精品解析：湖南省邵东市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

邵东一中2024年高二上学期第一次月考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 出题人：邓联利；审题人：刘琼英. 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为． A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. 已知直线与不重合，则“直线与的斜率相等”是“直线与平行”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 3. 若向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且为的中点，，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 5. 到直线的距离为的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）． ①三棱锥中，点P到面的距离为定值 ②过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 ③ 直线与面所成角的正弦值的范围为 ④当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为 以上命题为真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 直线经过定点 B. 过，两点的所有直线的方程为 C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 D. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 10. 已知圆及点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 若点在圆上，则直线的斜率为 C. 点在圆外 D. 若是圆上任一点，则的取值范围为． 11. 如图，四边形是边长为的正方形，点、分别为线段、上的动点，，将翻折成，且平面平面，下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使 B. 当点为中点时，三棱锥的外接球半径为 C. 三棱锥与三棱锥体积之和的最大值为 D. 存在点，使平面与平面的夹角的大小为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425.60分的高分拿下冠军.下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的60%分位数为__________. 13. 曲线与直线有两个交点时，实数k的取值范围是______． 14. 已知函数的最小正周期满足，且的图象关于点对称，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求过点,且与直线垂直的直线方程； （2）已知直线，. 若，求的值. 16. 已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. （1）求外接圆的方程； （2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； （3）若直线与圆相交于，两点，求面积的最大值，并求出直线的斜率. 17. 已知的内角所对的边分别为，且 （1）求角A； （2）若为边上一点，为的平分线，且，求的面积 18. 已知平面四边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面. （1）证明：； （2）若M是线段上一点，且平面， ①求三棱锥的体积； ②求二面角的平面角的余弦值. 19. 已知圆的方程为． （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知，直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵东一中2024年高二上学期第一次月考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 出题人：邓联利；审题人：刘琼英. 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为． A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】 将直线化成斜截式，前系数即为直线斜率，通过斜率求倾斜角． 【详解】将直线化成斜截式得，所以直线斜率为，设直线的倾斜角是，则，即， 所以. 故选B. 【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，属于简单题． 2. 已知直线与不重合，则“直线与的斜率相等”是“直线与平行”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 【答案】A 【解析】 【分析】“与的平行”则有“与的斜率相等”或“与的斜率均不存在”两种情况，再判断即可得解. 【详解】因为两条直线与不重合，由“与的斜率相等”可得“与平行”； 由“与的平行”则可得“与的斜率相等”或“与的斜率均不存在”， 即“与的斜率相等”是“与的平行”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 若向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照投影向量的计算公式求解即可. 【详解】解：因为向量， 则向量在向量上的投影向量为:. 故选：B 4. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且为的中点，，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量运算求得正确答案. 【详解】连接， ， 所以的值分别为. 故选：C 5. 到直线的距离为的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出点的坐标，然后根据点到直线的距离公式列式，将选项代入验证即可. 【详解】设到直线距离为的点的坐标为， 则由点到直线的距离公式得，解得或. 选项中符合条件的点为. 故选：C 6. 若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直线与l的交点在直线上，并且直线上任取一点，该点关于直线l的对称点也在直线上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线的方程. 【详解】联立，解得，即与l的交点为. 又点在上，设A关于l的对称点为， 则，解得，即， 所以直线的斜率， 从而直线的方程为， 即. 故选：D 7. 公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意计算得的轨迹方程为，根据对称性可得圆心在直线方程上，即，从而利用乘“1”法即可得到最值. 【详解】设点的坐标为，因为，则， 即， 所以点的轨迹方程为， 因为点的轨迹关于直线对称， 所以圆心在此直线上，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：B. 8. 如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）． ①三棱锥中，点P到面的距离为定值 ②过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 ③ 直线与面所成角的正弦值的范围为 ④当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为 以上命题为真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对于①③用空间向量求解；对于②可证明三角形为截面多边形，求其面积即可；对于④设球心，由求解球心坐标即可. 【详解】 以A为坐标原点，分别以为轴建系如图： ,， ， 设, 则， 所以 设面的一个法向量为， 则 令得， 对于①：到平面的距离为，故①正确； 对于②：连接，因为四边形为平行四边形， ，又面，面， 面， 同理可证面， 又，所以面面， 所以过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形为， 它是边长为的等边三角形，故面积为，故②正确； 对于③：设直线与面所成角为，则， ，， 所以直线与面所成角的正弦值的范围为，故③正确； 对于④：当点P为中点时，设三棱锥的外接球球心， ， ， 解得， 所以外接球半径满足：， 三棱锥的外接球表面积为，故④正确； 综上：①②③④均正确. 故选：D 【点睛】几何体外接球球心的求法： （1）将几何体置入长方体中找球心； （2）利用几何法找到几何体各个顶点距离相等的点即为球心； （3）设球心坐标，根据到各顶点的距离相等解方程组得到球心坐标. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 直线经过定点 B. 过，两点的所有直线的方程为 C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 D. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用直线方程中相关性质即可进行判断. 【详解】直线中，令，得， 所以直线经过定点，故A正确. 当时，过，两点所有直线的方程为 ，故B错误. 经过点且在轴和轴上截距都等于零时， 直线方程为：，故C错误. 设直线与两坐标轴交点为， 所以三角形的面积，故D正确. 故选：BC 10. 已知圆及点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 若点在圆上，则直线的斜率为 C. 点在圆外 D. 若是圆上任一点，则的取值范围为． 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意转化为圆的标准方程，由圆心坐标可判断A选项，通过点代入圆的方程求得的值，进而由斜率公式可求的斜率并可判断B选项，点与圆的位置关系可判断C选项，利用圆心到的距离可得的取值范围并可判断D选项； 【详解】将把转化为标准方程, 则，如图所示： 对于A：圆心C的坐标为，故A正确； 对于B：当点在圆上，则有， 化简得，解得. 即，所以直线的斜率为，故B错误； 对于C：因为，所以点在圆外，故C正确； 对于D：因为， ， 所以，即，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，四边形是边长为的正方形，点、分别为线段、上的动点，，将翻折成，且平面平面，下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使 B. 当点为中点时，三棱锥的外接球半径为 C. 三棱锥与三棱锥体积之和的最大值为 D. 存在点，使平面与平面的夹角的大小为 【答案】BCD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A选项的正误；计算出三棱锥的外接球半径，可判断B选项的正误；利用锥体的体积公式可判断C选项的正误；利用空间向量法结合零点存在定理可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 过点在平面内作，连接， 由已知可得，，，， 故，则，即，且， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面， 设，，则，， 因为，则， ，易得， 则点、、， ， ， 若存在点，使得， ， 化简可得，即，则， 这与矛盾，故不存在点，使得，①错； 对于B选项，当点为的中点时，则点为的中点，且，， ， 取的中点，连接、，则，， 且，， 因为，平面平面，平面平面，平面， 平面，同理可证平面， 所以，三棱锥的外接球球心在直线上，设球的半径为， 由勾股定理得，即，解得，B对； 对于C选项，， 由A选项可知，平面， ， 因为，则，令， 则，函数在上单调递增，则， 所以，C对； 对于D选项，设平面的法向量为， ，， 则， 取，可得， 易知平面的一个法向量为， 因为， 令， 可得， 即， 所以 ， 令，令， 易知函数在上连续，因为，， 由零点存在定理可知，存在，使得， 因此，存在点，使平面与平面的夹角的大小为，D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425.60分的高分拿下冠军.下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的60%分位数为__________. 【答案】75 【解析】 【分析】先进行排序，后按照百分位数概念计算可得. 【详解】先将成绩进行排序：63，66，66，68，70，74，76，78， 80， 84. 由于，60%分位数为第6和第7个数据的平均值.即. 故答案为：75. 13. 曲线与直线有两个交点时，实数k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】化简曲线，即，画出图象分析直线与曲线有两个交点的情况分类讨论求解即可. 【详解】曲线，即. 直线过定点， 如图：， 当直线与曲线有两个交点时， 则直线夹在了直线与直线之间，而， 当直线与曲线相切时也只有一个交点， 则圆心到直线的距离为： ，解得，所以， 故直线与曲线有两个交点时， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知函数的最小正周期满足，且的图象关于点对称，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据函数最小正周期的范围确定，根据的图象关于点中心对称确定b，求出，结合求，即得函数解析式，即可得. 【详解】函数的最小正周期为T，则， 由 ，得, 则， 的图象关于点中心对称，则， 且，则，所以， 由，得，而， ，得， 所以 ， 故. 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求过点,且与直线垂直的直线方程； （2）已知直线，. 若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用两直线垂直斜率之积为求出斜率，结合点坐标写出直线的点斜式方程，化为一般式； （2）利用两直线平行求参数值，代入验证排除重合情况. 【详解】（1）∵， ∴，直线斜率为， ∴所求直线斜率为， ∵直线过点, ∴直线方程为，整理得. （2）∵， ∴， ∴或. 当时，，，两直线重合，不合题意； 当时，，，满足要求. 综上得，. 16. 已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. （1）求外接圆的方程； （2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； （3）若直线与圆相交于，两点，求面积的最大值，并求出直线的斜率. 【答案】（1） （2）或 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法可得圆的方程； （2）根据直线方程，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，进而可得直线方程； （3）由，可得当时面积最大，即此时为等腰直角三角形，进而可得圆心到直线的距离，根据点到直线距离公式可得解. 【小问1详解】 设圆的方程为，， 则，解得， 则圆的方程为， 即； 【小问2详解】 由（1）得圆心，半径， 又，可知圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为，成立； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离， 解得，则直线方程为，即； 综上，直线方程为或. 【小问3详解】 由在圆外， 则在中，，， 又， 则当，即时，取得最大值为， 此时为等腰直角三角形， 即圆心到直线的距离， 即， 解得. 17. 已知的内角所对的边分别为，且 （1）求角A； （2）若为边上一点，为的平分线，且，求的面积 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解； （2）根据面积关系可得，再结合余弦定理解得，进而可得面积. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 且， 即， 整理可得， 且，则，可得， 又因为，则，可得，所以. 【小问2详解】 因为为的平分线，则， 因为，则， 即，可得， 在中，由余弦定理可得， 即，整理可得，解得或（舍去）， 所以的面积. 18. 已知平面四边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面. （1）证明：； （2）若M是线段上一点，且平面， ①求三棱锥的体积； ②求二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1） 因，，故, 又，且，故 在直角梯形中，， 由可得； 因平面平面，,平面平面,则平面, 又平面，则,又,因平面， 故平面, 因平面，故； （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理证，再由面面垂直证平面，得，可得平面，进而证得； （2）①连接,设,连接，利用线面平行的性质推得，确定点是线段上靠近点的三等分点，从而求得体积；②依题意建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①如图，连接,设，连接, 因平面，且平面,平面平面,则， 故，在四边形中，由,可得, 故，即，即点是线段上靠近点的三等分点， 故 ② 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则, 因， 故,, 设平面的法向量为，则由， 可取， 易得平面的法向量可取为，故， 又由图知，二面角的平面角为钝角，故二面角的平面角的余弦值为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间直线、平面位置关系的判断证明和空间向量在求空间角方面的应用. 解题关键在于要熟悉关于线面平行、垂直的判定和性质定理，熟练掌握利用条件建系，运用向量夹角的坐标公式计算求解空间角. 19. 已知圆的方程为． （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知，直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）直线经过定点，该定点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由直线的斜率之积列方程，化简求得定点坐标. 【小问1详解】 圆的圆心坐标为，半径为， 当过点的圆C的切线斜率不存在时，切线方程为； 当斜率存在时，设切线方程为，即． 由，解得，则切线方程为，即． 过点的圆C的切线方程为或． 【小问2详解】 点在圆：上． 若直线的斜率不存在，则设直线的方程为，， 则，整理得． 又，解得，所以直线的方程为， 此时经过点，不符合题意． 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，， 联立方程组，整理得， 则，． ， 则， 整理得， 解得或． 当时，直线的方程为， 此时直线经过点，不符合题意，故舍去． 所以，故直线的方程为，即，经过定点． 综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $