精品解析：江苏省盐城市五校联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

2024/2025学年度第一学期 联盟校第一次学情调研检测高三年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分. 2.答题前，务必将自己的姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠､不破损. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由解一元二次不等式解出集合，再由交集的运算求出最后结果即可. 【详解】由题意可得，，则. 故选：B. 2. 半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】设圆弧所对的圆心角为，因为半径为2的圆上圆弧长度为4，可得，所以. 故选：B. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A、B、C选项可用赋值法判断正误，D选项根据指数与对数计算法则判断. 【详解】设则 ，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D. 4. 若正数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，利用基本不等式求解. 【详解】由可得， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意. 所以的最小值为. 故选：A. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角差的正弦公式同角关系将条件转化为关于，的方程组，解方程求，，再结合两角和正弦公式求结论. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，， 所以. 故选：D. 6. 若函数是在上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分段函数在R上递减，需要满足在每一段上均单调递减，且分段处，左端点函数值大于等于右端点函数值, 一次函数以及对数函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．. 【详解】由题意知是在上的减函数， 所以，解之可得， 则的取值范围是. 故选：A 7. 已知函数在内有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用两角和正弦公式和辅助角公式将函数整理为，由，得，结合正弦函数的图像求得的范围，从而求得的范围. 【详解】 当时， 在有且仅有3个零点，结合正弦函数图像可知， 解得： 故选：A. 【点睛】本题考查函数的零点问题，解答本题关键是先利用三角恒等变换公式将三角函数整理为形式，再利用数形结合思想求解，考查学生的数形结合与计算能力，属于中档题. 8. 已知.设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用构造函数法，结合导数以及充分和必要条件等知识确定正确答案. 【详解】依题意，， 对于甲：，即， 设， 所以在上单调递增，故. 对于乙：，两边取以为底的对数得， 由于，所以，则， 设， 所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减， 所以由，即，若或，则， 若不在的同一单调区间，则， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据求导公式、运算法则和简单复合函数的求导依次计算，即可求解. 【详解】A：，故A正确； B：，故B错误； C：，故C正确； D：，故D正确. 故选：ACD 10. 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则下列描述中正确的是（ ）． A. 函数的图象关于点成中心对称 B. 函数的最小正周期为2 C. 函数的单调增区间为， D. 函数的图象没有对称轴 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象的平移变换可得，根据正切函数的对称中心可求A，根据周期公式可求B，利用正切函数的单调性可求C，根据正切函数不是轴对称图形可求D. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度可得函数， 然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数， 令解得，当时， 所以函数的图象关于点成中心对称，A正确； 函数的最小正周期为，B正确； 令解得， 所以函数的单调增区间为，，C错误； 正切函数不是轴对称图形，D正确， 故选:ABD. 11. 已知实数a，b是方程的两个根，且，，则（ ） A. ab的最小值为9 B. 的最小值为18 C. 的最小值为 D. 的最小值为12 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用韦达定理求出的范围，然后可得关系，然后结合基本不等式逐项判断即可． 【详解】因为实数a，b是方程的两个根， 所以，所以或， 由根与系数的关系得，，， 又，，所以，且，综上得． 消去k，得， 由基本不等式得，即， 令，则，解得或（舍去）， 当时，，解得，当时，ab的最小值为9，故A正确； 因为，当时取等号，的最小值为18，故B正确； ， 当，即，时取等号， 所以的最小值为，故C正确； 因为，所以， ， 当，即，时等号成立，此时的最小值为13，故D错误． 故选：ABC 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 命题“”的否定为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解. 【详解】由命题否定的定义，可知命题“”的否定是“”. 故答案为：，. 13. 若过点的直线是曲线和曲线的公切线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设该公切线在的切点为，借助导数的几何意义可得切线，再与曲线切于，计算即可得解. 【详解】设直线与曲线的切点为， 由，得切线方程为，又， 所以，将点代入，有， 解得（负值舍去），所以切线方程为， 设切线与曲线的切点为， 又，所以，，， 消去、，得， 令，， 当且仅当时，等号成立， 即函数在上单调递增，又， 所以方程的实数解为， 故有，解得. 故答案为：. 14. 已知函数为定义在上的奇函数，则______． 【答案】4051 【解析】 【分析】由已知可得函数关于中心对称，然后利用中心对称的性质求解即可. 【详解】因为函数为定义在R上的奇函数，则, 且函数关于中心对称，所以, ． 故答案为：4051 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合． 【答案】（1），（2），时 【解析】 【分析】（1）先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解； （2）由的范围先求出的范围，结合余弦函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， 故的最小正周期； （2）由可得，， 当得即时，函数取得最小值．所以，时 16. 已知定义在上的奇函数，其中. （1）求函数的值域； （2）解不等式：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义可得的值，再利用指数函数的性质即可得其值域； （2）原不等式可化为，借助换元法计算可得的取值范围，再利用指数函数的性质计算即可得解. 【小问1详解】 为定义在上的奇函数， ，， 当时，，符合题意， ， ，， ， 的值域为； 【小问2详解】 由（1）有， 原不等式可化为， 令，则， ，即， ，， 不等式的解集为. 17. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角和角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A、B两点，点A的横坐标为，点C与点B关于x轴对称． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义以及同角三角函数的基本关系、二倍角公式可求解； （2）根据三角函数的定义及两角差的余弦公式，可求解. 【小问1详解】 因为点的横坐标为，且，点在第一象限，所以点纵坐标为， 所以，. 所以. 【小问2详解】 因为，由图可知：. 而， 故（）（）， 所以. 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的求值问题，利用三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，还有两角差的余弦公式可求解.属于中档题目. 18. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）当时，，求实数的取值范围； 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式和，即可得出函数的单调区间； （2）设，一方面， 由题意取，解得；令一方面，当时，利用讨论的单调性可得，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且 令，解得；令，解得； 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 设， 当时，，即对任意恒成立， 取，解得； 若，则， 设，则， 可知在上单调递增，则，此时，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 19. 设集合A为非空数集，定义. （1）若集合，直接写出集合及； （2）若集合且，求证； （3）若集合且，求A中元素个数的最大值. 【答案】（1）， （2） 证明：由于集合且， 所以中也只包含四个元素，即 剩下的，所以； （3）1350 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接求解即可； （2）由题意可得且，即可证明； （3）由新定义可得、，由题意和容斥原理得，最小的元素为0，最大的元素为，则，求出的范围，设且，求出的最小值即可. 【小问1详解】 由， ，故 ，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设满足题意，其中， ， 所以，，所以， 因为，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为， 所以，则，所以， 当时满足题意，证明如下： 设且，则， ， 依题意有，故的最小值为675， 于是当时A中元素最多，即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350. 【点睛】关键点点睛：第三问，由题意推得为关键，再研究集合元素最多时元素个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024/2025学年度第一学期 联盟校第一次学情调研检测高三年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分. 2.答题前，务必将自己的姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠､不破损. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若正数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数是在上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在内有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知.设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则下列描述中正确的是（ ）． A. 函数的图象关于点成中心对称 B. 函数的最小正周期为2 C. 函数的单调增区间为， D. 函数的图象没有对称轴 11. 已知实数a，b是方程的两个根，且，，则（ ） A. ab的最小值为9 B. 的最小值为18 C. 的最小值为 D. 的最小值为12 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 命题“”的否定为__________. 13. 若过点的直线是曲线和曲线的公切线，则________． 14. 已知函数为定义在上的奇函数，则______． 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合． 16. 已知定义在上的奇函数，其中. （1）求函数的值域； （2）解不等式：. 17. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角和角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A、B两点，点A的横坐标为，点C与点B关于x轴对称． （1）求的值； （2）若，求的值． 18. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）当时，，求实数的取值范围； 19. 设集合A为非空数集，定义. （1）若集合，直接写出集合及； （2）若集合且，求证； （3）若集合且，求A中元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $