精品解析：广东省佛山市顺德区罗定邦中学2025届高三鲲鹏班上学期第三次质量检测数学试题

鲲鹏2025届高三第一学期第三次质量检测（数学学科） 命题人：高三数学备课组 满分：150分 限时：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】解不等式，得，解得或， 则或，而， 所以. 故选：C 2. 如图，平行四边形ABCD中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，证得是平行四边形，从而有，再得出，然后由向量的线性运算法则求解． 【详解】取中点，连接， 因为是平行四边形，是中点， 则且，所以是平行四边形， 所以， 又，则， ， 所以. 故选：C． 3. 已知，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平面向量平行的坐标表示可知，再根据余弦二倍角公式化简、解方程可得,进而可得，再根据两角差的正切公式即可求出结果. 【详解】因为， 所以， ， ， 所以或， 又，所以， 所以， 所以， 故选：B. 4. 函数的部分图象如图所示，若图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图像，若是奇函数，则图中的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象求出，的图象上的所有点向左平移个单位长度后得为奇函数，得函数的图象过点，求出，进而得到函数的解析式，求解参数即可. 【详解】由得，的图象上的所有点向左平移个单位长度后得为奇函数， 所以图象关于原点对称，得函数的图象过点， 所以，所以， 故，又，得， 所以，， 故选：A. 5. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 牛奶的温度降至还需 D. 牛奶的温度降至还需 【答案】D 【解析】 【分析】运用代入法，结合对数的运算逐一判断即可. 【详解】由，得， 即，故，A、B错误； 又由，，得， 故牛奶的温度从降至需， 从降至还需. 故选：D 6. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（ ） A. 0.475 B. 0.525 C. 0.425 D. 0.575 【答案】B 【解析】 【分析】运用全概率公式及对立事件概率公式计算即可. 【详解】设A=“发送的信号为0”， B=“接收到的信号为0”， 则=“发送的信号为1”， =“接收到的信号为1”， 所以，，，，，， 所以接收信号为0的概率为：， 所以接收信号为1的概率为：. 故选：B. 7. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 8. 已知函数函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则恰有2个零点 B. 若恰有2个零点，则的取值范围是 C. 若恰有3个零点，则的取值范围是 D. 若，则恰有3个零点 【答案】D 【解析】 【分析】利用导函数得出单调区间和极值，画出函数大致图像，由图像对选项做出判断. 【详解】 令，则 ∴时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递减； 时，，单调递增， ∴有极大值：，极小值：，且， ∴大致图像如下： 对于选项A：若，则恰有1个零点，故A选项错误. 对于选项B：若恰有2个零点，则的取值范围是或或，故选项B错误. 对于选项C.：若恰有3个零点，则的取值范围是，故选项C错误. 对于选项D. 若，则恰有3个零点，故选项D正确. 故选：D 二､多选题：（每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 已知复数，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若复数满足，则在复平面对应的点是 D. 若是关于的方程的一个根，则 【答案】CD 【解析】 【分析】结合模长公式和复数的乘方运算，举反例判断AB，根据复数的四则运算及复数的几何意义可判断C，得到为方程的另一个根，根据韦达定理即可判断D. 【详解】若，则不一定成立，比如， 满足，但，不满足，A选项错误； 比如，满足， 由复数定义可知，两个复数不能比大小，故大小无法判断，B选项错误； ， 所以在复平面对应的点是，C选项正确； 若是关于的方程的一个根， 则为方程另一个根， 故，即，D选项正确. 故选：CD 10. 若正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本（均值不等式）可判断ABD的真假；设函数（），分析其单调性，可判断C的真假. 【详解】因为，且，所以（当且仅当时取“”）. 所以，故A正确； ，故B正确； 设（），则在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以， 所以成立，故C正确； 又，又，所以，即，故D错误. 故选：ABC 11. 已知圆台上、下底面的半径分别为2和4，母线长为4．正四棱台上底面的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（ ） A. B. 二面角的大小为 C. 正四棱台的外接球的表面积为 D. 设圆台的体积为，正四棱台的体积为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，先证明线面垂直，由性质可得线线垂直；对B，过作，连接，找到二面角的平面角为，再解三角形即可；对C，设出球心和球半径，根据几何关系，列出等量关系求解即可；对D，根据圆台和棱台的体积公式，结合已知数据，求解即可. 【详解】 根据题意，如图，设圆台上、下底面圆心分别为连接 过作，作截面的平面图，则为等腰梯形， 且为中点，则， 故，即圆台的高， 又，即四棱台的上下底面边长分别为和； 对A，由题意平面，平面，则， ，，平面，平面， 故平面，平面，所以，故A正确； 对B：过作，垂足为，连接； 由面，//，则面，又面，故， 又，面，故面， 又面，故，则即为二面角的平面角； ，又， 故， 而在中，，则， 结合在单调递增可知，，故B错误； 对C：设外接球半径为，球心到下底距离为，在的平面图中，为球心， 则，故，解得； 故表面积，故C正确； 对D：； ， ，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是一个随机试验中的两个事件，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】运用条件概率和并事件的概率公式即可解决. 【详解】，将代入可以求得， ，将，代入，求得 故答案为：. 13. 设函数，若为奇函数，则曲线过点的切线方程为______． 【答案】和 【解析】 【分析】由奇函数的概念求出，再由导数的几何意义设出切线方程后将点坐标代入求解． 【详解】因为为奇函数，，得， ，， 设切点，则切线方程为， 又切线过点，代入得 解得或．当时，切点为，切线方程为； 当时，切点为，切线方程为． 故答案为：和 14. 如下图，正方形 的边长为 14 cm， 依次将 分为3:4的两部分，得到正方形，依照相同的规律，得到正方形 . 一只蚂蚁从出发，沿着路径爬行，设其爬行的长度为， 为正整数，且与恒满足不等式，则的最小值是______________. 【答案】21 【解析】 【分析】由题结合图形，通过数学归纳得出数列以6为首项，为公比的等比数列，求和分析即可. 【详解】由题意可知，，. 所以，同理可得，，， 因此由数学归纳的思想可知，. 设数列，则该数列以6为首项，为公比的等比数列， 所以， 因此， 又因为当时，, 所以若与正整数恒满足不等式，则的最小值是21. 故答案为：21. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设三角形的内角、、的对边分别为、、且． （1）求角的大小； （2）若，边上的高为，求三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用内角和为化简，利用二倍角公式化简，再利用辅助角公式化简即可求得； （2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可. 【小问1详解】 因为，，为的内角，所以， 因为，所以可化为：， 即，即， 因为，解得：，即． 【小问2详解】 由三角形面积公式得，代入得：， 所以，由余弦定理得：， 解得：或舍去，即， 所以的周长为. 16. 已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且， . （1）求数列、的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求证：. 【答案】（1）； （2）由（1）得： 易知在上单调递增，故当时，取最小值， 又恒成立，所以. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的定义求得通项公式即可； （2）利用裂项相消法求得，再根据其单调性即可得证. 【小问1详解】 由题意得，解得： ， 因为数列是公差为，数列是公比为，所以， ； 【小问2详解】 略 17. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数. （1）证明：函数是奇函数，并写出函数的对称中心； （2）判断函数的单调性（不用证明），若，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明: 由题意，令， 显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称， 且， 所以函数是奇函数， 所以函数的图象关于点对称. （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇偶函数的判定方法证得为奇函数，根据的对称中心即可判断出函数的对称中心； （2）由（1）可以判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质即可求得不等式的范围. 【小问1详解】 证明略，对称中心为； 【小问2详解】 由复合函数单调性可知在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由（1）知函数是奇函数， 又，即， 所以，， 解得，所以实数的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：因为平面平面，且平面平面， 因为，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，且，平面； 所以平面； （2）； （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）由面面垂直性质定理知平面；根据线面垂直性质定理可知，再由线面垂直判定定理可知平面； （2）取的中点，连结，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值； （3）假设存在，根据三点共线，设，根据平面，即，求的值，即可求出的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 取的中点，连结，， 因为，所以； 又因为平面，平面平面， 所以平面； 因为平面，所以； 因为，所以； 如图建立空间直角坐标系，由题意得， ， 设平面的法向量为，则 即， 令，则； 所以； 又，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 设是棱上一点，则存在使得． 因此点，． 因为平面，所以平面当且仅当， 即，解得． 所以在棱上存在点使得平面，此时． 考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用． 19. 函数． （1）若，求函数的最大值； （2）若在恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，代入，求导利用导数研究函数单调性，进而求最值. （2）根据题意，则在恒成立，提取参数转化成在恒成立问题，设，对函数设求导，分析函数单调性，进而求解函数最值，即可求解参数取值范围. 【小问1详解】 因为， 可知的定义域为，且， 由，解得；由，解得． 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的最大值为． 【小问2详解】 因为在恒成立， 等价于在恒成立． 设，， 则， 当时，则，且，可得， 所以； 当时，则， 设，则， 可知在递增，且． 则，使得． 当时，；当时，． 当时，；当时，． 可知函数在递增，在递减，在递增． 由，得，且． 可得， 且，则， 又因为，可知当时，， 所以的取值范围是． 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鲲鹏2025届高三第一学期第三次质量检测（数学学科） 命题人：高三数学备课组 满分：150分 限时：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，（ ） A. B. C. D. 2. 如图，平行四边形ABCD中，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象如图所示，若图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图像，若是奇函数，则图中的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 牛奶的温度降至还需 D. 牛奶的温度降至还需 6. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（ ） A. 0.475 B. 0.525 C. 0.425 D. 0.575 7. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 已知函数函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则恰有2个零点 B. 若恰有2个零点，则的取值范围是 C. 若恰有3个零点，则的取值范围是 D. 若，则恰有3个零点 二､多选题：（每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 已知复数，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若复数满足，则在复平面对应的点是 D. 若是关于的方程的一个根，则 10. 若正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆台上、下底面的半径分别为2和4，母线长为4．正四棱台上底面的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（ ） A. B. 二面角的大小为 C. 正四棱台的外接球的表面积为 D. 设圆台的体积为，正四棱台的体积为，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是一个随机试验中的两个事件，若，则______． 13. 设函数，若为奇函数，则曲线过点的切线方程为______． 14. 如下图，正方形 的边长为 14 cm， 依次将 分为3:4的两部分，得到正方形，依照相同的规律，得到正方形 . 一只蚂蚁从出发，沿着路径爬行，设其爬行的长度为， 为正整数，且与恒满足不等式，则的最小值是______________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设三角形的内角、、的对边分别为、、且． （1）求角的大小； （2）若，边上的高为，求三角形的周长． 16. 已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且， . （1）求数列、的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求证：. 17. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数. （1）证明：函数是奇函数，并写出函数的对称中心； （2）判断函数的单调性（不用证明），若，求实数的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19. 函数． （1）若，求函数的最大值； （2）若在恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $