精品解析：福建省泉州市泉港区第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

泉港一中2024-2025学年上学期第一次月考考试试卷 高一数学 命题：陈亚良 审题：连清阳 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，又，那么集合的真子集共有（ ） A. 3个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 【答案】B 【解析】 【详解】因为N={x|0＜x＜3，x∈Z}={1，2}， 又M={1，3}，所以P=M∪N={1，3}∪{1，2}={1，2，3}， 所以集合{1，2，3}的真子集有： ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个． 故选B． 2. 已知集合，集合，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解. 【详解】因为，且集合中， 所以集合中的元素，解得， 又因为，所以，所以或， 若，解得或， 经检验，时，与集合中元素的互异性矛盾，时，满足题意， 若，由上述过程可知，不满足题意； 综上，所以， 故选：A. 3. 下列对应关系： ①的平方根； ②的倒数； ③ ④ 其中是A到B的函数的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义判断：一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数. 【详解】对于①，集合A中的一个元素，在集合B中能找到两个元素与之对应，不是函数. 对于②，集合A中有一个元素0，在B集合中没有对应元素，不是函数. 对于③，集合A中任一元素，都有B中唯一确定的元素与之对应，是函数. 对于④，集合A中任一元素，都有B中唯一确定的元素与之对应，是函数. 故选D. 【点睛】应熟练掌握函数定义，准确判断对应关系，得出结论. 4. 已知实数，则函数的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】配凑后，根据基本不等式即可求解. 【详解】实数， ， 当且仅当，即时等号成立， 函数的最小值为6. 故选：B. 5. 下列说法正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，举一个反例即可；对于B，先由得，再由得；对于C，举一个反例即可；对于D，作差，根据差值的正负即可判断. 【详解】对于A，若，不一定有，如当时，故A错误； 对于B，因为，所以， 又因为，所以，故B错误； 对于C，若，，则不一定成立， 如当，时，，此时，故C错误； 对于D， ， 因为，，所以， 所以，故，故D正确. 故选：D. 6. 设函数，则不等式的解集是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再结合函数解析式分两段得到不等式组，解得即可. 【详解】因为，所以， 不等式等价于或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 故选：B 7. 区间是关于的一元二次不等式的解集，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，，，进而可得，利用基本不等式中1的代换可求的最小值. 【详解】由题意知是关于的一元二次方程的两个不同的实数根， 则有，，，所以，且是两个不同的正数， 则有， 当且仅当时，，，等号成立， 故的最小值是. 故选：A. 8. 已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次分、和三种情况进行分析，当时通过函数的函数值情况得在上需恒成立，进而依据一元二次函数性质即可进一步求解，当时由函数和的函数值情况即可得解，当时由函数的函数值情况得在上需恒成立，再由一元二次函数性质即可求解. 【详解】当时，在上恒成立，在上恒成立，， 而，所以在上需恒成立， 又因为开口向上，所以或， 解得或，所以； 当时，，不恒成立，故不符合； 当时，在上恒成立，在上恒成立，， 而，所以在上需恒成立， 又因为开口向下，所以在上不恒成立，故不符合； 综上可得. 故选：B. 【点睛】思路点睛：依次分、和三种情况先分析函数的函数值情况，进而得出函数的情况是否满足要求或需满足情况的要求，再依据一元二次函数性质即可求解. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个结论中，正确的结论是（ ） A. 与表示同一个函数． B. “”的充分不必要条件是“”． C. 已知，则的取值范围的取值范围是． D. 函数的值域为． 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数定义域及解析式判断A,应用充分不必要定义判断B,应用不等式的性质计算判断C,换元法计算二次函数值域判断D. 【详解】对于A，的定义域为，与的定义域为相同， 而，解析式相同，故表示同一个函数，故A正确； 对于B，满足的数不一定满足，满足的数一定满足， 故B不符合题意. 对于C：因为，，又，则，所以 ，所以，所以的取值范围的取值范围是，故C正确； 对于D，令，则，因为，， 所以，即函数的值域为，故D错误； 故选：AC. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2． B. 函数的最小值为2． C. 若为正实数，若，则的最小值为3． D. 设为正实数，若，则的最大值为． 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项，举出反例；B选项，利用基本不等式求解，但等号取不到，B错误；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；D选项，由题意条件得到，解不等式，求出答案. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，， 但时，方程无解，所以“=”取不到，最小值不是2，所以B错. 对于C，若为正实数，由，得， 则， 当且仅当，即时取等号，C正确.； 对于D，由，得， 则，解得，当且仅当时取等号，D正确. 故选：CD 11. 对表示不超过x的最大整数，如，我们把叫做取整函数，也称为高斯函数．以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题有（ ） A. B. ，若，则 C. D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据取整函数的定义结合举反例，一元二次不等式的解法对选项逐一分析即可. 【详解】对于A，，，，所以A为真命题； 对于B，因为， 所以，， 所以，B为真命题； 对于C，，，所以C为假命题； 对于D，解不等式， 得或， 所以不等式的解集为，D为真命题. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题，则的否定是__________，命题是__________（填入“真”或“假”）命题. 【答案】 ①. ②. 假 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，求解判断. 【详解】命题的否定是：， 当，且不为0时，有，所以命题假命题. 故答案为：；假. 13. 若函数的定义域是，则函数的定义域是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求的定义域，再结合具体函数的形式列不等式组即可求的定义域. 【详解】由题意可得中，， ， 故的定义域为， 故，故，故的定义域为， 故答案为： 14. 已知函数，若关于不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式，作出函数图象，解不等式可得：，讨论和的大小关系，确定不等式的解集，结合函数图象确定解集中的两个整数解，进而确定的取值范围. 详解】由于函数，作出图象如图所示： 由可得：. 当时，，不等式无解； 当时，由得：， 若不等式恰有两个整数解，由于，，， 则整数解为和，又， ∴； 当时，由得：， 若不等式恰有两个整数解，由于，则整数解为和， 又， ，∴， 综上所述：实数的取值范围为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合， （1）若，求 （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】当时，可得，则或，然后求交集即可； 由充分不必要条件与集合的包含关系可得：若“”是“”的充分不必要条件，即，然后考虑和两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 当时，，或， 因为，所以； 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件，即， 当时，，此时，满足， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数a的取值范围为 16. 已知． （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，转化为对于任意的实数恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （2）把不等式转化为，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 因为， 则不等式，可化为， 即对于任意的实数恒成立， 当时，即时，不等式为，解得，不符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 小问2详解】 由不等式，可得，即， ①当时，不等式可化为，解得 当时，方程的解，或， ②当时， 或； ③当时， （i）当时，即， ； （ii）当时不等式的解集为， （iii）当时，， ， 综上可得： 当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式解集为. 17. 某开发商计划2024年在泉州开发新的游玩项目，全年需投入固定成本万元，若该项目在2024年有万人游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为元． （1）求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； （2）当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少． 【答案】（1） （2）游客为30万人时利润最大，最大为205万． 【解析】 【分析】（1）根据计算可得； （2）分别求出函数在各段的范围（最大值），即可得解. 【小问1详解】 依题意， 又， 所以， 即； 【小问2详解】 当时，单调递增，且当时， 所以， 当时，， 则在上单调递增，所以， 当时，， 当且仅当即时等号成立，故， ， 综上，游客为万人时利润最大，最大为万． 18. 已知函数. （1）求函数的解析式； （2）设，若存在使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由配凑法得，再结合，即可求出的解析式； （2）先求出，将题设转化为在上有解，换元后利用二次函数的性质求出最小值即可求解. 【小问1详解】 ，则，又，则； 【小问2详解】 ，又存在使成立，即在上有解， 令，设，易得在单减，则， 即，故实数的取值范围为. 19. 取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理．该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”．若，则称为的“稳定点”．将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即，．已知函数． （1）当时，求函数的不动点； （2）若对于任意，函数恒有两个相异的不动点，求实数m的取值范围； （3）若时，且，求实数n的取值范围． 【答案】（1）为函数的不动点 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出方程的解后可得不动点； （2）根据的判别式恒正可得关于恒成立的不等式，结合可求的范围； （3）记，则即为无解或其解为，故可求的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 设为不动点，因此，解得或， 所以为函数的不动点. 【小问2详解】 因为恒有两个不动点， 即恒有两个不等实根， 整理为， 所以且恒成立. 即对于任意，恒成立. 令，，， 故或，又， . 【小问3详解】 时， ，有实根， ， 记，则关于的方程的解为方程组的解的值， 两式相减可得， ，即要使与有相同的解， 则与的的解集相同， 所以方程无解或其解与相同， 即无解或其解为， 所以，， 综上，所以实数的取值范围是． 【点睛】思路点睛：对于集合中的新定义问题，应该将集合等式蕴含的意义合理转化，如题设中即为方程的无解或有两个等根. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泉港一中2024-2025学年上学期第一次月考考试试卷 高一数学 命题：陈亚良 审题：连清阳 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，又，那么集合的真子集共有（ ） A. 3个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 2. 已知集合，集合，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 下列对应关系： ①的平方根； ②的倒数； ③ ④ 其中是A到B的函数的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ③④ 4. 已知实数，则函数的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 下列说法正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 设函数，则不等式的解集是（   ） A. B. C. D. 7. 区间是关于的一元二次不等式的解集，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个结论中，正确的结论是（ ） A 与表示同一个函数． B. “”的充分不必要条件是“”． C. 已知，则的取值范围的取值范围是． D. 函数的值域为． 10. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2． B. 函数的最小值为2． C. 若为正实数，若，则的最小值为3． D. 设为正实数，若，则最大值为． 11. 对表示不超过x的最大整数，如，我们把叫做取整函数，也称为高斯函数．以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题有（ ） A. B. ，若，则 C D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题，则的否定是__________，命题是__________（填入“真”或“假”）命题. 13. 若函数定义域是，则函数的定义域是_______． 14. 已知函数，若关于不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合， （1）若，求 （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 16. 已知． （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集． 17. 某开发商计划2024年在泉州开发新的游玩项目，全年需投入固定成本万元，若该项目在2024年有万人游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为元． （1）求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； （2）当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少． 18. 已知函数. （1）求函数的解析式； （2）设，若存在使成立，求实数的取值范围. 19. 取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理．该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”．若，则称为的“稳定点”．将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即，．已知函数． （1）当时，求函数的不动点； （2）若对于任意，函数恒有两个相异的不动点，求实数m的取值范围； （3）若时，且，求实数n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$