2.5.1椭圆的标准方程（2知识点+6题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第一册）

2.5.1椭圆的标准方程 课程标准 学习目标 1.通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养 数学抽象素养 2.借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推 理、数学运算素养 1.重点：掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实 际问题. 2.重点：掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程: 3.难点：理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题. 知识点01 椭圆的定义 1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2.焦点：两个定点F1，F2. 3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4.半焦距：焦距的一半． 【即学即练1】（23-24高二上·吉林·阶段练习）椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】（2023高二·全国·专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为（    ） A．线段 B．直线 C．椭圆 D．圆 知识点02椭圆的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 【即学即练3】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点,.则椭圆的标准方程为（    ） A． B．1 C． D．1 【即学即练4】（23-24高二上·全国·课后作业）过点且与有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 难点：和差最值、取值范围问题 示例1：（23-24高二上·山西太原·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型1：椭圆定义辨析】 例1．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆与圆内含，且圆心不重合，动圆与两圆相切，则圆心的轨迹为（    ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．椭圆 变式1．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 变式2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）若复数满足，则复数在复平面内所对应点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．线段 变式3．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知P是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点．若，则 ． 变式4．（23-24高二上·北京·期中）椭圆的焦点的坐标为 ，若为椭圆上任意一点，则 . 变式5．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点，有，则点的轨迹是 . 变式6．（多选）（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．方程表示的曲线是圆 B．若两条直线平行，则它们的斜率相等 C．直线的一个法向量的坐标是 D．平面内到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆 变式7．（多选）（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）下列是真命题的是（    ） A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆 B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段 C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆 D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆 【方法技巧与总结】 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． 常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件． 【题型2：椭圆标准方程的求解】 例2．（23-24高二上·北京西城·期中）一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高二上·四川巴中·期末）已知椭圆的焦点在x轴上，，，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 变式2．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于y轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为 ． 变式3．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，且，则该椭圆的方程是 ． 变式4．（24-25高二上·上海·单元测试）已知椭圆E：的焦距为4，平行四边形ABCD内接于椭圆E，且直线AB与AD的斜率之积为，则椭圆E的方程为 ． 变式5．（23-24高二下·全国·课堂例题）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为，，经过点； (2)经过点两点． (3)过且与有相同的焦点；． 变式6．（23-24高二下·全国·课后作业）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点. (2)经过点，且与椭圆有共同的焦点； 变式7．（24-25高二上·全国·课前预习）求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在轴上，且经过两个点和； (2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点． 变式8．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 【方法技巧与总结】 求椭圆方程有两种方法： 1.用定义法求椭圆的标准方程 先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有： ①b2＝a2－c2； ②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a； ③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a. 2.用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤 【题型3：椭圆定义的应用】 例3．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高二上·江西·阶段练习）若方程表示椭圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 变式3．（24-25高二上·江西·阶段练习）如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是 . 变式4．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 . 变式5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，椭圆的焦点在轴上，则的半焦距的取值范围是 ． 变式6．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）讨论方程＋表示的曲线. 【方法技巧与总结】 把方程写成椭圆的标准方程形式，得到形式，要想表示： 1.焦点在轴上的椭圆，必须要满足，解这个不等式就可求出实数k的取值范围． 2.焦点在x轴上的椭圆，必须要满足A>B>0，解这个不等式就可求出实数k的取值范围 【题型4：焦点三角形问题】 例4．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 变式1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 变式2．（23-24高二上·吉林延边·期中）点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 变式3．（23-24高二下·天津·阶段练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 变式4．（23-24高二上·江西九江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 变式5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆的两个焦点为、，过的直线交椭圆于M、N两点，则的周长为 ． 变式6．（24-25高二上·上海·课堂例题）（1）已知点P在椭圆上，与分别为左、右焦点.若，则的面积为 . （2）若F为椭圆C：的右焦点，A、B为椭圆C上两个动点，则的周长的最大值为 . 变式7．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点. (1)若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，的面积为4，求b的值. 【方法技巧与总结】 求椭圆中焦点三角形面积的方法： ①根据椭圆的定义求出|PF1|+PF2|＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积 ④结论： 【题型5：和差最值问题】 例5．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 变式2．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 变式3．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 变式4．（2024高二下·云南曲靖·学业考试）已知椭圆的左、右焦点分别为在椭圆上且关于原点对称，则的最大值与最小值之和为 ． 变式5．（23-24高二上·全国·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 变式6．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知P是椭圆上的一个动点，点，则的最小值为 . 变式7．（2024高二上·全国·专题练习）设实数满足的最小值为 . 【方法技巧与总结】 总体理论依据： 1.线段公理——两点之间，线段最短。 2.对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等。②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线 3.三角形两边之和大于第三边。 4.三角形两边之差小于第三边。 5.垂直线段最短 【题型6：轨迹方程问题】 例6．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）如图：已知圆 内有一点 ，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ相交点M ，当点Q在圆C上运动时，点M 的轨迹方程为 变式3．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则动点的轨迹方程为 ． 变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，过点且斜率不为零的直线交于，两点，过点作交于，则 ；点的轨迹方程为 ． 变式5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知过点的直线与相交于点C，过点的直线与相交于点D，若直线CD与圆相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为 ． 变式6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知定点，动点满足.设点的轨迹为，则轨迹的方程为 . 变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，的顶点，直角顶点，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点． (1)求边BC所在直线的方程； (2)M为外接圆的圆心，求圆M的方程； (3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程． 【方法技巧与总结】 解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法： 1.定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可． 2.方程法：直接根据条件列方程化简即可。 3.相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的， 只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法． 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南·阶段练习）若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（   ） A．1 B．1或3 C．9 D．1或9 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖北孝感·阶段练习）已知椭圆，则椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 5．（23-24高二下·北京·阶段练习）设P是椭圆：上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知,则方程可表示焦点在轴上的不同椭圆的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 7．（24-25高二上·全国·随堂练习）设为椭圆上的任意一点，，为其上、下焦点，则的最大值是（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 8．（23-24高二下·湖北·开学考试）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．6 二、多选题 9．（23-24高二上·云南昆明·期末）设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，则（    ） A．为定值 B．的周长的取值范围是 C．当时，为直角三角形 D．当时，的面积为 10．（23-24高二上·福建漳州·阶段练习）已知椭圆：的两个焦点为，，是上任意一点，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且，，则的值可能为（    ） A． B．2 C． D． 三、填空题 12．（23-24高二下·上海宝山·期末）设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为 . 13．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为 ． 14．（23-24高二下·安徽六安·开学考试）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则 ． 四、解答题 15．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点 (1)若是直线上任一点，求的最小值 (2)若是圆上任一点，求的最小值 (3)若是椭圆上任一点，求的最小值 16．（21-22高二下·全国·期末）已知椭圆C：的左焦点为F，点A在C上，过点A作轴，垂足为B，其中点B异于点A，且. (1)求动点D的轨迹方程； (2)过点F的直线与C交于M，N两点，与动点D的轨迹交于P，Q两点，求的最大值. 17．（23-24高二上·江西·期末）已知点为椭圆的焦点，过F的直线l交C于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若D为的中点． ①求D的轨迹方程； ②求的最大值． 18．（21-22高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知圆． (1)直线l过点且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程； (2)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程． 19．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）已知椭圆的上、下焦点分别为，，为坐标原点，是上一动点，，的周长为 . (1)求椭圆的方程； (2)证明：无论动点在上如何运动，恒为一个常数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5.1椭圆的标准方程 课程标准 学习目标 1.通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养 数学抽象素养 2.借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推 理、数学运算素养 1.重点：掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实 际问题. 2.重点：掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程: 3.难点：理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题. 知识点01 椭圆的定义 1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2.焦点：两个定点F1，F2. 3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4.半焦距：焦距的一半． 【即学即练1】（23-24高二上·吉林·阶段练习）椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出结果. 【详解】椭圆的长半轴长，依题意，，而， 所以. 故选：D 【即学即练2】（2023高二·全国·专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为（    ） A．线段 B．直线 C．椭圆 D．圆 【答案】C 【分析】根据两点间距离公式结合椭圆的定义分析判断. 【详解】可设，，则， 可得， 由椭圆的定义可知：点P的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，. 故选：C 知识点02椭圆的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 【即学即练3】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点,.则椭圆的标准方程为（    ） A． B．1 C． D．1 【答案】A 【分析】根据椭圆的几何性质即可求解，代入坐标即可求解. 【详解】由于椭圆焦点在x轴上，且经过点，所以， 设椭圆方程为， 将代入椭圆可得，解得， 所以椭圆方程为， 故选：A 【即学即练4】（23-24高二上·全国·课后作业）过点且与有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知方程求出焦点即为所求椭圆焦点，设出所求椭圆方程，代入，解方程组即可. 【详解】由知，焦点为，，即，. 设所求椭圆方程为，则，解得， 故所求椭圆方程为. 故选：A. 难点：和差最值、取值范围问题 示例1：（23-24高二上·山西太原·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义转化，结合三点共线来求得的取值范围. 【详解】依题意，，，， ，， 所以，当位于线段与椭圆交点处时等号成立. 根据椭圆的定义可知， 如图所示，设的延长线与椭圆相交于， 则当位于时，取得最大值为， 综上所述，的取值范围为. 故选：B 【点睛】在椭圆中，求解椭圆上的点到焦点、定点的距离的和或差的最值，可以考虑通过椭圆的定义进行转化，然后结合三点共线来确定最值.在解题过程中，要画出对应的图象，结合图象来进行求解. 【题型1：椭圆定义辨析】 例1．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆与圆内含，且圆心不重合，动圆与两圆相切，则圆心的轨迹为（    ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．椭圆 【答案】D 【分析】运用圆与圆的位置关系的结论，结合椭圆定义可解. 【详解】由题意，记圆半径为．不妨令圆的半径为，圆的半径为，且， 则动圆与圆内切，与圆外切，可得：， 两式相加得：，且，故圆心的轨迹为椭圆． 故选：D． 变式1．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求出. 【详解】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为， 则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2. 故选:D. 变式2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）若复数满足，则复数在复平面内所对应点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．线段 【答案】A 【分析】根据题意，利用复数的几何意义，以及椭圆的定义，即可求解. 【详解】设，复数对应点， 因为复数满足， 由复数的几何意义，可得， 所以复数对应的点满足椭圆的定义，复数在复平面内所对应点的轨迹是椭圆. 故选：A. 变式3．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知P是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点．若，则 ． 【答案】14 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】因为所以又则 故答案为：14. 变式4．（23-24高二上·北京·期中）椭圆的焦点的坐标为 ，若为椭圆上任意一点，则 . 【答案】 【分析】将椭圆化为标准方程即可求出焦点，再利用椭圆定义即可得到. 【详解】该椭圆的方程是，即，，故，所以焦点坐标为. 根据椭圆的定义，有. 故答案为：，. 变式5．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点，有，则点的轨迹是 . 【答案】线段 【分析】 根据，得到轨迹. 【详解】由于，故点的轨迹为线段. 故答案为：线段 变式6．（多选）（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．方程表示的曲线是圆 B．若两条直线平行，则它们的斜率相等 C．直线的一个法向量的坐标是 D．平面内到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆 【答案】ABD 【分析】根据圆的标准方程即可判断A，根据直线无斜率的情况即可判断B，根据法向量的定义即可求解C，由椭圆定义即可求D. 【详解】对于A, 由可得，故轨迹不存在，A错误， 对于B，若两条直线都和轴平行时，此时斜率不存在，故B错误， 对于C，直线的斜率为2，故一个法向量的坐标是，C正确， 对于D，平面内到两定点距离之和（大于两个定点之间的距离）为常数的点的轨迹是椭圆，故D错误， 故选：ABD 变式7．（多选）（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）下列是真命题的是（    ） A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆 B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段 C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆 D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆 【答案】BD 【分析】根据椭圆定义可依次判断各个选项. 【详解】对于A，，根据椭圆定义，点的轨迹不存在，故A错误； 对于B，点的轨迹为线段，故B正确； 对于C，到定点距离相等的点的轨迹为线段的垂直平分线，故错误； 对于D，到定点的距离的和为， 所以点的轨迹为椭圆，故D正确． 故选：BD. 【方法技巧与总结】 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． 常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件． 【题型2：椭圆标准方程的求解】 例2．（23-24高二上·北京西城·期中）一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，故， 且，故， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B 变式1．（23-24高二上·四川巴中·期末）已知椭圆的焦点在x轴上，，，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质即可求解. 【详解】由，可得， 由于焦点在x轴上，所以椭圆方程为， 故选：A 变式2．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于y轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由椭圆的几何性质求出、的值，结合椭圆的标准方程计算可得答案． 【详解】解：根据题意，如图： ，由椭圆的对称性可得：， 又，由勾股定理可得：， 所以，， 又，则， 椭圆标准方程为． 故答案为：． 变式3．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，且，则该椭圆的方程是 ． 【答案】 【分析】先设点的坐标，再根据已知模长及向量垂直化简得出椭圆方程. 【详解】设点, 又因为,,， 所以， 所以， 所以，根据椭圆定义可得, 所以椭圆的方程是. 故答案为：. 变式4．（24-25高二上·上海·单元测试）已知椭圆E：的焦距为4，平行四边形ABCD内接于椭圆E，且直线AB与AD的斜率之积为，则椭圆E的方程为 ． 【答案】 【分析】由条件列关于的方程，解方程可得，由此可得椭圆方程. 【详解】设，由对称性可得， 则， 所以两式相减可得， 因为直线AB与AD的斜率之积为， 所以，即，所以， 设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的焦距为4，所以，所以， 又，所以， 所以椭圆的标准方程为， 故答案为：. 变式5．（23-24高二下·全国·课堂例题）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为，，经过点； (2)经过点两点． (3)过且与有相同的焦点；． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，依题意求出和可得结果； （2）过两点的椭圆方程，可设为，代入计算即可． （3）由焦点坐标得值，设出椭圆方程将点代入方程待定系数可得． 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 依题可得，将代入到方程中得， 故， 所以椭圆的标准方程为． （2）设方程为 则，解得，则所求椭圆方程为 （3）由方程可知，其焦点的坐标为，即． 则， 设所求椭圆方程， 因为椭圆过点，代入方程得， 解得（舍去），， 故椭圆的标准方程为； 变式6．（23-24高二下·全国·课后作业）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点. (2)经过点，且与椭圆有共同的焦点； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，设椭圆的一般式方程，代入两点，列出方程组，求解即得； （2）由已知椭圆求出半焦距并判断焦点位置，设出所求椭圆方程，列方程组，求解后即得. 【详解】（1）设所求椭圆的方程， 将代入上式得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为； （2）椭圆，即，故， 则焦点为，， 依题意，设所求椭圆的标准方程， 则有，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 变式7．（24-25高二上·全国·课前预习）求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在轴上，且经过两个点和； (2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可设椭圆方程为，再由条件列方程求，即可得椭圆方程； （2）结合焦点坐标知可设椭圆方程为，且，结合椭圆定义可求，由此可求及椭圆方程. 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为． 又椭圆经过点和， 所以解得 所以所求椭圆的标准方程为． （2）由于椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 设椭圆的半焦距为，则， 又， 所以， 所以， 所以所求椭圆的标准方程为． 变式8．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 【答案】(1)1 (2) (3)． 【分析】（1）由焦点坐标求，由椭圆定义得即可求，从而得方程； （2）结合图形，已知点是长短轴的顶点，则可得； （3）设椭圆方程的简化形式，待定系数解方程组可得. 【详解】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且， 则， ∴椭圆方程为1； （2）根据题意，所求椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点和， 则，则椭圆的标准方程为； （3）根据题意，要求椭圆经过（，）和点（，1）两点， 设其方程为， 则有，解可得， 则所求椭圆的方程为． 【方法技巧与总结】 求椭圆方程有两种方法： 1.用定义法求椭圆的标准方程 先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有： ①b2＝a2－c2； ②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a； ③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a. 2.用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤 【题型3：椭圆定义的应用】 例3．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程，结合题意，建立方程组，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 变式1．（24-25高二上·江西·阶段练习）若方程表示椭圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆标准方程的形式求解即可. 【详解】因为方程表示椭圆， 所以，解得， 故选：D. 变式2．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】借助椭圆定义与充要条件的定义计算即可得. 【详解】若表示椭圆，则有， 解得或. 故选：D. 变式3．（24-25高二上·江西·阶段练习）如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先判断，再将方程化为标准式，即可结合焦点的位置得到不等式，解得即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，显然，则方程可化为， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 变式4．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据焦点在轴上的椭圆的特征，列不等式即可求解. 【详解】由题意可得解得，故实数的取值范围是. 故答案为：. 变式5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，椭圆的焦点在轴上，则的半焦距的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由椭圆性质可知，则，结合三角恒等变换可得半焦距及其取值范围. 【详解】依题意，则， 故半焦距， 因为，所以， 所以， 即， 故答案为：. 变式6．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）讨论方程＋表示的曲线. 【答案】答案见详解 【分析】根据椭圆定义讨论判断. 【详解】表示点到点的距离，表示点到点的距离， 所以表示点到点和的距离之和， 当时，方程表示的曲线是椭圆； 当时，方程表示的曲线是线段； 当时，方程表示的曲线不存在. 【方法技巧与总结】 把方程写成椭圆的标准方程形式，得到形式，要想表示： 1.焦点在轴上的椭圆，必须要满足，解这个不等式就可求出实数k的取值范围． 2.焦点在x轴上的椭圆，必须要满足A>B>0，解这个不等式就可求出实数k的取值范围 【题型4：焦点三角形问题】 例4．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 【答案】D 【分析】根据方程可得，结合椭圆的定义运算求解. 【详解】由题意可知：， 则， 所以的周长为. 故选：D. 变式1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】D 【分析】在中，结合椭圆定义及勾股定理可得，进而求得的面积. 【详解】由椭圆定义可得， 又因为，所以由勾股定理可得， 即，解得， 则的面积为. 故选：D. 变式2．（23-24高二上·吉林延边·期中）点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程求出，由椭圆的定义可求出，然后利用等面积法可求出P点的纵坐标. 【详解】由，得， 所以， 所以， 设的内切圆半径为， 因为 所以，得. 故选：B 变式3．（23-24高二下·天津·阶段练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】由题意结合椭圆定义推导出△是直角三角形，再求面积即可. 【详解】由可得：， 则椭圆得长轴长为， ， 可设，， 由题意可知，， ，，， △是直角三角形， 其面积． 故选：B． 变式4．（23-24高二上·江西九江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到垂直平分线段，则，再根据椭圆的定义式和勾股定理即可求解． 【详解】 因为椭圆方程为， 所以，，， 又线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以垂直平分线段，所以， 又因为，所以，， 在直角三角形中，， 于是的面积为． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上转化为垂直平分线段，再结合椭圆定义求解. 变式5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆的两个焦点为、，过的直线交椭圆于M、N两点，则的周长为 ． 【答案】8 【分析】根据椭圆定义求解. 【详解】由椭圆可知，即， 由椭圆的定义可知，的周长为， 故答案为： 变式6．（24-25高二上·上海·课堂例题）（1）已知点P在椭圆上，与分别为左、右焦点.若，则的面积为 . （2）若F为椭圆C：的右焦点，A、B为椭圆C上两个动点，则的周长的最大值为 . 【答案】 20 【分析】（1）焦点三角形中运用余弦定理可得，由三角形面积公式得解； （2）根据椭圆的定义及两边之和不下于第三边求解即可. 【详解】（1）由椭圆可知，， 所以，即，， 由余弦定理得， 解得， 所以. （2）设椭圆的左焦点为， 由椭圆C：可得，， 则的周长为， 由，可得， 当且仅当三点共线时等号成立，即的周长的最大值为20. 故答案为：； 变式7．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点. (1)若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，的面积为4，求b的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知可求出，点坐标可代入椭圆方程求出，进而求出； （2）得到椭圆标准方程根据，利用三角形面积公式和椭圆定义以及勾股定理来求解的值. 【详解】（1）已知，因为，所以.点在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得，即，解得. 又因为，，，所以. 所以椭圆的标准方程为. （2）因为，所以的面积，则.根据椭圆定义，. 由勾股定理可得. 又，即. 在椭圆中有，将变形为，即，解得. 【方法技巧与总结】 求椭圆中焦点三角形面积的方法： ①根据椭圆的定义求出|PF1|+PF2|＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积 ④结论： 【题型5：和差最值问题】 例5．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意得圆的圆心是椭圆的左焦点，利用圆和椭圆的定义，结合图象得到，然后由即可求解. 【详解】如图，由题意，椭圆的焦点为，， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，由椭圆定义得，所以， 又， 所以. 故选：B. 变式1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】作出椭圆的另一个焦点，转化线段，最后利用三角不等式解决即可. 【详解】 作椭圆的左焦点，则， 当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得， 故，C正确， 故选：C 变式2．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值. 【详解】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 变式3．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角换元得，即可根据两点距离公式求解. 【详解】设， 则 ， 由于，故当时，取最小值， 故选：D 变式4．（2024高二下·云南曲靖·学业考试）已知椭圆的左、右焦点分别为在椭圆上且关于原点对称，则的最大值与最小值之和为 ． 【答案】/ 【分析】设，得出，整理，令，利用单调性求值域，即可求解． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， 令， 则在上单调递减，在上单调递增， ， ， 则的最大值与最小值之和为， 故答案为：． 变式5．（23-24高二上·全国·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据椭圆定义可将转化为，再根据可得的最小值为，结合两点间距离公式即得答案. 【详解】由为椭圆上任意一点，则 又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号）， ∴， 当且仅当M、N、E、共线时等号成立. ∵，，则， ∴的最小值为． 故答案为：． 变式6．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知P是椭圆上的一个动点，点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据椭圆方程以及点坐标，利用椭圆定义并结合三角形边长即可求得其最小值. 【详解】易知为椭圆的下焦点，点在椭圆内部； 设为椭圆的上焦点，连接， 由椭圆定义可得，则， 所以， 当且仅当三点共线时，取得最小值，如下图所示： 因此则的最小值为. 故答案为： 变式7．（2024高二上·全国·专题练习）设实数满足的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用椭圆的定义，即可求代数式的最小值，得到答案. 【详解】设，则在椭圆上， 因为， 设，则为椭圆的右焦点， 如图所示，设椭圆的左焦点为， 则， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立， 而，故的最小值为. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 总体理论依据： 1.线段公理——两点之间，线段最短。 2.对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等。②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线 3.三角形两边之和大于第三边。 4.三角形两边之差小于第三边。 5.垂直线段最短 【题型6：轨迹方程问题】 例6．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的位置关系及椭圆的定义可判断P点轨迹为椭圆，即可得出轨迹方程. 【详解】圆：和：的圆心、半径分别为， 由可知圆内含于圆内， 设动圆半径为, 由题意，，, 两式相加可得, 故P点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：C 变式1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解. 【详解】设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是集合. 由此得，将上式两边平方并化简，得， 即. 所以动点的轨迹方程为. 故选：B. 变式2．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）如图：已知圆 内有一点 ，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ相交点M ，当点Q在圆C上运动时，点M 的轨迹方程为 【答案】 【分析】利用线段的中垂线性质，即可推导出动点到两定点的距离之和为定值，所以动点轨迹是椭圆，即可出椭圆方程. 【详解】 连接，由线段的垂直平分线与相交点M，可得， 则有， 所以点M 的轨迹是以为焦点，以5为长轴长的椭圆， 则，即， 所以点M 的轨迹方程为：，即， 故答案为：. 变式3．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设动点，斜率用坐标表示，由斜率之积为可得出之间的关系式，进而得的轨迹方程. 【详解】设动点的坐标为，又，， 所以的斜率，的斜率， 由题意可得， 化简，得点的轨迹方程为. 故答案为： 变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，过点且斜率不为零的直线交于，两点，过点作交于，则 ；点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形性质可得，即可得，再根据椭圆定义可得轨迹方程. 【详解】    如图所示， 由的方程得圆心，半径为， 因为，所以， 又，所以， 则，所以， 又， 所以， 又斜率不为，所以点不在轴上， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且点不在轴上， 则，，所以， 即点的轨迹方程为， 故答案为：，. 变式5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知过点的直线与相交于点C，过点的直线与相交于点D，若直线CD与圆相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设点，，，，根据切线可得，结合交点运算求解即可. 【详解】设点，，，， 则直线CD的方程为， 因为直线CD与圆相切，则，可得； 又因为直线AC与BD的交点为M， 所以，解得，可得， 所以点M的轨迹方程为． 故答案为：. 变式6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知定点，动点满足.设点的轨迹为，则轨迹的方程为 . 【答案】 【分析】设，利用平面向量数量积的坐标表示计算化简即可. 【详解】设动点，则. 又， . 化简得，即， 动点的轨迹的方程为. 故答案为：. 变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，的顶点，直角顶点，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点． (1)求边BC所在直线的方程； (2)M为外接圆的圆心，求圆M的方程； (3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知，可得，又，则，即可求得BC所在直线的方程； （2）由BC的直线方程，可得，则得圆心，又，即可求得圆M的方程； （3）由已知，可得是该圆的半径，因为动圆N与圆M内切，可得，则点N的轨迹是以M，P为焦点的椭圆，即可由待定系数法求椭圆方程. 【详解】（1）因为点，点， 则，又，所以， 所以边BC所在直线的方程为， 即． （2）因为边BC所在直线的方程为， 令，得， 所以圆心，又因为， ∴圆M的方程为． （3）因为点P为线段OA的中点所以， 又，且圆N过点， 所以是该圆的半径， 因为动圆N与圆M内切，所以， 即， 所以点N的轨迹是以M，P为焦点的椭圆，且， 所以，，， 所以圆心N的轨迹方程为． 【方法技巧与总结】 解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法： 1.定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可． 2.方程法：直接根据条件列方程化简即可。 3.相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的， 只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法． 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南·阶段练习）若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（   ） A．1 B．1或3 C．9 D．1或9 【答案】C 【分析】根据椭圆中的关系即可求解. 【详解】根据右焦点坐标为，可得，且焦点在轴上， 故， 故选：C 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程即可求解m的范围. 【详解】依题意，解得或 故选：D 3．（23-24高二上·湖北孝感·阶段练习）已知椭圆，则椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断焦点位置，求出值即可求. 【详解】方程可化为， 则椭圆的焦点在轴，且， 则， 故其焦点坐标为． 故选：C. 4．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】由椭圆定义求焦点三角形周长. 【详解】根据题意，椭圆中， 根据椭圆定义，的周长为 . 故选：C 5．（23-24高二下·北京·阶段练习）设P是椭圆：上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据椭圆定义即可得结果. 【详解】由椭圆方程可知：， 所以P到该椭圆的两个焦点的距离之和为. 故选：B. 6．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知,则方程可表示焦点在轴上的不同椭圆的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义与性质判定即可. 【详解】由题意可知，则有如下， ， 共7种情况. 故选：C 7．（24-25高二上·全国·随堂练习）设为椭圆上的任意一点，，为其上、下焦点，则的最大值是（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义和基本不等式求解即可. 【详解】椭圆， 故， 故，当且仅当时，等号成立. 故选：C 8．（23-24高二下·湖北·开学考试）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．6 【答案】B 【分析】由椭圆定义和基本不等式进行求解. 【详解】由椭圆定义得， 由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为4. 故选：B 二、多选题 9．（23-24高二上·云南昆明·期末）设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，则（    ） A．为定值 B．的周长的取值范围是 C．当时，为直角三角形 D．当时，的面积为 【答案】AC 【分析】由椭圆定义可判断A；由为定值以及的范围可判断B；求出，的坐标，由数量积公式得出，可判断C；求出，的坐标，由三角形面积公式可判断D. 【详解】设椭圆的左焦点为，则，所以为定值6，故A正确； 的周长为，因为为定值6， 易知的范围是，所以的周长的范围是，故B错误； 将与椭圆方程联立，可解得，， 又易知，所以， 所以为直角三角形，故C正确； 将与椭圆方程联立，解得，， 所以，故D错误. 故选：AC． 10．（23-24高二上·福建漳州·阶段练习）已知椭圆：的两个焦点为，，是上任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的定义可判定A、B，根据椭圆方程及二次函数的性质可判定C，根据基本不等式可判定D. 【详解】对AB，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为， 因为，所以，，， 所以，，故A错误，B正确； 对C，设，，， 则， 即，当时取得最大值，故C正确； 对D，由椭圆定义及基本不等式可知：，故D正确． 故选：BCD 11．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且，，则的值可能为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】AC 【分析】根据椭圆的焦点三角形的性质，结合余弦定理即可求解. 【详解】由，，得. , 由，得. 在中，由余弦定理得， 得或，所以或. 故选：AC    三、填空题 12．（23-24高二下·上海宝山·期末）设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为 . 【答案】1 【分析】写出椭圆的参数方程，所以点，进而表示出矩形的面积，结合三角函数的知识求解最大值即可. 【详解】椭圆的参数方程为（为参数）， 则可设点, 所以矩形的面积为， 所以， 因为点在第一象限，所以当且仅当，即时，等号成立， 故矩形面积的最大值为1. 故答案为：1. 13．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为 ． 【答案】4 【分析】由向量垂直的充要条件得出，然后根据椭圆的定义求出，再根据直线的斜率为，得到，，最后利用椭圆定义得到：，从而列出关于的方程，解出的值即可． 【详解】 由，， 又直线的斜率为， 则，， 又椭圆方程为：，. ,解得， 又，， ，即. 故答案为：4． 14．（23-24高二下·安徽六安·开学考试）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则 ． 【答案】 【分析】先利用椭圆的定义求得，进而由正弦定理把原式转换成边的问题，进而求得答案． 【详解】 由椭圆可知和为其焦点， 的顶点在椭圆上，则， 则对于，有，， 由正弦定理得， 故答案为：． 四、解答题 15．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点 (1)若是直线上任一点，求的最小值 (2)若是圆上任一点，求的最小值 (3)若是椭圆上任一点，求的最小值 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题意，结合点到直线的距离公式，分类讨论，即可求解； （2）根据题意，结合圆的几何性质，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，结合椭圆的标准方程和几何性质，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：若在直线上； 若不在直线上，. （2）解：若在圆内，则的最小值； 若在圆上，则的最小值0； 若在圆外，则的最小值. （3）解：若在椭圆上，则的最小值为0； 若不在椭圆上，设， 则， 因为，所以开口向上，对称轴为， 当时，即时，时取最小值为； 当时，即时，取最小值， 所以. 16．（21-22高二下·全国·期末）已知椭圆C：的左焦点为F，点A在C上，过点A作轴，垂足为B，其中点B异于点A，且. (1)求动点D的轨迹方程； (2)过点F的直线与C交于M，N两点，与动点D的轨迹交于P，Q两点，求的最大值. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的方程，代入计算即可得到结果； （2）根据题意，分轴与不与x轴垂直，联立直线与椭圆方程，结合弦长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设点D坐标为，∵，∴点A的坐标为， ∴，∴动点D的轨迹方程为. （2）    若轴，则，，∴. 若直线不与x轴垂直，设直线的方程为， 即， 则坐标原点到直线的距离：， ∴. 设，，联立， 得， ∴，. ∴ ， ∴， 当日仅当，即时，等号成立. 综上所述，最大值为4. 17．（23-24高二上·江西·期末）已知点为椭圆的焦点，过F的直线l交C于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若D为的中点． ①求D的轨迹方程； ②求的最大值． 【答案】(1) (2)① ；②1 【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可； （2）①设，，，根据点差法可得，再分斜率存在与不存在求解即可； ②由①知，D的轨迹是个椭圆，原点O是该椭圆的左顶点即可得. 【详解】（1）由题意有，所以C的方程为； （2）设，，，则， 即， 当斜率存在时，有，即， ①当斜率存在时，由上述分析有，得， 当斜率不存在时，易知，满足上面得出的方程， 综上，D的轨迹方程为； ②由①知，D的轨迹是个椭圆，且F是该椭圆的右顶点， 不难看出坐标原点O是该椭圆的左顶点，所以． 18．（21-22高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知圆． (1)直线l过点且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程； (2)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）当斜率不存在时，直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意.当斜率存在时，设直线的方程为，利用圆的弦长公式有，和点到直线距离公式，可求得，故可得直线l的方程； （2）设点的坐标为，点坐标为，则点坐标是.利用已知，代入点的坐标化简得，.而，代入可得的轨迹方程. 【详解】（1）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意. ②若直线不垂直于轴，设其方程为，即. 设圆心到此直线的距离为，则，得， ∴，， 故所求直线方程为. 综上所述，所求直线方程为或. （2）设点的坐标为，点坐标为，则点坐标是. ∵，∴，即，. 又∵，∴. 由已知，直线轴，∴， ∴点的轨迹方程是. 19．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）已知椭圆的上、下焦点分别为，，为坐标原点，是上一动点，，的周长为 . (1)求椭圆的方程； (2)证明：无论动点在上如何运动，恒为一个常数. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的定义可得解； （2）设点，结合向量线性运算及模长公式化简可得证. 【详解】（1） 由已知，则，即， 又的周长为， 则，， 则， 即椭圆方程为：； （2）由（1）可知，， 设， 则，，， ， 又， 即， 即， 所以无论动点在上如何运动，恒为一个常数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$