3.3 勾股定理的应用举例 最短路径问题 分类练习 - 2024--2025学年鲁教版七年级数学上册

勾股定理的应用举例 知识点一 勾股定理与最短路程问题 类型一 平面上最短路径问题 1.如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km，CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。 类型二 立体图形中最短路径问题 例1.在一个圆柱形小凳子上，若妈妈把食物放在点B处，小黑在A处闻到了食物的味道，于是它想从A处爬向B处，若已知圆柱形小凳子高8cm,底面半径是2cm,你们想一想，小黑沿圆柱形小凳子侧面爬行的最短路程是多少？(π取3) 变式：1.在一个圆柱形小花瓶上，将彩色装饰带绕花瓶一圈，从点A绕到点B，若已知圆柱形小花瓶高8cm,底面周长为15cm,你们想一想，小黑怎么绕所使用的装饰带的长度最短？ 2.如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为3dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　） A．4dm B．6dm C．8dm D．10dm 3.在一个高为18cm，底面周长为16cm的圆柱形小凳子上，若有一滴蜂蜜在杯外壁离杯口9cm的点B处，小黑在杯外壁离杯底3cm点A处的捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，小黑沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 4.如图，圆柱形容器高为15cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底6cm的点B处有一滴蜂蜜，此时小黑正好在杯外壁，离杯上沿6cm与蜂蜜相对的点A处，则小黑从外壁A处到达内壁B处的最短距离为多少？ 例2.如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是（　　） A．13cm B．4cm C．4cm D．52cm 变式：有一个圆柱体礼盒，高9πcm，底面半径为2cm．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在A处，另一端绕礼盒侧面3周后粘帖在B处（AB在同一条母线上），则彩带最短为　    　cm． 例3.如图，小黑家还有一个长方体形状的小凳子，它的长、宽、高分别为5cm，3cm，15cm．小黑走到了顶点A处，它想吃到与顶点A相对的顶点B的食物．已知小黑沿长方体表面爬行，怎样爬能最快吃到食物？小黑要爬行的最短路程是多少？ 变式：1如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C 5cm,蚁小黑如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 2.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，蚁小黑如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是__________ 3.如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，在线段AB的三等分点靠近点处有一只蚂蚁，中点F处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为______． 4.有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短距离为 。 例4.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，蚁小黑在A点，想到B点去吃可口的食物，则蚁小黑沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？ 变式：如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需　　米． 知识点二：勾股定理在梯子靠墙中的应用 例1：如图，一棵大树在离地面9m高的B处断裂，树顶A落在离树底BC12m处，则大树断裂之前的高度为(　　) A.9m B.15m C.21m D.24m 例2：一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 例3：小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（　　） A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 变式训练： 1.如图有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得其内径CD=6cm，高BC=8cm，今有一支长12cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为　 　cm． 2.印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 请用学过的数学知识回答这个问题。 3、一辆装满货物,宽为2.4米的卡车,欲通过如图的隧道,则卡车的外形高必须低于( ) A. 4.1米 B. 4.0米 C. 3.9米 D. 3.8米 1 学科网（北京）股份有限公司 $$