（﹣3，2），点B在y轴的正半轴上，若三角形AOB的面积为12，则点B坐标为（　　） A．（0，8） B．（0，4） C．（8，0） D．（0，﹣8） 【分析】根据图形可知，三角形AOB的以OB为底，则高点A的横坐标的绝对值，根据面积为12，可求出OB的长，再由点B在y轴的正半轴，确定点B的坐标． 【解答】解：如图，∵三角形AOB的面积为12， ∴OB＝12×2÷3＝8， ∵点B在y轴的正半轴上， ∴点B（0，8）， 故选：A． 【点评】考查平面直角坐标系，将点的坐标转化为线段的长，是解决问题的关键． 3．已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴的负半轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标为（　　） A．（0，﹣4） B．（0，﹣8） C．（﹣4，0） D．（6，0） 【分析】根据B点的坐标可知AP边上的高为2，而△PAB的面积为5，点P在x轴上，说明AP＝5，可求P点坐标． 【解答】解：∵A（1，0），B（0，2），点P在x轴上， ∴AP边上的高为2， 又△PAB的面积为5， ∴AP＝5， 而点P在x轴的负半轴上， ∴P（﹣4，0）． 故选：C． 【点评】本题考查了直角坐标系中，利用三角形的面积公式来求出三角形的底边． 4．如图，已知，在平面直角坐标系中，S△ABC＝24，OA＝OB，BC＝12． （1）求出△ABC三个顶点的坐标． （2）在y轴上存在点D，使得S△ACD＝S△ABC，求出D点的坐标． 【分析】（1）根据三角形的面积公式求出OA、OB、OC的长，确定△ABC三个顶点的坐标； （2）根据图形和三角形的面积公式求出AD的长，运用分情况讨论思想得到D点的坐标． 【解答】解：（1）∵S△ABCBC•OA＝24，OA＝OB，BC＝12， ∴OA＝OB4， ∴OC＝8， ∴A（0，4），B（﹣4，0），C（8，0）； （2）设AD长为x， ∵S△ACD＝S△ABC＝24， ∴AD•OC＝24， ∵OC＝8， ∴AD＝6， 当D点在点A上方时，点D（0，10）， 当D点在点A下方时，点D（0，﹣2）． 【点评】本题考查的是坐标与图形的性质以及三角形的面积的计算，根据图形正确确定点的坐标是解题的关键，注意坐标符号的确定要正确． 5．（2023春•路南区期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3） （1）求点C到x轴的距离； （2）求△ABC的面积； （3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）点C的纵坐标的绝对值就是点C到x轴的距离解答； （2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解； （3）设点P的坐标为（0，y），根据△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），所以，即|x﹣3|＝2，所以x＝5或x＝1，即可解答． 【解答】解：（1）∵C（﹣1，﹣3）， ∴|﹣3|＝3， ∴点C到x轴的距离为3； （2）∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3） ∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，点C到边AB的距离为：3﹣（﹣3）＝6， ∴△ABC的面积为：6×6÷2＝18． （3）设点P的坐标为（0，y）， ∵△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3）， ∴6×|y﹣3|＝6， ∴|y﹣3|＝2， ∴y＝1或y＝5， ∴P点的坐标为（0，1）或（0，5）． 【点评】本题考查了坐标与图形，解决本题的关键是利用数形结合的思想． 6．（2024春•江油市期末）已知A（﹣3，﹣2），B（2，﹣2），C（3，1），D（﹣2，1）四个点． （1）在图中描出A，B，C，D四个点，顺次连接A，B，C，D，A； （2）直接写出线段AB，CD之间的关系； （3）在y轴上是否存在点P，使S△PAB＝S四边形ABCD若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意画出图象即可； （2）结合图象即可得出答案； （3）先计算出S四边形ABCD＝5×3＝15．设在y轴上存在点P（0，t），使S△PAB＝S四边形ABCD，列方程计算即可得出答案． 【解答】解：（1）画出图象如图所示： （2）由图象可得：AB＝CD，AB∥CD； （3）∵S四边形ABCD＝5×3＝15． 设在y轴上存在点P（0，t），使S△PAB＝S四边形ABCD， ∴，即|2+t|＝6， 解得：t1＝4 t2＝﹣8． ∴在y轴上存在P1（0，4），P2（0，﹣8）使S△PAB＝S四边形ABCD． 【点评】本题考查了坐标与图形、三角形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 7．（2023秋•东明县校级期末）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标为（﹣3，﹣3），点B的坐标为（﹣3，4），点P为直线AB上任意一点（不与A、B重合），点Q是点P关于x轴的对称点． （1）请求出△ABO的面积． （2）若点P的纵坐标为n，那么点Q的坐标为 　 　． （3）若△OPA是△OPQ的面积2倍时，请求出此时P点坐标． 【分析】（1）根据三角形的面积公式进行解答； （2）关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数； （3）分类讨论：①点P在x轴的下方；②点P在x轴的上方． 【解答】解：（1）∵A的坐标为（﹣3，﹣3），点B的坐标为（﹣3，4）， ∴AB＝4﹣（﹣3）＝4+3＝7， ∴S△ABO7×3＝10.5； （2）∵P为直线AB上任意一点，点P的纵坐标为n，点Q是点P关于x轴的对称点， ∴P（﹣3，n）， 则点Q的坐标为（﹣3，﹣n）； 故答案为：（﹣3，﹣n）； （3）∵△OPA是△OPQ面积2倍，点O到直线AB的距离都是3， ∴AP＝2PQ， 此时点P的坐标为（﹣3，n），则点Q坐标为（﹣3，﹣n）， 当点P在x轴的下方时， 则有n﹣（﹣3）＝2（﹣n﹣n）， 解得n， 则P坐标为（﹣3，）； 当点P在x轴的上方时， 则有n+3＝2[n﹣（﹣n）]， 解得n＝1， 则P坐标为（﹣3，1）； 综上所述，点P的坐标为（﹣3，）或（﹣3，1）． 【点评】本题考查了关于x、y轴对称的点的坐标特征，三角形的面积公式以及坐标与图形变换．注意“数形结合”数学思想的应用． 8．（2023春•平邑县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，2），B（2，0），C（3，3），P（a，b）是三角形ABC的边AC上的一点，三角形ABC经过平移后得到三角形DEF，点P的对应点为P'（a﹣2，b﹣4）． （1）请画出三角形DEF，并写出三角形DEF的三个顶点坐标； （2）求三角形ABC的面积； （3）x轴上是否存在点Q，使得三角形ABQ的面积是4？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （3）设Q（m，0），构建方程求解即可． 【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求，D（﹣4，﹣2），E（0，﹣4），F（1，﹣1）； （2）S△ABC＝3×52×41×51×3＝7； （3）存在． 理由：设Q（m，0），则有|m﹣2|×2＝4， ∴m＝6或﹣2， ∴Q（6，0）或（﹣2，0）． 【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求三角形面积． 9．（2023春•雄县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程：3（b+1）＝6． （1）求点A、B的坐标； （2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使得△PBC的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）得出b的值后代入解答即可； （2）根据三角形的面积公式得出点C的坐标即可； （3）根据△PBC的面积等于△ABC的面积的一半得出OP解答即可． 【解答】解：（1）解方程：3（b+1）＝6，得：b＝1， ∴A（﹣3，0）， B（0，4）， （2）∵A（﹣3，0）， ∴OA＝3， ∵△ABC的面积为12，， ∴BC＝8， ∵B（0，4）， ∴OB＝4， ∴OC＝4， ∴C（0，﹣4）； （3）存在， ∵△PBC的面积等于△ABC的面积的一半，C（0，﹣4），B（0，4）， ∴BC上的高OP为， ∴点P的坐标（，0）或（，0）． 【点评】本题主要考查坐标与图形，关键是根据三角形的面积公式解答． 题型五 平面直角系中与面积有关的综合运用 解题技巧提炼 本题考查的是坐标与图形的性质以及三角形的面积的计算，平行线的性质，以及非负数的性质，根据图形正确确定点的坐标是解题的关键，注意坐标符号的确定要正确． 1．（2023春•船营区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，其中a、b、c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）20． （1）求a、b、c的值； （2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形ABOP的面积等于△AOP面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据几个非负数和的性质得到a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0，分别解一元一次方程得到a＝2，b＝3，b＝4； （2）根据三角形的面积公式和四边形ABOP的面积＝S△AOP+S△AOB进行计算； （3）若S四边形ABOP＝2S△AOP，则﹣m+3＝2••2•（﹣m），解得m＝﹣3，然后写出P点的坐标． 【解答】解：（1）∵|a﹣2|+（b﹣3）20， ∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0， ∴a＝2，b＝3，b＝4； （2）A点坐标为（0，2），B点坐标为（3，0）， 四边形ABOP的面积＝S△AOP+S△AOB •2•（﹣m）•2•3 ＝﹣m+3； （3）存在．理由如下： ∵S四边形ABOP＝2S△AOP， ∴﹣m+3＝2••2•（﹣m）， ∴m＝﹣3， ∴点P的坐标为（﹣3，）． 【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用坐标计算线段的长度和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式． 2．（2023春•红谷滩区校级期中）如图，平面直角坐标系中，A（﹣3，﹣2）、B（﹣1，﹣4） （1）直接写出：S△OAB＝　 ； （2）延长AB交y轴于P点，求P点坐标； （3）Q点在y轴上，以A、B、O、Q为顶点的四边形面积为6，求Q点坐标． 【分析】（1）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算S△OAB即可； （2）设P（0，t），利用面积法得到（﹣t）×3（﹣t）×1＝5，然后解方程求出t，从而得到P点的坐标； （3）分类讨论：当Q在y轴的正半轴上时，利用S四边形ABOQ＝S△AOB+S△AOQ得到S△AOQ＝1，再根据三角形面积公式求出OQ．从而得到Q点坐标；当Q在y轴的负半轴上时，利用S四边形ABOQ＝S△AOB+S△BOQ得到S△BOQ＝1，再根据三角形面积公式求出OQ．从而得到Q点坐标． 【解答】解：（1）S△OAB＝3×44×13×22×2＝5； 故答案为5； （2）设P（0，t）， ∵S△OAP﹣S△OBP＝S△OAB， ∴（﹣t）×3（﹣t）×1＝5， 解得t＝﹣5， ∴P点的坐标为（0，﹣5）； （3）当Q在y轴的正半轴上时， ∵S四边形ABOQ＝S△AOB+S△AOQ， ∴S△AOQ＝6﹣5＝1， ∴3×OQ＝1， 解得OQ． 则此时Q点的坐标为（0，）； 当Q在y轴的负半轴上时， ∵S四边形ABQO＝S△AOB+S△BOQ， ∴S△BOQ＝1， ∴S△AOQ＝6﹣5＝1， ∴1×OQ＝1， 解得OQ＝2， 则此时Q点的坐标为（0，﹣2）， 即Q点坐标为（0，）或（0，﹣2）． 【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标求相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形面积公式．第（3）问要分类讨论． 3．（2023春•青羊区校级月考）在外面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）． （1）如图1，△ABC的面积为 　 　； （2）如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D． ①求△ACD的面积； ②已知点P（1，m）是一动点，若△PAC的面积等于△ACD的面积，请求出点P的坐标． 【分析】（1）求出OA，OB，OC，可得结论． （2）①连接OD，根据S△ADC＝S△AOD+S△ODC﹣S△AOC，求解即可． ②分两种情形，根据面积关系构建方程，求出m即可． 【解答】解：（1）∵点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）， ∴OA＝2，OB＝2，OC＝4， ∴S△ABC（2+4）×2＝6， 故答案为：6． （2）①连接OD． 由题意D（5，4）， S△ADC＝S△AOD+S△ODC﹣S△AOC2×54×42×4＝9． ②当点P在AC的上方时，S△PAC＝S△PAO+S△POC﹣S△AOC， ∴2×14×m2×4＝9． ∴m＝6， ∴P（1，6）． 当点P在AC的下方时，S△PAC＝S△POC+S△AOC﹣S△AOC， ∴4×（﹣m）2×42×1， ∴m＝﹣3， ∴P（1，﹣3） ∴点P的坐标为（1，6）或（1，﹣3）． 【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 4．（2023春•梁平区期中）如图1，以长方形ABCD的中心O为原点，平行于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系，若点D的坐标为（6，3）． （1）直接写出A、B、C的坐标； （2）设AD的中点为E，点M是y轴上的点，且△CME的面积是长方形ABCD面积的，求点M的坐标； （3）如图2，若点P从C点出发向CB方向匀速移动（不超过点B），点Q从B点出发向BA方向匀速移动（不超过点A），且点Q的速度是P的一半，P、Q两点同时出发，已知当移动时间为t秒时，P点的横坐标为6﹣2t，此时 ①CP＝　 　，AQ＝　 　（用含t的式子表示）． ②在点P、Q移动过程中，四边形PBQD的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围． 【分析】（1）利用矩形的性质和对称性，由点D的坐标直接得出答案即可； （2）得出E点的坐标为（0，3），设出M点的坐标，根据△CME的面积是长方形ABCD面积的，列出方程解答即可； （3）由B点的横坐标为6﹣2t＝﹣6，得出t＝6，求得点P的运动速度为2，点Q的运动速度为1，利用面积差表示出四边形PBQD的面积比较得出答案即可． 【解答】解：（1）A、B、C的坐标分别为（﹣6，3）、（﹣6，﹣3）、（6，﹣3）； （2）由题意得E点的坐标为（0，3），设M点坐标为（0，a）， 则|a﹣3|×612×6 解得：a＝﹣1或a＝7， M点坐标为（0，﹣1）或（0，7）． （3）∵B点的横坐标为6﹣2t＝﹣6， ∴t＝6， 则点P的运动速度为12÷6＝2，点Q的运动速度为2÷2＝1， ①CP＝2t，AQ＝6﹣t； ②不变． 理由：∵四边形PBQD的面积＝12×6（6﹣t）×122t×6＝36， ∴四边形PBQD的面积不发生变化． 【点评】此题考查坐标与图形的性质，三角形的面积，矩形的性质与面积，掌握矩形的对称性是解决问题的关键． 5．（2023春•全南县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD． （1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC． （2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． （3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由． 【分析】（1）根据被开方数大于等于0列式求出b，再求出a，从而得到A、B的坐标，再根据向上平移纵坐标加，向右平移横坐标加求出点C、D的坐标即可，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解； （2）根据三角形的面积公式列出方程求出OP，再分点P在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论求解； （3）根据平移的性质可得AB∥CD，再过点P作PE∥AB，根据平行公理可得PE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE，然后求出∠CPO＝∠DCP+∠BOP，从而判断出比值不变． 【解答】解：（1）由题意得，3﹣b≥0且b﹣3≥0， 解得b≤3且b≥3， ∴b＝3， a＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∵点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位， ∴点C（0，2），D（4，2）； ∵AB＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4， ∴S四边形ABDC＝4×2＝8； （2）∵S△PAB＝S四边形ABDC， ∴4•OP＝8， 解得OP＝4， ∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）； （3）1，比值不变． 理由如下：由平移的性质可得AB∥CD， 如图，过点P作PE∥AB，则PE∥CD， ∴∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE， ∴∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝∠DCP+∠BOP， ∴1，比值不变． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，平移的性质，平行线的性质，以及非负数的性质，熟记各性质是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系原点，点A（3a，2a）在第一象限，过点A向x轴作垂线，垂足为点B，连接OA，S△AOB＝12．点M从点O出发，沿y轴的正半轴以每秒2个单位长度的速度运动，点N从点B出发，沿射线BO以每秒3个单位长度的速度运动，点M与点N同时出发，设点M的运动时间为t秒，连接AM，AN，MN． （1）求a的值； （2）当0＜t＜2时， ①请探究∠ANM，∠OMN，∠BAN之间的数量关系，并说明理由； ②试判断四边形AMON的面积是否变化？若不变化，请求出；若变化，请说明理由． （3）当OM＝ON时，请求出t的值及△AMN的面积． 【分析】（1）根据三角形面积公式可以求出a． （2）①如图1作NH∥AB即可证明；②根据S四边形AMON＝S梯形ABOM﹣S△ANB（OM+AB）•OB计算即可． （3）分两种情形：①点N在原点左边；②点N在原点右边考虑． 【解答】解：（1）∵S△AOB＝12， ∴•3a•2a＝12， ∴a2＝4， ∵a＞0， ∴a＝2． （2）当O＜t＜2时，①结论：∠MNA＝∠NMO+∠NAB，理由如下： 作NH∥AB， ∵AB⊥x轴， ∴OM∥AB∥NH， ∴∠MNO＝∠MNH，∠NAB＝∠HNA， ∴∠MNA＝∠NMO+∠NAB． ②结论：S四边形AMON＝12，理由如下： 由题意BN＝3t，OM＝2t，OB＝6，AB＝4， ∵S四边形AMON＝S梯形ABOM﹣S△ANB（OM+AB）•OB6t+12﹣6t＝12． ∴四边形AMON的面积不变． （3）∵OM＝ON， ∴2t＝6﹣3t或2t＝3t﹣6 ∴t或6， t时，OM，BN，ON， ∴S△AMN＝S△AOM+S△AON﹣S△MON•6•4． 当t＝6时，如图2，OM＝ON＝12， ∴S△AMN＝S△MON+S△OMA﹣S△ANO84． 【点评】本题考查平面直角坐标系、平行线的性质、三角形、四边形的面积的有关知识，学会用分割法求三角形面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！42 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）八年级上册数学《第3章 位置与坐标》 专题 在平面直角坐标系中求图形的面积 题型一 直接利用面积公式求图形的面积 解题技巧提炼 当三角形的三边中有一条边落在坐标轴上，或者有一边与坐标轴平行时，可以直接求出边和其对应的高的长度，就直接利用三角形的面积公式求三角形的面积. 1．如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，其中C（﹣4，4）．则三角形ABC的面积是（　　） A．4 B．6 C．12 D．24 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）则△ABC的面积为　 　； 3．（2023秋•南岗区期末）如图，把△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得到△A'B'C'，其中点A，B，C的对应点分别为点A'，B'，C'． （1）在图上画出△A'B'C'，请直接写出点A'，B'，C'的坐标； （2）在图上，连接A′A，A'C，请直接写出△A'AC的面积． 4．（2024•南岗区校级开学）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（3，1）． （1）C点的坐标为 　　； （2）将三角形ABC先向下平移4个单位，在向左平移3个单位，它的像是三角形A1B1C1，画出三角形A1B1C1； （3）三角形A1B1C1的面积为 　 　． 5．（2023秋•宝丰县期末）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（3，4），C（3，﹣1）． （1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点； （2）求△ABC的面积． （3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标． 6．（2023春•营口期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，4），B（﹣2，1）．C（﹣4，1），将三角形ABC向右平移3个单位再向下平移2个单位得到三角形A1B1C1，点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1． （1）画出三角形A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标； （2）直接写出三角形A1B1C1的面积； （3）点M（2a﹣b，b）在线段BC上．其平移后的对应占为M1（a+b．a），求点M的坐标． 7．（2023春•雄县期末）如图，在直角坐标平面内，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣3，﹣2）． （1）图中点C关于x轴对称的点D的坐标是　 ． （2）如果将点B沿着与y轴平行的方向向上平移5个单位得到点B1，那么A、B1两点之间的距离是　3　． （3）求三角形ACD的面积． 8．如图所示，将图中的点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2），（﹣4，2），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣4，3）做如下变化： （1）横坐标不变，纵坐标分别减4，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？ （2）纵坐标不变，横坐标分别加6，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？ （3）求出以点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2）为顶点的三角形的面积？ 题型二 利用割补法求三角形的面积 解题技巧提炼 1.当三角形的三边不与坐标轴平行时，无法直接求出边和高的长度，就不能直接利用三角形的面积公式求三角形的面积，可把图形补成一个边与坐标轴平行的长方形或直角梯形来求解. 2.由图形中一些点的坐标求面积时，需要过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3.利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的关系，同时运用面积的和差计算不规则的图形的面积． 1．如图，已知：A（3，2），B（5，0），E（4，1），求△AOE的面积． 2．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，6），C（2，），求△ABC的面积． 3．（2023春•肇州县期末）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A （1，4），B（4，2），C（3，5），请回答下列问题： （1）写出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1的顶点坐标． （2）求△ABC的面积． 4．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，△ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点． （1）写出图中所示△ABC各顶点的坐标． （2）求出此三角形的面积． 5．（2023秋•西湖区月考）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）． （1）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 　 　； （2）在平面直角坐标系中画出△ABC，求△ABC的面积． 6．（2023春•来凤县期中）如图，△ABC的三个顶点坐标为：A（﹣3，1），B（1，﹣2），C（2，2），△ABC内有一点P（m，n）经过平移后的对应点为P1（m﹣1，n+2），将△ABC做同样平移得到△A1B1C1． （1）画出平移后的三角形A1B1C1； （2）写出A1、B1、C1三点的坐标； （3）求三角形A1B1C1的面积． 7．（2023•温州模拟）已知△ABC中，点A（﹣1，2），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣3） ①在直角坐标系中，画出△ABC； ②求△ABC的面积． 8．（2023秋•东莞市期末）△ABC在如图的直角坐标系中， （1）写出点A，B，C的坐标：A：　 　，B：　 　，C：　 　． （2）写出△ABC中点A，B，C关于y轴对称的△A′B′C′的对称点A′，B′，C′的坐标分别是A′：　 　，B′：　 　，C′：　 　． （3）求出△ABC的面积． 9．（2023秋•梅县区期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，已知点A的坐标是（﹣4，3）． （1）点B的坐标为（　 　，　 　），点C的坐标为（　 　，　 　）． （2）△ABC的面积是　 ． （3）作点C关于y轴的对称点C'，那么A、C'两点之间的距离是　 　． 题型三 利用割补法求四边形的面积 解题技巧提炼 1、当四边形的其中有一边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，可以用分割法； 2、当四边形没有一边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，可以补形法； 3、不规则四边形面积的求法是利用割补法把其分割成规则且容易求的面积的图形，从而求出整个图形的面积． 1．（2023春•长安区校级月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2），则四边形ABCO的面积为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点都在格点上． （1）写出四边形ABCD各顶点的坐标； （2）请计算四边形ABCD的面积． 3．（2023春•湖北期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′． （1）在图中画出△A′B′C′； （2）写出点A′、B′的坐标； （3）连接A′A、C′C，求四边形A′ACC′的面积． 4．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中M点的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）． （1）已知点N关于x轴的对称点为点B，则点B的坐标为 　 ； （2）在（1）的条件下，求四边形ABNM的面积． 5．（2023秋•高明区月考）已知：A（﹣5，﹣2），B（﹣1，2），C（5，4），D（6，﹣2）． （1）在坐标系中描出各点，画出四边形ABCD； （2）求四边形ABCD的面积． 6．已知A（0，3），B（﹣4，0），C（﹣2，﹣3），D（4，﹣1），求图中四边形ABCD的面积． 7．如图，面积为12cm2的△ABC向x轴正方向平移至△DEF的位置，相应的坐标如图所示（a，b为常数）， （1）求点D、E的坐标； （2）求四边形ACED的面积． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，4），B（6，6），C（8，2），求四边形OABC的面积． 题型四 与图形面积相关的点的存在性问题 解题技巧提炼 1.上面题主要考查坐标与图形性质，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答． 2.由于点的位置不明确，因此在解题时要注意分情况讨论. 1．（2023春•余干县期中）已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标是（　　） A．（﹣4，0） B．（6，0） C．（﹣4，0）或（6，0） D．（0，12）或（0，8） 2．（2023秋•泰山区校级月考）已知点O（0，0），点A（﹣3，2），点B在y轴的正半轴上，若三角形AOB的面积为12，则点B坐标为（　　） A．（0，8） B．（0，4） C．（8，0） D．（0，﹣8） 3．已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴的负半轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标为（　　） A．（0，﹣4） B．（0，﹣8） C．（﹣4，0） D．（6，0） 4．如图，已知，在平面直角坐标系中，S△ABC＝24，OA＝OB，BC＝12． （1）求出△ABC三个顶点的坐标． （2）在y轴上存在点D，使得S△ACD＝S△ABC，求出D点的坐标． 5．（2023春•路南区期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3） （1）求点C到x轴的距离； （2）求△ABC的面积； （3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标． 6．（2024春•江油市期末）已知A（﹣3，﹣2），B（2，﹣2），C（3，1），D（﹣2，1）四个点． （1）在图中描出A，B，C，D四个点，顺次连接A，B，C，D，A； （2）直接写出线段AB，CD之间的关系； （3）在y轴上是否存在点P，使S△PAB＝S四边形ABCD若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 7．（2023秋•东明县校级期末）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标为（﹣3，﹣3），点B的坐标为（﹣3，4），点P为直线AB上任意一点（不与A、B重合），点Q是点P关于x轴的对称点． （1）请求出△ABO的面积． （2）若点P的纵坐标为n，那么点Q的坐标为 　 　． （3）若△OPA是△OPQ的面积2倍时，请求出此时P点坐标． 8．（2023春•平邑县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，2），B（2，0），C（3，3），P（a，b）是三角形ABC的边AC上的一点，三角形ABC经过平移后得到三角形DEF，点P的对应点为P'（a﹣2，b﹣4）． （1）请画出三角形DEF，并写出三角形DEF的三个顶点坐标； （2）求三角形ABC的面积； （3）x轴上是否存在点Q，使得三角形ABQ的面积是4？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2023春•雄县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程：3（b+1）＝6． （1）求点A、B的坐标； （2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使得△PBC的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型五 平面直角系中与面积有关的综合运用 解题技巧提炼 本题考查的是坐标与图形的性质以及三角形的面积的计算，平行线的性质，以及非负数的性质，根据图形正确确定点的坐标是解题的关键，注意坐标符号的确定要正确． 1．（2023春•船营区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，其中a、b、c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）20． （1）求a、b、c的值； （2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形ABOP的面积等于△AOP面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（2023春•红谷滩区校级期中）如图，平面直角坐标系中，A（﹣3，﹣2）、B（﹣1，﹣4） （1）直接写出：S△OAB＝　 ； （2）延长AB交y轴于P点，求P点坐标； （3）Q点在y轴上，以A、B、O、Q为顶点的四边形面积为6，求Q点坐标． 3．（2023春•青羊区校级月考）在外面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）． （1）如图1，△ABC的面积为 　 　； （2）如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D． ①求△ACD的面积； ②已知点P（1，m）是一动点，若△PAC的面积等于△ACD的面积，请求出点P的坐标． 4．（2023春•梁平区期中）如图1，以长方形ABCD的中心O为原点，平行于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系，若点D的坐标为（6，3）． （1）直接写出A、B、C的坐标； （2）设AD的中点为E，点M是y轴上的点，且△CME的面积是长方形ABCD面积的，求点M的坐标； （3）如图2，若点P从C点出发向CB方向匀速移动（不超过点B），点Q从B点出发向BA方向匀速移动（不超过点A），且点Q的速度是P的一半，P、Q两点同时出发，已知当移动时间为t秒时，P点的横坐标为6﹣2t，此时 ①CP＝　 　，AQ＝　 　（用含t的式子表示）． ②在点P、Q移动过程中，四边形PBQD的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围． 5．（2023春•全南县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD． （1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC． （2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． （3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系原点，点A（3a，2a）在第一象限，过点A向x轴作垂线，垂足为点B，连接OA，S△AOB＝12．点M从点O出发，沿y轴的正半轴以每秒2个单位长度的速度运动，点N从点B出发，沿射线BO以每秒3个单位长度的速度运动，点M与点N同时出发，设点M的运动时间为t秒，连接AM，AN，MN． （1）求a的值； （2）当0＜t＜2时， ①请探究∠ANM，∠OMN，∠BAN之间的数量关系，并说明理由； ②试判断四边形AMON的面积是否变化？若不变化，请求出；若变化，请说明理由． （3）当OM＝ON时，请求出t的值及△AMN的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 $$