精品解析：江苏省盐城市阜宁县实验初级中学2024—-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级数学课堂练习 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 一元二次方程中一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2， B. 0， C. 1， D. 1，0 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一元二次方程的一个根是x=1，则 的值是（　　） A. -1 B. 0 C. 1 D. 不能确定 4. 已知x1，x2是一元二次方程2x2+6x﹣5＝0的两个实数根，则x1+x2等于（　　） A. 3 B. ﹣ C. ﹣3 D. ﹣6 5. 杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户3月份销售吉祥物“宸宸”摆件为10万个，5月份销售万个．设该摆件销售量的月平均增长率为x（），则可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 下列结论正确的是（ ） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 三点确定一个圆 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 等弧所对的圆心角相等 7. 如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（　　） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，在中，，，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为　　 A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 一元二次方程 的根是__________． 10. 一元二次方程 的两个实数根分别为和，则______． 11. 若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值为________________． 12. 如图，一张长、宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒，则该铁盒的体积为_______． 13. 一条弦把圆分成 两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是____． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 15. 已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点______确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 16. 如图，所对圆心角 ，半径为6，是的中点，是上一点，把绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是______． 三、解答题（共11小题，满分102分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的方程． （1）若该方程有一个根为，求a的值： （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 19. 方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 20. 于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”，手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦长，弓形高长求半径的长． 21. 设的半径为2，点P到圆心的距离，且m使关于x的方程有两个不相等的实数根，试确定点P与的位置关系． 22. 某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应，销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售利润为y元． （1）每天的销售量为______瓶，每瓶洗手液的利润是______元．（用含x的代数式表示）； （2）若这款洗手液的日销售利润达到315元，则销售单价应上涨多少元？ 23. 如图，圆内接四边形的对角线 交于点E，平分， ． （1）求证：为圆的直径； （2）过点C作 交的延长线于点F，若 ，求此圆半径的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，、、 （1）在图中画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置，并写出圆心的坐标__； （2）的半径为__； （3）点到上最近的点的距离为__． 25. 如图，是的直径，点A在上，，垂足为D，，分别交于点F、G． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若点E为 弧的中点，，求的半径R 26. 如图，A，P，B，C是上的四个点，，交于点E． （1）判断的形状，证明你的结论； （2）①若P是的中点，求证：； ②若点P在上移动，判断是否成立，证明你的结论 27. 探寻规律，解决问题： 【观察探索】（1）比较与的大小： ①当 ，时，　　．②当 ，时，　　． 【猜想证明】（2）通过上面的填空，猜想与的大小关系，并证明． 【问题解决】（3）如图1，点在线段上，以，为边，在线段的两侧分别作正方形 、正方形，连接，设两个正方形的面积分别为，．若的面积为1，求的最小值． 【应用拓展】（4）如图2，四边形的对角线，相交于点， ，的面积分别是4和16．请直接写出四边形面积的最小值 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学课堂练习 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 一元二次方程中一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2， B. 0， C. 1， D. 1，0 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式( ，，是常数且 )，熟练掌握二次项系数的定义是解题的关键．根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的一次项系数和常数项即可． 【详解】解：中一次项系数、常数项分别是，， 故选：． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 若一元二次方程的一个根是x=1，则 的值是（　　） A. -1 B. 0 C. 1 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】直接把x=1代入方程就看得到a+b+c的值． 【详解】解：把x=1代入方程（a≠0）得a+b+c=0． 故选B ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4. 已知x1，x2是一元二次方程2x2+6x﹣5＝0的两个实数根，则x1+x2等于（　　） A. 3 B. ﹣ C. ﹣3 D. ﹣6 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：x1，x2是一元二次方程2x2+6x﹣5＝0的两个实数根， a=2，b=6， 则x1+ x2的= -=-3． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系公式． 5. 杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户3月份销售吉祥物“宸宸”摆件为10万个，5月份销售万个．设该摆件销售量的月平均增长率为x（），则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用5月份的销售量3月份的销售量 该摆件销售量的月平均增长率，即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该摆件销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6. 下列结论正确的是（ ） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 三点确定一个圆 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 等弧所对的圆心角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的相关概念，包括确定圆的条件，弧、弦、圆心角三者的关系，等弧的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据圆的相关概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故A选项错误，不符合题意； B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故B选项错误，不符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C选项错误，不符合题意； D、等弧所对的圆心角相等，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 7. 如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意正确作出辅助线． 如图，取弧的中点E，连接，证明，再利用三角形的三边关系解决问题． 【详解】解：如图，取弧的中点E，连接， ，， ， ， ， ． 故选：B． 8. 如图，在中，，，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直角三角形的两锐角互余得出∠B=62°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB=∠B=62°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 的度数为． 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及圆心角的性质，圆心角的度数等于它所对弧的度数是解题的关键． 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 一元二次方程 的根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 根据直接开平方法求解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ， ， 解得：． 故答案为：． 10. 一元二次方程 的两个实数根分别为和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：一元二次方程 的 两个实数根分别为和， 根据根与系数的关系得： ； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知是解题的关键． 11. 若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及解法和方程的解，熟练掌握基础概念并进行正确计算是解决问题的关键． 将一个根0代入，得，解得，由一元二次方程定义，可知，解得 ，进而求出k值． 【详解】解：由题意， 将一个根0代入，得 ， 解得， 由一元二次方程定义，可知， 解得 ， ∴， 故答案为：． 12. 如图，一张长、宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒，则该铁盒的体积为_______． 【答案】48 【解析】 【分析】设剪去的正方形的边长为 ，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为，宽为，根据长方体铁盒的底面积是即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； 【详解】解：设剪去的正方形的边长为 ，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为，宽为， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 该纸盒的体积为； 故答案为：48． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及全等图形，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13. 一条弦把圆分成 两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据条件画出相应的图形，利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接 ， ∵一条弦把圆分成 两部分，如图， ∴弧的度数是，弧 的度数是 ， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为或 ． 【点睛】本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得，， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．利用整体代入法是本题的关键． 15. 已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点______确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 【答案】可以 【解析】 【分析】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．用待定系数法求一次函数解析式．先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征判断点C是否在直线上，然后根据确定圆的条件进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 把代入得， ， 解得，， 所以直线的解析式为 ， 当时，， 所以点不在直线上， 即点A、B、C不在同一条直线上， 所以过A、B、C这三个点能确定一个圆． 故答案为：可以 16. 如图，所对圆心角 ，半径为6，是的中点，是上一点，把绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，连接，以为边向下作正方形，连接 ， ．利用勾股定理求出 ，再证明，推出，由，可得结论． 【详解】解：连接，以为边向下作正方形，连接 ， ，如图所示： ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及旋转性质、正方形性质、圆的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 三、解答题（共11小题，满分102分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及直接开平方法、公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． （1）先移项得到，然后直接开平方得到，再解一元一次方程即可得到答案； （2）先由一元二次方程一般式得到，再计算判别式，最后利用求根公式代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 移项得， 直接开平方得， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ，即． 18. 已知关于x的方程． （1）若该方程有一个根为，求a的值： （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）2 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式等知识点，掌握根的判别式大于零的方程有两个不相等的实数根成为解题的关键； （1）将代入方程得到关于a的方程求解即可； （2）计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可证明结论． 【小问1详解】 解：将代入方程可得： ，解得： 【小问2详解】 证明：∵关于x的方程， ∴， ∴对于任意实数a,该方程总有两个不相等的实数根． 19. 方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得一元二次方程有两个实数根，判别式 ，求解一元一次不等式即可； （2）根据根与系数的关系，求得，，代入求解即可． 【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根， ∴，解得； （2）由根与系数的关系，可得， ∵， ∴， ∴，符合题意， ∴ 【点睛】此题考查了一元二次方程判别式与根的情况以及根与系数的关系，熟练掌握相关基本知识是解题的关键． 20. 于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”，手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦长，弓形高长求半径的长． 【答案】半径的长为 【解析】 【分析】此题主要考查了弓形的概念，熟练掌握弓形的概念，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．设半径的长为，则，由已知可得然后在中，由勾股定理得，即，由此解出r即可． 【详解】解：设半径的长为，则， ∵弓形高， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：． 答：半径的长为． 21. 设的半径为2，点P到圆心的距离，且m使关于x的方程有两个不相等的实数根，试确定点P与的位置关系． 【答案】点P在内 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，点与圆的位置关系两个知识点；先由一元二次方程根的判别式确定出m的范围，再与半径比较即可判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵m使关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得： ， ∵圆的半径为2， ∴点P在内． 22. 某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应，销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售利润为y元． （1）每天的销售量为______瓶，每瓶洗手液的利润是______元．（用含x的代数式表示）； （2）若这款洗手液的日销售利润达到315元，则销售单价应上涨多少元？ 【答案】（1）， （2）元或元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，读懂题目列出方程是解题的关键． （1）设这款洗手液的销售单价上涨x元，则每天的销售量为瓶，每瓶洗手液的利润为元； （2）利用这款洗手液的日销售利润=每瓶洗手液的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：设这款洗手液的销售单价上涨x元，则每天的销售量为瓶，每瓶洗手液的利润为元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：依题意得：， 解得：． 答：销售单价应上涨3元或5元． 23. 如图，圆内接四边形的对角线 交于点E，平分， ． （1）求证：为圆的直径； （2）过点C作 交的延长线于点F，若 ，求此圆半径的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴ ； ∵， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即平分， ∴ ； ∵平分， ∴ ， ∴ ， ∴， 即是圆的直径； （2）4 【解析】 【分析】（1）由圆内接四边形性质得 ，由 及同弧对的圆周角相等得 ，即平分，再结合已知即可得，问题得证； （2）由题意得是等边三角形，则得 ；再由平行得，利用含30度直角三角形的性质可分别求得 ，从而可求得半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ； ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ； ∵ ，， ∴， ∴ ， ∴ ； ∵ ， ， ∴ ， ∴圆的半径为 ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形性质，同弧或等弧对的圆周角相等，直角对的弦为直径，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度直角三角形性质等知识，掌握这些知识是关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，、、 （1）在图中画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置，并写出圆心的坐标__； （2）的半径为__； （3）点到上最近的点的距离为__． 【答案】（1）见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质以及垂径定理，利用网格结构得到圆心M的坐标是解题的关键． （1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，利用垂径定理的推论可判断点为经过、、三点的圆的圆心； （2）利用两点间的距离公式计算出即可； （3）过点的半径可得到点到上最近的点，则点到上最近的点的距离为 ． 【小问1详解】 如图，点为所作；点的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 ，， ， 即的半径为， 故答案为：； 【小问3详解】 ， 点到上最近的点的距离为 ． 故答案为： ． 25. 如图，是的直径，点A在上，，垂足为D，，分别交于点F、G． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若点E为 弧的中点，，求的半径R 【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用相等的弧对的圆周角相等、直径对的圆周角是直角、余角的性质即可判断； （2）由题意得，从而得是等边三角形，则得，从而求得，继而求得直径，即可求得半径R． 【小问1详解】 解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴； ∵为直径，， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， 即是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵，E是的中点， 即， ∴； ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 由勾股定理得； ∵， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查了相等的弧对的圆周角相等，直径对的圆周角为直角，含30度直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质等知识，题目不难，但所涉及的知识点较多，熟练掌握它们是解题的关键． 26. 如图，A，P，B，C是上的四个点，，交于点E． （1）判断的形状，证明你的结论； （2）①若P是的中点，求证：； ②若点P在上移动，判断是否成立，证明你的结论 【答案】（1）是等边三角形，证明见解析 （2）详见解析；成立，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，，根据等边三角形的判定定理证明； （2）①证明垂直平分，得到为直径，根据三线合一和含30度角的直角三角形的性质，得到，即可得证； ②在上截取，得到 为等边三角形，证明，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可． 【小问1详解】 解：是等边三角形，理由如下： 由圆周角定理得，，， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：①∵P是的中点， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴为直径，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②成立，理由如下： 在上截取， ∵ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ，， 在和中， ， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，中垂线的判定，含30度角的直角三角形，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 27. 探寻规律，解决问题： 【观察探索】（1）比较与的大小： ①当 ，时，　　．②当 ，时，　　． 【猜想证明】（2）通过上面的填空，猜想与的大小关系，并证明． 【问题解决】（3）如图1，点在线段上，以，为边，在线段的两侧分别作正方形 、正方形，连接，设两个正方形的面积分别为，．若的面积为1，求的最小值． 【应用拓展】（4）如图2，四边形的对角线，相交于点， ，的面积分别是4和16．请直接写出四边形面积的最小值 ． 【答案】（1）①；② （2），证明见解析 （3）4 （4）36 【解析】 【分析】（1）把① ，；② ，分别代入代数式进行计算，然后比较即可得到答案； （2）根据（1）的结果，得出猜想，然后利用完全平方公式证明即可； （3）由题意可知，，结合，从而得出答案； （4）设，利用与中和边上的高相等， 与 中和边上的高相等，得到，推出，从而得到，最后利用（2）的结论，得到，即可得到答案． 【详解】解：（1）解：①把 ，代入得： ，， ， 故答案为：； ②把 ，代入得： ，， ， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，猜想：， 理由如下： ，即， ； （3）解：由题意可知，， 的面积为1，即， ， ， ， 的最小值为4； （4）解：设， 与中和边上的高相等， 与 中和边上的高相等， ， ，， ，解得， ， 由（2）可知，，当且仅当即 时，取到最小值， ， 四边形面积的最小值为36． 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，代数式规律，代数式求值，有理数比较大小，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $