19.2024年北京市中考真题-【中考123·中考必备】2025年黑龙江地区专用数学试题精编

里世星相皮因博日丽装取真星实域招南 ()工，以点为满心，任意长为径，分州 0见叶.择定孩工井为一等品.限蛋以上数雷.估：.再，在国边形A》中，着叠AW的中点，用，诸 计这0个工件中一等品的个数是 交于点F:F=FN,AF∥ 19.2024年北京市 市千kC,园 1如图2作解腹伊，且点？为离七，k民为车经画氧，变 14如图，⊙0的直径AB平分露CD(不是直轻).若 【》煤证：库边眼AC)为平行再边B: ∠0=55，期∠C (2)若∠D,m∠卷■3,1，求G 的长， O试卷研究服告O 3》建点厂作置'8，周2A0'g=2w 仪灵中○ 零正新烟山，5科 风场司 428 的米围273 [满分：【国分时同：0分钟1 44 第一部分这题 7脑用2 5.图，在正方慰B0中.点E在A雷上，AF1 于点F.CG⊥DE干点若山=5，CG·4,期 一，选择题（共16分.题2分1 退力选通过判定△W≌△业海到24'容 △F的面积天 1,下列图形中，雪是轴对序前形义是中心对释周形的 2A和w中宽△)△W的依据品【 点重定会有A.B.:,D月个节日需要意样所有司员 A三边分别相等钓两个三角彩全等 词畅后节老排开蜂个节川彩播完非，下个 B,两边及其夹角分拼相等的两个三后形全等 节目彩排立甲开如，创个节日的流员人数和移棒利 C.再角及其夹边分填相等的内个三种形全等 长（得位：n)们下： 同角分判相等月其中一组等角的对边相等的再十 2L.为豹管污最，保护政等生态环规，自20年丁川 三角形全等 1甘越.我国全面实第汽车保六排放标本仙阶园 工如图，直线A音和D相交于点心，上C,若∠AC 从如用，在菱形AD中 以下黄一标准”)，对基量号汽车，“标准餐求A =粥°，期CE州的大小为 G.45 乙D=0,)为明角线 夫物项情较量不超过站gk口，A,B内类物衡情 从32 0.5w 的之成.将烫形4D晓点 已知每控演员只参演个节目.一位演员的候场妇时 位量之推不超过0e/.已细试型号某汽车的 连时针脸转闭得到菱彩 可指从第一个移裤的节目影排开的刊这位演员参 A,:再类物质排收量之和原为2运k,经过 'CD',周个菱形的公共 演的节日愿得开始的加时间问隔（不考悲换候时民寧 次技零改进，流汽车的类物质排收量降展了 点为E,F.后，互对八边形 其他明素)，若市日发“B一公D了的先后懒序套 排.时节日D的演员的场妇计据为 5%,美物质排做量降其了75g,A,:背类物图 容严君给出下官國 i:若 使这23位演是的候场间之和量小，时靠日应传 摆收量之和为和层/儿用判斯这皮整术度进后该 士酸国 周 个结论： 1孩人边形各边长军相等， 的先日规序影排 汽车的A类物衡推位量是者行合“标摩”，并说明 3实数度，表在数触上的利应点的位置如因所示，下国 三、解答是（共网分，第17~9题每题5分，第20~21 平由 站论中正确的是 2值人边彩各内角都相等： 第每驱0分，第2卫23蹈每题5分，第14地6分， .b>-1 B.h|32 通点)到该八边形各顶点的距离都相等： ￥+b30 D.a>0 A点行河孩八边形各边呢在直线的是离高相等 第当量；分，第6题6分，第2于-等爵每量7分 4右关于铃一元二次方程之-4：+：=0有周个相等 上连站论中，所有稀站论的序号是 17.计算《m=3)”+8-2m30+|=21 A.O3I 柱0用 C. 0④ 的实数里.侧敢“的植为 A.-16 .-4 C.4 D.16 期二部分非透择见 不透明袋子中仅有红，黄小球各一个，两个小球除倒 二，填空引共16分，每是2分) 色外无其能差别从中陷机朝出一个小球，做回并国 匀，再从中随规模出一个小球，喇两次模出的都是红 华若，？一在实登范国内有意又，则实数x的取值范 31-1)6421, 2,在平面直角单标系山中，函数y=车+A》与 球的恒率是 用是 1性.解不等式组： -0 0分解同式：了-5x= 下■-缸+3的周象交于点2,1. c 1》成专，6的值： 2)当之2时.于年的利一个值.函数y正#(w 6为出力数学验济发展.上桌积做撞进多个公传草力 1方程+，0的解为 2在平面直角学标系心中，若表)一0)的 ≠0)的值气大于所数y■女+占的值，位大于雨 中心的建灵秉家数字经语靠力中心日用已第署上 知和闲试的设备的算力为4关"几=（可=是计 数▣一与+3的植，直接写出障的张值范围 图象经过点3，，)和1一，左}，期务+与的值 其机系战算力的一件度量单位)，整体权后，黑什 已--1=,代数式-+ 火税的算力将是日离已年暑上某和圆试的及各的算 某了虹工了0个工件，质检员从中线机挂痕0 -26+的值 力的5箭，达到n门m,期售的值为 个工.件稳测了它门的质景（单位：，得到的数 A.8x10 B.2x10 如下t C5×10 2×0 504权w50gy到 50g 工，下露是“作一个角便其等于∠4团”的尺规作图 40四5组0140.7SL050@ 法 当一个无件的板续x(单位：非)清是野，两G 见世■团足离酒日历领歌汽理实域者南 点，某学校举办的青存新丰愿孩讲比弹分为初清：4丽.A保是⊙0的直径。点C,》在⊙0上.地平 2图2，当点P在∠4N内时.作FAN 和央赛有个网改 分ZMN 交射线V下点B,用等式表示线段EF与A (1》初清由0名教平委和45名学生深委能挥位 I)求证：008BC 的数量关系，并证明 店平打分（百分制.对罐委始某位运千的打分 《2)其长0奖⊙0干点5，连接C常癸限于有F, 过行悬用，擅运和分析，下直的出了醒分相息 过点县作⊙心的切线实球的然长线于点售 数教鲜押爱打分 5锅0川911川1292% 若器=音性=1，水0心不的长 k学生平委打分的期数分南直方图如手（数据 分6厘：第1相82Gx<8S,第2组5≤：←8% 第3组可<9川，师4用明写x<9.第5细 94Gx心97，第6图97GxG00): 顿数 5超刚2 8.在平直角坐标带仍中，⊙？的半径为L计于⊙0 (门)根摆以上数据与函致阴象，解决下到问题： 痛情和不在直线银上的点C,给出如下定义：者 ①当1号杯和2号标中都有30山水时2号 点G美十议山的附将点G在⊙)上俊其内福.且 干的水刻高度与【号杯们水雀育度的差的为 LB=.测称这C是蛋A峰的ra可及点” 2公通语 m结果保相小数点后一仪： (1》M,点A0,1),8101 上坪烫打分的平均数，中位数、众数如下： 2在的条性下，将2号杆中的一备分水人 平位个位位众数 「号环中，当周个水杯的常面岛隆同时.其 水面高庭的为 (结果保翼小散 日位) 学生样老 2饭.在平围直角坐标系小中，已知抛物线下=四一 复新以上信息.月答下到问圈： 2a2(w0 ①n的值为 ,车的值位于学生评委打 ()当：=1时，采抛物线的腹点坐际 分数围分谢的第出： (2)已细f(红，，)和N(s,)是抛物线上的料 群」博 2若支掉数好浮委灯分中的最商分阳最民分 5小云有一个柱影水杯（记为1写 在aG2m.G12.G(}刘p.点 已具处%名教棒评竖打分的平均酸为：，则 点，若对干-3如3≤到≤4，都有为心，求年 91(填”3▣“减”《“》： 怀)，在科技活对中，本云用所学型 的取植桂调 督往想可及文”，其中正■ [2决赛由5名专业评委给每包选手打分《百分 学知坦和人工智能敏件设计了一个 2老意D是球A虚的一可及点”，荆点D的柄 制》，封每位这下，计算5名专业押委给其打分 新水补.并务北制作出来新水杯 坐标的最大值为 的平均数和方系学均数较大的透手程序靠仪， 《记为2号杯示意图图 25 (2》已知P品直线y。点：-3上一点，且存在⊙伊 右平均数相同，期方差校小钩方手排序靠南5 当1号杆推2号杯中都有下山.水时.小云什记 的密作.2得点P品数作的“0可及点” 名专业平委静进人快赛的甲、乙，丙三位选于的 录了1号格的本面高度A「单位：口)和2号杯的 记点P的候坐标为，直接写出：的取靠直用 打好如下 水高度A(单位：m),都分数累下： 样委1要2样爱3委4 委5 235075a35 7,已加∠N=<a<45,点B,G分对在射授 AV,AV上将找段选点和期时针能转1 1)补全表桥结果保的小量点后一包)： 2表到线夏即，过点D作4W特重传交射线A新 着调在甲，乙.四三包售手中的推序国中，则这 (2)通过分所数摆，发观可以用函数刘断本学1 三位范平中排序量拿有的是 表中 与之同的关系，在给出的平面直角崇有 (:为整数}的直为 如州，点D在鲜战AW上时速旺C是！ 中.酒出：这两个函数的图象： 的中点：(2)∵A(0,-4),D(4,0), ∴△AOD为等腰直角三角形. ∵AB⊥y轴交抛物线于点B, ∴B(4,-4). 设直线 BC的解析式为y=kx+b(k≠0), 将B(4,-4),C(6,0)代入解析式， 0-64+b,得 =-12解得 ∴直线BC的解析式为y=2x-12. 由题意可得AE=√2m,△ADB为等腰直角三角形， ∴.AF=EF=-AE=m. ∵四边形 EGFH为正方形， ∴△EGF为等腰直角三角形， ∴c(m+2m,-4+2m). 点G随着E点运动到达 BC上时，满足直线 BC的解析式y= 2x-12, ∴-4+2m=2(m+2m)-12, am=19,此时G(3,-号) (3)B(4,-4),C(6,0),G(m+2m,-4+2m), ∴.BC2=(6-4)2+(0+4)2=20, BC=(4-2m2+(-4+4-2m2=(4-2m2+(2m3, CC2=(6-2m)+(0+4-2m)=(6-2m)+(4-2m), 要使以 B,G,C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形， 需满足：当△BGC是直角三角形时，BG2+CG2=BC2, (4-2m)+(_m)+(6-2m)2+(4-2m2=20, 解得m?=3号4,m?=2. 此时G(36,-号)或(3,-3); 当△BCG为直角三角形时，BC2+CC2=BG2, 20+(6-2m)+(4-2m)=(4-2m)+(2m), 解得m=-.此时G(4,-号); 当△CBG为直角三角形时，BC2+BG2=CG2, 20+(4-2m)+(zm2=(6-2m3+(4-之m2, m=号.此时G(号，-号)解得 (36,-5)或(3,-3)或综上所述，点G的坐标为 (号，-号)或(号，-号) 19.2024年北京市 1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.D 7.A 8.B [解析]分析如下： 结论 分析 正误 根据轴对称的性质，可知 BE= DH = =∠2,∠3=∠4,∴△A'BE≌△AD'E, A 42 √① E H 3 o D C' G By C 8题答图① BF=DG,D'E= D'H=B'F=B'G.如答 ∴ BE=D'E,故该八边形各边长都相等 A 图①,连接A'B,则A'B=AD'.又∵∠1 如答图②,∵∠5=∠1+∠6=30°+ 120°=150°,而∠EBF=120°,∴该八边 形各内角并不是都相等 H ② ×A o D C' GF By C 8题答图② 如答图 ③,连接 OE,易证△OBE △OD'E,∴∠7=2×150°=75.又 OB,∴点0到该入边形各顶点的距离 ③ × H 87 oA< D >C' F G By C ∵∠EBO=60°,∴∠7≠∠8,∴ OE≠ 并不是都相等 B 8题答图③ A ∵点0 到八边形各边的距离都等于 ④ √OBsin60°,∴点0到该八边形各边所在 直线的距离都相等 9.x≥9 10.x(x+5)(x-5)11.x=-1 27 12.0 13. 16014.5515. 16.60 C—A—B—D [解析]第一步，∵ A和C的演员人数一 样，彩排时长不一样，∴时长较长的节目应该往后排，故C在 A的前面.∵B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数较 少的应该往后排，这样等待的时长之和会小一些，故B在D前 面.第二步，列举出所有符合“C在A前面、B在D前面”的情 况，并计算对应的23 位演员候场时间之和，如下表： 情况 彩排顺序 23位演员候场时间之和 ① C—A—B—D 10×20+2×50+1×60=360 ② C—B—A—D 2×20+10×30+1×60=400 ③ C—B—D—A 2×20+1×30+10×40=470 ④ B—C—A—D 10×10+10×30+1×60=460 ⑤ B—C—D—A 10×10+1×30+10×40=530 ⑥ B—D—C—A 1×10+10×20+10×40=610 故按照C—A—B—D的先后顺序彩排时，这23位演员的候场 时间之和最小. 17.解：原式=1+2√2-2×1+√2=3√2 -44218.解： 解不等式①,得x<7, 解不等式②,得x>-1, 故不等式组的解集为-1<x<7. =3(a-6)36=34-b)=a-619.解：原式： ∵a-b-1=0,:a-b=1,:原式=3=3. 20.(1)证明：∵E是AB的中点，DF=FB,∴ EF//AD. 又∵AF//DC,∴四边形AFCD是平行四边形. (2)解：在Rt△EFB中，anZFEB==3,EF=1 ∴ FB=3. 由()知A0-2EE-2 ∵四边形AFCD是平行四边形， ∴CF=AD=2,∴CB=√CF2+BF2=√13. 21.解：符合. 理由如下：设技术改进后该汽车的 A类物质排放量为 x mg/km,则B类物质排放量为(40-x)mg/km. 1-50?4-75?2,由题意，得 解得x=34. ∵34<35, ∴.这次技术改进后该汽车的 A类物质排放量符合“标准”. 22.解：(1)将(2,1)代入y= -kx+3,得-2k+3=1, 解得k=1. 将(2,1)代入y=x+b, 得2+b=1,解得b=-1. (2)m≥1. [解析]当m=1时，如答图，易知直线y=x与直线 y=x-1平 行，且当x>2时，x>x-1,且x>-x+3. 将直线y=x绕点0逆时针旋转，旋转角小于45°,在此期间， 旋转得到的直线对应的函数满足题意. 综上所述，m的取值范围为m≥1. fyy=-x+3 y=x Yx-1 o 2 第 22 题答图 000 见此图标8跟微信扫码 领取真题实战指南 23.解：(1)①91 4 ②< (2)甲 92 [解析]甲的总分：93+90+92+93+92=460; 乙的总分：91+92+92+92+92=459. 460>459,所以选手甲的平均分高， 故这三位选手中排序最靠前的是甲. 丙在这三位选手中的排序居中，则丙的总分为459或460, 故k=91或92. 当k=91时，乙、丙两位选手的平均分相同，显然此时选手丙的 成绩方差比乙的成绩方差大，矛盾，故k=92. 24.(1)证明：∵OD平分∠AOC, ∴.∠AOD=2∠AOC. 又： ∠B=2∠A0C, ∴∠B=∠AOD, ∴OD//BC. (2)解：设00的半径为r,如答图，∵OD//BC, ∴△EOF∽△CBF,∠1=∠2, BC-OF,即=6⋯BC=号 过点0作0G⊥BC于点G, P E B F2则BG=2Bc=5, 2 c0s∠2=3. ∵BP是00的切线，切点为B, A∴OB⊥PB, ∴ OB=0P·cos∠1=0P·cos∠2, ok G c D 24题答图 ∴r=(r+1)×3, r=2解得 3 故00半径的长为2 25.解：(1)1.0 (2)如答图所示. th/cm i3 i2[ i io 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 100 200 300 400 500 --L-- V/mL 25题答图 (3)①1.2(答案不唯一) [解析]当V=320mL时，h? =2.5×300=8(cm) 当V=320 mL时，h?≈9.2 cm, 故两水杯水面的高度差约为1.2 cm. ②8.6(答案不唯一) 26.解：(1)把a=1代入y=ax2-2a2x, 得y=x2-2x=(x-1)2-1, 892见此图标8品微信扫码 领取真题实战指南 ∴抛物线的顶点坐标为(1,-1). (2)抛物线的对称轴为直线x=--2a2=a, ∴点M(3a,y?)关于对称轴的对称点为(-a,y?). 分两种情况讨论. ①当a>0时，如答图①. ∵y?<y?, ∴点N在点M右侧，即3a<3, 解得a<1,∴0<a<1; y 3a -ay? a o o ja 3a y 26题答图① 26题答图② ②当a<0时，如答图②. ∵y?<y?,∴-a>4,解得a<-4. 综上所述，a的取值范围为0<a<1或a<-4. 27.(1)证明：如答图①,连接CD. ∵ BC=BD,∠CBD=180°-2α, ∴∠1=2(180°-∠CBD)=α, ∴∠1=∠A,∴. CD=CA. ∵∠2=90°-∠A=90°-α,∠3=90°-∠1=90°-α, ∴∠2=∠3,∴CE=CD, ∴CA=CE,即点C为AE的中点. M ME E 2 × FA C< 7 D 3 96A- B 27题答图① D NA B 27题答图② N (2)解：EF=2AC. 证明：如答图②,在AM上取点H,使BH=BA,连接DH, 则∠4=∠A=α, ∴∠ABH=180°-2α=∠CBD, ∠6=∠9. 又∵AB=HB,CB=DB,∴△ABC≌△HBD, ∴AC=HD,∠5=∠A=α,∴∠DHF=2α. ∵DF//AB,∴∠7=∠A=α,∠FDE=90°. 取 EF的中点G,连接DG,则EF=2DG,DG=FG, ∴∠8=∠7=α,∴∠DGH=2α=∠DHF, ∴DG=DH,∴DG=AC, ∴ EF=2AC. ②1+2228.解：(1)①C? 45 [解析]∵点D是弦AB的“90°可及点”, ∴∠ADB=90°,∴点D在以AB为直径的圆上， 如答图①,设点F为AB的中点，过点F作FE⊥y轴于点E,延 长 EF交OF于点D?,则点D?的横坐标即为点D横坐标的最 大值. 易知EF=2,ED= AB=2,ED?=11+22, 即点 D 横坐标的最大值 +y 为1+E Ak3-413≤(2)t的取值范围是 D?o <立或1<i<3+43 [解析]易知P(t,√3t-√3).设 直线y=√3x-√3与00交于点 28题答图①H,I(1,0),易知点H的横坐标 为二.连接PM,PN.当点P在x轴上方，且PM与00相切于 点M,PN与00相切于点N,∠MPN=60°时，记点P为P?,如 答图②,此时点P?是弦 MN的“60°可及点”.连接OP?,ON,则 ∠OP?N=30°,∴ OP?=20N=2,则t2+(√3t-√3)2=4,解得t =3+43(负值不合题意，已舍去). Ay y M P? o N 7H x 0 M N P 28题答图② 28题答图③ 当点P在x轴下方，且PM与00相切于点M,PN与00相切 于点N,∠MPN=60°时，记点P为P?,如答图③,此时点P?是 t=3-43(正弦MN的“60°可及点”.连接OP?,ON,同理得 值不合题意，已舍去).分析可知，当点P在线段HI上时，点P 不是弦MN的“60°可及点”,当点P在线段P?I(不含点I)和线 段P?H(不含点H)上时，点P是弦 MN的“60°可及点”, 故t的取值范围是3-4I3≤t<去或1<t≤3+413 20.2024年河南省 1.A 2.C 3.B 4.A 5.A 6.B 7.D 8.D 9.C 10.C [解析]由题图可知，A,B中的结论都正确。由题图②可知， I每增加1 A,Q的增加量不相同，在逐渐增大，故C中的结论 错误.P越大，I越大，则热量Q就越大，故D中的结论正确。 11.m(答案不唯一) 12.9 13. 14.(3,10) 15.2√2+1 2√2-1 [解析]以点C为圆心，1为半径作圆.当 AD与OC相切于点D时，CD⊥AD,∴ AD=√32-12=2√2. ∵∠ACB=∠AEB=90°,∴点C,E在以AB为直径的圆上.连 接CE.①当切点D在AC下方时，AE最长，如答图①,则∠AEC =∠ABC=45°,∴DE=CD=1,∴ AE=2√2+1.②当切点D在 AC上方时，AE最短，如答图②,则∠AEC=180°-∠ABC= 135°,∴∠DEC=45°,∴DE=CD=1,∴AE=2√2-1. D CE D A B A iB 15题答图① 15题答图② 16.解：(1)原式=10-1=9. (2)原式=a-2.a+2)(4-2)=a+2. 17.解：(1)甲 29 (2)因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得 分更稳定，所以甲队员的表现更好.(答案不唯一，合理即可) (3)甲的综合得分：26.5×1+8×1.5+2×(-1)=36.5. 乙的综合得分：26×1+10×1.5+3×(-1)=38. 因为38>36.5,所以乙队员的表现更好. y=(x>0)的图象经过点A(3,2),18.解：(1)∵反比例函数 :2=3,.k=6, ∴这个反比例函数的表达式为y=6(x>0). (2)作图如答图所示. y 7 D c6 5 E4 3 2 A B1 o 45678 0 10123 18题答图 (3)2 19.(1)解：作图如答图所示. E c F M A4 BD 19题答图 (2)证明：由(1),得∠ECF=∠A, ∴CF//AB. 又∵BE//DC, ∴四边形 CDBF是平行四边形. ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴ CD=BD, ∴□CDBF是菱形. 20.解：(1)如答图，连接BM. A则∠AMB=∠APB. ∵∠AMB>∠ADB, ∴∠APB>∠ADB. B -E(2)在Rt△AHP中，∠APH =60°,MPH=6. D P Ctan∠APH= 20题答图 ∴.AH=PH-tan 60°=6×√3=6√3(m). ∵∠APB=30°, ∴BPH=∠APH-∠APB=60°-30°=30°. 在Rt△BHP中，an∠BPH =阳 ∴.BH=PH· tan 30°=6×3=2√3(m), ∴AB=AH-BH=6√3-2√3=4√3≈4×1.73≈6.9(m). 答：塑像AB的高约为6.9 m. 21.解：(1)设选用A种食品x包，B种食品y包， 10x+15)=7-04600根据题意，得 y=4.解得 答：选用A种食品4包，B种食品2包. (2)设选用A种食品a包，则选用B种食品(7-a)包 根据题意，得10a+15(7-a)≥90.∴a≤3. 设总热量为w kJ,则w=700a+900(7-a)=-200a+6 300. ∵-200<0, ∴w随a的增大而减小， ∴当a=3时，w最小， ∴7-a=7-3=4. 答：应选用A种食品3包，B种食品4包 22.解：(1)10 =10时，h=20,(2)根据题意，得当 2-5×(i6)+0×10=20, ∴v?=20,即小球被发射时的速度为20 m/s. (3)小明的说法不正确. 理由如下：由(2),得h=-5t2+20t. 当h=15时，15=-5t2+20t, 解得t?=1,tz=3. ∵3-1=2(s), ∴小明的说法不正确. 23.解：(1)②④ (2)①∠ACD=∠ACB. 理由如下：如答图①,延长CB至点E,使BE=DC,连接AE. ∵四边形ABCD是邻等对补四边形， ∴∠ABC+∠D=180°. 又∵∠ABC+∠ABE=180°, ∴∠ABE=∠D. 又∵AB=AD, ∴△ABE≌△ADC, ∴∠E=∠ACD,AE=AC, ∴∠E=∠ACB, ∴∠ACD=∠ACB. DA E CB F 23 题答图① ②如答图①,过点A作AF⊥EC,垂足为F. ∵AE=AC, 2.CF=2cE=2(BC+BE)=2(BC+DC)="+ ∵∠BCD=20, ∴∠ACB=∠ACD=0. 在Rt△AFC中，cosθ=AC