精品解析：四川省成都市棕北中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

棕北教育集团九年级十月学业反馈数学试题 1. 如果，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，直接进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选C． 2. 将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 矩形 D. 菱形 【答案】D 【解析】 【分析】此题是有关剪纸的问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪． 【详解】解：由题可知，AD平分,折叠后与重合，故全等，所以EO=OF; 又作了AD的垂直平分线，即EO垂直平分AD，所以AO=DO，且EO⊥AD； 由平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以AEDF为平行四边形； 又AD⊥EF，所以平行四边形AEDF为菱形． 故选： 【点睛】本题主要考查学生对于立体图形与平面展开图形之间的转换能力，与课程标准中“能以实物的形状想象出几何图形，有几何图形想象出实物的图形”的要求相一致，充分体现了实践操作性原则． 3. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，则： ， 解得：， 即蜡烛火焰的高度为， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形． 4. 如图，四边形的对角线，交于点O，且，，下列说法错误的是（ ） A. 若，则是菱形 B. 若，则是矩形 C. 若且，则是正方形 D. 若，则是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平行四边形的判定证明是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 若，则四边形是菱形，故A选项不符合题意； 若，则四边形是矩形，故B选项不符合题意； 若且，则四边形是正方形，故C选项不符合题意； 若，则四边形是矩形，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与矩形的判定、正方形的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键． 5. 方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次方程，再根据腰长、底长进行分情况讨论，从而得到其周长． 【详解】解：方程变形得：， 解得：，， 当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去； 当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6＋6＋3＝15， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法、等腰三角形的性质，注意分类讨论． 6. 已知方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的解是（　　） A. x1＝1，x2＝﹣4 B. x1＝﹣1，x2＝﹣4 C. x1＝﹣1，x2＝4 D. x1＝1，x2＝4 【答案】A 【解析】 【分析】设t=x+1，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为at2+at+c=0，利用方程ax2+bx+c=0的解是x1=2，x2=-3得到t1=2，t2=-3，然后分别计算对应的x的值可确定方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的解． 【详解】解：设t＝x+1，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0化为at2+at+c＝0， 因为方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3， 所以t1＝2，t2＝﹣3， 当t＝2时，x+1＝2，解得x＝1； 当t＝﹣3时，x+1＝﹣3，解得x＝﹣4， 所以方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣4． 故选A． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程：我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 7. 如图，矩形中，，交于点O，，垂足为E，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质得出，由已知条件得出，，由线段垂直平分线的性质得出，得出为等边三角形，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴解得，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键． 8. 如图，在矩形中，，，连接，，分别在边，上，连接，分别交于点，，若，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．根据矩形的性质判定A，证明可判定B，证明可判定C，证明可判定D． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ∴，故A不符合题意； ，， 在中，由勾股定理可得：， ， ∴， ∴， ，， ∴， ∴，故C不符合题意； 在中，， ∵，， ∴， ， ， ∴， ， ∴，故B不符合题意； ， ， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ，故D符合题意， 故选：D． 9. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查成比例线段，掌握如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段．根据成比例线段的定义可得出，求解即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴，即， ∴ 故答案为：8． 10. 已知(m-2)x2-3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义求解. 【详解】解:由题意可知，m-2≠0，所以m≠2． 故答案为：m≠2 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，注意二次项系数不能为0是本题的解题关键． 11. 如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则点到点的距离为________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意知，，，则，即，整理得，，可求满足要求的解，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，即，整理得，， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 12. 在的两边上分别截取线段、，使；分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，根据作图得到四边形为菱形，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴四边形为菱形， ∴四边形的面积为， ∴； 故答案为：． 13. 如图，四边形为矩形，，，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，过点作交于点，若，则的长为___________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，折叠的性质等相关知识．设与的交点为，可得和是等腰三角形，设，则，在中，根据勾股定理可建立方程，求出的值，表达和的值，进而可得的长；再根据勾股定理可得的长，由平行可得，根据相似比可得最终结果． 【详解】解：设与的交点为， 在矩形中，，，， ， 由折叠可知，，，， ， ， ∵， ， ，， ，， ，， ，， ， 设，则； ，， 在中，， 由勾股定理可得， 即， 解得， ，， ， ． 故答案为：． 14. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）已知关于的一元二次方程，若方程的两个不相等的实数根分别记为、，且满足，求的值． 【答案】（1），； （2），； （3），． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，掌握相关知识点是解题关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）由一元二次方程根的判别式可得，由一元二次方程根和系数的关系可得，，再根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 令或， 解得：，； 【小问3详解】 解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 方程的两个不相等的实数根分别记为、 ，， ， ， 解得：，． 15. 如图，在网格图中，每格是边长为1的正方形，四边形ABCD的顶点均为格点． （1）请以点O为位似中心，在网格中作出四边形A'B'C'D'，使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD位似，且＝2； （2）线段C'D'的长为　 　； （3）求出△A'B'O的面积． 【答案】 （1）如图所示，四边形A'B'C'D'即为所求；   （2）；（3）8 【解析】 【分析】（1）依据点O为位似中心，＝2，即可得到四边形A'B'C'D'； （2）依据勾股定理进行计算，即可得到线段C'D'的长； （3）依据割补法进行计算，即可得到△A'B'O的面积． 【详解】解：（1）略 （2）线段C'D'的长为, 故答案为：4； （3）△A'B'O的面积为×4×2+×4×2＝4+4＝8． 【点睛】本题主要考查了利用位似变换作图，画位似图形的一般步骤为:①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比,确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形． 16. 某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图），已知小明的眼睛离地面米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高米，请根据以上数据求出城楼的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定．过点作于点，交于点，进而求得，根据，得出，根据相似三角形的性质，列出比例式求得，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 依题意，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴城楼的高度为米 17. 如图，在中，对角线、交于点，过点作，交延长线于点，交于点，若，，，求的长. 【答案】2 【解析】 【分析】根据平行四边形性质可得到∠ADB=30°，OD=，进而求出FD，过O作OG∥AB，交AD于G点，易知△AEF∽△GOF，得到，又因为，故相似比为1，得到AF=GF，设AF=GF=x，则AD=6+x，又AG=AF+GF=，列出方程解出x即可. 【详解】∵ ∴AD∥BC，OD= ∵ ∴∠ADB=30° ∵ ∴∠DOF=90° 在Rt△ODF中，∠FDO=30°，OD= ∴OF=3，FD=6 如图，过O作OG∥AB，交AD于G点 ∴△AEF∽△GOF ∴ ∵EF=OF ∴AF=GF ∵O是BD中点 ∴G是AD中点 设AF=GF=x，则AD=6+x ∴AG=AF+GF= ∴x+x= ∴x=2 ∴AF=2 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，解题关键在于能够做出辅助线构建相似三角形. 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与，轴交于点，，点为线段上一点，且． （1）求点坐标及直线的解析式； （2）为轴上一个动点，当时，求点坐标； （3）为直线上一个动点，为坐标系内一点，当以，，，四个点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点坐标． 【答案】（1），直线 （2）或 （3），，， 【解析】 【分析】（1）求出、点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）分两种情况讨论：当点位于点右侧时，令，易证得，通过相似三角形性质可证得，由，继而可求得的值；当点位于点左侧时，令，易证得，通过相似三角形性质可证得，继而可求得的值；即可得点坐标； （3）设，，根据菱形的对角线互相平分，邻边相等，利用中点坐标公式和两点间距离公式，建立方程组，求出的值即可求点坐标． 【小问1详解】 解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 由（1）知，， ∴， ①如图：当点位于点右侧时，令 ∵且故∴即： 又∵∴解得所以 ②如图：当点位于点左侧时，令 ∵且故∴即： ∴解得所以 【小问3详解】 设，， 当为菱形的对角线时，， ∴，解得：， ∴， 当为菱形的对角线时，， ∴，解得：或， ∴，， 当为菱形是对角线时，， ∴，解得：（舍去）或， ∴， 综上：，，， 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 19. 设a，b是方程x2+2x﹣2018＝0的两个实数根，则＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得出a+b=-2，ab=-2018，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵a，b是方程x2+2x﹣2018＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣2，ab＝﹣2018， ∴. 故答案为． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出a+b=-2，ab=-2018是解题的关键． 20. 如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________________________________． 【答案】且k≠0． 【解析】 【详解】试题解析：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且. 故答案为:且. 21. 如图，在四边形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，若，，，线段BO的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用三线合一作辅助线是解题的关键． 过点作于点，根据等腰三角形的性质，结合勾股定理计算的长度，证明，，根据对应边成比例求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图所示， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 22. 如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点F作FH⊥AC于H，则∽，设FH为x，由已知条件可得，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x的方程，解方程求出x的值，利用即可得到DF的长． 【详解】如解图，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴∽ ∴ ∴， 设为，则，由勾股定理得， 又∵， ∴， 则， ∵且， ∴∽， ∴， 即， 解得， ∴． ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了相似的判定和性质、以及勾股定理的运用，解题的关键是作垂直，构造相似三角形． 23. 在平行四边形中，，，对角线，点在上运动，连接，，将，绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为，，连接，，，当为直角三角形时，______． 【答案】或 【解析】 【分析】当为直角三角形时，有三种可能①，②，③，分类求． 【详解】解：延长交于点． 将，绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ． 当为直角三角形时， ①当， ， ， ，，在同一直线上． ， ， ， ． ②当． 作于，延长交''于， ，，， ， 中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 中， ， ， ． 设， ， ， ． 解得，． ③不合题意，舍去． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，图形的旋转，等腰三角形直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程，关键是添加正确的辅助线． 24. 开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍． （1）求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价； （2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10％．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？ 【答案】（1）商家购进每本笔记本的单价是4元，每个套尺的单价是6元； （2）每个套尺的售价为11元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、分式方程的应用等知识点，审清题意、列出方程是解题的关键． （1）设商家购进每本笔记本的单价是x元，则每个套尺的单价是元，由题意：商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍列出分式方程求解即可； （2）设每个套尺的售价为m元，使笔和圆规平均每天的总获利为400元，列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设商家购进每本笔记本的单价是x元，则每个套尺的进价是元， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ∴． 答：商家购进每本笔记本的单价是4元，每个套尺的单价是6元． 【小问2详解】 解：设每个圆规的售价为m元， 由题意得：， 整理得：，解得：或， ∵降价幅度不超过， ∴，解得：， ∴． 答：每个套尺的售价为11元． 25. 如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． （1）求证：； （2）连接交于点H，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． 【答案】（1）见详解 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在与中， ∴． ∴． （2）（ⅰ）见详解， ∵ ∴， 又．， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再证明是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得出，再利用证明，利用全等三角形的性质可得出． （2）（ⅰ）由平行线截线段成比例可得出，结合已知条件等量代换，进一步证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出．（ⅱ）由菱形的性质得出，进一步得出，，进一步可得出，进一步得出，同理可求出，再根据即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）∵是菱形， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵．， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， 故． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，平行线截线段成比例以及菱形的性质，掌握这些判定方法以及性质是解题的关键． 26. 【教材呈现】 人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下： 【类比分析】 （1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长． 【迁移探究】 （2）如图3，在中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________． 【答案】（1） （2）证明：作，延长交于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质证明，利用相似三角形性质建立等式并求解，即可解题； （2）作，延长交于点，利用等腰三角形性质，证明，得到，再证明，利用相似三角形性质得到，结合等量代换，即可证明； （3）连接，交于点，由对称的性质可知于点，，作于点，交于点，利用三角形内角和证明，得到，利用等面积法求得，进而得到，设，，利用勾股定理建立等式求解，得到，再证明，利用相似的性质得到，再结合题干条件利用勾股定理得到，将代入等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ， ， 于点， ， ， ， ， ，， ， 解得； （2）略 （3）解：连接，交于点，由对称的性质可知于点，，作于点，交于点， ，， ， ，，， ，， ， ，解得， ， ， 设，， 有， 解得， ， ，， ， ， ， ， E为中点， ， ， ，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等面积法求高，对称的性质，以及勾股定理等知识，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 棕北教育集团九年级十月学业反馈数学试题 1. 如果，则（ ） A. B. C. D. 2. 将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 矩形 D. 菱形 3. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. 6 C. D. 8 4. 如图，四边形的对角线，交于点O，且，，下列说法错误的是（ ） A. 若，则是菱形 B. 若，则是矩形 C. 若且，则是正方形 D. 若，则是正方形 5. 方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 不能确定 6. 已知方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的解是（　　） A. x1＝1，x2＝﹣4 B. x1＝﹣1，x2＝﹣4 C. x1＝﹣1，x2＝4 D. x1＝1，x2＝4 7. 如图，矩形中，，交于点O，，垂足为E，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，连接，，分别在边，上，连接，分别交于点，，若，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，则_____． 10. 已知(m-2)x2-3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_____. 11. 如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则点到点的距离为________．（结果保留根号） 12. 在的两边上分别截取线段、，使；分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为______． 13. 如图，四边形为矩形，，，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，过点作交于点，若，则的长为___________________． 14. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）已知关于的一元二次方程，若方程的两个不相等的实数根分别记为、，且满足，求的值． 15. 如图，在网格图中，每格是边长为1的正方形，四边形ABCD的顶点均为格点． （1）请以点O为位似中心，在网格中作出四边形A'B'C'D'，使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD位似，且＝2； （2）线段C'D'的长为　 　； （3）求出△A'B'O的面积． 16. 某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图），已知小明的眼睛离地面米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高米，请根据以上数据求出城楼的高度． 17. 如图，在中，对角线、交于点，过点作，交延长线于点，交于点，若，，，求的长. 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与，轴交于点，，点为线段上一点，且． （1）求点坐标及直线的解析式； （2）为轴上一个动点，当时，求点坐标； （3）为直线上一个动点，为坐标系内一点，当以，，，四个点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点坐标． 19. 设a，b是方程x2+2x﹣2018＝0的两个实数根，则＝_____． 20. 如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________________________________． 21. 如图，在四边形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，若，，，线段BO的长为________． 22. 如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______． 23. 在平行四边形中，，，对角线，点在上运动，连接，，将，绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为，，连接，，，当为直角三角形时，______． 24. 开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍． （1）求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价； （2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10％．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？ 25. 如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． （1）求证：； （2）连接交于点H，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． 26. 【教材呈现】 人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下： 【类比分析】 （1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长． 【迁移探究】 （2）如图3，在中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $