4.1 数列的概念（9大题型） （分层作业）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章 数列 4.1 数列的概念（9大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：数列的有关概念和分类 2 题型二：由数列的前几项写出数列的一个通项公式 3 题型三：数列通项公式的简单应用 4 题型四：递推公式的应用 5 题型五：前项和公式与通项的关系 6 题型六：数列单调性的判断 7 题型七：求数列的最大项与最小项 7 题型八：周期数列 8 拓展培优练 8 题型一：数列的有关概念和分类 1．（2024·高二·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为 D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列 2．（2024·高二·全国·课后作业）若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 3．（2024·高二·山西·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 4．（2024·高三·全国·专题练习）将正整数的前5个数排列如下： ①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2． 其中可以称为数列的有（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 5．（2024·高二·全国·课后作业）数列的通项公式是，，则它的图象是（    ） A．直线 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点 6．（2024·高二·广东东莞·期中）下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为 C．数列0，0，0，1，…是常数列 D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列 题型二：由数列的前几项写出数列的一个通项公式 7．（2024·高二·甘肃金昌·阶段练习）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高二·湖南益阳·阶段练习）数列的通项公式可能是（      ） A． B． C． D． 9．（2024·高二·全国·课后作业）数列的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 10．（2024·高二·全国·课后作业）观察下列式子： ； ； ； … 根据规律，则等于（   ） A． B． C． D． 11．（2024·高二·山西晋城·阶段练习）数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 题型三：数列通项公式的简单应用 12．（2024·高二·浙江·期中）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是，，则（    ） A．数列第16项为144 B．数列第16项为128 C．200是数列第18项 D．200不是数列中的项 13．（2024·辽宁·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第30项为（    ） A．366 B．422 C．450 D．600 14．（2024·高二·湖南·阶段练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·高二·河南南阳·阶段练习）观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样7条直线相交，交点的个数最多是（    ） A．20 B．21 C．26 D．27 16．（2024·福建厦门·一模）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（    ） A．51 B．70 C．92 D．117 题型四：递推公式的应用 17．（2024·高二·甘肃金昌·阶段练习）数列满足，若，则 . 18．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列为，若关于n的图象是一条抛物线上的孤立的点，且，，，则 ． 19．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列满足：（m为正整数），若，求m所有可能的取值． 20．（2024·高二·全国·课堂例题）试分别根据下列条件，写出数列的前5项： (1)，，，其中； (2)，，其中． 21．（2024·高二·全国·课堂例题）已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项． 22．（2024·高二·全国·课后作业）写出下列数列的前5项： (1)，； (2)，； (3)，． 题型五：前项和公式与通项的关系 23．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列满足，则 ． 24．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列的前项和为，则的通项公式为 ． 25．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列的前项和，且，则数列的通项公式为 ． 26．（2024·高二·全国·专题练习）设数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为 ． 27．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）已知数列的前项和满足，则的通项公式为 ． 28．（2024·高二·云南昆明·期末）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 题型六：数列单调性的判断 29．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列，则该数列是（   ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 30．（2024·高二·北京·期中）数列的通项公式为，则使得“数列是单调递增数列”成立的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 31．（2024·高二·山东·阶段练习）下列数列不是单调数列的是（   ） A． B． C． D． 32．（2024·高二·广西·开学考试）现有3个数列：，，．其中递增数列的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 33．（2024·高二·广西桂林·期末）数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型七：求数列的最大项与最小项 34．（2024·高二·上海·阶段练习）已知数列满足为正整数，则该数列的最大项是第 项. 35．（2024·高二·湖北襄阳·阶段练习）已知数列的通项公式为，则数列中的最小项的值为 ．（用具体数字作答） 36．（2024·高二·辽宁大连·阶段练习）已知数列的通项公式，则最小的项是第 项． 37．（2024·高二·天津南开·专题练习）已知数列满足，则的最小值为 . 38．（2024·高二·广东佛山·阶段练习）在数列中，，则数列中的最大项是第 项． 39．（2024·高二·陕西榆林·期末）已知数列的前项和为，则当最小时，的值为 . 题型八：周期数列 40．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列的首项为，且，则 ． 41．（2024·高二·上海·阶段练习）已知数列满足，则 . 42．（2024·高二·福建莆田·期中）已知数列中，，则 . 43．（2024·高二·广西柳州·阶段练习）若数列满足，，，则 . 44．（2024·高二·上海·课后作业）在数列中，已知，，且，则 ． 45．（2024·高二·辽宁辽阳·期末）设的个位数为，则 . 46．（2024·高二·上海·随堂练习）在数列中，若，（，n为正整数），则 ． 1．（2024·高二·山东青岛·阶段练习）若数列满足，月，则（   ） A． B．2 C． D． 2．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高三·广东汕头·开学考试）已知数列，则数列的前100项中的最小项和最大项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，且对任意的两个正整数，都有，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·贵州·模拟预测）已知数列满足，则“数列是递增数列”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高三·四川内江·阶段练习）已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·云南昆明·阶段练习）数列中，，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 8．（2024·广东·一模）斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（多选题）（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知是的前项和，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．是以为周期的周期数列 10．（多选题）（2024·高二·江苏盐城·阶段练习）若数列的通项公式为，则（    ） A．该数列仅有6个正数项 B．该数列有无限多个负数项 C．该数列的最大项就是函数的最大值 D．是该数列中的一项. 11．（多选题）（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D．2 12．（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的为（   ） A． B．对恒成立 C． D． 13．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，则该数列的通项公式为 ． 14．（2024·高二·全国·课后作业）若数列满足，且为其前项和，则的最大值为 ． 15．（2024·高二·江苏南通·阶段练习）设数列满足…，则 ． 16．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列的前项和为，，且（且），若，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 数列 4.1 数列的概念（9大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：数列的有关概念和分类 2 题型二：由数列的前几项写出数列的一个通项公式 4 题型三：数列通项公式的简单应用 6 题型四：递推公式的应用 9 题型五：前项和公式与通项的关系 11 题型六：数列单调性的判断 14 题型七：求数列的最大项与最小项 16 题型八：周期数列 18 拓展培优练 21 题型一：数列的有关概念和分类 1．（2024·高二·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为 D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列 【答案】A 【解析】对于A，数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确． 对于B，同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误． 对于C，数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误． 对于D，当都代表数（数列的各项都是数）时，能构成数列， 当中至少有一个不代表数时，不能构成数列， 因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误． 故选：A. 2．（2024·高二·全国·课后作业）若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 【答案】D 【解析】数列的通项公式为， 它的图象就是直线上满足的一系列孤立的点，所以A、C错误， 当时，，该点在第四象限， 当且时，，此时数列图象在第一象限，所以B错误. 故选：D. 3．（2024·高二·山西·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 【答案】C 【解析】对于A，由数列的定义易知A错误； 对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误； 对于C，数列的第项为，故C正确； 对于D，因为，所以，这与数列的定义不相符，故D错误. 故选：C. 4．（2024·高三·全国·专题练习）将正整数的前5个数排列如下： ①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2． 其中可以称为数列的有（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【解析】根据数列是按“一定顺序”排列着的一列数，所以①②③④都正确，故D项正确. 故选：D． 5．（2024·高二·全国·课后作业）数列的通项公式是，，则它的图象是（    ） A．直线 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点 【答案】B 【解析】数列对应点为， 所以图象是直线上孤立的点. 故选：B 6．（2024·高二·广东东莞·期中）下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为 C．数列0，0，0，1，…是常数列 D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列 【答案】A 【解析】对于A项，设， 则对恒成立， 所以，数列是递增数列.故A正确； 对于B项，当时，与第一项为0不符.故B项错误； 对于C项，数列中的项并不完全相同.故C项错误； 对于D项，根据数列的概念，数列与顺序有关. 所以，数列2，4，6，8与数列8，6，4，2不是相同的数列.故D项错误. 故选：A. 题型二：由数列的前几项写出数列的一个通项公式 7．（2024·高二·甘肃金昌·阶段练习）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得的一个通项公式为. 故选：D. 8．（2024·高二·湖南益阳·阶段练习）数列的通项公式可能是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，若，则，不满足题意； 对于B，前四项均满足题意； 对于C，若，第一项，不满足题意； 对于D，若，第二项，，不满足题意； 故选：B 9．（2024·高二·全国·课后作业）数列的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】通过观察这一列数发现，奇数项为正，偶数项为负， 故第项的正负可以用表示； 而， 故数列的通项可为. 故选：D 10．（2024·高二·全国·课后作业）观察下列式子： ； ； ； … 根据规律，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由规律可得， 所以 ． 故选：B. 11．（2024·高二·山西晋城·阶段练习）数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，当时，，当时，， 当时，，当时，，故B正确； 对于C选项，当时，，故C错误； 对于D选项，当时，，故D错误. 故选：B. 题型三：数列通项公式的简单应用 12．（2024·高二·浙江·期中）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是，，则（    ） A．数列第16项为144 B．数列第16项为128 C．200是数列第18项 D．200不是数列中的项 【答案】B 【解析】由此数项的前10项的规律可知， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 对于AB，，所以A错误，B正确， 对于C，，所以C错误， 对于D，若200中偶数项，则，得， 所以200是此数列的第20项，所以D错误， 故选：B 13．（2024·辽宁·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第30项为（    ） A．366 B．422 C．450 D．600 【答案】C 【解析】由题意，大衍数列的偶数项为， 可得该数列的偶数项的通项公式为， 所以此数列的第30项为. 故选：C. 14．（2024·高二·湖南·阶段练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知表示第行中的黑圈个数，设表示第行中的白圈个数， 则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈， ∴，，故C正确，D错误； 又∵，， 所以，， ，， ，， ，，故A、B正确. 故选：D 15．（2024·高二·河南南阳·阶段练习）观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样7条直线相交，交点的个数最多是（    ） A．20 B．21 C．26 D．27 【答案】B 【解析】条直线相交，交点最多的个数设为， 则，，故，， 即，，，， 故7条直线相交，交点的个数最多是21个. 故选：B 16．（2024·福建厦门·一模）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（    ） A．51 B．70 C．92 D．117 【答案】C 【解析】由题图及五边形数知：后一个数与前一个数的差依次为， 所以五边形数依次为，即第8个数为92. 故选：C 题型四：递推公式的应用 17．（2024·高二·甘肃金昌·阶段练习）数列满足，若，则 . 【答案】/ 【解析】由，得， 所以. 故答案为：. 18．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列为，若关于n的图象是一条抛物线上的孤立的点，且，，，则 ． 【答案】21 【解析】设（，）， 由题设可得，解得 所以，，． 故答案为：. 19．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列满足：（m为正整数），若，求m所有可能的取值． 【解析】若为奇数，则，． 若为奇数，则，（舍去），若为偶数，则，． 若为奇数，则，（舍去），若为偶数，则，； 若为偶数，则，． 若为奇数，则，（舍去），若为偶数，则，． 若为奇数，则，，若为偶数，则，． 故m所有可能的取值为4，5，32． 20．（2024·高二·全国·课堂例题）试分别根据下列条件，写出数列的前5项： (1)，，，其中； (2)，，其中． 【解析】（1）因为，，，其中， 所以，， ． 因此，数列的前5项依次为1，2，4，8，16． （2）因为，，其中， 所以，， ，． 因此，数列的前5项依次为2，，，，． 21．（2024·高二·全国·课堂例题）已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项． 【解析】由题意可知， ， ， ， ． 22．（2024·高二·全国·课后作业）写出下列数列的前5项： (1)，； (2)，； (3)，． 【解析】（1）由题意, ，，， ，. （2）由题意, ，，， ，. （3）由题意，，，，，. 题型五：前项和公式与通项的关系 23．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列满足，则 ． 【答案】 【解析】因为①， 当时，； 当时，②， ①-②可得，则； 且，不符合上式，所以. 故答案为：. 24．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列的前项和为，则的通项公式为 ． 【答案】 【解析】易知，当时，， 化简得，当依然成立，故． 故答案为： 25．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列的前项和，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】因为①， 则当时，②， ①②得，则， 当时，，符合上式， 故. 故答案为：. 26．（2024·高二·全国·专题练习）设数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以，所以． 当时，． 而也符合该式，故数列的通项公式为． 故答案为：. 27．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）已知数列的前项和满足，则的通项公式为 ． 【答案】 【解析】数列的前项和，当时，， 而不满足上式， 所以的通项公式为. 故答案为： 28．（2024·高二·云南昆明·期末）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 【答案】 【解析】数列的前n项和， 当时，， 而，不满足上式， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 题型六：数列单调性的判断 29．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列，则该数列是（   ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 【答案】C 【解析】数列，则，， 因此，数列是摆动数列. 故选：C 30．（2024·高二·北京·期中）数列的通项公式为，则使得“数列是单调递增数列”成立的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为数列是单调递增数列， 所以，即，化简得， 所以， 令，则在上递增， 所以，所以, 所以使“数列是单调递增数列”的充要条件是， 所以充分不必要条件是可以是. 故选：A. 31．（2024·高二·山东·阶段练习）下列数列不是单调数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：因为函数在定义域上单调递增， 所以数列单调递增，故A错误； 对于B：因为函数在定义域上单调递减， 所以数列单调递减，故B错误； 对于C：令 因为，函数在上单调递增，当时， 所以（），所以， 故数列单调递增，故C错误； 对于D：数列的前几项分别为，，，，，，，， 显然数列不单调，故D正确. 故选：D 32．（2024·高二·广西·开学考试）现有3个数列：，，．其中递增数列的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为，由一次函数的单调性可知，数列为递增数列； 因为，设函数，则在上单调递增，所以为递增数列； 因为，由指数函数的单调性可知，数列为递减数列. 故选：C 33．（2024·高二·广西桂林·期末）数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，， 数列为递增数列，充分性成立； 当数列为递增数列时，， 恒成立，又， ，必要性不成立； “”是“为递增数列”的充分不必要条件. 故选：A. 题型七：求数列的最大项与最小项 34．（2024·高二·上海·阶段练习）已知数列满足为正整数，则该数列的最大项是第 项. 【答案】2和3 【解析】 在上单调递减，单调递增， 且故该数列的最大项是第二项和第三项. 故答案为：2和3 35．（2024·高二·湖北襄阳·阶段练习）已知数列的通项公式为，则数列中的最小项的值为 ．（用具体数字作答） 【答案】 【解析】由题意得， 故， 当时，，故， 当时，，故， 即得， 故数列中的最小项为， 故答案为： 36．（2024·高二·辽宁大连·阶段练习）已知数列的通项公式，则最小的项是第 项． 【答案】 【解析】， 当时，， 当时，，要取最小的项需在此范围内取到， 又当时，为单调递减数列， 所以当时，最小. 故答案为：. 37．（2024·高二·天津南开·专题练习）已知数列满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】，但没有正整数解， 所以等号不等成立，， ， 所以的最小值为. 故答案为： 38．（2024·高二·广东佛山·阶段练习）在数列中，，则数列中的最大项是第 项． 【答案】 【解析】因为， 所以，所以， 又，所以当时，，当时，， 所以最大，则. 故答案为：. 39．（2024·高二·陕西榆林·期末）已知数列的前项和为，则当最小时，的值为 . 【答案】6 【解析】根据题意，数列中，， 当时，有，当时，有， 则当时，最小. 所以当最小时，. 故答案为：6 题型八：周期数列 40．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列的首项为，且，则 ． 【答案】 【解析】由题可得， 所以数列是以4为周期的周期数列，故． 故答案为： 41．（2024·高二·上海·阶段练习）已知数列满足，则 . 【答案】/0.8 【解析】因为， 所以，，， 所以为周期数列，且周期为， 所以. 故答案为： 42．（2024·高二·福建莆田·期中）已知数列中，，则 . 【答案】/ 【解析】数列中，当时，，则， ，即，，因此数列的周期是3， 所以. 故答案为： 43．（2024·高二·广西柳州·阶段练习）若数列满足，，，则 . 【答案】2 【解析】由，得，则， 因此数列是以4为周期的周期数列， 所以. 故答案为：2 44．（2024·高二·上海·课后作业）在数列中，已知，，且，则 ． 【答案】0 【解析】因为，，且， 所以，， ，， ，， ，……， 所以数列为3，0，3，3，0，3，3，0，3，3，0，3，…… 所以数列以3为周期的周期数列， 所以. 故答案为：0 45．（2024·高二·辽宁辽阳·期末）设的个位数为，则 . 【答案】279 【解析】因为的个位数分别为， 所以数列是周期为4的周期数列，所以. 故答案为：279. 46．（2024·高二·上海·随堂练习）在数列中，若，（，n为正整数），则 ． 【答案】 【解析】若，则，， ，， 所以数列是以3为周期的数列， 则. 故答案为：. 1．（2024·高二·山东青岛·阶段练习）若数列满足，月，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】, 所以， 所以， 所以数列周期为3，由，可得， 所以. 故选：D 2．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得，即， 所以， 将上面个式子两端分别相乘， 可得， 即， 所以． 故选：B. 3．（2024·高三·广东汕头·开学考试）已知数列，则数列的前100项中的最小项和最大项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】， 因为， 所以时，数列单调递增，且；时，数列单调递增，且. ∴在数列的前100项中最小项和最大项分别是. 故选：B. 4．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，且对任意的两个正整数，都有，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为对任意的两个正整数，都有， 所以数列是递增数列，当时，，可得， 当时，，即，解得， 又，所以，解得或． 综上，实数t的取值范围是． 故选：C 5．（2024·贵州·模拟预测）已知数列满足，则“数列是递增数列”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以 由，得到，所以“数列是递增数列”的充要条件是， 故选：B. 6．（2024·高三·四川内江·阶段练习）已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，在上单调递增， 由于和均为单调函数， 故，解得. 故选：C 7．（2024·高二·云南昆明·阶段练习）数列中，，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【解析】由数列中，， 可得， 可得数列是以三项为周期的周期性循环出现， 所以. 故选：A. 8．（2024·广东·一模）斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】由题知是的正整数解， 故， 取指数得， 同除得，， 故，即， 根据是递增数列可以得到也是递增数列， 于是原不等式转化为. 而可以得到满足要求的的最大值为5，故A正确. 故选：A 9．（多选题）（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知是的前项和，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．是以为周期的周期数列 【答案】BD 【解析】，， ，，，， 则数列是以为周期的周期数列，故正确； 则，故错误； ，故正确； 可得，故错误． 故选： 10．（多选题）（2024·高二·江苏盐城·阶段练习）若数列的通项公式为，则（    ） A．该数列仅有6个正数项 B．该数列有无限多个负数项 C．该数列的最大项就是函数的最大值 D．是该数列中的一项. 【答案】ABD 【解析】对于选项A，B，令，解得， 所以数列前6项为正数项，从第7项开始后面的项均为负数项，故A，B正确； 对于C，由，当时，数列取到最大值， 而对函数，当时，取到最大值，故C错误； 对于D，令，解得或（舍去），即是该数列的第10项，故D正确. 故选：ABD. 11．（多选题）（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D．2 【答案】BC 【解析】数列满足，且是递增数列， 则分段函数为增函数，则， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是， 则选项中和在内， 故选： 12．（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的为（   ） A． B．对恒成立 C． D． 【答案】BCD 【解析】“斐波那契数列”为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…， 所以，A选项错误； 依题意，所以， 故对恒成立，B选项正确； ，，，…，， 所以，C选项正确； ，，，…， ， 所以，D选项正确． 故选：BCD. 13．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，则该数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】当时，， 当时，有， 当时，不满足上式，所以. 故答案为： 14．（2024·高二·全国·课后作业）若数列满足，且为其前项和，则的最大值为 ． 【答案】0 【解析】依题意，，，，， 令，解得或，即， 根据二次函数与指数函数的图象和性质可知： 在内指数函数在二次函数图象下方，即在内， 当时，,所以在或处最大值为0． 故答案为： 15．（2024·高二·江苏南通·阶段练习）设数列满足…，则 ． 【答案】 【解析】当时，， 由，① ，②， 由①-②得，， ，显然时不满足上式， ， 故答案为： 16．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列的前项和为，，且（且），若，则 . 【答案】49 【解析】当时，， 则，于是， 即有， 因此数列是常数列， ， 即，由得， 而，所以. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！27 学科网（北京）股份有限公司 $$