精品解析：浙江省杭州市上城区钱江新城实验学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

杭州市钱江新城实验学校 九年级数学学科10月课堂练习问卷 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列函数中，y关于x的二次函数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法确定 3. 对于抛物线 ，下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 函数的最大值是3 C. 开口向下，顶点坐标 D. 当时，随的增大而增大. 4. 抛物线向右平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，是的平分线，是的中点，过点作交于点，交于点．若，则 外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在同一直角坐标系中，函数和的图像可能是（ ） A. B. C. D. 7. 现在有下列几个命题，其中真命题的为（ ） A. 直径所对的圆周角是直角 B. 在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等 C. 平分弦的直径垂直这条弦 D. 三点确定一个圆 8. 函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（3，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y2＞y1＞y3 D. y3＞y1＞y2 9. 如图，是弦，半径于点C，为直径，，线段长为（ ） A. B. 8 C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点 在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中含所有正确结论的选项是（ ） A. ①③⑤ B. ②④ C. ②⑤ D. ②④⑤ 二、填空题（共6小题，每题3分） 11. 抛物线与y轴交点的坐标为______． 12. 二次函数的最小值是______． 13. 竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为．若小球在发射后第与第时的高度相等，当________时，小球达到最高． 14. 已知抛物线，当 时，随的增大而减小，则的取值范围是________． 15. 如图，是绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是_______． 16. 如图，在中，点在弦上，于点，则圆心距的长为___________；若点 在圆上动，则的最小值=___________． 三、解答题（共7小题，共72分） 17. 如图，在中，弦相交于点E，且．求证：． 18. 已知：二次函数中的x和y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 m 8 … （1）m的值为__________； （2）求出这个二次函数的解析式； （3）当时，则y的取值范围为__________． 19. 如图，已知线段，． （1）作使得线段，为的两条弦（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）在（1）中的上找出点，使得点到 、 两点的距离相等． 20. 已知二次函数（ ， 是常数，且 ）的图象过，交轴于点 ． （1）求点 的坐标及二次函数图象的对称轴； （2）若该函数图象的顶点在直线上，求该函数的表达式． 21. 如图，在 中，，以为直径作，交于点D，交于点E． （1）求证：点D是边的中点． （2）记的度数为，∠C的度数为．探究与的数量关系． 22. 某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中， （1）求y关于x的函数解析式； （2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 23. 已知二次函数，其中． （1）若二次函数的图象经过，求二次函数表达式； （2）若该二次函数图象开口向下，当时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为5，求点M和点N的坐标； （3）在二次函数图象上任取两点，当时，总有，求a的取值范围． 24. 如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，连结，，． （1）求证：平分． （2）如图2，延长，相交于点E． ①求证：． ②若，，求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市钱江新城实验学校 九年级数学学科10月课堂练习问卷 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列函数中，y关于x的二次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义“形如的函数”，逐一分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故选项A不符合题意； B、，是二次函数，故选项B符合题意； C、，不是二次函数，故选项C不符合题意； D、，不是二次函数，故选项D不符合题意； 故选：B． 2. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键． 将点 到圆心的距离（即的长度）与的半径进行比较即可得． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴点 在内， 故选：A． 3. 对于抛物线 ，下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 函数的最大值是3 C. 开口向下，顶点坐标 D. 当时，随的增大而增大. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线是顶点式，可得对称轴是直线，函数的最大值是3，开口向下，顶点坐标，当时，随的增大而减小；即可得． 【详解】解：A、对于抛物线，对称轴是直线，选项说法正确，不符合题意； B、对于抛物线，函数的最大值是3，选项说法正确，不符合题意； C、对于抛物线，开口向下，顶点坐标，选项说法正确，不符合题意； D、对于抛物线，当时，随的增大而减小，选项说法错误，符合题意； 故选：D． 4. 抛物线向右平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移的规律：左加右减，上加下减解答即可，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解： 抛物线向右平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为 故选：B． 5. 如图，中，，是的平分线，是的中点，过点作交于点，交于点．若，则 外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关键． 先根据等腰三角形的三线合一可得是的垂直平分线，从而可得点O即为 外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得． 【详解】解：，是的平分线 ，且是边上的中线（等腰三角形的三线合一） 是的垂直平分线 ∵是的中点，过点作交于点， ∴是的垂直平分线， 点O为 外接圆的圆心，为外接圆的半径 ， 外接圆的面积为 故选：D． 6. 在同一直角坐标系中，函数和的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质以及分析能力和读图能力，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解本题的关键． 分别对每一个选项进行分析，利用一次函数而二次函数的图象与性质进行分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，由抛物线可知，则，矛盾，故A错误，不符合题意； B、由一次函数图象可知，由抛物线可知，则，矛盾，故B错误，不符合题意； C、由一次函数图象可知，由抛物线可知，也是，由二次函数解析式求得对称轴为直线，应在轴左侧，与选项图不符，故C错误，不符合题意； D、由一次函数图象可知，由抛物线可知，也是，由二次函数解析式求得对称轴为直线，应在轴左侧，与选项图相符，故D正确，符合题意． 故选：D． 7. 现在有下列几个命题，其中真命题的为（ ） A. 直径所对的圆周角是直角 B. 在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等 C. 平分弦的直径垂直这条弦 D. 三点确定一个圆 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理，圆相关的概念，熟练掌握圆相关的概念是解题的关键． 根据弦与圆周角的关系，圆周角定理和垂径定理，圆的确定条件分别对选项进行判断即可． 【详解】解：A、直径所对的圆周角是直角，是真命题，本选项符合题意； B、在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，选项是假命题，本选项不符合题意； C、平分弦（直径除外）的直径垂直于弦，选项是假命题，本选项不符合题意； D、不在同一直线上的三点确定一个圆，选项是假命题，本选项不符合题意． 故选：A． 8. 函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（3，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y2＞y1＞y3 D. y3＞y1＞y2 【答案】B 【解析】 【分析】二次函数抛物线开口向上，且对称轴为x＝﹣＝3．这三点不都在对称轴的同侧，把它们都转换到对称轴的同侧，根据对称轴一侧函数值随自变量变化的性质可以判断纵坐标的大小． 【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+c， ∴该二次函数的抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大且对称轴为：x＝﹣＝3． ∵点（﹣1，y1）、（3，y2）、（5，y3）都在二次函数y＝x2﹣6x+c的图象上， ∴点（﹣1，y1）关于直线x＝3的对称点为（7，y1）， ∵3＜5＜7， ∴y2＜y3＜y1 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，关键要抓住抛物线的对称轴及开口方向，要注意的是，所给的三个点不在抛物线对称轴的同一侧，要利用抛物线的对称性把它们转换到抛物线对称轴的同侧，才能利用抛物线的增减性判断函数值的大小． 9. 如图，是弦，半径于点C，为直径，，线段长为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理、圆周角定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．先根据垂径定理求出的长，设的半径为，在中利用勾股定理求出的值，易得，连接，由是直径，根据圆周角定理得到，利用是的中位线得到，然后在中利用勾股定理可计算出． 【详解】解：连接，如图， 弦，， ， 设的半径， ， 在中， ， 解得：， ； ，， ， 是直径， ， 是的中位线， ， 在中，． 故选：D 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点 在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中含所有正确结论的选项是（ ） A. ①③⑤ B. ②④ C. ②⑤ D. ②④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行分别推理，进而逐项判断即可． 【详解】解：①由抛物线开口向上，则 ， ∵点B在和之间， ∴， ∴，①错误； ②∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵抛物线过， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴，故③错误； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴，故④正确； ⑤∵图象与y轴的交点B在和之间， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确． 故选：D． 二、填空题（共6小题，每题3分） 11. 抛物线与y轴交点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，令，求出值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标为； 故答案为：． 12. 二次函数的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟记最大（小值公式是解题的关键； 根据二次函数的最值公式列式计算即可得解． 【详解】解：二次函数有最小值， ， 故答案为：． 13. 竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为．若小球在发射后第与第时的高度相等，当________时，小球达到最高． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，属于中档题．根据题中已知条件求出函数的对称轴，即可得出答案． 【详解】解：由题意小球在发射后第与第时的高度相等， ∴函数的对称轴， ∵ ， ∴在时，小球的高度最高． 故答案为：． 14. 已知抛物线，当 时，随的增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由函数的增减性得到关于m的不等式是解题的关键． 可先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于m的不等式，可求得答案． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴右侧y随x的增大而减小， ∵当 时，y随x的增大而减小， ∴ 故答案为 15. 如图，是绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是_______． 【答案】60°． 【解析】 【详解】试题分析：根据旋转的性质可得∠AOC=∠BOD=40°，AO=CO，再求出∠BOC，∠ACO，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解： ∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形， ∴∠AOC=∠BOD=40°，AO=CO. ∵∠AOD=90°，∴∠BOC=90°﹣40°×2=10°. ∴∠ACO=∠A=（180°﹣∠AOC）=（180°﹣40°）=70°. ∴由三角形的外角性质得，∠B=∠ACO﹣∠BOC=70°﹣10°=60°． 考点：1.旋转的性质；2.等腰三角形的性质；3.三角形外角性质．. 16. 如图，在中，点在弦上，于点，则圆心距的长为___________；若点 在圆上动，则的最小值=___________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，根据题意做出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．连接，延长交O于点P，则PC最短，由垂径定理得，再求出，最后由勾股定理求出，的长，继而可得出的长． 【详解】解：连接，延长交于点 ，则PC最短， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共72分） 17. 如图，在中，弦相交于点E，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到，证明即可得到结论． 【详解】证明：由圆周角定理得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 18. 已知：二次函数中的x和y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 m 8 … （1）m的值为__________； （2）求出这个二次函数的解析式； （3）当时，则y的取值范围为__________． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得对称轴，然后根据抛物线的对称性即可求得； （2）设抛物线解析式为，利用待定系数法求解即可； （3）利用图表和抛物线的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当 和所对应的函数值相等， ∴； 故答案为：3； 【小问2详解】 解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点为， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，y有最小值， 当时，， ∴当时，则y的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键． 19. 如图，已知线段，． （1）作使得线段，为的两条弦（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）在（1）中的上找出点，使得点到 、 两点的距离相等． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了复杂作图，线段垂直平分线的性质以及垂径定理的综合应用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解题时注意：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （1）根据弦的垂直平分线经过圆心，先作出两条弦的中垂线，其交点即为圆心； （2）根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，即可得出点． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，点，即为所求； 20. 已知二次函数（ ， 是常数，且 ）的图象过，交轴于点 ． （1）求点 的坐标及二次函数图象的对称轴； （2）若该函数图象的顶点在直线上，求该函数的表达式． 【答案】（1），直线 （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，解题的关键在于利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． （1）先确定二次函数图象与y轴的交点坐标为，然后利用抛物线的对称性确定对称轴； （2）设顶点式，结合顶点在直线上以及代入即可求解抛物线解析式． 【小问1详解】 解：对于二次函数，当，， ∴， ∵图象过， ∴对称轴为直线：，即直线； 【小问2详解】 解：设解析式为：， 则顶点为， ∵顶点在直线上， ∴， 将代入此时得：， ∴， ∴解析式为：． 21. 如图，在 中，，以为直径作，交于点D，交于点E． （1）求证：点D是边的中点． （2）记的度数为，∠C的度数为．探究与的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角定理，解答关键是熟练掌握等腰三角形的性质． （1）连接，先根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的三线合一性质可得结论； （2）连接，先求得，再根据等腰三角形的等边对等角性质和三角形的内角定理求解即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴，即点D是边的中点； 【小问2详解】 解： 证明：连接， ∵的度数为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴． 22. 某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中， （1）求y关于x的函数解析式； （2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y关于x的函数解析式为；（2）该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元． 【解析】 【分析】（1）由图象易得和，然后设y关于x的函数解析式为，进而代入求解即可； （2）设该电商每天所获利润为w元，由（1）及题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：（1）设y关于x的函数解析式为，则由图象可得和，代入得： ，解得：， ∴y关于x的函数解析式为； （2）设该电商每天所获利润为w元，由（1）及题意得： ， ∴-2＜0，开口向下，对称轴为， ∵， ∴当时，w有最大值，即为； 答：该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 23. 已知二次函数，其中． （1）若二次函数的图象经过，求二次函数表达式； （2）若该二次函数图象开口向下，当时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为5，求点M和点N的坐标； （3）在二次函数图象上任取两点，当时，总有，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）当时；当时， 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键． （1）把点的坐标代入函数解析式中求出m即可； （2）根据抛物线开口向下得m＜0，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出m的值，即可求出M点和N点的坐标； （3）分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性讨论a的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入函数解析式得，， ∴， ∴函数解析式为：； 【小问2详解】 ∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵， ∴抛物线对称轴为直线，顶点为，即最高点， ∵点M的纵坐标为5， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴最低点N的横坐标为2，此时， ∴； 【小问3详解】 ①当时， 则有当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∵当时，总有， 此时， ∴， ②当时， 则有当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， ∵当时，总有， 此时， 综上，当时；当时，． 24. 如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，连结，，． （1）求证：平分． （2）如图2，延长，相交于点E． ①求证：． ②若，，求的半径． 【答案】（1） 证明∵点C为弧的中点， ∴， ∴，， ∴平分； （2）①证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴ ② 【解析】 【分析】(1)由点C为的中点，得，所以，由垂径定理得，即可根据等腰三角形的三线合一证明结论； (2)由直径所对的圆周角为直角得，则，再根据垂径定理得：，得结论；②连接，则，由，，由平行线的性质再证，得，由，得，，求出，设的半径为r，由勾股定理求出符合题意的r值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②如图2，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径为r， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质、平行线的判定与性质、、勾股定理、一元二次方程的解法，解题的关键是综合运用以上知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $