精品解析：江苏省泰州中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

高二年级数学练习 命题人：宋健 审题人：严云 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 1. 经过两点直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（ ） A B. C. D. 4. 一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 若直线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 已知点在圆上，点，则满足的点的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7. 设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与交于点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的德6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知中，，，，则关于下列说法中正确的有（ ） A. 某一边上中线所在直线的方程为 B. 某一条角平分线所在直线的方程为 C. 某一边上的高所在直线的方程为 D. 某一条中位线所在直线的方程为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D. 设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是 11. 已知圆：，过圆外一点作圆的切线，切点为，，直线与直线相交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在直线上，则直线过定点 B. 当取得最小值时，点在圆上 C. 直线，关于直线对称 D. 与的乘积为定值4 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求过点且与圆相切的直线方程为__________. 13. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数m的取值范围是_______________________ 14. 已知为圆上任意一点，，则最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知点和直线． (1)求过点与直线平行的直线的方程； (2)求过的中点与垂直的直线的方程． 16. 已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点．从①直线相切；②圆关于直线对称．这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题． （1）求圆A的方程； （2）当时，求直线l的方程． 17. 如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为k. （1）用k表示出直线的方程，并求出M、N的坐标； （2）求锯成的面积的最小值. 18. 如图，圆. （1）若圆与轴相切，求圆的方程； （2）当时，圆与轴相交于两点（点在点的左侧）.问：是否存在圆，使得过点的任一条直线与该圆的交点，都有？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由. 19. 已知、B、C为圆O：（）上三点． （1）若直线BC过点，求面积的最大值； （2）若D为曲线上的动点，且，试问直线AB和直线AC的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级数学练习 命题人：宋健 审题人：严云 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 1. 经过两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点表示斜率和斜率的定义建立方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，经过的直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为，则， 所以，即直线的倾斜角为. 故选：C 2. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的一般方程满足，列式运算得解. 【详解】因为方程表示圆， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 故选：C. 3. 平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和标准方程即可求解. 【详解】平面内一点M到两定点，的距离之和为， 所以M的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆， 且，，则， 椭圆的焦点在y轴上， 所以椭圆的方程为． 故选：. 4. 一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】建立合适的直角坐标系，利用待定系数法求出圆的方程，当水面下降1米后，设水面所在直线与圆的交点为，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得到答案． 【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y轴上，设圆的半径为r， 则圆的方程为， ∵拱顶离水面3米，水面宽12米，∴圆过点， ∴，∴， ∴圆的方程为， 当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为，则，∴， ∴当水面下降1米后，水面宽度为． 故选：C． 5. 若直线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由题知曲线，表示圆心为原点，半径为1的半圆，分直线与曲线相切，或相交两种情况解决即可. 【详解】因为曲线，即， 表示圆心为原点，半径为1的半圆，如图， 当直线，即与曲线相切时， 圆心到直线距离，解得或（舍去） 当直线，即与曲线相交且只有一个交点时，， 综上可得，或， 故选：D 6. 已知点在圆上，点，则满足的点的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】通过确定点轨迹，再由两圆位置关系即可求解. 【详解】设点，则， 得， 即， 故点的轨迹为一个圆心为､半径为的圆， 又点在圆上， 两圆的圆心距为，半径和为，半径差为， 有，所以两圆相交，满足这样的点有2个. 故选：B. 7. 设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得. 【详解】 如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故， 故选：B. 8. 已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与交于点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由表示出点坐标，代入直线方程得出点的轨迹，根据点到圆上一点距离最小值求法计算即可． 【详解】设，由题可知，则，即， 所以，所以点， 将点的坐标代入，化简得（不同时为0）， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又，点在该圆外， 所以的最小值为， 故选：B． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的德6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知中，，，，则关于下列说法中正确的有（ ） A. 某一边上的中线所在直线的方程为 B. 某一条角平分线所在直线的方程为 C. 某一边上的高所在直线的方程为 D. 某一条中位线所在直线的方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】求出边上的中线所在直线的方程可判断A；由A知，只能为的角平分线，由点到直线的距离可判断B；求出直线的高所在直线的方程可判断C；求出线段的中点为，线段的中点，即直线方程可判断D. 【详解】对于A，线段的中点为，又， 所以边上的中线所在直线的方程为，故A正确； 对于B，由A知，只能为的角平分线，假设为的角平分线， 在上任取一点， 直线的方程为：，即。 直线的方程为：，即， 则到直线的距离为：， 则到直线的距离为：， 因为，故B错误； 对于C，因为，，， 而直线的高所在直线的方程为：，故C错误； 对于D，线段的中点为，线段的中点为， 线段的中点为，， 直线的方程为：，即，所以D正确； 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D. 设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，由直线斜率范围计算倾斜角范围判断；对B，由两直线垂直的条件判断；对C，由截距为0时，直线方程为，可判断；对D，令，则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围，数形结合得解. 【详解】对于A，直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故A正确； 对于B，当时，直线与直线的斜率分别为，斜率之积为， 故两直线相互垂直，所以充分性成立， 若“直线与直线互相垂直”，则， 故或，所以得不到，故必要性不成立，故B错误； 对于C，截距为0时，设直线方程为，又直线过点， 所以可得，所以直线方程为， 当截距不为0时，设直线方程为，又直线过点， 所以可得，所以直线方程为， 所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故C错误； 对于D，如图，令，则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围， 因为点，点是线段（含端点）上任一点， 所以， 或的取值范围是.故D正确. 故选：AD. 11. 已知圆：，过圆外一点作圆的切线，切点为，，直线与直线相交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在直线上，则直线过定点 B. 当取得最小值时，点在圆上 C. 直线，关于直线对称 D. 与的乘积为定值4 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据垂直关系可得四点共圆，进而可得以为直径的圆的方程，两圆相减可得直线的方程，即可得定点坐标，根据数量积的运算律，结合基本不等式即可求解最值，进入可得点的轨迹，根据直线，关于直线对称，而与直线垂直,即可判断C，根据锐角三角函数即可求解D. 【详解】设，由四点，，，共圆，且以为直径， 可得圆的方程为，化简得， 联立圆， 可得直线的方程为，即，令，且， 解得，即直线恒过定点，故A正确， 由于，当且仅当时，即时等号成立， 故此时点在圆上，故B错误， 由于直线，关于直线对称，而方程为， 由于直线与垂直，故直线，关于直线对称，C正确， 设,则，，所以，故D正确， 故选：ACD 【点睛】方法点睛：求圆的切点弦所在直线的方法如下： （1）求出两切线与圆的切点坐标，利用两点式方程可得出切点弦所在直线的方程； （2）写出两圆在切点（在圆上）处的切线方程，将两切点的公共点代入两切线方程，通过说明两切点的坐标满足某直线方程，可得出切点弦方程； （3）写出圆外一点为圆心，以圆外一点到切点距离为半径的圆的方程，将两圆方程作差可得出切点弦所在直线的方程. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求过点且与圆相切的直线方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】首先判断直线的斜率存在，设设斜率为，则切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为，显然不符合题意， 当直线的斜率存在，设斜率为，则切线方程为，即， 所以，解得或， 所以切线方程为或. 故答案为：或 13. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数m的取值范围是_______________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程得不行关系后可求得范围． 【详解】由题意，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属于基础题． 14. 已知为圆上任意一点，，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，得到，将转换成，即动点到两定点的距离和，即可求解. 【详解】设，则， 则 而表示到，两点距离和， 所以． 所以 所以的最小值为． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知点和直线． (1)求过点与直线平行的直线的方程； (2)求过的中点与垂直的直线的方程． 【答案】(1) ；(2) . 【解析】 【分析】(1)根据两直线平行的条件及直线的点斜式方程即可求解； (2)利用中点坐标公式及两直线垂直的条件，结合直线的点斜式方程即可求解. 【详解】(1) 由题意可知，直线的斜率为， 因为，所以, 所以直线的方程为，即. (2)因为，所以过的中点坐标为， 由题意可知，直线的斜率为， 因为，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 16. 已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点．从①直线相切；②圆关于直线对称．这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题． （1）求圆A的方程； （2）当时，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）选①：根据圆的切线性质进行求解即可；选②：根据圆与圆的对称性进行求解即可； （2）利用圆的垂径定理，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 选①：因为圆A与直线相切， 所以圆A的半径为， 因此圆A的方程为； 选②：因为圆A与圆关于直线对称， 所以两个圆的半径相等，因此圆A的半径为， 所以圆A的方程为. 【小问2详解】 两种选择圆A的方程都是， 当过点的动直线l不存在斜率时，直线方程为， 把代入中，得， 显然，符合题意， 当过点的动直线l存在斜率时，设为， 直线方程， 圆心到该直线的距离为：， 因为，所以有， 即方程为： 综上所述：直线l的方程为或. 17. 如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为k. （1）用k表示出直线的方程，并求出M、N的坐标； （2）求锯成的的面积的最小值. 【答案】（1），，. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的方程，再联立直线方程组即可求得M、N的坐标； （2）先由题意确定的范围，再利用（1）结论可得到与M到直线的距离，由此得到的面积关于的关系式，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 设直线， 因为直线过点，所以，即， 所以， 又因为，，易得直线，直线， 联立，解得；联立，解得， 故，. 【小问2详解】 因为，，所以，所以， 因为， 设M到直线的距离为d，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以S的最小值为. 18. 如图，圆. （1）若圆与轴相切，求圆的方程； （2）当时，圆与轴相交于两点（点在点的左侧）.问：是否存在圆，使得过点的任一条直线与该圆的交点，都有？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意可得代入则关于的二次方程判别式为0求解即可； （2）代入可求解，，再假设存在圆，设直线的方程为，联立圆的方程，设，将题意转化为､的斜率互为相反数，进而用的坐标表示并代入韦达定理化简，最后讨论特殊情况当直线与轴垂直时判断是否满足即可. 【小问1详解】 因为由，可得， 由题意得，所以或， 故所求圆的方程为或. 【小问2详解】 令，得，即，求得，或， 所以，.假设存在圆，当直线与轴不垂直时， 设直线的方程为，代入得， 设，从而 ，.因为､的斜率之和为 ， 而 因为，所以，､的斜率互为相反数，即 ， 所以，即. 当直线与轴垂直时，仍然满足，即､的斜率互为相反数. 综上，存在圆，使得. 19. 已知、B、C为圆O：（）上三点． （1）若直线BC过点，求面积的最大值； （2）若D为曲线上的动点，且，试问直线AB和直线AC的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，定值为. 【解析】 【分析】（1）由在圆上即可得，再设直线BC方程，，，，，联立圆的方程，根据及韦达定理即可求解； （2）假设直线和直线的斜率之积为，设，，，，，，应用斜率两点式可得，结合点在圆上得到关于m的表达式，应用平面向量线性运算的坐标表示求D坐标，再由D在圆上并将代入，即可求． 【小问1详解】 因为为圆上，则，可得， 由题意，设直线为，，， 将代入得， 所以，令， 则，， 当，即时面积取得最大值. 【小问2详解】 设直线和直线的斜率之积为 设，，，则，①， ，又，为圆上，则，， 所以化简得：，整理得②， 因为，所以， 从而，又为曲线的动点， 所以展开得， 将①代入：，化简得：， 将②代入：，整理得：， 因为，所以，从而，又， 所以. 【点睛】关键点点睛：第二问，首先假设斜率乘积为定值m，再设点坐标，应用斜率的两点式、点在圆上及向量线性运算的坐标表示得到含参数m的方程，进而求参判断存在性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$