精品解析：福建省同安第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

同安一中2024~2025学年高一上学期数学第一次月考 满分：150分考试 时间：120分钟命题人：胡腊梅 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的定义直接求解即可. 【详解】因为，， 所以，故A正确. 故选：A 2. 哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，即所谓的“”问题.1966年，我国数学家陈景润证明了“”成立.哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于2的偶数都能写成两个质数之和”，则该猜想的否定为（ ） A. 每一个小于2的偶数都不能写成两个质数之和 B. 存在一个小于2的偶数不能写成两个质数之和 C. 每一个大于2的偶数都不能写成两个质数之和 D. 存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确否定，即可求解. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，A，C错误; 哥德巴赫猜想的否定为“存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和”. 故选：D. 3. 设，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】 利用特殊值排除判断ABC，由不等式的性质判断D即可. 【详解】当时，不成立，故A错误； 当时，不成立，故B错误； 当时，不成立，故C错误； ，由不等式性质知，故D正确. 故选：D 4. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的定义域可知的范围，从而求出的定义域. 【详解】因为函数定义域为，所以，解得：， 所以函数的定义域为. 故选：C 5. 设集合，若，则实数的值有（ ）个 A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的结果转化为子集关系，分类讨论求出即可得解. 【详解】因为，所以， 若，由知，满足； 若，则， 由可知，或，解得或， 综上，的取值为. 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由配凑法和即可得解. 【详解】因为，且， 所以. 故选：A. 7. 函数的单调递减区间为（　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出函数分段形式的解析式，再画出函数的图象，数形结合可知单调区间. 【详解】. 画出函数图象，如图可知，函数的单调递减区间为. 故选：B. 8. 对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件： ①在内是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数在区间是单调的，由，可得、是方程的两个同号的不等实数根，由，解不等式即可. 【详解】由题意可得若函数在区间是单调的， 所以，或，， 则，， 故、是方程的两个同号的不等实数根， 即方程有两个同号的不等实数根，注意到， 故只需，解得， 结合，可得. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“集合或为空集”的充要条件 B. “同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件 C. “且”是“”的必要不充分条件 D. “”是“方程有一个实数根”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不一定推出集合或为空集，可以通过举反例来说明即可判断A；根据同位角相等的判定定理及两直线平行的性质即可判断B；根据不一定推出且成立即可判断C；根据一元二次方程有一个实数根，即即可判断D． 【详解】对于A， 充分性：当时，取均不为空集，充分性不成立； 必要性：当或为空集时，一定有，必要性成立， 故“”是“集合或为空集”的必要不充分条件，故A错误； 对于B， 由两直线平行的判定及性质定理得，“同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件，故B正确； 对于C， 充分性：当且时，必有，充分性成立； 必要性：当时，有，即且或且，故不一定有且，必要性不成立， 故“且”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D， 充分性：当时，方程的，有一个实数根，充分性成立； 必要性：当方程有一个实数根时，，即，必要性成立， 所以“”是“方程有一个实数根”的充要条件，故D正确； 故选：BD． 10. 已知关于的不等式的解集为．则（ ） A. 不等式的解集为 B. 的解集为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】解不等式判断A，由根与系数的关系建立不等式求解判断B，根据关于a的表达式配方判断C，由直接判断D. 【详解】由可化为， 所以， 即不等式的解集为，故A正确； 由不等式的解知方程的两根为， 所以且， 所以，解得，故B错误； 因为，当且仅当等号成立，故C正确； 由知的最小值为不成立，故D错误. 故选：AC 11. 设非负实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值为0 C. 最小值为 D. 最小值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由，可判定A正确；由，得到，结合二次函数的性质，可得判定B不正确；由，可得判定C正确；化简得到，结合，可判定D正确. 【详解】因为，满足， 对于A中，由，当且仅当时，等号成立， 所以，解得，即的最大值是，所以A正确； 对于B中，因为，可得，且， 则，所以B不正确； 对于C中，由， 当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以C正确； 对于D中，因为，可得，可得， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如果，，令，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解和的取值范围，再结合不等式的性质求解的取值范围即可. 【详解】因为，故，又，故， 故，即，故的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知函数的对应关系如下表： 1 3 5 1 5 1 1 3 5 5 3 1 则满足的的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中条件，求出，，，，，，比较大小，即可得出结果. 【详解】由题意，，，，，， 则，， ，，， 所以，，， 因此，满足的的值为. 故答案为： 14. 记分别表示函数在在上的最大值和最小值，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】利用配方法和绝对值的性质，求出一元二次函数的最值，即可求解. 【详解】根据题意，由， ①当时，； ②当时，； 因为，所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知不等式的解集为．集合 （1）若，求的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，考虑和两种情况确定集合，再根据，确定的值； （2）由，确定，再利用子集关系可得的范围. 【小问1详解】 根据题意可得，由可得或， 若，则； 若则， 因为，则， ①若，解的，此时，，舍； ②若，解的，此时，，故. 【小问2详解】 因为，则，若，则，符合题意； 若，则且，解得且； 综上：实数的取值范围为. 16. 对于函数，分析并求解下列问题： （1）试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增． （2）解不等式：． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性的定义证明即可； （2）根据函数的单调性结合题意得到关于的不等式，即可求解. 【小问1详解】 证明：，且， 则 ， ， ， ， ， 在上单调递增. 【小问2详解】 ， ， 为奇函数， 又由（1）知在区间上单调递增， 在上单调递增， 令，解得或， 又，即， 或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 17. 已知函数. （1）求函数的解析式； （2）求关于的不等式解集.（其中） （3）对任意，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为, 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为或. （3） 【解析】 【分析】（1）由复合函数解析式代入即可； （2）分别讨论，和即可； （3）由题意分别确定在相应区间上的最大值，即可求解. 【小问1详解】 由 所以 所以函数的解析式为： 【小问2详解】 由，可得：， 也即， 当时，不等式的解集为, 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为或. 【小问3详解】 由 可得当，由二次函数性质易知：， 当，，易知单调递增，所以最大值为 因为对任意，总存在，使得不等式成立， 所以，解得. 18. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】（1）米 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得与的关系，结合基本不等式计算即可得； （2）由题意可将问题转化为在恒成立，结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为 元， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元； 【小问2详解】 由题意可得，对任意的恒成立， 则，即在恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ，又，故. 19. 已知正实数集，定义：称为的平方集．记为集合中的元素个数． （1）若，求集合和； （2）若，求； （3）①分别取1，2，3时，试比较和的大小关系； ②猜想和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（1）答案见解析； （2）； （3）；证明见解析； 【解析】 【分析】（1）由集合新定义直接求出即可； （2）全部互质时，由求出即可； （3）①时直接证明即可；和分为互质与否可得到；②考虑互质与否，结合集合新定义与二次函数的关系可证明； 【小问1详解】 由集合新定义中元素为中任意两个元素的乘积，去除重复的元素，可得 ，， 【小问2详解】 由（1）可得，，，， 若，要得到，就要全部互质， 当中所有元素互质的时候，从集合中任取两个元素做乘积，共有个， 每个元素自身取平方共有个，此时共有个，他们构成了， ， 即，解得，或（舍去）， 所以若，， 【小问3详解】 当时，，，； 当时： 若两个数互质，如，，，， ； 若两个数不互质，如，，，， ； 综上， 当时，设，中最多有，6个元素，此时， 若时，有5个元素，此时，所以， 证明：当时，由①可知成立； 若考虑互质，当时，从集合中任取两个元素做乘积，共有个， 每个元素自身取平方共有个，此时共有个，它们构成了， 所以作差可得， 由二次函数的性质可得当时，上式大于零， 若不考虑互质时，当且仅当时， 此时中有个元素，， 综上. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的第二小问关键在于对集合新定义的理解，考虑互质与不互质的情况，再结合集合中元素的互异性和二次函数知识作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同安一中2024~2025学年高一上学期数学第一次月考 满分：150分考试 时间：120分钟命题人：胡腊梅 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，即所谓的“”问题.1966年，我国数学家陈景润证明了“”成立.哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于2的偶数都能写成两个质数之和”，则该猜想的否定为（ ） A. 每一个小于2的偶数都不能写成两个质数之和 B. 存在一个小于2的偶数不能写成两个质数之和 C. 每一个大于2的偶数都不能写成两个质数之和 D. 存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和 3. 设，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 设集合，若，则实数的值有（ ）个 A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调递减区间为（　 ） A. B. C. D. 8. 对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件： ①在内是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“集合或为空集”的充要条件 B. “同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件 C. “且”是“”的必要不充分条件 D. “”是“方程有一个实数根”的充要条件 10. 已知关于的不等式的解集为．则（ ） A. 不等式的解集为 B. 的解集为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 设非负实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值为0 C. 最小值为 D. 最小值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如果，，令，则的取值范围是______． 13. 已知函数的对应关系如下表： 1 3 5 1 5 1 1 3 5 5 3 1 则满足的的值为_____． 14. 记分别表示函数在在上的最大值和最小值，则=______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知不等式的解集为．集合 （1）若，求的值； （2）若，求实数的取值范围． 16. 对于函数，分析并求解下列问题： （1）试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增． （2）解不等式：． 17. 已知函数. （1）求函数的解析式； （2）求关于的不等式解集.（其中） （3）对任意，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 18. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 19. 已知正实数集，定义：称为的平方集．记为集合中的元素个数． （1）若，求集合和； （2）若，求； （3）①分别取1，2，3时，试比较和的大小关系； ②猜想和的大小关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $