精品解析：江苏省扬州市宝应县国际联盟2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 5，，1 B. 5，2， C. ，2，1 D. ，， 3. 学生会为招募新会员组织了一次测试，嘉淇的心理测试、笔试、面试得分分别为80分、90分、70分．若依次按照的比例确定最终成绩，则嘉淇的最终成绩为（　　） A. 77分 B. 78分 C. 80分 D. 82分 4. 一个不透明的袋中装有11个只有颜色不同的球，其中4个白球，5个红球，2个黄球．从中任意摸出1个球是红球的概率为( ) A. B. C. D. 5. 有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，在中，，，，以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧．已知第一天票房约为亿元，前三天票房累计约亿元．若每天票房的增长率都为，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. ⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（ ） A. 2 B. 14 C. 2或14 D. 7或1 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 一元二次方程的根是______． 10. 关于x的一元二次方程的两个根分别是与，______． 11. 关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值为______． 12. 在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是______． 13. 的半径，当_____时，点P不在外． 14. 如图，是的直径，O是圆心，E是圆上一点，且，A是延长线上一点，与圆交于另一点B，且，求的度数为______． 15. 在中，，则它的外接圆的半径为______． 16. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_____°． 17. 若关于的方程的解为，则方程的解为___________． 18. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是_____．   三、解答题（本大题共有9小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1） （2） 20. 如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） （1）该圆弧所在圆的圆心P的坐标为______； （2）根据（1）中的条件填空： ①的半径为______；（结果保留根号） ②点在______；（填“上”、“内”或“外”） ③连接，则的度数为______. 21. 一只不透明的袋子中装有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从袋中任意摸出个球，记录颜色后不放回、摇匀，再从中任意摸出个球．求两次摸到红球颜色的概率．（请用树状图或列表解决问题） 22. 关于的方程有实数根，求的取值范围． 23. 如图，中，弦，相交于点，． （1）比较与的长度，并证明你的结论； （2）求证：． 24. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE=1寸，锯道长AB=10寸，问这块圆形木材的直径是多少？” 25. 某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应定为多少？ 26. 用一根长的铁丝： （1）能否围成面积是的矩形？ （2）能否围成面积是的矩形？ （3）用这根铁丝围成的矩形最大面积是多少？ 27. 如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： (1)经过几秒后，△BPQ是直角三角形？ (2)经过几秒△BPQ的面积等于10cm2？ 28. 若是一元二次方程的两个实数根，且满足，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）判断下列方程是否是“差根方程”： ①______； ②______；（填是或否） （2）已知关于的方程是“差根方程”，求a的值； （3）若关于的方程（是常数，）是“差根方程”，请写出与之间的数量关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的整式方程，根据定义即可作答． 【详解】A、含有两个未知数，不属于一元二次方程，故不符合题意； B、二次项系数如果为，则不属于一元二次方程，故不符合题意； C、不是整式方程，不属于一元二次方程，故不符合题意； D、属于一元二次方程，故符合题意． 故答案为：D． 2. 关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 5，，1 B. 5，2， C. ，2，1 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式：，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项，b叫做一次项系数；叫做常数项． 【详解】由，得 ， 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是5，2，， 故答案为：B． 3. 学生会为招募新会员组织了一次测试，嘉淇的心理测试、笔试、面试得分分别为80分、90分、70分．若依次按照的比例确定最终成绩，则嘉淇的最终成绩为（　　） A. 77分 B. 78分 C. 80分 D. 82分 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出小林同学的最终成绩． 【详解】解： ＝77（分）， 即小林同学的最终成绩为77分， 故选：A． 【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法． 4. 一个不透明的袋中装有11个只有颜色不同的球，其中4个白球，5个红球，2个黄球．从中任意摸出1个球是红球的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用红球的个数除以球的总个数解答即可． 【详解】解：一个不透明的布袋里装有11个有颜色不同的球，从布袋里任意摸出1个球，所有可能一共有11种情况， 其中红球有5个，从布袋里任意摸出1个球，红球出现的可能情况只有5种， 从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为． 故选：D． 【点睛】本题考查了简单事件的概率，属于基础题型，熟知概率的计算方法是解题关键． 5. 有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了确定圆的条件，三角形外心的性质等知识， 根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据三角形外心的性质对④⑤进行判断． 【详解】解：（1）不共线的三个点确定一个圆，故错误； （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误； （3）同弧或等弧所对的圆周角相等，故正确； （4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误； （5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，故正确； 故选：B． 6. 如图，在中，，，，以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 过C作交于点M，首先根据勾股定理求出，然后利用等面积法求出，然后利用勾股定理求出，最后利用垂径定理求解即可． 【详解】解：如图，过C作交于点M， ∵，，， ∴， 由垂径定理可得M为的中点， ∵， ∴ ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴ （舍去负值）． ∴． 故选：C． 7. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧．已知第一天票房约为亿元，前三天票房累计约亿元．若每天票房的增长率都为，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，若每天票房的增长率都为元，第二天的票房为元，第三天的票房为元，据此可列方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：若每天票房的增长率都为元，则第二天的票房为元，第三天的票房为元， 由题意得，， 故选：． 8. ⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（ ） A. 2 B. 14 C. 2或14 D. 7或1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 一元二次方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用提公因式法分解因式，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴或， 解得，， 故答案为：，． 10. 关于x的一元二次方程的两个根分别是与，______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，解一元一次方程，形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 利用直接开平方法解方程得到方程的两根互为相反数，则，则可计算出，进而代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴或 ∵，关于x的一元二次方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴ ∴． 故答案为：9． 11. 关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的概念，掌握此概念是关键． 根据一元二次方程解的含义，把解代入所给的方程中，即可求得m的值，然后结合一元二次方程二次项系数不等于零求解即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有一根为0， ∴， ∴或，且 ∴． 故答案为：2． 12. 在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是根据题意列方程．先阅读题目，根据新运算得出，即可求出方程的解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， ， ∴或． 故答案为：或． 13. 的半径，当_____时，点P不在外． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点与圆心之间的距离，与半径的大小关系，进行求解即可． 【详解】解：∵的半径， ∴，点P在上或内部，点P不在外； 故答案为：． 14. 如图，是的直径，O是圆心，E是圆上一点，且，A是延长线上一点，与圆交于另一点B，且，求的度数为______． 【答案】##27度 【解析】 【分析】本题考查了圆与三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键，连接，利用等腰三角形的性质以及三角形外角的性质求出，进而可知，即可求出的度数． 【详解】连接， ，， ， ， 而 ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 在中，，则它的外接圆的半径为______． 【答案】或2 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，首先分情况讨论，当时和当时，分别求出直角三角形的斜边长，即可求出外接圆的半径． 【详解】解：若， 其外接圆的半径为； 若， 其外接圆的半径为：， 综上所述：其外接圆的半径为或2， 故答案为：或2． 16. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_____°． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及直径所对的圆周角等于，根据圆内接四边形的性质可得出，再根据直径所对的圆周角等于可得出，再利用角的和差关系可得出答案． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，且， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：15． 17. 若关于的方程的解为，则方程的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将第二个方程中的看成一个整体，则由第一个方程的解可知，或3，从而求解 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴方程的解为或3， 解得：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解的概念，正确理解概念，利用换元法解方程是解题关键． 18. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握根与系数的关系，若，是一元二次方程（）的两根时，，． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的实根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6．   三、解答题（本大题共有9小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）把移到方程的右边，然后直接用开平方法解一元二次方程即可． （2）把方程右边的式子移到过程的左边，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ， ∴ 【小问2详解】 解： ∴或， ∴ 20. 如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） （1）该圆弧所在圆的圆心P的坐标为______； （2）根据（1）中的条件填空： ①的半径为______；（结果保留根号） ②点在______；（填“上”、“内”或“外”） ③连接，则的度数为______. 【答案】（1） （2）①；②外；③ 【解析】 【分析】（1）可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出圆心坐标即可； （2）①利用勾股定理求出的长即可得到答案；②利用勾股定理求出点M到圆心的距离即可判断点和圆的位置关系；③利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即即可得到答案． 【小问1详解】 解：作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示： 【小问2详解】 解：①由题意得，， ∵， ∴， ∴的半径为， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴在外， 故答案为：外； ③如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， 故答案为；. 【点睛】本题主要考查了确定三角形外接圆圆心的位置，坐标与图形，勾股定理和勾股定理的逆定理，点和圆的位置关系，准确确定圆心是解答此题的关键． 21. 一只不透明的袋子中装有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从袋中任意摸出个球，记录颜色后不放回、摇匀，再从中任意摸出个球．求两次摸到红球颜色的概率．（请用树状图或列表解决问题） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图或列表法求概率，解题的关键是数形结合．画树状图，共有种等可能的结果，其中次都摸到红球的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中次都摸到红球的结果有种， 次都摸到红球的概率为． 22. 关于的方程有实数根，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程定义及一元二次方程根的情况与判别式关系，根据题意，分和两种情况讨论，当时，由一元二次方程根的情况与判别式关系得到，解不等式即可得到答案，熟记一元二次方程定义及一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键． 【详解】解：当时，， 关于的方程为一元一次方程或，则此时关于的方程有实数根； 当时，， 关于的方程有实数根， ， 综上所述：当时，关于的方程有实数根． 23. 如图，中，弦，相交于点，． （1）比较与的长度，并证明你的结论； （2）求证：． 【答案】（1） 解：与的长度相等，理由如下： ， ， ， ； （2） 证明：在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质． （1）由圆心角、弧、弦的关系推出，即可得到． （2）由证明，即可推出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE=1寸，锯道长AB=10寸，问这块圆形木材的直径是多少？” 【答案】CD=26寸． 【解析】 【分析】连接OA，由题意知CD过点O，且CD⊥AB，AE=BE=AB=5（寸），设圆形木材半径OA的长为x，可知OE=x-1，根据OA2=OE2+AE2列方程求解可得． 【详解】解：连接OA， ∵AB⊥CD，且AB=10， ∴AE=BE=AB =5（寸）， 设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x ∵DE=1， ∴OE=x-1， 在Rt△AOE 中，根据勾股定理得：OA2-OE2=AE2 ， 解得：x=13 所以CD=26（寸）． 故答案为CD=26寸． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧及勾股定理是解题的关键． 25. 某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应定为多少？ 【答案】60元. 【解析】 【详解】试题分析：设销售单价定为每千克x元，根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知：月销售量=500-（销售单价-50）×10，然后根据利润=每千克的利润×销售的数量列出方程，求出x的值即可． 试题解析：设销售单价定为每千克x元时，则月销售量为：[500−(x−50)×10]=(1000−10x)千克，每千克的销售利润是：(x−40)元， 则(x−40)(1000−10x)=8000， 解得：x1=60，x2=80. ∵要“薄利多销”， ∴x=60 答：要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为60元． 点睛：此题考查了一元二次方程的应用，关键是读懂题意，根据题目中的数量关系正确表示出月销售量. 26. 用一根长的铁丝： （1）能否围成面积是的矩形？ （2）能否围成面积是的矩形？ （3）用这根铁丝围成的矩形最大面积是多少？ 【答案】（1）用一根长的铁丝能围成面积是的矩形 （2）不能围成面积是的矩形 （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的面积、一元二次方程的应用和二次函数的性质及应用． （1）设这个矩形的一边长为，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可； （2）同（1）列出方程，由判别式，即可得出结果； （3）设当矩形的一边长为时，面积为，由矩形的面积公式列出方程，整理配方得，根据二次函数的性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：设这个矩形的一边长为，则另一边长为， 根据题意得， 解得：，， 当时，； 当时，， 即能围成面积是的矩形，此时长和宽分别为； 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得， ， 方程无解，因此不能围成面积是的矩形； 【小问3详解】 设当矩形的一边长为时，面积为， 由题意得：， 整理得， 当时，n有最大值， 故这根铁丝围成的矩形最大面积是． 27. 如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： (1)经过几秒后，△BPQ是直角三角形？ (2)经过几秒△BPQ的面积等于10cm2？ 【答案】（1）6秒或秒时，△BPQ是直角三角形；（2）经过2秒△BPQ的面积等于10cm2． 【解析】 【分析】（1）先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论； （2）作QD⊥AB于D，由勾股定理可以表示出DQ，然后根据面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】（1）设经过x秒后，△BPQ是直角三角形， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°， 当∠PQB=90°时， ∴∠BPQ=30°， ∴BP=2BQ． ∵BP=12﹣x，BQ=2x， ∴12﹣x=2×2x， 解得x=， 当∠QPB=90°时， ∴∠PQB=30°， ∴BQ=2PB， ∴2x=2（12﹣x）， 解得x=6． 答：6秒或秒时，△BPQ是直角三角形； （2）作QD⊥AB于D， ∴∠QDB=90°， ∴∠DQB=30°， ∴DB=BQ=x， 在Rt△DBQ中，由勾股定理，得 DQ=x， ∴=10， 解得x1=10，x2=2， ∵x=10时，2x＞12，故舍去， ∴x=2． 答：经过2秒△BPQ的面积等于10cm2． 【点睛】本题考查了动点问题的运用，等边三角形的性质的运用，30°的直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时建立根据三角形的面积公式建立一元二次方程求解是关键． 28. 若是一元二次方程的两个实数根，且满足，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）判断下列方程是否是“差根方程”： ①______； ②______；（填是或否） （2）已知关于的方程是“差根方程”，求a的值； （3）若关于的方程（是常数，）是“差根方程”，请写出与之间的数量关系式． 【答案】（1）否，是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“差根方程”定义判断即可． （2）根据是“差根方程”，解方程求得得到，从而得到； （3）设是一元二次方程（是常数，）的两个实数根，根据根与系数的关系得到，整理即可得到． 【小问1详解】 解：①设是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴方程不是差根方程； ②设是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴方程是差根方程； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， 解得：， ∵关于x的方程是“差根方程”， ∴，即； 【小问3详解】 解：设是一元二次方程（是常数，）的两个实数根， ∴，， ∵关于x的方程（是常数，）是“差根方程”， ∴， ∴=1，即， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $