专题24.1 圆基本性质的综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题24.1 圆基本性质的综合 · 典例分析 【典例1】已知，内接于圆为圆直径，在圆上取点，连接； （1）如图1，求证：； （2）如图2，圆的弦交于点，延长至点，分别连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，求． 【思路点拨】 （1）连接，证明，得出，则，根据，即可得出； （2）设，，则，，得到，进而得出，即可得证； （3）过作，在上取一点，连接，使得，证明，根据设，，则，勾股定理得出，设，得出，即可求解． 【解题过程】 （1）证明：连接，如图所示： 为圆直径， ，即 ， ∴ ∴ ∴ ∵ ； （2）证明： ， 设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，， ∴, ； （3）解：过作，在上取一点，连接，使得，如图所示： 设，，， ∴， 由（2）可得，， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 设交于点， ∵， ∴， 在中 ， ∴， ∴， ∵ 设，，则， ∴， 在中，， 在中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． · 学霸必刷 1．（2024·山西临汾·一模）如图，线段，分别为的弦，，，平分，若，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，E是的直径上一点，，，过点E作弦，P是弧上一动点，连接，过点A作，垂足为Q，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，是等边三角形，为的外接圆，点D在劣弧上，连结并在上取点E，使得，连结．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 4．（2024九年级·全国·竞赛）如图，已知四边形为的内接四边形，点为上一点，其中的半径为，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，内接于，，连接并延长，交于点D，于点E，交于点F，连接．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．（2024·河北·模拟预测）如图，内接于为的直径，点D，E分别为上的动点（不与点A，点B，点C重合），且为的中点，连接．若，对于结论I，Ⅱ，下列判断正确的是（   ） 结论I：连接必得到等腰梯形； 结论Ⅱ：连接的最大值为8． A．I，Ⅱ都对 B．I，Ⅱ都不对 C．I对Ⅱ不对 D．I不对Ⅱ对 7．（23-24九年级下·重庆巴南·期中）如图，在中，C是的中点，作点C关于弦的对称点D，连接并延长交于点E，过点B作于点F，若，则等于 度． 8．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，是的内接三角形，，点在弧上，依次连接，若，，，则等于 ． 9．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，为的直径，C为上一点，其中，P为上的动点，连接，取中点Q，连，则线段的最大值为 ． 10．（23-24九年级上·山东威海·期末）将的劣弧沿弦折叠、刚好落在半径的中点C处，已知，则 ． 11．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，点 在以 为直径的 上，点 在 延长线上，，，  ，点为圆上动点，当是以为底边的等腰三角形时；则 ． 12．（2024·浙江宁波·一模）如图，是中的两条弦，相交于点，且，点为劣弧上一动点，为中点，若，连接，则最小值为 ．    13．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在等腰直角三角形中，，点Р在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，则点Р沿半圆由点A运动至点B的过程中，线段的最小值为 ．    14．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，四边形是的内接四边形，，将绕点旋转至，则下列结论：①平分；②点A，，在同一条直线上；③若，则；④若，则，其中一定正确的是 （填序号）． 15．（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形内接于，，过点C作，使得，交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求的长． 16．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，直径，垂足为点，连接，为线段上一点，连接，． （1）如图，求证∶； （2）如图，为弧上一点，，垂足为点，连接交于点，为中点，求证∶． 17．（2024·福建福州·一模）如图，四边形内接于，对角线是的直径，平分，交于点E，过点D作,交的延长线于点F． （1）求证：； （2）过点F作交延长线于点G，求证：． 18．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，为的内接三角形，，，点为弧上一点，连接． （1）如图1，当时，垂足为，连接并延长分别交，于点． ①______； ②求证：． （2）如图，若与不垂直，过点作，垂足为，连接，如果，求线段的长． 19．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）已知：内接于，弦平分． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点A作，垂足为点E．过点D作，交的延长线于点F，且． ①求证：； ②若，，求的半径． 20．（2024·浙江嘉兴·一模）定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角． （1）如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示． （2）如图2，在中，的平分线与经过两点的圆交于点，且．求证：是中的好望角． （3）如图3，在 （2）的条件下， ①取弧的中点，连接，若，求圆的半径． ②若，，请直接写出线段的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24.1 圆基本性质的综合 · 典例分析 【典例1】已知，内接于圆为圆直径，在圆上取点，连接； （1）如图1，求证：； （2）如图2，圆的弦交于点，延长至点，分别连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，求． 【思路点拨】 （1）连接，证明，得出，则，根据，即可得出； （2）设，，则，，得到，进而得出，即可得证； （3）过作，在上取一点，连接，使得，证明，根据设，，则，勾股定理得出，设，得出，即可求解． 【解题过程】 （1）证明：连接，如图所示： 为圆直径， ，即 ， ∴ ∴ ∴ ∵ ； （2）证明： ， 设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，， ∴, ； （3）解：过作，在上取一点，连接，使得，如图所示： 设，，， ∴， 由（2）可得，， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 设交于点， ∵， ∴， 在中 ， ∴， ∴， ∵ 设，，则， ∴， 在中，， 在中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． · 学霸必刷 1．（2024·山西临汾·一模）如图，线段，分别为的弦，，，平分，若，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，过点作垂直于的延长线，交于，作于，连接，，根据圆内接四边形的性质可得，由平分，可得，，，，再证明，，可得，，则，进而求得，可知，再由勾股定理即可求解，能根据角平分线正确作出辅助线是解此题的关键． 【解题过程】 解：过点作垂直于的延长线，交于，作于，连接，， ∵平分，， ∴，，， 则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴，则， ∴， 由勾股定理可得：，即：， ∴， 故选：D． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，E是的直径上一点，，，过点E作弦，P是弧上一动点，连接，过点A作，垂足为Q，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． 先根据圆周角定理判断点Q在以为直径的圆上，连接并延长交于点，当Q与重合时，最小，最小值为，然后根据勾股定理求解相关线段长即可，确定Q的运动轨迹是解答的关键． 【解题过程】 解：如图：连接、， ∵， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上，以为直径作， 如图:连接并延长交于点，当Q与重合时，最小，最小值为， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴，即的最小值为． 故选：A． 3．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，是等边三角形，为的外接圆，点D在劣弧上，连结并在上取点E，使得，连结．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 根据是等边三角形，以及圆周角定理得出，从而证明是等边三角形，求出，再证明，证出，过点作，算出，，连接，过点作，得出，再用勾股定理即可解答； 【解题过程】 解：∵是等边三角形， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴， ， 过点作， 则， ， ， 连接，过点作， 则， ， ， 解得：． 故选：B． 4．（2024九年级·全国·竞赛）如图，已知四边形为的内接四边形，点为上一点，其中的半径为，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题连接、，连接交于点，作于点，连接，根据等腰三角形性质得到即、、三点共线，利用垂径定理得到，，利用圆内接四边形性质和等腰三角形性质证明，推出，垂直平分于点，再结合圆周角定理证明，利用全等三角形性质，即可解题． 【解题过程】 解：连接、，连接交于点，作于点，连接， ， ， ， ，即、、三点共线， ， ， ， 四边形为的内接四边形，点为上一点， ，， ， ， ， ，即， ， 垂直平分于点， ，， ， ， ， 的半径为， ． 故选：C． 5．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，内接于，，连接并延长，交于点D，于点E，交于点F，连接．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，依次断，，，然后利用勾股定理解题即可． 【解题过程】 解：连接， ∵且， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 而交于, 则为的重心 连接， ∵ ∴， ∵，，        ∴， ∴， ∵ ∵ ∴ ， ∴ ， ∴， 则，， ∴，    ∵， ∴，， ，       ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴   ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选A． 6．（2024·河北·模拟预测）如图，内接于为的直径，点D，E分别为上的动点（不与点A，点B，点C重合），且为的中点，连接．若，对于结论I，Ⅱ，下列判断正确的是（   ） 结论I：连接必得到等腰梯形； 结论Ⅱ：连接的最大值为8． A．I，Ⅱ都对 B．I，Ⅱ都不对 C．I对Ⅱ不对 D．I不对Ⅱ对 【思路点拨】 本题考查垂径定理，圆周角定理，根据，为对角线或为边长两种情况去证明结论I，根据可得当在上时取得最大值判断结论Ⅱ． 【解题过程】 解：连接， 当，为对角线时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴根据对角线相等的梯形是等腰梯形，四边形为等腰梯形； 当，为边长时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴根据不相邻的两条边相等的梯形是等腰梯形，可得四边形为等腰梯形； 综上所述，结论I：连接必得到等腰梯形，正确； 连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴，， ∴， ∴当在上时取得最大值，最大值为8．故结论Ⅱ正确； 综上所述，两个结论都正确； 故选：A． 7．（23-24九年级下·重庆巴南·期中）如图，在中，C是的中点，作点C关于弦的对称点D，连接并延长交于点E，过点B作于点F，若，则等于 度． 【思路点拨】 本题考查圆知识点综合运用，难度较高，需要熟悉垂径定理辅助线做法以及角的等量互换方式即可．设，则连接交于点G，连接，，在中得到，得到，解方程即可得到答案． 【解题过程】 解：设，则连接交于点G，连接，如下图所示， ∵C是的中点，点O为圆心， ∴， 又∵点C与点D关于弦对称， ∴，且C，D，O三点共线，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵同弧，     ， ∵， 在中，， ∴， 解得 故答案为： 8．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，是的内接三角形，，点在弧上，依次连接，若，，，则等于 ． 【思路点拨】 延长至点，使得，过点作，垂足为，首先根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，然后证明，由全等三角形的性质可得，即为等腰三角形，结合可得，再在中和中，利用勾股定理求解即可． 【解题过程】 解：如下图，延长至点，使得，过点作，垂足为， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴． 9．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，为的直径，C为上一点，其中，P为上的动点，连接，取中点Q，连，则线段的最大值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了垂径定理的推论、半圆所对的圆周角是直角、勾股定理、含30°角的直角三角形等知识点，正确寻找点Q的运动轨迹、构造辅助圆解决问题成为解题的关键．如图：连接，作于H，先证明点Q的运动轨迹为以为直径的，连接，当点Q在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解答． 【解题过程】 解：如图：连接，作于H， ∵Q是中点， ∴， 根据垂径定理的推论可得， ∴， ∴点Q的运动轨迹为以为直径的，连接， 当点Q在的延长线上时，的值最大， ∵在直角中，， ∴，， ∴，， 又∵在直角中，， ∴， ∴，即的最大值为． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·山东威海·期末）将的劣弧沿弦折叠、刚好落在半径的中点C处，已知，则 ． 【思路点拨】 设折叠后的所在圆的圆心为，的直径为，连接，，过点B作于F，先求出，，则，再根据折叠，得出与是等圆，根据圆周角定理，得出，从而得出，再根据等腰三角形的性质求出，从而求得，然后利用勾股定理求出长，即可求解． 【解题过程】 解：如图，设折叠后的所在圆的圆心为，的直径为，连接，，过点B作于F， ∵C是半径的中点，， ∴，， ∴ ∵将的劣弧BD沿弦BD折叠， ∴与是等圆， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 故答案为：． 11． （23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，点 在以 为直径的 上，点 在 延长线上，，，  ，点为圆上动点，当是以为底边的等腰三角形时；则 ． 【思路点拨】 作的垂直平分线，交于M点，交于点和点．此时和即为以 为底边的等腰三角形．延长交于F点，作于H点，于G点．构造矩形和．连接、、、、、，根据勾股定理和矩形的小册子即可求出、的长． 【解题过程】 解：如图，作的垂直平分线，交于M点，交于点和点．延长交于F点，作于H点，于G点．连接、、、、、． ∵垂直平分， ∴，，， ∴和均是以为底边的等腰三角形． ∵，，， ∴四边形是矩形， 同理可证四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴． 同理，中，， ∴， ∴， ∴， ∴．综上，或． 故答案为：或． 12．（2024·浙江宁波·一模）如图，是中的两条弦，相交于点，且，点为劣弧上一动点，为中点，若，连接，则最小值为 ．    【思路点拨】 本题考查的重点是垂径定理，解直角三角形，中位线等知识，难点是找点的运动轨迹，当找到点的运动轨迹以后再利用两点之间直线最短就可以计算出的最小值． 连接，过点作，交于点，，交于点，构造正方形，计算圆的半径，然后作的中点，连接，连接，推导出点的运动轨迹是以为圆心的圆，连接与圆的交点就是的最小值． 【解题过程】 解：如图所示，连接，过点作，交于点，，交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 如图所示，作的中点，连接，连接，    ∵点是的中点，为中点， ∴， ∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动， 连接交于点，过点作， ∴当点三点共线时，即点和点重合时，的值最小， ∵点是的中点，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴的最小值为 ， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在等腰直角三角形中，，点Р在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，则点Р沿半圆由点A运动至点B的过程中，线段的最小值为 ．    【思路点拨】 本题考查轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确判断出点M的运动轨迹，属于中考常考题型． 如图，设的中点为O，连接，判断出点M的运动轨迹，利用勾股定理求出进而求解． 【解题过程】 解：如图，设的中点为O，连接，作于H，    ， 是的中点， ， ， ， ∴点M的运动轨迹是以为直径的⊙T， 设⊙T交于点E，交于点F，连接，则是直径， ∴点M的运动轨迹在以为直径的上（即上），， ， ， 连接，与交于点M，    在中， ， ， 当时，此时最小， ， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，四边形是的内接四边形，，将绕点旋转至，则下列结论：①平分；②点A，，在同一条直线上；③若，则；④若，则，其中一定正确的是 （填序号）． 【思路点拨】 根据圆周角、弦、弧之间的关系即可判断①；根据旋转的性质和圆内接四边形的性质即可判断②；先求出，由旋转可知，，进一步得到，，作于点H，则，则，进一步得到，则，即可判断③；在截取，连接，证明是等边三角形，得到，由四边形是的内接四边形即可得，即可判断④． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∴平分， 故①正确； ∵将绕点旋转至， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴点A，，在同一条直线上； 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转可知，， ∴，， ∴，， 作于点H，则，    ∴， ∴， ∴， 故③错误； 在截取，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故④正确， 故答案为：①②④． 15．（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形内接于，，过点C作，使得，交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求的长． 【思路点拨】 （1）连接，根据，推出，根据，得到，根据圆内接四边形性质得到，得到，结合共用，推出，得到； （2）证明是的直径，得到，根据，得到．根据勾股定理得到，根据等腰直角三角形性质即得． 【解题过程】 （1）证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接． ∵， ∴是的直径， ∴， 由（1）可得． ∵， ∴ ．在 中， ， 在中， ． 16．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，直径，垂足为点，连接，为线段上一点，连接，． （1）如图，求证∶； （2）如图，为弧上一点，，垂足为点，连接交于点，为中点，求证∶． 【思路点拨】 （）连接，由垂径定理得，即得，由圆周角定理得，进而得，即可得到，得到，即可求证； （）过点作于，则，可得四边形为矩形，得到，再证明，得到，即得，进而即可求证； 本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【解题过程】 （1）证明：连接， ∵直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作于，则，， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点为中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 17．（2024·福建福州·一模）如图，四边形内接于，对角线是的直径，平分，交于点E，过点D作,交的延长线于点F． （1）求证：； （2）过点F作交延长线于点G，求证：． 【思路点拨】 （1）根据是的直径，得到，结合平分，得，，结合，得到，根据四边形是的内接四边形，得到，证明即可得证． （2）在上截取，设与的交点为点N，连接，先证明 ,利用四边形是的内接四边形，证明P，A，E,D四点共圆，再证明即可得证． 本题考查了圆的内接四边形的性质，圆的性质，三角形全等，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【解题过程】 （1）∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴． （2）在上截取，设与的交点为点N，连接， ∵ ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴P，A，E,D四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，为的内接三角形，，，点为弧上一点，连接． （1）如图1，当时，垂足为，连接并延长分别交，于点． ①______； ②求证：． （2）如图，若与不垂直，过点作，垂足为，连接，如果，求线段的长． 【思路点拨】 （1）①由垂径定理可得，由等腰三角形的性质可得，再由8字模型求解即可； ②连接，根据圆周角定理及等腰三角形的判定和性质证明即可； （2）连接，延长，过A作于D，根据圆周角定理可得平分，再根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质求解即可． 【解题过程】 （1）解：①∵， ， ∵， ∴， ∵， ， ， ∴， 故答案为：； ②证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ． （2）解：连接，延长，过A作于D， ， ， ，， ， ， ， ， 平分， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 19．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）已知：内接于，弦平分． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点A作，垂足为点E．过点D作，交的延长线于点F，且． ①求证：； ②若，，求的半径． 【思路点拨】 （1）根据等弧所对的圆周角相等，进行证明即可； （2）①如图1，延长到，使，证明，则，进而可得，，，由，可得，，根据，，可得数量关系；②设，则，在和中，由勾股定理得，即，求得，则，，，如图2，过作于，连接，，由题意可得，，，证明，则，，在和中，根据勾股定理求，的值，如图2，连接交于，连接，由垂径定理可得，，在中，由勾股定理求的值，设半径为，则，在中，由勾股定理得，即，求值即可． 【解题过程】 （1）证明：∵弦平分， ∴， ∴； （2）①证明：如图1，延长到，使， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②解：设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴，，， 如图2，过作于，连接，， ∵， ∴ ∵弦平分， ∴，，， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 如图2，连接交于，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 设半径为，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴半径为． 20．（2024·浙江嘉兴·一模）定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角． （1）如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示． （2）如图2，在中，的平分线与经过两点的圆交于点，且．求证：是中的好望角． （3）如图3，在 （2）的条件下， ①取弧的中点，连接，若，求圆的半径． ②若，，请直接写出线段的最大值． 【思路点拨】 （1）根据角平分线的性质和三角形的内角和定理即可得出结果； （2）圆周角定理，得到，根据，得到，结合三角形的外角和三角形的内角和推出，即可得证； （3）①根据好望角的定义，，进而得到为圆的直径，推出取的中点，连接，交于点，根据垂径定理，推出，，，，设半径为，利用勾股定理进行求解即可； ②连接，先证明为等腰直角三角形，求出，进而得到，根据，得到当最大时，最大，根据，推出在为直径的圆上，得到为直径时，最大，此时，即可得出结果． 【解题过程】 （1）解：∵是中的好望角， ∴是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 又∵平分， ∴是中的好望角； （3）①∵平分，平分， ∴平分， ∴， ∵是中的好望角， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴为圆的直径， 取的中点，连接，交于点， ∵是弧的中点， ∴， ∴，，， ∴， 设的半径为，则：，， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：或（舍去）； ∴的半径为； ②连接， ∵平分，平分， ∴是的好望角， ∴ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴在为直径的圆上， ∴为直径时，最大，此时， ∴的最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$