精品解析：天津市南仓中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

天津市南仓中学2024至2025学年度第一学期 高二年级过程性检测（数学学科） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共120分，考试用时100分钟. 第Ⅰ卷至1页，第Ⅱ卷至2页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题纸上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效. 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，共36分. 一、选择题（每小题4分，共36分） 1. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 过与直线平行的直线方程是 C. 点到直线的距离是 D. 若直线：，则 4. 过圆外一点，以为直径的圆的标准方程是（ ） A. B. C D. 5. 在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（ ） A. B. C D. 6. 已知空间向量， 则下列结论正确的是（ ） A. 向量在向量上的投影向量是 B. C. D. 7. 已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 从点出发的一条光线l，经过直线反射，反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上. 2.本卷共11小题，共84分. 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是______. 11. 经过点，倾斜角是直线方程是______. 12. 若点、、在同一直线上，则实数k值为__________． 13. 已知，若点P是直线上的任意一点，则的最小值为________． 14. 在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是_________. 15. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为______. 三、解答题（每题12分，共60分） 16. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 17. 已知空间向量． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且，求的最大值． 18. 如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）三角形面积. 19. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）求点到直线的距离 （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 20. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，. （1）取的中点N，求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值. （3）在线段上，是否存在一点M，使得平面与平面所成锐二面角的平面角为?如果存在，求出与平面所成角的大小；如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市南仓中学2024至2025学年度第一学期 高二年级过程性检测（数学学科） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共120分，考试用时100分钟. 第Ⅰ卷至1页，第Ⅱ卷至2页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题纸上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效. 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，共36分. 一、选择题（每小题4分，共36分） 1. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可. 【详解】由得，， 所以直线的一个方向向量为， 而，所以也是直线的一个方向向量. 故选：B. 2. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直，数量积为0求得参数，然后由模的坐标表示计算． 【详解】， 与垂直，则, ， 解得， ， ， 故选：C． 3. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 过与直线平行的直线方程是 C. 点到直线的距离是 D. 若直线：，则 【答案】B 【解析】 【分析】求解直线的倾斜角判断A；求解直线方程判断B；点到直线的距离判断C；利用直线的斜率乘积判断D. 【详解】对于A，直线，直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为，所以A错误； 对于B，过与直线平行的直线方程是， 即，故B正确； 对于C，点到直线的距离是，所以C错误； 对于D，直线：的斜率为，故，故D错误. 故选：B． 4. 过圆外一点，以为直径的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知求出所求圆的圆心和半径，即可求得答案. 【详解】由圆可知，， 故以为直径的圆的圆心为，半径为， 故以为直径的圆的方程为， 故选：D 5. 在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 详解】 . 故选：C. 6. 已知空间向量， 则下列结论正确的是（ ） A. 向量在向量上的投影向量是 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A选项，根据投影向量的定义计算即可；对于B选项，根据空间向量的减法运算法则即可；对于C选项，根据向量法垂直的判别即可；对于D选项，根据向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】A.在上的投影， 与同向的单位向量为， 所以向量在向量上的投影向量是， 故A正确； B.，故B错误； C.因为，所以与不垂直，故C错误； D.，故D错误. 故选：A. 7. 已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项. 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 故选：A 8. 从点出发的一条光线l，经过直线反射，反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点关于直线的对称点 ，再结合D在反射光线上，反射光线恰好通过点，即可求解． 【详解】设点关于直线的对称点为， 则 ，解得 ， 由题意可知，D在反射光线上，又反射光线恰好通过点， 则 ，即反射光线所在直线的斜率为， 故选：B﹒ 9. 已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】表示点与与直线的斜率取值范围，先求出与点连线斜率，再结合题意即可得出答案. 【详解】解：∵，∴可得为点与与直线的斜率取值范围， 如图所示： ∴与点连线斜率为， 与点连线斜率为， ∴可得斜率取值范围为． 故选:A． 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上. 2.本卷共11小题，共84分. 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是______. 【答案】或． 【解析】 【分析】当直线过原点时，由点斜式求出直线的方程．当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得的值，从而得到直线方程．综合以上可得答案． 【详解】当直线过原点时，由于斜率为，故直线方程为，即． 当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得， 故直线的方程为， 故答案为：或． 11. 经过点，倾斜角是的直线方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】由点斜式求得方程，化为一般式即可. 【详解】由题知，直线斜率为， 则直线方程为，即 故答案为： 12. 若点、、在同一直线上，则实数k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由的斜率和的斜率相等，求出实数m的值． 【详解】因为三点、、在同一直线上， ∴的斜率和的斜率相等， 即， ∴. 故答案为：． 13. 已知，若点P是直线上的任意一点，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可知的最小值就是点到直线的距离，利用点到直的距离公式可求得结果. 【详解】由题意可知的最小值就是点到直线的距离， 因为到直线距离， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是_________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用对称关系求出点的对称点为，则最小值为之间的距离. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 所以的最小值是4， 故答案为：4 15. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的方程以及的长，圆心到直线的距离为，再求出点到直线的距离最小值，再由三角形面积公式即可求解. 【详解】因为两点，， 所以直线的方程为：，即，， 圆，其圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 点到直线的距离最小值为， 所以面积的最小值； 故答案为：. 三、解答题（每题12分，共60分） 16. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据两直线平行公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可； （2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可. 【小问1详解】 由得，解得， 此时直线：，：，不重合， 则直线，之间的距离为； 【小问2详解】 当时，：， 联立，解得， 又直线斜率为， 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为， 即. 17. 已知空间向量． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由向量共线定理、数量积的坐标公式运算即可求解. （2）首先由向量垂直的坐标表示得到条件等式，结合基本不等式即可求解，注意取等条件是否成立. 【小问1详解】 由题意，，所以不妨设， 又， 从而， 解得，所以. 【小问2详解】 由题意，所以，即， 又因为， 所以由基本不等式可得，等号成立当且仅当， 解得， 所以当且仅当时，的最大值为. 18. 如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）三角形的面积. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用直线的两点式方程即可求得所在直线的方程； （2）先求得直线的斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得所在直线的方程； （3）利用点到直线距离公式求得边上的高，再利用两点间距离公式求得边的长，进而求得三角形的面积. 【小问1详解】 因为， 所以直线的两点式方程为， 化简得； 【小问2详解】 因为，又， 则，所以， 则直线的方程为， 即. 【小问3详解】 点到直线：的距离 又的底边， 所以的面积为. 19. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）求点到直线的距离 （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出等腰三角形腰上的高即可求出点到直线的距离. （2）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值； （3）利用向量法可求出点P到平面的距离． 【小问1详解】 三棱锥中，平面，平面，则， 又，，，则， ，， 于是等腰腰上的高， 由，分别是棱，的中点，得，是的中位线， 所以点到直线的距离为. 【小问2详解】 依题意：以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 又，，分别是棱，，的中点，， 得， 则，设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，， 点P到平面的距离， 所以点P到平面的距离为. 20. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，. （1）取的中点N，求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值. （3）在线段上，是否存在一点M，使得平面与平面所成锐二面角平面角为?如果存在，求出与平面所成角的大小；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存， 【解析】 【分析】取的中点，连接，则，以A为原点，AE所在的直线为x轴，所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系. （1）计算，利用向量法求证即可； （2）利用向量的夹角公式计算异面直线所成的角； （3）假设存在点M符合题意，根据二面角、线面角的向量求法计算即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，则，， 所以四边形为矩形，所以， 以A为原点，所在的直线为x轴，所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，， 取中点，则，， 所以，故，又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，，， . 故直线AC与PD所成角的余弦值为. 【小问3详解】 假设存在，且， 则点为，所以， 设平面的法向量是， ， 令，，（易知t=1不合题意） 又是平面的一个法向量， ， 解得(舍去)，则． 此时平面的一个法向量可取，， 设与平面所成的角为， 则， 由知，. 与平面所成角的大小为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$