精品解析：河南省郑州市龙门实验中学2024-2025学年上学期八年级第一次月考数学试卷

2024—2025学年第一学期第一次学情教情调研评估材料 八年级数学 考试时间：100分钟；满分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示图形，通过该图形可以验证公式（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个数：2，，，，其中最小的数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. “的平方根是”的数学表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆的面积为，估计该圆的半径r所在范围正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 7. 《算法统宗》记载“昨日丈量田地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘？”译文：“昨天量了田地回到家里，记得长方形田的长为30步，宽及其对角线之和为50步，不知该田有几亩？”请运用所学知识求解这块地有（ ）亩（1亩平方步） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据（　　） A. 13，10，10 B. 13，10，12 C. 13，12，12 D. 13，10，11 9. 如图，，，在数轴上，且点O、C对应的实数分别是0，，以点O为圆心，的长为半径画弧，与数轴的负半轴交于点A，设点A所对应的实数为x，则的立方根为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数某同学将探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ） a 3 8 15 24 x b 4 6 8 10 y c 5 10 17 26 65 A. 47 B. 62 C. 79 D. 98 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 的值是______． 12. 写出一个比大比小的无理数______． 13. 一个数的立方等于8，则这个数的算术平方根等于______． 14. 把两个同样大小含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若，则______． 15. 把边长为2的正方形纸片分割成如图的四块，其中点为正方形的中心，点分别是，的中点，用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形的周长是______. 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知和是某数m的两个平方根，的立方根是3，c是的整数部分， （1）求m的值； （2）求的平方根． 18. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 19. 若，则称x和y是关于1的平衡数． （1）4与______是关于1的平衡数；与______是关于1的平衡数； （2）已知m为整数，若，判断与是不是关于1的平衡数，并说明理由． 20. 乐乐同学对方格纸中的数学问题很感兴趣，请你一起来探究吧． （1）图中每个小正方形方格的边长为1，请你在方格纸上按照如下要求设计直角三角形，直角三角形的三个顶点都在格点上： ①使它的三边中有一边的边长不是有理数 ②使它的三边中有两边边长不是有理数 ③使它的三边边长都不是有理数 （2）乐乐认为要计算图中梯形的面积可以利用“算两次”的思想，第一种方法是直接求梯形的面积，第二种方法是利用割或补的方法，请你写出两种方法的过程（割或补的方法只写一种）． 21. 如图，在长方形中，，，P是射线上一动点，l为长方形的一条对称轴，将沿折叠，当点B的对应点落在l上时，的长为多少？ 22. 我们已经知道，因此在计算时，数学上常常设法通过恒等变形将分母变为有理式，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化． （1）化简：______； （2）若，求的值． 23. 勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： （1）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积是多少？ （2）同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ （3）图（1）“赵爽弦图”中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，请直接写出这个风车的外围（实线）周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期第一次学情教情调研评估材料 八年级数学 考试时间：100分钟；满分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示图形，通过该图形可以验证公式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形是边长为c的正方形，则其面积为，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积为，根据两种表示方法表示的面积相等即可得到结论． 【详解】解：大正方形是边长为c的正方形，则其面积为， 中间的小正方形是边长为的正方形，则其面积为， 大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积为， ∴，即， 故选：C． 2. 下列四个数：2，，，，其中最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数大小比较，根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数为； 故选D． 3. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，化简二次根式，根据二次根式的四则运算法则和化简二次根式的法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4. “的平方根是”的数学表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可． 【详解】解：“的平方根是”的数学表达式是， 故选：A． 5. 已知圆的面积为，估计该圆的半径r所在范围正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，根据题意，得到半径，夹逼法求出范围即可． 【详解】解：∵圆的面积为， ∴半径， ∵， ∴， ∴； 故选B． 6. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 7. 《算法统宗》记载“昨日丈量田地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘？”译文：“昨天量了田地回到家里，记得长方形田的长为30步，宽及其对角线之和为50步，不知该田有几亩？”请运用所学知识求解这块地有（ ）亩（1亩平方步） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设长方形田的宽为x步，则其对角线的长为步，根据勾股定理可得，解方程求出宽，再根据长方形面积公式求出面积即可得到答案． 【详解】解：设长方形田的宽为x步，则其对角线的长为步， 由勾股定理可得， 解得， ∴长方形田的宽为16步， ∴长方形田的面积为亩， 故选：A． 8. 一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据（　　） A. 13，10，10 B. 13，10，12 C. 13，12，12 D. 13，10，11 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的三线合一，得底边上的高也是底边上的中线．根据勾股定理知：底边的一半的平方加上高的平方应等于腰的平方，即可得出正确结论． 【详解】解：由题可知，在等腰三角形中，底边的一半、底边上的高以及腰正好构成一个直角三角形，且（）2+122＝132，符合勾股定理． 故选B． 【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一以及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 9. 如图，，，在数轴上，且点O、C对应的实数分别是0，，以点O为圆心，的长为半径画弧，与数轴的负半轴交于点A，设点A所对应的实数为x，则的立方根为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用勾股定理得到，进而得到，据此求出，再根据立方根的定义可得答案． 【详解】解：在中，由勾股定理得， ∴， ∴点A表示的数为，即， ∴， ∵的立方根为， ∴的立方根为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，实数的运算，求一个数的立方根，实数与数轴，正确利用勾股定理求出是解题的关键． 10. 如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数某同学将探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ） a 3 8 15 24 x b 4 6 8 10 y c 5 10 17 26 65 A. 47 B. 62 C. 79 D. 98 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，数字类的规律探索，观察表格可知，则，再利用勾股定理求出y的值即可得到答案． 【详解】解：观察表格可知，则， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 写出一个比大比小的无理数______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小和无理数的定义，根据可得，而也是无理数，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 一个数的立方等于8，则这个数的算术平方根等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查立方根和算术平方根，根据立方根和算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴2的算术平方根等于； 故答案为：． 14. 把两个同样大小含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题 的关键．如图，先利用等腰直角三角形的性质求出 ，，再利用勾股定理 求出，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作于， 在中，， ，为等腰直角三角形， ∴， 两个同样大小的含角的三角尺， ， 在中，根据勾股定理得，， ， 故答案为：． 15. 把边长为2的正方形纸片分割成如图的四块，其中点为正方形的中心，点分别是，的中点，用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形的周长是______. 【答案】10或或 【解析】 【分析】先根据题意画出图形，再根据周长的定义即可求解． 【详解】如图所示： 图1的周长为1+2+3+2=6+2； 图2的周长为1+4+1+4=10； 图3的周长为3+5++=8+2． 故四边形MNPQ的周长是6+2或10或8+2． 故答案为6+2或10或8+2． 【点睛】考查了平面镶嵌（密铺），关键是得到与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙）的各种情况． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，求一个数的立方根和化简绝对值： （1）先化简二次根式和去绝对值，再计算二次根式加法和除法，最后计算加减法即可； （2）先计算二次根式乘法和立方根，再化简二次根式，最后计算减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知和是某数m的两个平方根，的立方根是3，c是的整数部分， （1）求m的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）49 （2） 【解析】 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的整数部分，熟练掌握相关定义和无理数的估算方法，是解题的关键： （1）根据平方根的定义，得到，求出的值，进而求出的值即可； （2）求出的值，进而求出的平方根即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 18. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【小问1详解】 解：在中， 米，米， 米 米． 答：处与地面的距离是米； 【小问2详解】 在中， 米，米， 米 米． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 19. 若，则称x和y是关于1的平衡数． （1）4与______是关于1的平衡数；与______是关于1的平衡数； （2）已知m为整数，若，判断与是不是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1） （2） 不是，理由如下： ， ∴，， ∴； ∴， ∴与不是关于1的平衡数． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握新定义，是解题的关键： （1）根据平衡数的定义，进行求解即可； （2）根据，求出的值，再根据平衡数的定义，进行判断即可． 【小问1详解】 解：，； 故答案为：； 【小问2详解】 略 20. 乐乐同学对方格纸中的数学问题很感兴趣，请你一起来探究吧． （1）图中每个小正方形方格的边长为1，请你在方格纸上按照如下要求设计直角三角形，直角三角形的三个顶点都在格点上： ①使它的三边中有一边的边长不是有理数 ②使它的三边中有两边边长不是有理数 ③使它的三边边长都不是有理数 （2）乐乐认为要计算图中梯形的面积可以利用“算两次”的思想，第一种方法是直接求梯形的面积，第二种方法是利用割或补的方法，请你写出两种方法的过程（割或补的方法只写一种）． 【答案】（1）①如图： （答案不唯一） ②如图： （答案不唯一） ③如图： （答案不唯一） （2） 方法一： 如图，，，， ∴梯形的面积； 方法二： 如图，梯形的面积． 【解析】 【分析】本题考查了实数、网格作图、勾股定理、求梯形的面积等知识，解题关键是能利用勾股定理在网格中作出不是有理数的边，能利用公式或者割补法求梯形的面积． （1））分别利用勾股定理构造无理数的边即可； （2）方法一可以先作出梯形的高，利用勾股定理求出梯形的上底、下底和高，再利用梯形的面积公式求解，方法二可以先补成一个矩形，再减去三个直角三角形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在长方形中，，，P是射线上一动点，l为长方形的一条对称轴，将沿折叠，当点B的对应点落在l上时，的长为多少？ 【答案】或15 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，轴对称的性质，先由轴对称和长方形的性质得到；，，再由平行线间间距相等得到，由折叠的性质可得，，分两种情况：当点P在线段上时，由勾股定理得到，可得，设，则，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案；②当点P在线段的延长上时，同理，利用勾股定理可得答案． 【详解】解：设直线l分别与交于E、F， ∵l为长方形的一条对称轴， ∴；，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， 当点P在线段上时， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． ②当点P在线段的延长线上时，如图， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 综上可知，的长为或15． 22. 我们已经知道，因此在计算时，数学上常常设法通过恒等变形将分母变为有理式，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化． （1）化简：______； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查分母有理数，代数式求值，掌握分母有理化的方法，是解题的关键： （1）根据分母有理化的方法，进行计算即可； （2）先进行分母有理化，再代值计算即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴ ． 23. 勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： （1）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积是多少？ （2）同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ （3）图（1）“赵爽弦图”中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，请直接写出这个风车的外围（实线）周长． 【答案】（1）5 （2） 图形的总面积可以表示为 ， 也可以表示为， ∴． ∴． （3）76 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的几何背景，完全平方公式与几何图形的面积： （1）设直角三角形的斜边为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，利用大正方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （2）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； （3）根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，根据风车的外围周长是，计算求解即可． 【小问1详解】 解：设斜边的长为，由题意，得：， ∵， ∴， ∴小正方形的面积为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， 由勾股定理得，， ∴这个风车的外围周长是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $