精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

高三数学10月考 一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（i为虚数单位）复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列满足，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 36 4. 已知向量，，若，则（ ） A. -6 B. 0 C. D. 5. 遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，则记忆率为20%时经过的时间约为（ ）（参考数据：，） A. 80小时 B. 90小时 C. 100小时 D. 120小时 6. 已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 的最大值为 C. 的图象关于成中心对称 D. 的递减区间是 10. 已知等比数列的前项和为，公比，，则（ ） A. 一定是递增数列 B. 可能是递增数列也可能是递减数列 C. 、、仍成等比 D. ， 11. 已知则（ ） A. B. C. D. 12. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的特征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ） A. B. 当时，函数单调递增 C. 当时，的最大值为 D. 当时， 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13. 展开式的常数项为______. 14. 国家鼓励中小学校开展课后服务，某中学为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能积极选择自己喜欢的社团.目前话剧社团、书法社团、舞蹈社团、朗诵社团分别还可以接收1名学生，恰好甲、乙、丙、丁4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进朗诵社团，乙进书法社团或舞蹈社团的概率为________. 15. 将函数的图象向右平移个单位长度后，再将使得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（）得到函数的图象，若在区间内有5个零点，则的取值范围是____. 16. 已知正实数满足，则的最小值为________. 四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）证明：； （2）若，求的取值范围． 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 19. 某专营店统计了最近天到该店购物的人数和时间第天之间的数据，列表如下： （1）由表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？（若，则认为线性相关程度高，可用线性回归模型拟合；否则，不可用线性回归模型拟合.计算时精确到） （2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折.某顾客计划在此专营店购买一件价值元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选哪种方案更优惠？ 参考数据：.附：相关系数. 20. 如图，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，是线段上的一点，. （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角为直二面角，求实数的值. 21. 已知函数，函数与关于点中心对称． （1）求的解析式； （2）若方程有两个不等的实根，，且，求a的值． 22. 已知函数. （1）若，求的极值. （2）若方程在区间上有解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学10月考 一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（i为虚数单位）复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】判断复数在复平面上的象限，只要把复数表示成标准的复数形式即可. 【详解】，所以复数在复平面内对应的点为(2,-3)，位于第四象限． 故选：D 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合A，B，再根据补集和交集的概念即可求解． 【详解】由，得，，， ， 故选：A 3. 已知数列满足，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】由可知数列是公比为的等比数列，再由题意结合等比数列的通项公式代入可求出答案. 【详解】由可知数列是公比为的等比数列， 所以， 解得：. 故选：D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. -6 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示列出方程求参，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，所以 所以． 故选:C. 5. 遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，则记忆率为20%时经过的时间约为（ ）（参考数据：，） A. 80小时 B. 90小时 C. 100小时 D. 120小时 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设得到，两边取对数求解，即可得出结果. 【详解】根据题意得，整理得到，两边取以10为底的对数， 得到，即，又， 所以，得到， 故选：C. 6. 已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的单调性与奇偶性，由可推导出，可得出，利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为， 对任意的，，则函数的定义域为， ， 所以，函数为奇函数， 因为内层函数为增函数，外层函数在上为减函数， 所以，函数在上的减函数， 由可得， 所以，，即， 又因为，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 7. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式与两角和的余弦公式化简已知条件等式得，根据角的范围与函数值的大小比较得，从而得到，然后利用两角差的余弦公式求得，再利用二倍角的余弦公式求可得. 【详解】由， 得， 则，由为锐角，则， 又，， 故， 所以 ， 由二倍角余弦公式得，则. 又为锐角，所以， 故. 故选：C. 8. 已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题等价于恒成立，不妨令，求出即可得实数的取值范围. 【详解】当，恒成立， ，即恒成立. 不妨令，则 设，有，， 当时，，在上单调递增，有， 所以时， ，当且仅当时等号成立. 故， 当且仅当，即时上式取得等号， 由对数函数和一次函数的图象和性质可知，方程显然有解， 所以，得. 故选：B. 【点睛】方法点睛： 问题等价于恒成立，由，利用，得到. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 的最大值为 C. 的图象关于成中心对称 D. 的递减区间是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由求解判断，对于B，利用换元法根据指数函数的单调性分析判断，对于C，对函数变形后，利用反比例函数的对称性和函数图象变换规律分析判断，对于D，利用换元法分析判断 【详解】对于A，由题意得，得，所以函数的定义域为，所以A正确， 对于B，令，则，因为，且在定义域内递减， 所以，所以的最小值为，所以B错误， 对于C，因为，所以是由反比例函数向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的， 因为的对称中心为，所以的对称中心为，所以C正确， 对于D，由，得或，所以函数的定义域为，令，则， 因为在上递减，在上递增，且在上递增， 所以在上递减，在上递增，所以D错误， 故选：AC 10. 已知等比数列的前项和为，公比，，则（ ） A. 一定是递增数列 B. 可能是递增数列也可能是递减数列 C. 、、仍成等比 D. ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等比数列的性质依次判断即可. 【详解】对于A，当，时，为递减数列，故A错误； 对B，当，时，为递减数列，当，时，为递增数列，故B正确； 对C，等比数列，则、、仍成等比，故C正确； 对D，等比数列中，，则必不为0，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，可判定A不正确；由对于的运算性质，可判定B正确；由对数的运算性质，可判定C正确；结合基本不等式和对数的运算性质，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，可得，所以A不正确； 对于B中，由，可得， 所以，所以B正确； 对于C中，由，因为，所以，所以C正确； 对于D中，由， 可得， 因为，所以等号不成立，所以， 又因为，所以，所以D正确. 故选：BCD. 12. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的特征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ） A. B. 当时，函数单调递增 C. 当时，的最大值为 D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，结合条件可得的值，从而求得函数的解析式，然后根据正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由题意，，，所以， 则， 又点，此时代入可得，解得， 又，所以，故A正确； 因为，当时，， 所以函数先增后减，故B错误； 当时，所以， 则，则，故C错误； 当时，，的纵坐标为，横坐标为， 所以，故D正确； 故选：AD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13. 展开式的常数项为______. 【答案】15 【解析】 【分析】利用二项式的展开式通项公式求解. 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为， 故答案为：15. 14. 国家鼓励中小学校开展课后服务，某中学为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能积极选择自己喜欢的社团.目前话剧社团、书法社团、舞蹈社团、朗诵社团分别还可以接收1名学生，恰好甲、乙、丙、丁4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进朗诵社团，乙进书法社团或舞蹈社团的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用排列计算出总的种数，再计算出甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的种数，最后代入古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】4名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团共有种， 其中甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团有种， 由古典概型的概率计算公式可得，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为， 故答案为：. 15. 将函数的图象向右平移个单位长度后，再将使得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（）得到函数的图象，若在区间内有5个零点，则的取值范围是____. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数图象的平移变换可得，再根据余弦函数的图象可得，求解即可. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象. 时，， 在轴右方的零点为 因为函数的图象在区间内有5个零点， 所以，解得. 故答案为：. 16. 已知正实数满足，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】先将等式变形，构造函数，利用函数单调性得到，对变形后使用基本不等式求解最小值. 【详解】变形为， 则，即， 令，则恒成立， 则，单调递增， 又，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为2. 故选：A 四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）证明：； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） 因为，由正弦定理得， 所以， 所以， 而，则或， 即或（舍去），故． （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、两角和差的正弦公式化简得，进一步即可证明； （2）由题意首先求得的取值范围，进一步将目标式子转换为只含有的式子即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以的取值范围是， 由正弦定理可得：，则， 所以，所以， 因为， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是． 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2），. 【解析】 【分析】（1）利用得出数列是等比数列，从而可得通项公式； （2）由已知求得，得出是等差数列，求出其前项和，然后根据绝对值的性质得出数列与的前项和的关系，从而求得结论． 【小问1详解】 由，则当时 两式相减得，所以. 将代入得，， 所以对于，故是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. 【小问2详解】 . ， 因为当时，当时， 所以当时，， 当时，. 故. 19. 某专营店统计了最近天到该店购物的人数和时间第天之间的数据，列表如下： （1）由表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？（若，则认为线性相关程度高，可用线性回归模型拟合；否则，不可用线性回归模型拟合.计算时精确到） （2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折.某顾客计划在此专营店购买一件价值元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选哪种方案更优惠？ 参考数据：.附：相关系数. 【答案】（1）可以用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系 （2）方案二更优惠. 【解析】 【分析】（1）计算出、的值，将表格中的数据代入相关系数公式，求出的值，即可得出结论； （2）设方案一的实际付款金额为元，方案二的实际付款金额为元，计算出、的值，比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 解：，， 所以，， ，， 所以，， 所以，与的线性相关性很强，故可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系. 【小问2详解】 解：设方案一的实际付款金额为元，方案二的实际付款金额为元， 由题意可知，（元）， 的可能取值有、、、， ，， ，， 所以，， 所以，方案二更优惠. 20. 如图，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，是线段上的一点，. （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角为直二面角，求实数的值. 【答案】（1）证明：取的中点，连接、，如下图所示： AI    因为为的中点，为的中点，则，所以，， 又因为，即，所以，，则， 因为平面，平面，所以，平面， 又因为为的中点，则， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出平面平面，再利用面面平行的性质可证得结论成立； （2）以点为原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于的等式，解之即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：因为，则为等边三角形， 又因为平面，以点为原点，、所在直线分别为、轴， 平面内过点且与垂直的直线为轴建立如下所示的空间直角坐标系， 则、、、、， ，其中， ，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，则， 易知平面的一个法向量为， 因为二面角为直二面角，则，即，解得. 21. 已知函数，函数与关于点中心对称． （1）求的解析式； （2）若方程有两个不等的实根，，且，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的对称性可得，从而可得的解析式； （2）根据方程的根，利用一元二次方程根与系数的关系与指数函数的性质，结合，即可求得a的值． 【小问1详解】 已知函数，函数与关于点中心对称 所以，则 【小问2详解】 由于方程有两个不等的实根，，不妨设 即两个不等的实根，则，由于函数是递增函数， 所以①，② 因为，，则， 所以，则代入②得：，解得， 代入①得. 22. 已知函数. （1）若，求的极值. （2）若方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导数导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值； （2）对参数分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值（最值），从而得到不等式，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为定义域为， 所以， 当时，，，令得 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 解：因为， ①若，当时恒成立，所以在上单调递增 要使方程在上有解，则 即 得 ，因为，所以. ②若，当时恒成立，所以在上单调递减， 此时不符合条件. ③若，当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 此时，，要使方程在上有解，则需， 解得，所以. 综上可知，的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $