3.3勾股定理的应用举例 同步练习 2024-2025学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

3勾股定理的应用举例 同步练习 2024-2025学年鲁教版（五四制）数学七年级上学期 一、单选题 1．如图，湖的两岸有A，C两点，在与成直角的方向上的点C处测得米，米，则A，C两点间的距离为（　　） A．3米 B．6米 C．9米 D．10米 2．图中字母所代表的正方形的面积为175的选项为（　　） A． B． C． D． 3．如图，一根长为的竹竿斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（　　） A． B． C． D． 4．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．如图，一圆柱高 ，底面半径 ，一只蚂蚁从点 爬到点 处吃食，要爬行的最短路程（ 取3）是（　　） A． B． C． D．无法确定 6． 如图，等边的边长为 是边上的中线，点是 边上的中点. 如果点是 上的动点，那么的最 小值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，一块模板材料是分别以一个直角三角形的一条直角边和斜边为一边向外作正方形得到的，两个正方形的面积分别为和，则这个直角三角形的面积为（　　） A． B． C． D． 8．《九章算术》中“勾股”章有一个问题：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈（1丈＝10尺，1尺＝10寸），问户高、广各几何？意思是：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门的宽为x尺，下列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，则的值为（　　） A．8 B．2 C．4 D． 10．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（　　） A．60海里 B．45海里 C．20 海里 D．30 海里 11．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC， 设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　） A． B． C．y=x2 D． 12．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一、如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为（　　） A．28 B．26 C．32 D．30 二、填空题 13．一根长16cm牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中．牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是　 　． 14．如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外表面爬到B顶点的最短路程是　 　． 15．如图，将两个边长为1的小正方形，沿对角线剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长是　 　. 16．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为　 　米（结果精确到0.1米，参考数据： =1.41， =1.73）． 17．如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B距离C点 5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是　 　cm． 三、解答题 18．小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？ 19．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的，结果保留根号) 20．拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，已知某种拉杆箱箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，点A到地面的距离AD＝3cm，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处，求拉杆把手C离地面的距离（假设C点的位置保持不变）． 21．如图，某攀岩中心攀岩墙的顶部处安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了米，教练把绳子的下端拉开米后，发现其下端刚好接触地面（即米），，求攀岩墙的高度． 22．某军舰以每小时20海里的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以每小时30海里的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图，当该军舰行至处时，电子侦察船正位于处正南方向的处，且海里．如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】A 【解析】【解答】解：由勾股定理得：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方， A、A代表的正方形的面积为； B、B代表的正方形的面积为； C、C代表的正方形的面积为； D、D代表的正方形的面积为. 故答案为：A. 【分析】两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，而边长的平方恰是正方形的面积，从而根据选项提供的面积即可得出答案． 3．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意得：，，， 则， 即该竹竿的顶端A离地竖直高度为， 故答案为：C． 【分析】直角利用勾股定理计算即可. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长x+1尺，由题意得：， ， 故答案为：A. 【分析】首先设水深为x尺，则芦苇长x+1尺，根据勾股定理可得方程 . 5．【答案】A 【解析】【解答】解：如图所示， 可以把A和B展开到一个平面内， 即圆柱的半个侧面是矩形： 矩形的长BC= =2π=6，矩形的宽AC=8， 在直角三角形ABC中，AC=8，BC=6， 根据勾股定理得：AB= ≈10. 故答案为：A. 【分析】立体图形表面上的最短问题，需要将立体图形展开成平面图形，根据平面图形上的两点之间线段最短来研究即可。 6．【答案】D 【解析】【解答】解：连接BE，与AD交于点G，如图所示， ∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴PB=PC， ∴ EP+CP=EP+BP ∴ 当E，B，P三点共线时取最小值，即为BE， ∵等边△ABC的边长为8，E为AC的中点， ∴CE=4，BE⊥AC， 在直角△BEC中，BE=， ∴EP+CP的最小值为， 故答案为：D. 【分析】先根据等腰三角形的性质得到AD是BC的垂直平分线，进而根据垂直平分线的性质得到PB=PC，当E，B，P三点共线时，EP+CP取最小值，即为BE，再根据等边三角形的性质求出CE，最后利用勾股定理求出即可. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：∵正方形面积分别为9cm2和21cm2，∴直角三角形的两条边长分别为3cm、cm， 根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为：==（cm）， 这个直角三角形的面积为：××3=（cm2）． 故答案为：B． 【分析】根据勾股定理求出另一条直角边的长，再根据直角三角形的面积公式求出直角三角形的面积。 8．【答案】A 【解析】【解答】解：设门的宽为x尺，则门的高为尺， 门的对角线长1丈＝10尺， 由题意得：. 故答案为：A. 【分析】设门的宽为x尺，则门的高为(x+6.8)尺，门的对角线长1丈＝10尺，然后结合勾股定理可得关于x的方程. 9．【答案】A 【解析】【解答】解： ，， ， ， 故答案为：A. 【分析】利用勾股定理计算代数式的值. 10．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°， 故AB=2AP=60（海里）， 则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP= =30 （海里） 故选：D． 【分析】根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键． 11．【答案】C 【解析】【分析】四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的 位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE，下底AC，高DF分别 用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积． 【解答】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点， ∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE ∴∠BAC=∠DAE 又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90° ∴△ABC≌△ADE（AAS) ∴BC=DE，AC=AE， 设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a， CF=AC-AF=AC-DE=3a， 在Rt△CDF中，由勾股定理得， CF2+DF2=CD2，即（3a)2+（4a)2=x2， 解得：a=， ∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=×（DE+AC)×DF =×（a+4a)×4a =10a2 =x2． 故选：C． 【点评】本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用． 12．【答案】A 【解析】【解答】解：如图， 过E作FB的垂线，垂足为M，过D作HC的垂线，垂足为N， 设AC=a，AB=b，BC=c， ∵∠CBM+∠EBM=90°，∠ABC+∠CBM=90° ∴∠EBM=∠ABC 在△BME与△BAC中 ∴△BEM≌△BCA（AAS） ∴BM=AB=b，EM=AC=a 同理可证△CMD≌△CAB ∴CM=AC=a，DN=AB=b 在△EFM中， MF2+ME2=EF2 即（2b）2+a2=34 在△HND中， HN2+ND2=HD2 即（2a）2+b2=16 ∴a=，b=2，c= S六边形EDHIGF＝S正方形BEDC＋S正方形ABFG＋S正方形ACHI+S△AGI+S△ABC+S△BEF+S△CDH =c2+b2+a2+2ab=28 故答案为：A. 【分析】由图可得六边形EDHIGF的面积＝正方形BEDC的面积＋正方形ABFG的面积＋正方形ACHI的面积+△AGI的面积+△ABC的面积+△BEF的面积+△CDH的面积，过E作作FB的垂线，垂足为M，过D作HC的垂线，垂足为N，可证得△BEM≌△BCA，△CMD≌△CAB，设AC=a，AB=b，BC=c，进而得到BM=AB=b，EM=AC=a，CM=AC=a，DN=AB=b，根据勾股定理表示出a、b、c的值即可求解。 13．【答案】3≤h≤4 【解析】【解答】解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大=16-12=4cm． 当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小， 如图所示： 此时，AB= =13cm， 故h=16-13=3cm． 故h的取值范围是3≤h≤4． 故答案是：3≤h≤4． 【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可。 14．【答案】 15．【答案】 【解析】【解答】解：∵如图是两个边长为1的小正方形， ∴其对角线的长度 ， ∴大正方形的边长为 ， 故答案为： . 【分析】由题意可知大正方形的边长就是小正方形的对角线，所以用勾股定理可求得小正方形的对角线（即为大正方形的边长）. 16．【答案】2.9 【解析】【解答】解：由题意可得：∵AM=4米，∠MAD=45°， ∴DM=4m， ∵AM=4米，AB=8米， ∴MB=12米， ∵∠MBC=30°， ∴BC=2MC， ∴MC2+MB2=（2MC）2， MC2+122=（2MC）2， ∴MC=4 ， 则DC=4 ﹣4≈2.9（米）， 故答案为：2.9． 【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可得DM=AM，再根据勾股定理可得MC2+MB2=（2MC）2，代入数就可以求解。 17．【答案】25 【解析】【解答】将长方体展开，连接A、B， 根据两点之间线段最短，（1）如图，BD=10+5=15，AD=20， 由勾股定理得： ；（2）如图，BC=5，AC=20+10=30， 由勾股定理得： ， ∴需要爬行的最短距离是25cm. 【分析】长方体展开图问题，根据题意转化为平面图形的问题。利用勾股定理求解即可。 18．【答案】解：由题意得，AC=6× =3km，BC=8× =4km，∠ACB=90°， 则AB= =5km. 【解析】【分析】据题意求出小东与哥哥各自行走的距离，根据勾股定理计算即可. 19．【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13米，AC＝5米， ∴AB＝＝12(米)， 由题意，得CD＝13－0.5×10＝8(米)， ∴AD＝＝＝(米)， ∴BD＝AB－AD＝(12－)米， 答：船向岸边移动了(12－)米． 【解析】【分析】已知∠A=90°，BC=13，AC=5，由勾股定理求出AB=12，由题意可求出CD=8，再由勾股定理求得，然后即可求得BD，得出答案. 20．【答案】解：如图所示，过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F， 则∠AFC＝90°， 设A'F＝x，则AF＝55+x， 由题可得，AC＝65+35＝100，A'C＝65， ∵Rt△A'CF中，CF2＝652﹣x2， Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）2， ∴652﹣x2＝1002﹣（55+x）2， 解得x＝25， ∴A'F＝25， ∴CF＝＝60（cm）， 又∵EF＝AD＝3（cm）， ∴CE＝60+3＝63（cm）， ∴拉杆把手C离地面的距离为63cm． 【解析】【分析】本题考查勾股定理的应用，把题目转化成几何图形，利用双勾股求出线段长是关键。过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，设A'F＝x，则AF＝55+x，根据勾股定理的CF2＝652﹣x2和CF2＝1002﹣（55+x）2，得A'F＝25，计算CF＝＝60（cm），可得CE. 21．【答案】解：设攀岩墙的高为米，则绳子的长为米， ∵在中，米， ∴由勾股定理得：， ∴，解得， ∴攀岩墙的高为米． 【解析】【分析】设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为(x+1)米，接下来利用勾股定理计算即可. 22．【答案】解： 航行途中侦察船能侦察到这艘军舰， 如图所示， 设侦察船航行x小时后从B点行到C点时，最早侦察到在D点的军舰， 则AD=20x，BC=30x，AC=AB-BC=90-30x， 由勾股定理得，AD2+AC2=CD2， ∴ (90-30x)2+(20x)2=502， 化简得，13x2-54x+56=0， (13x-28)(x-2)=0， 解得，x1=，x2=2， ∵＞2， ∴ x=2， 答： 航行途中侦察船能侦察到这艘军舰，最早两个小时后能侦察到. 【解析】【分析】设侦察船航行x小时后从B点行到C点时，最早侦察到在D点的军舰，根据勾股定理列出一元二次方程，解方程，即可求得. 学科网（北京）股份有限公司 $$