精品解析：黑龙江省哈尔滨德强学校2024-2025学年八年级上学期9月份学情检测数学试卷

2024—2025学年度上学期八年级九月份学情检测 数学试题 一、选择题（每小题3分，共计27分） 1. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 点关于y轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 等腰三角形的两边长分别是2和7，则它的第三边长是（ ） A. 2 B. 7 C. 9 D. 11 4. 如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8，AB=10，则△EBC的周长是( ) A. 13 B. 16 C. 18 D. 20 5. 如图，△ABC是等边三角形，DE//BC，若AB＝7，BD＝3，则△ADE的周长为（　　） A. 4 B. 9 C. 12 D. 21 6. 如图，在中，交于点，则的长为（ ） A. 18 B. 10 C. 11 D. 12 7. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为 A. 40海里 B. 60海里 C. 70海里 D. 80海里 8. 如图，一条笔直的河L，牧马人从P地出发,到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B. 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 C. 轴对称图形的对应点所连线段被对称轴垂直平分 D. 三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 二．填空题（每小题3分，共计27分） 10. 计算______． 11. 在中，若，则____________． 12. 已知点P(，3)与点Q(－2，)关于y轴对称，则+＝_________． 13. 计算：_______． 14. 如图，在中，垂直平分，交于点，则____________． 15. 如图，把一张矩形的纸片沿折叠，若，则的面积______． 16. 如图，在中，是等边三角形，若，则线段的长为______． 17. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 18. 如图，平分，，交的延长线于点，，，则______． 三．解答题（19题6分，20题—24题各8分，25题，26题各10分，共计66分） 19. 计算： （1） （2） 20. 已知点 （1）若点关于轴对称，求的值； （2）若点关于轴对称，求的值． 21. 如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于轴对称的，并写出点坐标； （2）在轴上确定一点，连接，使最小，并直接写出点的坐标（保留作图痕迹） 22. 如图所示，是等边三角形，为中线，． （1）求的度数； （2）若，求的面积． 23. 已知：在中，D、E分别在、上，且，与交于点F，连接交BC于G． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，直接写出所有等于的角． 24. 观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为，如数对都是“共生有理数对”． （1）判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由； （2）若是“共生有理数对”，且，求的值； （3）若是“共生有理数对”，且，求的值． 25. 综合与实践 【问题情境】数学活动课上，小明同学分享了一道题，如图1，在中，点分别在和上，且，求的度数． （1）解答小明同学提出的问题． 【深入探究】李老师提出，连接交于点，当时，与有一定的数量关系； （2）如图2，请你猜想与的数量关系并证明． 【拓展应用】兴趣小组在课余时间研究了这道题，并提出了新的问题，在（2）的条件下，若，求的长． （3）请你解答兴趣小组提出的问题． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的面积等于24． （1）求点的坐标； （2）动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，运动时间为t秒，过作轴垂线交直线于点，连接．若的面积为，求与的关系式； （3）在（2）的条件下，过点作的垂线交轴于点，交于点，当时，在第一象限内是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期八年级九月份学情检测 数学试题 一、选择题（每小题3分，共计27分） 1. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂相乘、幂的乘方以及合并同类项，正确掌握相关性质内容是解题的关键．据此相关运算法则进行逐个计算，即可作答． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、不是同类项，故不能合并，该选项不符合题意； 故选：C． 2. 点关于y轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称问题，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称问题是解题的关键；因此此题可根据“点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变”，进而问题可求解． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是； 故选：A． 3. 等腰三角形的两边长分别是2和7，则它的第三边长是（ ） A. 2 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论． 分第三边是7和第三边是2两种情况，再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可． 【详解】解：①若第三边是7，三角形的三边分别为2、7、7， 能组成三角形， 所以，第三边为7； ②若第三边是2，三角形的三边分别为2、2、7， ∵， ∴不能组成三角形， 综上所述，第三边为7． 故选：B． 4. 如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8，AB=10，则△EBC的周长是( ) A. 13 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，∴△EBC的周长＝BC+BE+EC＝BC+BE+EA＝BC+BA＝18． 故选C． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 5. 如图，△ABC是等边三角形，DE//BC，若AB＝7，BD＝3，则△ADE的周长为（　　） A. 4 B. 9 C. 12 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可证明△ADE为等边三角形，且可求得AD=4，可求得其周长． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵DE//BC， ∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°， ∴△ADE为等边三角形， ∵AB＝7，BD＝3， ∴AD＝AB﹣BD＝4， ∴△ADE的周长12， 故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，解题的关键是证明△ADE是等边三角形． 6. 如图，在中，交于点，则的长为（ ） A. 18 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据垂直定义可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质，然后利用角的和差关系求出，从而可得，再利用等角对等边可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：A． 7. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为 A. 40海里 B. 60海里 C. 70海里 D. 80海里 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，知MN＝40海里/小时×2小时＝80海里， 【详解】∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M＝70°，∠N＝40°， ∴根据三角形内角和定理得∠MPN＝70°．∴∠M＝∠MPN＝70°． ∴NP＝NM＝80（海里）． 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和的定理，解决此题的关键是计算要细心，不要出错． 8. 如图，一条笔直的河L，牧马人从P地出发,到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离；以及垂线段最短求解． 【详解】作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M． 如图， 根据两点之间，线段最短，可知选项B使牧马人所走路径最短． 故选D． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”． 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B. 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 C. 轴对称图形的对应点所连线段被对称轴垂直平分 D. 三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形两个锐角互余，线段垂直平分线的性质，三角形内角和与外角性质对各项进行分析即可．本题主要考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和与外角性质，直角三角形两个锐角互余． 【详解】解：A、等腰三角形底边上的高、中线与顶角的角平分线互相重合，原说法是错误的，故A选项符合题意； B、依题意，当是锐角三角形时，如图： 则 则， 在中，， 则； 当是钝角三角形时，如图： 则 则， 在中，， ∵ ∴ 则 则； 故等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，故B选项不符合题意； C、轴对称图形的对应点所连线段被对称轴垂直平分，原说法是正确的，故C选项不符合题意； D、三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等，原说法是正确的，故D选项不符合题意． 故选：A． 二．填空题（每小题3分，共计27分） 10. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，解题关键是掌握“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，易错点是混淆幂的运算规则，解题思路为：直接应用同底数幂的乘法法则计算指数和． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，，所以 ； 故答案为 ． 11. 在中，若，则____________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据，代入，且，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 12. 已知点P(，3)与点Q(－2，)关于y轴对称，则+＝_________． 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：已知点P（，3）与点Q（－2，）关于y轴对称，所以x值互为相反数，y值相等，a=2，b=3.a+b=5 考点：对称轴 点评：本题难度较低，学生在考试时用作图法最简便直观． 13. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】由积的乘方的逆运算进行计算，即可得到答案． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算． 14. 如图，在中，垂直平分，交于点，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，进而根据即可求得答案． 【详解】解：垂直平分， ， 在中，，， ． 故答案为： 15. 如图，把一张矩形的纸片沿折叠，若，则的面积______． 【答案】40 【解析】 【分析】由折叠的性质得出，由矩形的性质得出，得出，由等角对等边得出，的面积，即可得出结果．本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定、三角形面积的计算；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 【详解】解：由折叠的性质得：， 四边形是矩形， ， ， ， ， 的面积； 故答案为：40． 16. 如图，在中，是等边三角形，若，则线段的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质，可以得到的度数和，再根据直角三角形的性质，可以得到和的关系，然后根据，即可求得的长，从而可以得到的长．本题考查等边三角形的性质、角所对的直角边与斜边的关系，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 17. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键在于正确的画出图形，认真的进行计算．首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为． 【详解】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形， ∵，， ∴， 即顶角的度数为． ②如图，等腰三角形为钝角三角形， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：或． 18. 如图，平分，，交的延长线于点，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】延长，相交于点，由角平分线的定义可得，设，，则由三角形的内角和定理及已知条件可推出，然后可证得，于是可得，进而可证得，则，，于是可求得的长，进而可求得的长． 【详解】解：如图，延长，相交于点， ， ， ， 平分， ， 设，， 则， ， ， 整理，得：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的判定（等角对等边），全等三角形的判定与性质（）等知识点，合理添加辅助线，并证明是解题的关键． 三．解答题（19题6分，20题—24题各8分，25题，26题各10分，共计66分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了单项式乘以单项式、整式的混合运算． （1）利用积的乘方进行计算，再进行单项式乘以单项式即可； （2）利用积的乘方和单项式乘以单项式计算后，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 20. 已知点 （1）若点关于轴对称，求的值； （2）若点关于轴对称，求的值． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）关于轴的对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变．据此可得的值． （2）关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．据此可得的值，进而得出的值． 本题考查了解二元一次方程，关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【小问1详解】 解：∵点关于轴对称， ∴， ， 【小问2详解】 解：∵点关于轴对称， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于轴对称的，并写出点坐标； （2）在轴上确定一点，连接，使最小，并直接写出点的坐标（保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图所示： ∴点坐标为； （2） 点关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为点，点如图所示： ∵点关于轴对称的点， 则， ∴，（两点之间线段最短） 结合网格特征，此时点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称性质，点的坐标，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称性质，分别找出的坐标点，依次连接，即可作答． （2）先找出点关于轴对称的点，然后连接，与轴的交点即为点，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图所示，是等边三角形，为中线，． （1）求的度数； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用等边三角形的性质可得出，，利用三线合一的性质可得出，，利用等边对等角可求出，即可求解； （2）过D作于H，利用含的直角三角形的性质求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵为中线， ∴，， ∵， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：过D作于H， ∵， ∴， ∵， ∴． 23. 已知：在中，D、E分别在、上，且，与交于点F，连接交BC于G． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，直接写出所有等于的角． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴； （2），，， 【解析】 【分析】（1）证明，得出，由等边对等角可得，进而得出点F在的垂直平分线上，同理得出点A在的垂直平分线上，然后利用线段垂直平分线的判定即可得证； （2）利用等腰三角形三线合一的性质可得，当时，然后利用余角的性质可证，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即等于的角有，，，． 【点睛】本题考查了 等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为，如数对都是“共生有理数对”． （1）判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由； （2）若是“共生有理数对”，且，求的值； （3）若是“共生有理数对”，且，求的值． 【答案】（1） 解：不是“共生有理数对”， 理由： ，， 不是“共生有理数对”； （2）64 （3）16 【解析】 【分析】（1）根据题目中的定义，可以计算出数对是否为“共生有理数对”； （2）根据是“共生有理数对”，且，可以求得的值； （3）根据是“共生有理数对”，且，可以求得的值； 本题考查新定义，已知式子的值求代数式的值，幂的乘方，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是“共生有理数对”，且， ， 解得， ； 【小问3详解】 解：∵是“共生有理数对”，且， ∴， ∴， 则． 25. 综合与实践 【问题情境】数学活动课上，小明同学分享了一道题，如图1，在中，点分别在和上，且，求的度数． （1）解答小明同学提出的问题． 【深入探究】李老师提出，连接交于点，当时，与有一定的数量关系； （2）如图2，请你猜想与的数量关系并证明． 【拓展应用】兴趣小组在课余时间研究了这道题，并提出了新的问题，在（2）的条件下，若，求的长． （3）请你解答兴趣小组提出的问题． 【答案】（1）；（2）；（3）10 【解析】 【分析】（1）根据三角形的外角进行角度和差计算即可； （2）设，则得，由，得，而，故，故； （3）延长至点，使得，连接， 则，，由得，由（2）知，则，而，则，显然，则，可证明，则． 【详解】（1）解：∵， 得， ∴； （2）解：，证明如下： 证明：设，由得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的面积等于24． （1）求点的坐标； （2）动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，运动时间为t秒，过作轴垂线交直线于点，连接．若的面积为，求与的关系式； （3）在（2）的条件下，过点作的垂线交轴于点，交于点，当时，在第一象限内是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积得到，即可得到，根据点A位于x轴负半轴写出坐标即可； （2）分点P在上和点P在延长线上两种情况利用三角形的面积差计算即可； （3）先证明，得到，然后连接，证明，可得到点E的坐标为，然后分两种情况，利用三角形的全等解题即可． 【小问1详解】 解：∵， 解得：， ∴， ∴点A的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，当点P在上时，， ∵， ∴， 又∵过作轴垂线交直线于点， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点P在延长线上时，， ； ∴与的关系式为； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点F的坐标为， 连接， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即点P与A重合， ∴， ∴点E的坐标为， 如图，以为腰的等腰直角，过点作轴，交过点、作轴的垂线于点，两点，即，， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； 如图，以为腰的等腰直角，过点作轴，交过点、作轴的垂线于点，两点，即，， 同理可得， ∴，， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查动点的函数解析式，全等三角形的判定和性质，图形与坐标，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $