精品解析：上海市金山中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

2023-2024学年上海市金山中学高二年级下学期 期末数学试卷 2024.6 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 函数的最小正周期是______. 2. 在等差数列中，已知，则__________． 3. 已知集合，，若，则实数m的取值范围为_________． 4. 已知直线过点，倾斜角为，则坐标原点到直线的距离为______． 5. 设复数的共轭复数为，若，其中为虚数单位，则的值为__________． 6. 若为常数，且函数是奇函数，则的值为__________． 7. 已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是______． 8. 已知，则___________. 9. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是__________. 10. 已知函数，则不等式的解集为__________． 11. 已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量在方向上的投影向量为，向量满足，则的最小值是______． 12. 若存在锐角，满足不等式，则的值为__________． 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知直线和平面，且，则“”是“”的（ ）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 14. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量、满足且，则 B. 样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62 C. 若事件、相互独立，则 D. 若、两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强 15. 已知抛物线与双曲线（）的一个交点为为抛物线的焦点，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 16. 已知点为所在平面外一点，有如下两个命题：①若平面，则；②使得两两垂直的点有且仅有两个，下列说法正确的是（ ） A. ①正确，②正确 B. ①正确，②不正确 C. ①不正确，②正确 D. ①不正确，②不正确 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）若，求角的大小； （2）若，求边上的高. 18. 如图，在中，.将绕旋转得到，分别为线段的中点． （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的正弦值． 19. 有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立. （1）求前3局比赛甲都取胜的概率； （2）用表示前3局比赛中乙获胜的次数，求的分布列和数学期望. 20. 已知椭圆常数，点为坐标原点． （1）求椭圆离心率的取值范围； （2）若是椭圆上任意一点，，求的取值范围； （3）设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 21. 设函数的定义域为，集合，若存在非零实数，使得任意，都有，且，则称函数具有性质 （1）已知函数和的定义域均为，请分别判断这两个函数是否具有性质，不必证明； （2）已知函数具有性质，求实数的取值范围； （3）已知函数，常数具有性质，且不存在，使得，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年上海市金山中学高二年级下学期 期末数学试卷 2024.6 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 函数的最小正周期是______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用正弦型函数周期公式求解即可. 【详解】因为函数中，所以. 故答案为： 2. 在等差数列中，已知，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用等差数列的性质计算即可. 【详解】由等差数列的性质可知． 故答案为：6. 3. 已知集合，，若，则实数m的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的结果，根据端点值的大小，列式求解. 【详解】因为，所以，则． 故答案为：． 4. 已知直线过点，倾斜角为，则坐标原点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的方程，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意知，斜率为， 则直线方程为，即， 则坐标原点到直线的距离为. 故答案为：. 5. 设复数的共轭复数为，若，其中为虚数单位，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，利用复数的四则运算以及复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，再利用复数的乘法化简可得出的值. 【详解】设，则， 所以，， 所以，，解得， 因此，． 故答案为：. 6. 若为常数，且函数是奇函数，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数为奇函数可得，结合对数的运算性质可得a得值，再验证即可. 【详解】是奇函数， ，即， ，即， ， 展开整理得， 要使等式恒成立，则有，即，解得． 当时，， 由，得， 解得或，即定义域为或， 定义域关于原点对称，且满足， 成立． 故答案为：-1. 7. 已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性求解即可. 【详解】由正态分布的对称性知，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 8. 已知，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据所求式子特征，令，即可得到所求式子的和. 【详解】令，则. 故答案为： 9. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】． 【解析】 【分析】令，则有，将问题转化为半圆与直线有两个交点，作出图象，结合图象求解即可． 【详解】令， 则，所以， 又因为，即为，表示单位圆位于轴上及上方部分； 而，表示过点且斜率为的直线， 所以将问题转化为半圆与直线有两个交点， 当直线与半圆相切时；，解得， 当直线过点时，则有，解得， 综上，． 故答案为：． 10. 已知函数，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】得到原函数的单调性与奇偶性后得，计算即可得. 【详解】定义域为，且，故为奇函数， 又函数与函数在上单调递增，故在上单调递增， 由，故， 故有，即，解得， 故其解集为. 故答案为：. 11. 已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量在方向上的投影向量为，向量满足，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】建立以的正方向为轴正方向的平面直角坐标系，设，，结合投影向量定义计算可得，即可得在或上，再由计算可得点在以为圆心，1为半径的圆上，则可得，求出点关于直线的对称点为，再借助两点间距离公式计算即可得解. 【详解】如图，以的正方向为轴正方向建立平面直角坐标系，设，， 非零向量在方向上的投影向量为， 故有，又，故， 则的终点在或上， 又， 故与垂直，如图所示， 由向量减法的几何表示，可知的终点就落在图中以为圆心，1为半径的圆上， 设，则，， 即， 由对称性，不妨设点在上， 设点关于直线的对称点为， 则有，解得，即， 则， 即的最小值是. 故答案为：. 12. 若存在锐角，满足不等式，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别构造函数，结合同角三角函数关系求导，分析单调性，根据存在成立问题令，求出即可； 【详解】设 则， 令，因为锐角，所以，即， 当时，单调递增， 当时，单调递减， ， ， 令，即， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， 因为，所以． 故答案为：. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知直线和平面，且，则“”是“”的（ ）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义结合线面及线线垂直性质判断即可. 【详解】若，则直线可以属于，也可，则“”是“”的不必要条件， 当,,则，则“”是“”的充分条件， 故选：A． 14. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量、满足且，则 B. 样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62 C. 若事件、相互独立，则 D. 若、两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的性质判断A，根据百分位数计算规则判断B，根据相互独立事件及条件概率公式判断C，根据相关系数的概念判断D. 【详解】对于A：因为且，所以，故A正确； 对于B：因为，所以第45百分位数为从小到大排列的第5个数，即为62，故B正确； 对于C：若事件、相互独立，则， 所以，故C正确； 对于D：若、两组成对数据的相关系数分别为、， 因为，所以组数据的相关性更强，故D错误. 故选：D 15. 已知抛物线与双曲线（）的一个交点为为抛物线的焦点，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线焦半径公式与点在抛物线与双曲线上求得的值，从而利用双曲线方程即可得解. 【详解】设抛物线与双曲线的一个交点为， 因为抛物线的焦点为，且， 所以，解得， 则该双曲线方程为线方程为，即； 故选：B. 16. 已知点为所在平面外一点，有如下两个命题：①若平面，则；②使得两两垂直的点有且仅有两个，下列说法正确的是（ ） A. ①正确，②正确 B. ①正确，②不正确 C. ①不正确，②正确 D. ①不正确，②不正确 【答案】C 【解析】 【分析】根据举反例得出当平面，则判断①，在过的垂心且与平面垂直的直线上判断②. 【详解】①错误，反例如下： 在长方体中， , , ； ②若两两垂直，则点在过的垂心且与平面垂直的直线上，则有且只有两个，②正确． 故选：C． 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）若，求角的大小； （2）若，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求得，再判断角的范围,即可求得角； （2）先由余弦定理求出角，再借助于直角三角形中三角函数的定义计算即得. 【小问1详解】 由正弦定理，，即， 因，故,即是锐角，故； 【小问2详解】 如图，由余弦定理，， 知角是锐角，则， 作于点，在中，, 即边上的高是. 18. 如图，在中，.将绕旋转得到，分别为线段的中点． （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，作，垂足为.证明平面，即点到平面的距离为的长度．求出即可. （2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出关键点和法向量坐标，用向量法可解. 【小问1详解】 取的中点，连接，作，垂足为 因为为的中点，所以. 又，所以平面. 因为平面，所以．又， 所以平面，即点到平面的距离为的长度. 易知平面，所以． 因为是边长为2的等边三角形，所以，又， 所以，所以． 【小问2详解】 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 所以， 设平面的法向量为， 可得，令，则， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 可得，令，则， 所以平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 则二面角的正弦值为. 19. 有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立. （1）求前3局比赛甲都取胜的概率； （2）用表示前3局比赛中乙获胜的次数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）借助独立事件的概率乘法公式计算即可得； （2）写出的所有可能取值后计算相应概率即可得其分布列，借助分布列计算即可得期望. 【小问1详解】 前3局甲都获胜的概率为； 【小问2详解】 的所有可能取值为. 其中，表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则； 表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输， 则； 表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局是乙输，则； 表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局是乙赢，则； 所以的分布列为： 0 1 2 3 故的数学期望为. 20. 已知椭圆常数，点为坐标原点． （1）求椭圆离心率的取值范围； （2）若是椭圆上任意一点，，求的取值范围； （3）设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）是定值，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知结合离心率公式化简计算； （2）应用向量间关系结合基本不等式化简求范围即可； （3）应用斜率积的公式化简得出结合三角形面积公式结合点在椭圆上化简求值. 【小问1详解】 由椭圆方程为， 则离心率， 又 所以； 【小问2详解】 由已知得 又点是椭圆上任意一点， 则，化简可得 所以 【小问3详解】 法一：由已知可得，即， 平方可得， 又在椭圆上， 所以， 所以， 化简可得 设与的夹角为， 则，则， 所以的面积 ， 故的面积为定值； 方法二：由已知，即， ①当直线斜率不存在时，，则， 又在椭圆上， 则，所以， 此时； ②当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 联立直线与椭圆， 得， 则， ， 则，即， 所以 ， 点到直线的距离， 所以， 所以的面积为定值． 【点睛】关键点点睛：面积定值关键是应用点在椭圆上代入面积公式化简求值即可. 21. 设函数的定义域为，集合，若存在非零实数，使得任意，都有，且，则称函数具有性质 （1）已知函数和的定义域均为，请分别判断这两个函数是否具有性质，不必证明； （2）已知函数具有性质，求实数的取值范围； （3）已知函数，常数具有性质，且不存在，使得，求实数的最小值． 【答案】（1）函数具有性质，函数不具有性质 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用函数的单调性即可判断； （2）将原问题转化为对任意恒成立，再通过讨论a的取值范围去掉绝对值符号即可求解答案； （3）由题意知对恒成立，根据函数具有性质求出的值，再将转化为，结合导数知识求解即可得的最小值. 【小问1详解】 因为函数是R上的增函数，所以，即函数具有性质， 函数是R上的减函数，所以，即函数不具有性质． 【小问2详解】 由题意知，对任意恒成立， ①当时，原不等式等价于， 即恒成立，故，则满足； ②当时 （i）当时，原不等式等价于， 即； （ii）当时，原不等式等价于， 即，即， 则当时满足； ③当时，原不等式等价于， 即满足； ④当时，当时，原不等式等价于， 即，不满足； ⑤当时，原不等式等价于， 即满足； 综上的取值范围是． 【小问3详解】 由题意知对恒成立， 令得，又， 又， ， 令， 则，因为不存在，使得， ， 当时，， 当时，在上递减则当时，满足条件， 则的最小值为． 【点睛】关键点点睛：函数的新定义问题的解决的关键在于准确理解定义.像第2小问这种涉及绝对值的不等式，需要通过分类讨论的思想方法先去绝对值符号，再求解.第3问涉及求参数的取值范围问题，一般可以构造函数，结合导数知识求解，也可以进行参变分离，利用函数性质或导函数求最值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $