精品解析：辽宁省葫芦岛市龙港区联考2024-2025学年九年级上学期随堂练习数学试卷

2024-2025学年度第一学期随堂测试九年级数学试卷 （本试卷共23道题，满分120分，考试时间120分钟） 考生注意： 请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A 2x﹣3＝x B. 2x+3y＝5 C. 2x﹣x2＝1 D. 2. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范同是（　　） A. B. C. D. 3. 对于二次函数，其图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 5. 用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0时，配方后的方程是（ ） A. （x＋2）2＝2 B. （x﹣2）2＝2 C. （x＋2）2＝10 D. （x﹣2）2＝10 6. 抛物线 向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（　　） A. B. C. D. 8. 点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，其中、，则该函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数（、、为常数，）的与的部分对应值如下表： … 0 2 3 4 … … 2 2 5 10 … 有如下结论： ①这个函数图象开口向下； ②； ③这个函数的最大值为10； ④图象的对称轴为直线； 其中结论不正确的个数是（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 12. 已知二次函数图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是______． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 14. 已知二次函数y=-x2+8x－3，当－2≤x≤5时，y的取值范围是______． 15. 如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2﹣2x+3上运动,过点A作AB⊥x轴于点B,以AB为斜边作Rt△ABC,则AB边上的中线CD的最小值为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程： （1）（用配方法解方程） （2） 17. 如图，园林部门计划在某公园建一个矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米．若苗圃的面积为，求苗圃的一边长为多少米． 18. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数图象． （1）________，________，________； （2）写出二次函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标； （3）写出二次函数随自变量的变化如何变化． 19. 已知关于的方程. （1）求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形的底边长为，两腰的长、恰好是这个方程的两个根，求的周长. 20. 如图已知二次函数图象与直线交于点，点B． （1）求m，a的值． （2）求点B坐标． （3）连结，求面积． 21. 一农户原来种植花生，每公顷产量为3000千克，出油率为50%（即每100千克花生可加工出花生油50千克），现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980千克，已知花生出油率的增长率是产量增长率的，求新品种花生产量的增长率． 22. 兴城泳装出口140多个国家和地区，每年产值稳定在150亿左右．2024年兴城市某商店抓住商机，销售某款游泳服．6月份平均每天售出100件，每件盈利40元，为了扩大销售，7月份该店准备采取降价措施，市场调研发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件．7月份商店的每天其它支出为2000元． （1）若降价5元，求平均每天的销售数量； （2）为了让老百姓得到实惠，每件游泳服降价多少元时，该商店每天销售利润为4000元？ 23. 我们给出如下定义：在平面直角坐标系中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．如图，抛物线都是抛物线的过顶抛物线，设的顶点为，的对称轴分别交、于点、，点是点关于直线的对称点． （1）如图1，如果抛物线的过顶抛物线为，，那么， ① ， ； ②如果顺次连接、、、四点，那么四边形为 ； A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）如图2，抛物线的过顶抛物线为，，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期随堂测试九年级数学试卷 （本试卷共23道题，满分120分，考试时间120分钟） 考生注意： 请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. 2x﹣3＝x B. 2x+3y＝5 C. 2x﹣x2＝1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】A、方程2x﹣3＝x为一元一次方程，不符合题意； B、方程2x+3y＝5是二元一次方程，不符合题意； C、方程2x﹣x2＝1是一元二次方程，符合题意； D、方程x+＝7是分式方程，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的问题，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范同是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数中，当时开口向下，当时开口向下 ，据此解答即可． 【详解】解： ∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴， 故答案为：D． 3. 对于二次函数，其图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式，直接可得顶点坐标． 【详解】解：二次函数， 其图象的顶点坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查了通过二次函数顶点式写出顶点坐标，熟练掌握二次函数顶点式是解题的关键． 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用根的判别式△判断即可． 详解】∵= ∴一元二次方程没有实数根. 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键是：注意在求解根的判别式△时，正负号不要弄错了． 5. 用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0时，配方后的方程是（ ） A. （x＋2）2＝2 B. （x﹣2）2＝2 C. （x＋2）2＝10 D. （x﹣2）2＝10 【答案】D 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可． 【详解】， 移项，得， 配方，得， 即, 故选：. 【点睛】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）解出未知数． 6. 抛物线 向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像平移法则“左加右减、上加下减”，将题中文字描述转化为数学符号即可解决问题． 【详解】∵抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位， ∴所得的抛物线的解析式为， 即 故选：A 【点睛】本题主要考查了抛物线平移，熟练掌握函数图像平移法则“左加右减、上加下减”是解决问题的关键． 7. 春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．由题意，第一轮过后有个人，第二轮又传染了个人，根据经过两轮传染后，共49人患流感，列出方程即可．找准等量关系，正确的列式，是解题的的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染x人，由题意，得：， 即：； 故选C． 8. 点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的性质．根据二次函数的对称性和增减性判断即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为y轴，开口向上 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 点关于抛物线的对称轴的对称点为 ∵ ∴． 故选：C． 9. 已知二次函数，其中、，则该函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案． 【详解】解：对于二次函数， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵， ∴， ∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上， ∴可以排除A选项和D选项； B选项和C选项中，抛物线的对称轴， ∵ ， ∴， ∴抛物线开口向下，可以排除B选项， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键． 10. 二次函数（、、为常数，）的与的部分对应值如下表： … 0 2 3 4 … … 2 2 5 10 … 有如下结论： ①这个函数的图象开口向下； ②； ③这个函数的最大值为10； ④图象的对称轴为直线； 其中结论不正确的个数是（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 首先利用待定系数法求出函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：将，，代入 得， 解得 ∴，故②错误； ∵ ∴这个函数的图象开口向上，故①错误； ∴没有最大值，故③错误； ∵ ∴对称轴为，故④正确； 综上所述，其中结论不正确的个数是3个． 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 【答案】x=±2 【解析】 详解】移项得x2=4， ∴x=±2． 故答案是：x=±2． 12. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数，得出图象对称轴为，根据两个交点是对称点，求出关于对称轴的对称点即可． 【详解】∵二次函数， ∴图象对称轴为， ∵与轴的一个交点坐标是， ∴， ∴与轴的另一个交点坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握根据二次函数的对称轴求对称点是解题的关键． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 14. 已知二次函数y=-x2+8x－3，当－2≤x≤5时，y的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值与最小值，即可得解； 【详解】二次函数为y=-x2+8x-3=-（x-4）2+13， x＞4时，y随x的增大而减小， x＜4时，y随x的增大而增大， ∵-2≤x≤5， ∴当x=4时，取得最大值为13， 当x=-2时，取得最小值为-23， ∴-2≤x≤5时，y的取值范围是-23≤y≤13； 故答案为：-23≤y≤13． 【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一般式化为顶点式是解题的关键． 15. 如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2﹣2x+3上运动,过点A作AB⊥x轴于点B,以AB为斜边作Rt△ABC,则AB边上的中线CD的最小值为______． 【答案】1. 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可知，当A点在抛物线的顶点（1，2）时，AB的长最短，最短为2，这时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可直接求解为CD=1. 故答案为1. 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程： （1）（用配方法解方程） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）方程移项，然后方程左边利用完全平方公式配方，然后开方即可； （2）方程移项，然后因式分解得，得到或，进而求解即可． 【小问1详解】 解： 移项，得， 配方，得， ， 由此可得， 解得，； 【小问2详解】 解： 移项，得， 因此分解得， 于是得或， 解得，． 17. 如图，园林部门计划在某公园建一个矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米．若苗圃的面积为，求苗圃的一边长为多少米． 【答案】8米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．设苗圃的一边长为米，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设苗圃的一边长为米， 根据题意可列方程：， 整理得， 解得，， 当时，，不合题意，舍去 ∴． 答：若苗圃的面积为时，边长为8米． 18. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数的图象． （1）________，________，________； （2）写出二次函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标； （3）写出二次函数随自变量的变化如何变化． 【答案】（1），2， （2）图象开口方向向下，对称轴是直线，顶点坐标 （3）当时，随的增大而增大；当时，y随的增大而减小 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移规律：左加右减、上加下减是解题的关键． （1）由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，，进行计算即可； （2）根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到， 二次函数与是同一函数， ，，， 解得，； 【小问2详解】 解：二次函数的解析式为， 函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问3详解】 解：∵函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大；当时，y随的增大而减小． 19. 已知关于的方程. （1）求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形的底边长为，两腰的长、恰好是这个方程的两个根，求的周长. 【答案】（1）见解析；（2）7 【解析】 【分析】（1）根据方程各项的系数利用根的判别式即可得出△=（2k-3）2≥0，此题得证； （2）根据等腰三角形的性质即可得出k的值，将其代入方程求出b、c的值，再根据三角形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：（1）证明：在方程中， ， ∴不论取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）解：∵三角形为等腰三角形， ∴，∴， 将代入原方程中，得：，解得：， ∴. 【点睛】本题考查根的判别式以及等腰三角形的性质，根据方程根的判别式的符号确定方程解得情况是解题的关键． 20. 如图已知二次函数图象与直线交于点，点B． （1）求m，a的值． （2）求点B坐标． （3）连结，求面积． 【答案】（1）； （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）把点A坐标代入一次函数解析式中即可求出m的值，进而求出点A坐标，把点A坐标代入二次函数解析式中即可求出a的值． （2）根据a的值确定二次函数解析式，联立二次函数解析式和一次函数解析式即可求出点B坐标． （3）设直线交y轴于点C．根据一次函数解析式求出点C坐标，再根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：把点A坐标代入一次函数解析式得． ∴m=4． ∴． 把点A坐标代入二次函数解析式得． ∴a=1． 【小问2详解】 解：∵a=1， ∴二次函数解析式为． 联立二次函数解析式和一次函数解析式得 解得或 ∵， ∴． 【小问3详解】 解：如下图所示，设直线交y轴于点C． ∴． ∴OC=2． ∴． 【点睛】本题考查根据自变量求一次函数的函数值，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程关系，一次函数与坐标轴交点问题，三角形面积公式，熟练掌握这些知识点是解题关键． 21. 一农户原来种植花生，每公顷产量为3000千克，出油率为50%（即每100千克花生可加工出花生油50千克），现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980千克，已知花生出油率的增长率是产量增长率的，求新品种花生产量的增长率． 【答案】新品种花生产量的增长率为20％． 【解析】 【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率），即可得出方程，解方程即可． 【详解】解：设新品种花生产量的增长率为x， 根据题意得： 解方程得：x1=02，x2=-3.2（不合题意，舍去）， 答：新品种花生产量的增长率为20％． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，考查一般的增长率问题，找准等量关系列出方程是解题关键． 22. 兴城泳装出口140多个国家和地区，每年产值稳定在150亿左右．2024年兴城市某商店抓住商机，销售某款游泳服．6月份平均每天售出100件，每件盈利40元，为了扩大销售，7月份该店准备采取降价措施，市场调研发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件．7月份商店的每天其它支出为2000元． （1）若降价5元，求平均每天的销售数量； （2）为了让老百姓得到实惠，每件游泳服降价多少元时，该商店每天销售利润为4000元？ 【答案】（1）平均每天的销售数量150件 （2）当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为4000元 【解析】 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用平均每天的销售量每件商品降低的价格，即可得出结论； （2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用总利润＝每件盈利×平均每天的销售量其他成本，即可得出关于的一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：平均每天的销售数量为：（件）， 答：平均每天的销售数量150件； 【小问2详解】 解：设每件商品降价元，根据题意， 得：， 整理，得，解得：，， 为了让老百姓得到实惠， 不合题意，舍去． 答：当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为4000元． 23. 我们给出如下定义：在平面直角坐标系中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．如图，抛物线都是抛物线的过顶抛物线，设的顶点为，的对称轴分别交、于点、，点是点关于直线的对称点． （1）如图1，如果抛物线的过顶抛物线为，，那么， ① ， ； ②如果顺次连接、、、四点，那么四边形为 ； A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）如图2，抛物线的过顶抛物线为，，求四边形的面积． 【答案】（1）①1，；②D （2）4 【解析】 【分析】（1）①根据待定系数法，可得函数解析式； ②根据自变量的值，可得相应的函数值，根据四边形对角线的关系，可得答案； （2）根据对称性可得的长，根据顶点式解析式，可得根据待定系数法，可得，根据四边形的面积公式，可得答案． 【小问1详解】 解：①由A、C点关于对称轴对称，得对称轴 将C点坐标代入解析式，及对称轴公式，得 解得：； ②当时，，； ，； 所以四边形的对角线相等互相平分，且互相垂直， 四边形时正方形， 故选D； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵当，， ∴． ∵，． ∴设． ∵点在上， ∴， ∴． 当时，， ∴ ∴． ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，利用待定系数法求函数解析式，又利用了正方形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$