精品解析：辽宁省普通高中2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册第一章至第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”否定为（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可直接得答案. 【详解】“”的否定为“”， 故选：B. 2. 若集合，，且，则（ ） A. 0或2 B. 2 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合相等关系可得或，再利用集合中元素的互异性验证即可得答案. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，，满足题意， 当时，，不满足元素的互异性，故舍去， 故选：C. 3. 三星堆博物馆位于全国重点文物保护单位三星堆遗址东北角，是中国一座现代化的专题性遗址博物馆.该馆常设“世纪逐梦”、“巍然王都”、“天地人神”个展厅，则甲在三星堆博物馆是甲在“世纪逐梦”展厅的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】因为三星堆博物馆常设“世纪逐梦”、“巍然王都”、“天地人神”个展厅， 若甲在三星堆博物馆，则甲在“世纪逐梦”、“巍然王都”、“天地人神”个展厅中的某一个， 即“甲在三星堆博物馆”“甲在“世纪逐梦”展厅”， 若甲在“世纪逐梦”展厅，则甲必在三星堆博物馆， 即“甲在三星堆博物馆”“甲在“世纪逐梦”展厅”， 所以，甲在三星堆博物馆是甲在“世纪逐梦”展厅的必要不充分条件. 故选：C. 4. 将写成两个正数的积，则这两个正数的和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式可求得这两个正数和的最小值. 【详解】设这两个正数分别为、，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，这两个正数和的最小值为. 故选：B. 5. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的并集和补集的关系，结合韦恩图法，即可求解. 【详解】因为集合，则 所以图中阴影部分表示的集合是或， 故选: A. 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法可得出、、的大小关系. 【详解】因为，则， 因为， 所以，，所以，，因此，. 故选：D. 7. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，P，Q均是平面内的动点，集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 4 C. 2 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定P在线段AB的垂直平分线上，Q在以O为圆心，2为半径的圆上，再通过数形结合的方式即可直接得答案. 【详解】由题意可知P在线段AB的垂直平分线上，Q在以O为圆心，2为半径的圆上， 如下图所示： AB的垂直平分线与圆有2个交点，故集合中有2个元素， 故选：C. 8. 对任意的，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由参变量分离法可得出，令，可得出，利用基本不等式求出的最大值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由可得， 令，则， 因为， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以，，解得， 所以，实数的取值范围是. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为的一条中线，则“是等腰三角形”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】当命题命题，且命题命题时，“”是“”的充分不必要条件. 【详解】A选项：因为是两边，所以当时，是等腰三角形； 当是等腰三角形时，可以是， 所以“”是“是等腰三角形”的一个充分不必要条件，故A选项正确； B选项：是中线，当时不能得出三角形两边相等， 故此时不一定是等腰三角形，不满足充分条件，故B选项错误； C选项：如图： 当时，又正弦定理可得， ∴，∴是等腰三角形； 当是等腰三角形时，可能是，此时， 所以“”是“是等腰三角形”的一个充分不必要条件，所以C正确； D选项：如图 当时，是的中垂线，所以，所以是等腰三角形； 当是等腰三角形时，可能，此时不成立， 所以“”是“是等腰三角形”的一个充分不必要条件，故D选项正确； 故选：ACD 10. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由二次函数图像性质知道二次不等式的解集的端点是对应方程的两根，当二次函数开口向上时，不等式小于0的解集是两根之间，再由韦达定理确定系数，由此得出结论. 【详解】由题意可知：，所以A选项不正确； ∵二次不等式解集的端点是对应方程的两根， ∴代入不等式左边，所以B选项正确； ∵，∴，所以C选项正确； ∵，∴，无法判定，所以D选项不正确； 故选：BC 11. 我们将数集的任意一个非空子集中的各元素之和称为的一个子集和（若的子集只有一个元素，则该元素为的一个子集和）.若有限数集中的元素均为正整数，且的任何两个子集和均不相等，则称为异和型集，下列结论正确的是（ ） A. 集合的一个子集和可能为5 B. 存在含有4个元素的异和型集，其元素均小于9 C. 集合为异和型集 D. 任意一个含有个元素的异和型集，其元素之和不小于 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据本题集合的新定义，逐个判断即可. 【详解】A选项：，且，故A选项正确； B选项：的子集和为, 满足任何两个子集和均不相等且元素均小于9，故B选项正确； C选项：子集与的子集和相等，故不满足异和型集，故C选项不正确； D选项：当集合含有n个元素的异和型集时，设 设为数列的前项和，则，∴ 要想最小，则，，此时，故D选项正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 方程组的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用加法消元法，结合列举法进行求解即可. 【详解】由， 所以方程组的解集为， 故答案为：. 13. 月日，在第届女子世界消防救援锦标赛女子手拾机动泵出水打靶比赛中，中国女队首次夺得冠军.深受中国夺冠女队的影响，某消防队为提高消防员的业务水平，举行了全员手拾机动泵出水打靶训练.该训练分为水泵启动、水带连接、水枪射击项.已知参与水带连接的有人，参与水枪射击的有人，同时参与水带连接和水枪射击的有人，参与水泵启动的有人，且这人不参与其他项训练，则该消防队共有______人. 【答案】 【解析】 【分析】设该消防队参与水泵启动、水带连接、水枪射击项目的队员构成的集合分别为、、，作出韦恩图，即可得出结果. 【详解】设该消防队参与水泵启动、水带连接、水枪射击项目的队员构成的集合分别为、、， 作出韦恩图如下图所示： 因此，这个消防队共有人. 故答案为：. 14. 已知关于x的不等式对恒成立，且，则______，的最小值是______. 【答案】 ①. 1 ②. 6 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立求参，再结合基本不等式计算最小值. 【详解】因为关于x的不等式对恒成立， 所以,即得; , 当且仅当时取最小值为6. 故答案为：；6. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合是奇数，. （1）求； （2）若集合，，求C. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】用枚举法分别写出各个集合，由集合的运算即可得出结果. 【小问1详解】 集合，集合， ∵，∴，∴ 集合 ∴ 【小问2详解】 ∵，∴且 ，∴且 ∴ 16. 已知，. （1）求的取值范围； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用不等式的基本性质可求得的取值范围； （2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【小问1详解】 解：因，，则，， 由不等式的基本性质可得， 因此，的取值范围是. 【小问2详解】 解：因为，且，， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此，的最小值为. 17. 已知集合， （1）若，求； （2）判断命题“，”的真假，并说明理由； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）真命题，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出集合，当时，求出集合，再由交集的定义可求得集合； （2）根据求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论； （3）由题意可得，分、两种情况讨论，在时，直接求出实数的取值范围；在时，由可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：， 当时，，则或， 此时，. 【小问2详解】 解：若，则，解得， 因为，所以，命题“，”为真命题. 【小问3详解】 解：因为，则， 若，则，解得； 若，由可得，该不等式组无解. 综上所述，实数的取值范围是. 18. 如图，某蛋糕店制作一块长为，宽为的矩形双拼水果蛋糕，点、、、分别在线段、、、上（不包含端点），点、、、均在线段上，要在矩形与矩形两个区域中分别铺满蓝莓与芒果两种水果.设，铺满水果的区域面积为. （1）已知，求常数、的值； （2）已知蛋糕店内的芒果原料充足，但蓝莓至多能铺满，若要求该蛋糕铺满水果的区域面积不小于，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）或（单位：） 【解析】 【分析】（1）求出、，利用矩形的面积公式可得出关于的二次函数关系式，即可得出实数、的值； （2）根据题意列出关于的不等式组，解出的取值范围，再利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 解：易知矩形与矩形全等， ，所以，， ，所以，， 又因为， 所以，， 所以，， 又因为，则，. 【小问2详解】 解：由（1）可知，，解得， 因为蓝莓至多能铺满，若要求该蛋糕铺满水果的区域面积不小于， 则，整理可得，解得或， 因为， 当时，；当时，. 所以，或（单位：）. 19. 我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立. （1）若，求的最小值； （2）求的最大值； （3）若，，不等式恒成立，求m的取值范围. 【答案】（1）3 （2）9 （3） 【解析】 【分析】（1）构造应用柯西不等式计算即可； （2）构造应用柯西不等式计算即可； （3）先化简得出，再构造应用柯西不等式结合基本不等式计算即可求解； 【小问1详解】 因为柯西不等式可得， 又因为， 所以，即得. 当且仅当取最小值3； 【小问2详解】 因为柯西不等式可得， 又因为， 所以， 即得，化简得， 当且仅当取最大值9； 【小问3详解】 因为， 所以，所以， 所以， 因为柯西不等式可得， 又因为，，所以，令， 所以， 即得，当且仅当取最小值24； 所以m的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：化简构造柯西不等式结合基本不等式是解题的关键点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册第一章至第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2 若集合，，且，则（ ） A 0或2 B. 2 C. 0 D. 3. 三星堆博物馆位于全国重点文物保护单位三星堆遗址东北角，是中国一座现代化的专题性遗址博物馆.该馆常设“世纪逐梦”、“巍然王都”、“天地人神”个展厅，则甲在三星堆博物馆是甲在“世纪逐梦”展厅的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 将写成两个正数的积，则这两个正数的和的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A B. C. D. 6 若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，P，Q均是平面内的动点，集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 4 C. 2 D. 8 8. 对任意的，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为的一条中线，则“是等腰三角形”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 11. 我们将数集的任意一个非空子集中的各元素之和称为的一个子集和（若的子集只有一个元素，则该元素为的一个子集和）.若有限数集中的元素均为正整数，且的任何两个子集和均不相等，则称为异和型集，下列结论正确的是（ ） A. 集合的一个子集和可能为5 B. 存在含有4个元素的异和型集，其元素均小于9 C. 集合为异和型集 D. 任意一个含有个元素的异和型集，其元素之和不小于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 方程组的解集为______. 13. 月日，在第届女子世界消防救援锦标赛女子手拾机动泵出水打靶比赛中，中国女队首次夺得冠军.深受中国夺冠女队的影响，某消防队为提高消防员的业务水平，举行了全员手拾机动泵出水打靶训练.该训练分为水泵启动、水带连接、水枪射击项.已知参与水带连接的有人，参与水枪射击的有人，同时参与水带连接和水枪射击的有人，参与水泵启动的有人，且这人不参与其他项训练，则该消防队共有______人. 14. 已知关于x的不等式对恒成立，且，则______，的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合是奇数，. （1）求； （2）若集合，，求C. 16. 已知，. （1）求的取值范围； （2）若，求的最小值. 17. 已知集合， （1）若，求； （2）判断命题“，”真假，并说明理由； （3）若，求的取值范围. 18. 如图，某蛋糕店制作一块长为，宽为的矩形双拼水果蛋糕，点、、、分别在线段、、、上（不包含端点），点、、、均在线段上，要在矩形与矩形两个区域中分别铺满蓝莓与芒果两种水果.设，铺满水果的区域面积为. （1）已知，求常数、的值； （2）已知蛋糕店内的芒果原料充足，但蓝莓至多能铺满，若要求该蛋糕铺满水果的区域面积不小于，求的取值范围. 19. 我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立. （1）若，求的最小值； （2）求的最大值； （3）若，，不等式恒成立，求m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$