精品解析：浙江省湖州市第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024-2025学年高二上学期第一次月考 数学 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出倾斜角，求出其正切值，即斜率，进而可得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，， 则，. 故选：D. 2. 已知点，，都在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出法向量，利用向量垂直得到方程组，取求出，与共线的向量也是法向量，得到答案. 【详解】由，，，得，， 设是平面的一个法向量，则即, 取，则，故，则与共线的向量也是法向量， 经验证，只有C正确. 故选：C． 3. 直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】求出已知二直线不相交时的a值，再验证作答. 【详解】依题意，直线与直线平行或重合时，， 解得或， 当时，直线与直线重合， 当时，直线与直线平行， 所以的值为. 故选：C 4. 如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量减法的几何意义、向量数乘的几何意义及向量的数乘运算进行运算即可. 【详解】因为，为中点，，，， 所以 . 故选：B 5. 已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为(　　) A. (x＋1)2＋y2＝1 B. x2＋y2＝1 C. x2＋(y＋1)2＝1 D. x2＋(y－1)2＝1 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：(点轴对称法)由于圆关于直线对称，其半径不变，只求出新的圆心即可.而关于直线y=-x对称，则横、纵坐标交换位置，并取相反数.由圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1，0)，知对称圆的圆心为(0，-1)，故选C. 考点：点关于直线的对称点的求法． 点评：点关于x轴的对称点为；点关于y轴的对称点为；点关于原点轴的对称点为；点关于y=x轴的对称点为；点关于y=-x轴的对称点为. 6. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 7. 直线与连接的线段相交，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率坐公式结合图形求解作答. 【详解】直线过点. 如图， 由题意，直线与线段总有公共点， 即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可， 直线的斜率为，直线的斜率分别为，于是或， 而，因此或， 所以或，解得或，即a的取值范围是. 故选：D. 8. 若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得：为恒过定点的直线，曲线表示圆心为，半径为的上半圆，由此利用数形结合思想能求出的取值范围． 【详解】根据题意得为恒过定点的直线， 由曲线，可得， 所以曲线表示圆心为，半径为的上半圆，如图所示， 当直线与圆相切时，有，解得（舍去）或， 把代入得，解得， 因为直线与曲线恰有两个公共点， 由图可得，即的取值范围是． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 B. 直线在轴的截距是2 C. 直线的倾斜角为30° D. 过点且倾斜角为90°的直线方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线的截距、倾斜角、直线方程等知识确定正确答案. 【详解】A选项，直线过点且在轴，轴截距相等，所以A选项错误. B选项，直线在轴上的截距是，B选项错误. C选项，直线的斜率为，倾斜角为，C选项正确. D选项，过点且倾斜角为90°的直线方程为，D选项正确. 故选：CD 10. 已知点在圆上，点、，则（ ） A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 11. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 【答案】ABD 【解析】 【详解】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案． 【分析】因为平面，四边形为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、， 设，，其中， 所以，所以，A选项正确． 点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确． ，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得平面的一个法向量为， 要使平面，平面， 则， 解得，所以存在点，使平面，B选项正确； 若直线与直线所成角为， 则， 整理可得，，方程无解，所以C选项错误． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 过点且与直线垂直的直线方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直直线斜率之积为，结合点斜式求解即可. 【详解】直线斜率为，故与之垂直的直线斜率为，故过点且与直线垂直的直线方程为，即. 故答案为： 13. 直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出A，B两点的坐标，则可求出，然后求出圆心到直线的距离，从而可求出点P到直线的距离的最大值和最小值，进而可求出面积的最大值和最小值，即可求得结果. 【详解】对于，当时，，当时，， 所以， 所以， 圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离为， 所以点P到直线的距离的最大值， 点P到直线的距离的最小值， 所以面积的最大值为， 面积的最小值为， 所以面积的取值范围是， 故答案为： 14. 为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面与水平面的交线为，小明分别在水平面和斜坡面选取两点，且，到直线的距离，到直线的距离，，则该斜坡的坡度是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量数量积的运算律求解． 【详解】设斜坡的坡角为，由题意知 与 的夹角为， 因为，所以， 即，所以，因为是锐角，所以. 故答案为： 四．解答题：本小题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线的方程为：． （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）列出方程，分别令，可求出定点； （2）先令令，再表达出三角形面积，最后利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 证明：直线的方程为： 提参整理可得：． 令，可得， 不论为何值，直线必过定点. 【小问2详解】 设直线的方程为． 令 则， 令．则， 直线与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积． 当且仅当，即时，三角形面积最小． 此时的方程为． 16. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 17. 如图，在三棱柱中，，点D为棱AC的中点，平面平面，，且． （1）求证：平面ABC； （2）若，求二面角正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明； （2）利用空间向量的坐标运算求二面角. 【小问1详解】 如图，连接．因为侧面为菱形，且， 所以为等边三角形，所以． 又因为平面平面， 平面， 平面平面， 所以平面ABC． 【小问2详解】 由（1）的过程可知，可以点D为坐标原点， 分别以DB，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz． 不妨设，由题可知，，，，． 由，可得． 设平面的法向量为， 而，，则有, 取，得． 设平面的法向量为， 而，， 则有， 取，得． 设平面与平面夹角为， 则， 所以， 即平面与平面夹角的正弦值为． 18. 已知O为原点，直线与圆交于、两点． （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，若点在圆上，求的取值范围； （3）若，求圆的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式求出. （2）令，将问题转化为直线与圆有公共点求出范围. （3）联立直线与圆的方程，利用韦达定理及垂直关系的坐标表示求出值即可得解. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径，其中， 圆心到直线的距离， ，解得， 所以的值为. 【小问2详解】 由（2）知，圆圆心，半径， 令，则，依题意，直线与圆有公共点， ，解得或， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 设，由消得， ，， 又，由，得， 即，整理得， 则，解得，满足，此时圆的半径， 所以圆的面积为. 19. 已知函数，（，为常数）． （1）若函数是偶函数，求实数的值； （2）若函数有个零点，求实数的取值范围； （3）记，若与在有两个互异的交点，且，求证：． 【答案】（1） （2）或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用偶函数性质求得，再进行检验即可； （2）分类讨论，或时，的大致图像，结合图像即可得解； （3）分类讨论与时，的大致图像，从而得到，，，从而利用分析法将问题一路转化为证，由此得解. 【小问1详解】 因为是偶函数， 所以，则，解得， 当时，，其定义域为， 又， 所以是偶函数，故. 【小问2详解】 因为， 当，即时，， 此时开口向下，对称轴为，且， 当，即或时，， 所以当时，在，上单调递增，且，， 则的图像如下： 显然，当，即时，有个零点； 当时，在，上单调递减，且，， 则的图像如下： 显然，当，即时，有个零点； 当时，为偶函数，其零点个数必为偶数，不满足题意； 综上：或. 【小问3详解】 因为， 所以当时，，则，易知上单调递减， 当时，，则，易知在上单调递增， 因为与在有两个互异的交点， 所以与在与各有且只有一个交点， 又，所以，且，， 则，，故，即，则， 要证，即证，即证， 只需证，即证， 即证，即证， 因为，所以，则， 所以显然成立，证毕. 【点睛】关键点睛：本题第3小问解决的关键是熟练掌握基本初等函数的大致图像，结合图像得到，，从而利用分析法将问题转化为单变量不等式，由此得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二上学期第一次月考 数学 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，都在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 3. 直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 4. 如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为(　　) A. (x＋1)2＋y2＝1 B. x2＋y2＝1 C x2＋(y＋1)2＝1 D. x2＋(y－1)2＝1 6. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 直线与连接的线段相交，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确有（ ） A. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 B. 直线在轴的截距是2 C. 直线的倾斜角为30° D. 过点且倾斜角为90°的直线方程为 10. 已知点在圆上，点、，则（ ） A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 11. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 过点且与直线垂直的直线方程为_____. 13. 直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是___________. 14. 为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面与水平面的交线为，小明分别在水平面和斜坡面选取两点，且，到直线的距离，到直线的距离，，则该斜坡的坡度是__________. 四．解答题：本小题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线的方程为：． （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 16. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 17. 如图，在三棱柱中，，点D为棱AC中点，平面平面，，且． （1）求证：平面ABC； （2）若，求二面角的正弦值． 18. 已知O为原点，直线与圆交于、两点． （1）若，求值； （2）在（1）的条件下，若点在圆上，求的取值范围； （3）若，求圆面积． 19. 已知函数，（，为常数）． （1）若函数是偶函数，求实数的值； （2）若函数有个零点，求实数的取值范围； （3）记，若与在有两个互异的交点，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$