精品解析：河北省邯郸市大名县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

高二月考试题 一、单选题 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若圆C：的半径为1，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 圆关于直线对称的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则点到直线的距离为（ ） A B. C. D. 5. 已知曲线，则的最大值，最小值分别为（　　） A. ＋2，－2 B. ＋2， C ，－2 D. ， 6. 过点引圆：的切线，切点为A，则PA的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列关于直线斜率和倾斜角的叙述正确的有（ ） A. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率 C. 若，则 D. 若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 10. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，，，，则下列结论正确的有（ ） A. 四面体是鳖臑 B. 阳马的体积为 C. 若，则 D. 到平面的距离为 三、填空题 12. 若是直线的一个法向量，则直线的斜率为__________，倾斜角的大小为______． 13. 已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为______. 14. 已知，若点在线段上，则的取值范围是_______. 四、解答题 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点 （1）证明：平面; （2）若，求直线与平面所成角的正弦值 16. 已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直. （1）求直线的方程； （2）若圆圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程. 17. 如图，在正四棱柱中，，点分别在棱上，． （1）判断与平面的位置关系并证明； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知点和直线.点B是点A关于直线l的对称点. （1）求点B坐标； （2）O为坐标原点，且点P满足.若点P的轨迹与直线有公共点，求m的取值范围. 19. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作． （1）若，求的斜坐标； （2）在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二月考试题 一、单选题 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点关于轴的对称点的坐标为只须将纵坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为：， 所以点关于轴的对称点的坐标为：. 故选：B. 2. 若圆C：的半径为1，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将圆的一般方程转化为圆的标准方程即可求解. 【详解】由，得， 所以圆C的圆心为，半径为， 因为圆C：的半径为1， 所以，解得， 故实数. 故选：D. 3. 圆关于直线对称的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆的标准方程得到圆的圆心和半径，求出圆心关于直线的对称点，进而写出圆的标准方程. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 且关于直线对称的点为， 所以所求圆的圆心为、半径为， 即所求圆的标准方程为. 故选：D. 4. 已知，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用点到线的距离的向量法，即可求解. 【详解】因为，， 得到，， 则点到直线的距离为， 故选：C. 5. 已知曲线，则最大值，最小值分别为（　　） A. ＋2，－2 B. ＋2， C. ，－2 D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得曲线表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，表示半圆上的动点与点的距离，作出图象，结合图象求解即可． 【详解】由，可知，， 且有，表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，如图所示： 又因为表示半圆上的动点与点的距离， 又因为， 所以的最小值为， 当动点与图中点重合时，取最大值， 故选：C． 6. 过点引圆：的切线，切点为A，则PA的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，由圆切线的性质及两点距离公式可得，即可求PA的最小值. 【详解】由题设，的标准方程为，故圆心为，半径为3， ∴由切线的性质知：， ∴当时，. 故选：A 7. 如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量线性运算，利用向量表示，再根据向量的模的性质，数量积的运算律求，由此可得结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 又，，，，， 所以 所以. 故选：C. 8. 已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点，可知，所以表示点与点之间距离的平方，分析求解即可. 【详解】以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设点， 所以，， 所以， 因为表示点与点之间距离的平方， 所以当点的坐标为时，取得最大值为， 当与点重合时，取得最小值， 所以的取值范围为：. 故选：A. 二、多选题 9. 下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（ ） A. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率 C. 若，则 D. 若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线倾斜角、斜率的概念可判断ABD选项的正误，根据两直线平行与倾斜角的关系可判断C选项的正误. 【详解】对于A选项，平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，A对； 对于B选项，平面直角坐标系中倾斜角为的直线没有斜率，B错； 对于C选项，当、都与轴垂直时，、的斜率都不存在，但，C错； 对于D选项，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，D对. 故选：AD. 10. 若是空间一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量基底的概念可得解. 【详解】由已知，，不共面，则，，不共面，A选项正确； 设，即方程无解， 所以，，不共面，B选项正确； 设，即，解得： ， 即，所以，，共面，C选项错误； 设，显然三个向量不共面，D选项正确； 故选：ABD. 11. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，，，，则下列结论正确的有（ ） A. 四面体是鳖臑 B. 阳马的体积为 C. 若，则 D. 到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由△不是直角三角形否定选项A；求得阳马的体积判断选项B；以为基底表示向量进而判断选项C；求得到平面的距离判断选项D. 【详解】A错，连接AC，则△中，， 则△不是直角三角形，则四面体不是鳖臑； B对，. C对， D对，设到平面的距离为d， 又， 由，得，则到平面的距离为 故选：BCD 三、填空题 12. 若是直线的一个法向量，则直线的斜率为__________，倾斜角的大小为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由直线的法向量得到直线斜率，进而得到倾斜角. 【详解】由题意知，向量是直线的一个法向量，可得斜率为， 设直线的倾斜角为，可得，可得 则直线的倾斜角的大小为. 故答案为：；. 13. 已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为：（圆的方程为），代入即可的直线的方程 【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为： ， 化简得：. 故答案：. 14. 已知，若点在线段上，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用斜率计算公式可得：，．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【详解】设，则，， 点是线段上的任意一点， 的取值范围是,， 故答案为：, 四、解答题 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点 （1）证明：平面; （2）若，求直线与平面所成角的正弦值 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意易知，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由题意，两两垂直，所以建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，再通过空间角的向量求解即可. 【小问1详解】 分别为的中点， 为正方形， ,平面平面， 平面. 【小问2详解】 由题知平面 建立如图所示的空间直角坐标系， ，则， ，，， 设平面的一个法向量为 则，令则， 设直线与平面所成的角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直. （1）求直线的方程； （2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程； （2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程． 【小问1详解】 由已知得解得， ∴两直线交点. 设直线的斜率为， ∵直线与垂直，∴， ∵直线过点， ∴直线的方程为，即. 【小问2详解】 设圆的半径为，依题意，得圆心到直线的距离为， 则由垂径定理得，∴， ∴圆标准方程为. 17. 如图，在正四棱柱中，，点分别在棱上，． （1）判断与平面的位置关系并证明； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）平面，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）平面，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，计算可得，可证结论； （2）求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式可求得平面与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 平面．理由如下： 以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 由， ，所以，所以是共面向量． 因为平面，平面， 故平面． 【小问2详解】 设平面的一个法向量为， 则，不妨令，得， 则平面的一个法向量为． 又平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知点和直线.点B是点A关于直线l的对称点. （1）求点B的坐标； （2）O为坐标原点，且点P满足.若点P的轨迹与直线有公共点，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）点B与点A关于直线对称，则直线直线，且线段的中点在直线上，两个方程联立可求出点的坐标； （2）利用关系式可以得出点的轨迹方程，根据点的轨迹与直线有公共点，知圆心到直线的距离小于等于半径，解不等式即可. 【小问1详解】 设，，因为点B与点A关于直线的对称，则有 线段的中点在直线上，即①， 又直线直线，且直线的斜率为，则①， 联立①①式子解得， 故点B的坐标 【小问2详解】 设，由，则， 故，化简得， 所以点的轨迹是圆，其方程为，圆心坐标，半径. 又因为直线与圆有公共点， 利用圆心到直线的距离小于等于半径，则， 解得. 故的取值范围为. 19. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作． （1）若，求的斜坐标； （2）在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 【答案】（1） （2）①；②3 【解析】 【分析】（1）通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标. （2）设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到，从而得到求向量的斜坐标； ②中，通过平行六面体得到，由，得到，并结合题目中的，从而计算出值，并得到的值. 【小问1详解】 ， 的斜坐标为． 【小问2详解】 设分别为与同方向的单位向量， 则， ① ②由题， 由，知， 由，知： ， ，解得， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$