精品解析：江苏省泰州市靖江市滨江学校2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

靖江市滨江学校2024—2025学年度第一学期学业质量监测 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意：请将所有答案答到答题纸上，写在试题卷上无效！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 1. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，在和中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，只需再添加的一个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 5. 直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．疫情防控期间，为了方便管理，需要在l上的M处建一个临时观察点，则M处到P，Q两地距离最短的方案是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，若增大，则的变化情况是（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将答案直接写在答题卷相应位置上．） 7. 如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带__________去（填序号）． 8. 如图，若，且，，则___________°． 9. 如图是由两个阴影的小正方形组成的图形，请你在空白网格中补画一个阴影的小正方形，使补画后的三个阴影图形为轴对称图形，共有_________种画法． 10. 如图，的面积为，垂直的平分线于点，则的面积为__________． 11. 如图，，此时点A恰好在线段上，则的度数为 __． 12. 在和中，，，高，则和的关系是_____． 13. 如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，若，则________． 14. 如图，点I为的平分线和的平分线的交点，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______． 15. 如图，中，点是边上一点，连结，把沿着翻折，得到与交于点．若点是的中点，，的面积为11，则点之间的距离为______． 16. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，、交于点F，则下列说法正确的序号为______． ①；②；③若，则；④；⑤． 三、解答题（本大题共9小题，共102分．解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 如图：正方形网格中，每个小正方形的边长都为2，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图1中作出关于直线对称的；（要求：与与与相对应） （2）若图1中有一格点到点的距离相等，则网格中满足条件的点共有______个： （3）在图2中，为上一格点，点为上任意一点，先将线段向右平移得到线段、画出线段，再在上画点，使； 18. 如图，点在的边上，，，．若，，求的长． 19. 如图，在等腰三角形中，是的中点，过作，垂足分别为点E、F，且，求证：． 20. 如图，中，． （1）请用无刻度直尺和圆规作出线段的垂直平分线，与边交于点，在上截取，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 21. 如图，在中，，，点D是的中点．将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接、． 试猜想线段和的数量及位置关系，并证明你的猜想． 22. 如图，，P为内一点，点E、F分别在射线上，且． （1）求证：； （2）试说明：点P在的角平分线上． 23. 如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，如图②，伞圈沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨的B，C点固定不动，且到点的距离满足． （1）当点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由． （2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘与点在同一直线上，若，，求的度数． （3）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘与点在同一直线上，若点是的中点，且，求的度数． 24. 如图，已知，的角平分线与交于点，为射线上的一个动点，连接，过点作，且． （1）已知，求的度数． （2）若，求的度数． 25. 【模型熟悉】 （1）如图1，已知和，点、、在一条直线上，且，，求证：； 【模型运用】 （2）如图2，在等边中，、分别为，边上的点，且，，连接．若，求证：； 【能力提升】 （3）如图3，等边的面积是，，点、分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点从点运动到点，请在图3中作出点的运动轨迹，并求出点的运动路程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 靖江市滨江学校2024—2025学年度第一学期学业质量监测 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意：请将所有答案答到答题纸上，写在试题卷上无效！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 1. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由三角形内角和为， 可求边长为的边所对的角为， 由全等三角形对应角相等可知， 故选C. 3. 如图，在和中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，只需再添加的一个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等；添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等． 【详解】解：A、添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意； B、添加BC＝BD，不能判定两三角形全等，故此选项符合题意； C、添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意； D、添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 4. 如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的判定，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得平分． 【详解】解：如图所示：过点作，， 两把完全相同的长方形直尺的宽度相等， ， 平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：B． 5. 直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．疫情防控期间，为了方便管理，需要在l上的M处建一个临时观察点，则M处到P，Q两地距离最短的方案是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点之间线段最短，以及作轴对称图形，进行分析判断即可． 【详解】解：根据两点之间线段最短，以及轴对称的特征可知，要确定M处到P，Q两地距离最短的方案，则先作出点关于的对称点，再连接点与点的对称点，与的交点即为点，即选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称图形的特征，能够熟练运用轴对称图形的特征作图是解决本题的关键． 6. 如图，，若增大，则的变化情况是（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，设设原来，求出此时，然后类似求出变化后，然后两角作差即可得出结论． 【详解】解：设原来，则 ∵， ∴， ∴， 当增大后，， ∴， ∴， ∴， ∴的变化情况是减小， 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将答案直接写在答题卷相应位置上．） 7. 如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带__________去（填序号）． 【答案】③ 【解析】 【分析】本题是一道利用全等三角形解决实际问题的题目，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理； 利用三角形全等的判定定理“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”，即可确定； 【详解】解：第③块玻璃含有两个角，能确定整块玻璃的形状．第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据“”来配一块一样的玻璃．应带③去． 故答案为：③． 8. 如图，若，且，，则___________°． 【答案】50 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质及三角形外角性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 9. 如图是由两个阴影的小正方形组成的图形，请你在空白网格中补画一个阴影的小正方形，使补画后的三个阴影图形为轴对称图形，共有_________种画法． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，根据轴对称图形的性质作出图形即可求解，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据轴对称图形可作如图所示： 共有5种画法， 故答案为：5． 10. 如图，的面积为，垂直的平分线于点，则的面积为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】延长交于点，根据角平分线和垂线的定义，易证，得到，，进而得到，即可求出的面积． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 和等底同高， ， ， 的面积为， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形面积公式等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 11. 如图，，此时点A恰好在线段上，则的度数为 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，先利用三角形的内角和得到，然后利用全等三角形的性质得到，然后利用等边对等角得到，进而求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 在和中，，，高，则和的关系是_____． 【答案】相等或互补 【解析】 【分析】根据题意可得，进行分类讨论即可：①当和同时在 和内部或同时在和外部，②当和一个在三角形内部一个在三角形外部时． 【详解】解：①当和同时在 和内部或同时在和外部时， ∵，， ∴， ∴； ②当和一个在三角形内部一个在三角形外部时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：相等或互补． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是根据题意进行分类讨论，掌握全等三角形对应角相等． 13. 如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和定理和含的直角三角形的性质，根据题意先判断图形的形状，再根据多边形的外角和定理求出，进而可得，最后根据含的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：由题意知：形成的最中间的图形为正六边形， ∴正六边形的外角和为， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点I为的平分线和的平分线的交点，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】连接AI，BI，由点I为△ABC的内心，得到AI平分∠CAB，根据角平分线的定义得到∠CAI=∠BAI．根据平移的性质得到AC∥DI，由平行线的性质和等角对等边得到AD=DI，BE=EI，根据三角形的周长公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：连接AI，BI， ∵点I为△ABC的内心， ∴AI平分∠CAB， ∴∠CAI=∠BAI． 由平移得：AC∥DI， ∴∠CAI=∠AID． ∴∠BAI=∠AID， ∴AD=DI． 同理可得：BE=EI， ∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB， 因为，即图中阴影部分的周长为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查角平分线的定义、平移的性质、等腰三角形的判定和平行线的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义、平移的性质和平行线的性质和等角对等边． 15. 如图，中，点是边上一点，连结，把沿着翻折，得到与交于点．若点是的中点，，的面积为11，则点之间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，先根据面积求B到的距离，再求B，E的距离． 【详解】解：是的中点， ， 如图，连接交于H， 由翻折的性质得，，， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，、交于点F，则下列说法正确的序号为______． ①；②；③若，则；④；⑤． 【答案】①③④⑤ 【解析】 【分析】根据三角形内角和可判断①；当为中线时，可判断②；延长至G，使，连接，根据，证明，得，然后根据等腰三角形的性质，可判断③；作的平分线交于点G，可得，证明，，可得，，可判断④；过G作，于点G，H，由④知，为的角平分线，可得，所以可得，根据，，可判断⑤． 【详解】解：①在中，， ， ∵平分，平分， ，， ，故①正确； ②当为中线时，， 而平分，不一定是等边三角形或以为腰的等腰三角形，故②错误； ③如图，延长至G，使，连接， ， ， ， ， ，， 为角平分线， ， ， ， ， ，故③正确； ④如图，作作的平分线交于点G， 由①得：， ， ， ， ，， ，， ，， ，故④正确； ⑤过G作，于点G，H， 由④知，为的角平分线， ， ， ，， ，故⑤正确． 综上所述：正确的有①③④⑤， 故答案为：①③④⑤． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的性质和判定，作辅助线，构建三角形全等是关键． 三、解答题（本大题共9小题，共102分．解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 如图：正方形网格中，每个小正方形的边长都为2，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图1中作出关于直线对称的；（要求：与与与相对应） （2）若图1中有一格点到点的距离相等，则网格中满足条件的点共有______个： （3）在图2中，为上一格点，点为上任意一点，先将线段向右平移得到线段、画出线段，再在上画点，使； 【答案】（1） 解：如图所示， 即为所求； （2）4 （3） 解：如图所示，、点G即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形的特征，画出点，，，再依次连接即可； （2）根据垂直平分线的性质：到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可作图解答； （3）如图所示，取格点F，连接，则即为所求；连接并延长交于G，点G即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示： 依题意，因为有一格点P到点B、C的距离相等， 故作的垂直平分线与网格相交，交点正落在格点上，即为点的位置 即为图中的，，，， 满足条件的点P有4个； 【小问3详解】 解：取格点F，连接；连接并延长交于G； 易得点E为的中点，则，由平移得到，则可证明，则． 【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，平移的性质，画平移图形等等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 18. 如图，点在的边上，，，．若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，根据“ ”证明，根据全等三角形的性质得出 ，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 在和中， ∵ ∴． ∴，． ∴． 19. 如图，在等腰三角形中，是的中点，过作，垂足分别为点E、F，且，求证：． 【答案】 证明：如图所示，连接， ，是的中点， ， 即， 在和中， （） ， 即． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，连接，由等腰三角形三线合一的性质可得，在用判定，得到，即可得证． 【详解】略 20. 如图，中，． （1）请用无刻度直尺和圆规作出线段的垂直平分线，与边交于点，在上截取，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 【答案】（1） 如图所示， （2） 证明：连接， 是的垂直平分线， ． ． 又， ． 又∵，， ． ． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图作垂直平分线的步骤画图即可； （2）由线段垂直平分线的性质得，从而，可证，然后根据即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 21. 如图，在中，，，点D是的中点．将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接、． 试猜想线段和的数量及位置关系，并证明你的猜想． 【答案】 解：数量关系为：，位置关系是：． 证明：∵是直角三角形，，且有一个锐角是， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质定理，把已知条件转化为全等三角形中的边角关系是关键． 由，点D是的中点，得到，由，得，再有，根据“”证得即可得到结果． 【详解】略 22. 如图，，P为内一点，点E、F分别在射线上，且． （1）求证：； （2）试说明：点P在的角平分线上． 【答案】（1） 证明：过点P作于点C，于点D， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，即， 又∵ ∴， ∴ （2） 证明：∵ ∴， ∴矩形是正方形， ∴ ∴点P在的角平分线上． 【解析】 【分析】（1）过点P作于点C，于点D，证明四边形是矩形，得到，由此推出，进而证明，得到； （2）根据得到，推出矩形是正方形，由此得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，综合掌握各判定和性质定理是解题的关键． 23. 如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，如图②，伞圈沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨的B，C点固定不动，且到点的距离满足． （1）当点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由． （2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘与点在同一直线上，若，，求的度数． （3）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘与点在同一直线上，若点是的中点，且，求的度数． 【答案】（1）相等，理由如下： ∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形中的边角关系； （1）根据题意可得，即可根据证明，即可得出； （2）先求出．再根据三角形的外角定理得出．最后根据全等三角形对应角相等，即可得出． （3），根据点是的中点，得出，等边对等角可得，进而可得，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，平分， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 【小问3详解】 ∵ ∴ ∵， ∴， 又∵点是的中点， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴． 24. 如图，已知，的角平分线与交于点，为射线上的一个动点，连接，过点作，且． （1）已知，求的度数． （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先证明，根据角平分线的定义，平行线的性质可得，进而得出，求得，根据角平分线的定义，平行线的性质得出，进而根据，即可求解． （2）连接，设，根据两直线平行，内错角相等得，由角平分线的定义得，推出，根据垂直平分线的性质得，，由平行线的性质得，继而得到，再由直角三角形两锐角互余得，可得结论． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵，且． ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 【小问2详解】 解：连接，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余．掌握等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质是解题的关键． 25. 【模型熟悉】 （1）如图1，已知和，点、、在一条直线上，且，，求证：； 【模型运用】 （2）如图2，在等边中，、分别为，边上的点，且，，连接．若，求证：； 【能力提升】 （3）如图3，等边的面积是，，点、分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点从点运动到点，请在图3中作出点的运动轨迹，并求出点的运动路程． 【答案】 （1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：在上截取，连接， ， ， ， ，且， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， ； （3）如图， 点E的运动路程为 【解析】 【分析】（1）证即可得证； （2）在上截取构造，从而证出，，再用线段和差即可得证； （3）类比探究，根据前问思路，构造“一线三等角”的全等，证明平分，即可得出点的运动轨迹，再利用面积法求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在上截取，连接， ，且， ， 是等边三角形， ，， ，且， ， ， ，， ， ， ， 平分， 如图所示，点在的内角的角平分线上上运动． 点的运动路程也就是的长度， 是等边三角形，是角平分线， ， ， ， ， 即点的运动路程为． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $