精品解析：河南省淮滨高级中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

淮滨高中2024-2025学年度高一上期第一次月考试卷 数学 命题人：潘林考 试时间：2024年10月 注意事项： 1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（共40分） 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. .， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】全称命题的否定变为特称命题. 【详解】“，”的否定为“，”， 故选:D. 2. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得，再根据子集的定义得不等式求解． 【详解】由得，所以或， 解得或，所以. 故选：D． 3. 命题“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式，不等式成立的一个充分不必要条件，对应的范围应该是其解集的真子集，即可得到答案. 【详解】由可得，解得. 则不等式的解集为， 因此，不等式成立的一个充分不必要条件，对应的范围应该是集合的真子集，只有选项D满足. 故选：D 4. 集合M满足,则集合M的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合间的包含与真包含关系即可确定集合中的元素组成，即得其个数. 【详解】由可知，可以取 共7个. 故选：C. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求解分式不等式，再利用充要条件的判断方法即得. 【详解】由， 因是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用整体法，结合不等式的性质即可求解. 【详解】设，故且， 所以，故， 由于，，所以，即， 故最小值为，此时， 故选：B. 7. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（　　） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】首先不等式转化为，再利用基本不等式求最值，即可求解. 【详解】若不等式有解，则， 因为，，所以， 当，即时，等号成立，的最小值为4， 所以，解得：或， 所以实数的取值范围是或. 故选：D 8. 定义为集合的长度．已知集合，，若集合的长度为4，则的长度为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】求出一元二次方程的根，对的取值范围进行分类讨论得到不等式的解集，进而得到的结果，通过集合长度的定义求出的值，得到的长度. 【详解】由题意得， ， , 方程的根为，的根为. 当时，，不合题意. 当时，，，， 由得，， 此时，，， 的长度为10. 当时，，，， 由得，， 此时，，， 的长度为10. 故选：D. 二、多项选择题（共18分） 9. 设为实数，且，则下列不等式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由不等式的性质逐个判断即可. 【详解】，所以，A正确， 取，满足，显然不成立，B错误； 取，满足，显然不成立，C错误； ，得，又，得， 所以，所以，D正确， 故选：AD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断AD，通过举反例判断BC，由此确定结论. 【详解】对于选项A：，∴，故，∴ ∴，即，故A正确； 对于选项B，当时， 有，，但此时，，故选项B错误； 对于选项C，当时，有，， 但此时，，故选项C错误； 对于选项D，∵，∴，故， ∴，即， 再由不等式的同项可加性，由和可得，故选项D正确. 故选：AD. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则的最大值是 B. 若，则的最小值为2 C. 若，，均为正实数，且，则的最小值是4 D. 已知，且，则最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据选项中各式的特点，进行适当变形，使用基本不等式进行判断．注意“1”的妙用及等号能否取到． 【详解】对于A，由可得，由基本不等式可得， 当且仅当时，即时取等号，所以的最大值为，故A正确； 对于，， 当且仅当时等号成立，但此时无解，等号无法取得，则最小值不为2，故B错误； 对于C，由可得 ， 当且仅当且，即，，时，等号成立，由于，，均为正实数，则等号取不到，故C错误； 对于D，由得，即， 设，则，解得， 又，则， 所以， 当时，即时取等号.所以最小值是.故D正确； 故选：AD. 三、填空题（共15分） 12. 已知，，若集合，，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的包含关系推出，由此判断元素的取值情况，求得，即可求得答案. 【详解】因为且，故， 而集合，， 则，，则，则， 故， 故答案为： 13. 不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据移项，通分，将分式不等式化为且，即可求解. 【详解】有已知得，，，, 即且，则不等式的解集为， 故答案为：. 14. 已知实数，满足，若，则的最小值是_______． 【答案】16 【解析】 【分析】先由基本不等式放缩，然后再用基本不等式得最小值． 【详解】因为，所以， ，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时等号成立，此时． 故答案为：16． 四、解答题（共77分） 15. 已知集合，集合，. （1）求， ； （2）设，若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元一次不等式的求解得集合 ,进而由集合的交并运算即可求解， （2）将必要不充分条件转化为集合间的关系即可求解. 【小问1详解】 由得，所以； 由得，所以, 所以，. 【小问2详解】 因为，所以，， 因为“”是“”的必要不充分条件，所以 所以解得：. 16. （1）若，求的最小值 （2）若且，求的最小值 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）凑项得，然后利用基本不等式求最值； （2）将目标式变为，展开然后利用基本不等式求最值. 【详解】（1）,， , 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为； （2）， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 17. 紫砂花盆在明清时期出现后，它的发展之势如日中天，逐渐成为收藏家的收藏目标，随着制盆技术的发展，紫砂花盆已经融入了寻常百姓的生活，某紫砂制品厂准备批量生产一批紫砂花盆，厂家初期投入购买设备的成本为10万元，每生产一个紫砂花盆另需27元，当生产千件紫砂花盆并全部售出后，厂家总销售额（单位：万元）. （1）求总利润（单位：万元）关于产量（单位：千件）的函数关系式；（总利润总销售额成本） （2）当产量为多少时总利润最大？并求出总利润的最大值. 【答案】（1） （2）当产量为10千件时总利润最大，且总利润的最大值为39万元 【解析】 【分析】（1）根据题意，由总利润总销售额成本即可得到函数关系式； （2）根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 【小问2详解】 当时，（万元）. 当时，（万元），当且仅当时等号成立， 又为整数，所以此时（万元）. 综上，当产量为10千件时总利润最大，且总利润的最大值为39万元. 18. 设. （1）若，求的解集； （2）若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （3）解关于x的不等式. 【答案】（1）R （2） （3）当，不等式的解集为或，当，不等式的解集为，当，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）将代入，根据即可得到其解集； （2）根据题意，分与分别讨论即可得到结果； （3）将原式化为，然后分分别讨论，即可得到结果. 【小问1详解】 若，则，对应函数开口向下， ， 所以不等式的解集为 【小问2详解】 由题意可得对一切实数成立， 当时，不满足题意； 当时，得 所以实数a的取值范围为 【小问3详解】 由题意可得， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为， 当时，， 当时，， ①当，解集， ②当，解集为或， ③当，解集为或. 综上所述， 当，不等式的解集为或， 当，不等式的解集为， 当，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1） 由，所以集合是“完美集”； （2） 若是两个不同的正数， 且是“完美集”， 设， 根据根与系数关系可知相当于方程的两根， 由于，解得或（舍）， 所以， 又均为正数， 所以，当且仅当时成立 是两个不同的正数， 所以至少有一个大于2； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设设中，得到，分，，进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设中， 由， 得， 当时，即有， 又为正整数，所以， 则，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，即有， 故只能， 则，可求得， 于是此时“完美集”只有一个为； 当时，由， 即有， 又， 又，所以， 即， 又， 即，与矛盾， 所以当时，不存在“完美集”； 综上所述，“完美集”为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮滨高中2024-2025学年度高一上期第一次月考试卷 数学 命题人：潘林考 试时间：2024年10月 注意事项： 1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（共40分） 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. .， C. ， D. ， 2. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 集合M满足,则集合M的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（　　） A. B. 或 C. D. 或 8. 定义为集合的长度．已知集合，，若集合的长度为4，则的长度为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 二、多项选择题（共18分） 9. 设为实数，且，则下列不等式正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 11. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则的最大值是 B. 若，则的最小值为2 C. 若，，均为正实数，且，则的最小值是4 D. 已知，且，则最小值是 三、填空题（共15分） 12. 已知，，若集合，，且，则的值为______． 13. 不等式的解集为___________. 14. 已知实数，满足，若，则的最小值是_______． 四、解答题（共77分） 15. 已知集合，集合，. （1）求， ； （2）设，若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 16. （1）若，求的最小值 （2）若且，求的最小值 17. 紫砂花盆在明清时期出现后，它的发展之势如日中天，逐渐成为收藏家的收藏目标，随着制盆技术的发展，紫砂花盆已经融入了寻常百姓的生活，某紫砂制品厂准备批量生产一批紫砂花盆，厂家初期投入购买设备的成本为10万元，每生产一个紫砂花盆另需27元，当生产千件紫砂花盆并全部售出后，厂家总销售额（单位：万元）. （1）求总利润（单位：万元）关于产量（单位：千件）的函数关系式；（总利润总销售额成本） （2）当产量为多少时总利润最大？并求出总利润的最大值. 18. 设. （1）若，求的解集； （2）若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （3）解关于x的不等式. 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $