第十八章 正比例函数和反比例函数（7大题型）（42道压轴题专练）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（沪教版）

第十八章 正比例函数和反比例函数（7大题型）（42道压轴题专练） 压轴题型一 函数的相关概念压轴题 1．如图1，正方形的边上有一定点E，连接，动点P从正方形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到终点C图2是点P运动时，的面积随时间变化的全过程图象，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2．甲、乙两人从少年宫出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向体育馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在原地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向体育馆，如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）之间关系的图像，在乙超出甲150米之前，甲出发 秒时，甲乙相距70米． 3．周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为x千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 4．小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小华骑共享单车，玲玲步行．当小华从原路回到学校时，玲玲刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： (1)玲玲的速度为__________千米/分钟，小华返回学校的速度为__________千米/分钟． (2)小华和玲玲在出发a分钟时，两人到学校的距离相等，求a的值． 5．已知图形的相邻两边垂直，，，，．当动点M以的速度沿图1的边框按的路径运动时，的面积S随时间t的变化如图2所示．回答下列问题：    (1)直接写出______；______；______； (2)当点M在边上运动时，求S与t的关系式； (3)点M的运动过程中，当时间t为何值时，面积为？请直接写出t的值． 6．已知动点以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，与运动时间的关系如图2所示，若，请回答下列问题： (1)图1中 ， ， ． (2)求图2中m，n的值； (3)分别求出当点P在线段和上运动时s与t的关系式． 压轴题型二 正比例函数的图象与性质压轴题 1．平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是(　　) A． B． 或 C． D． 或 2．如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图象上，点和点都在轴上，当的面积是17.5时，则点的坐标是 ．    3．如图，长方形OBCD的OB边在x轴上，OD在y轴上，把OBC沿OC折叠得到OCE，OE与CD交于点F. （１）求证：OF＝CF； （２）若OD＝４，OB＝８，写出OE所在直线的解析式．    4．已知关于x的正比例函数． (1)已知点在该正比例函数的图象上，求m的值； (2)在（1）的条件下，当时，求y的取值范围． 5．在平面直角坐标系中，，，对于任意的实数，我们称为点M和点N的k系和点． 例如，已知，，点M和点N的2系和点为．已知，． (1)点A和点B的3系和点的坐标为__________； (2)已知点，若点B和点C的k系和点为点． ①求m的值； ②横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点，若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，则k的值为__________； ③若三角形BCD的面积为14．求点D的坐标． 6．已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 压轴题型三 反比例函数的k值意义压轴题 1．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，若的面积是，则的值（    ） A． B． C． D． 2．如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ． 3．如图，A为反比例函数的图像上一点，轴，垂足为P． (1)连接，当时，求反比例函数的解析式； (2)若点在函数的图像上，点先向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得点，点恰好落在函数的图像上，求的值． (3)点B在直线上，且，过点B作直线轴，交反比例函数的图像于点C，若的面积为4，求k的值． 4．如图，点、在反比例函数的图象上，轴，轴，垂足分别为、，与相交于点． (1)根据图象直接写出、的大小关系，并通过计算加以验证； (2)结合以上信息，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值． 条件①：四边形的面积为2； 条件②： 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 5．如图，已知正方形的面积为9，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数图象上． (1)点的坐标是______，______； (2)点是函数图象上异于点的任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点．设矩形和正方形不重合部分的面积为．求出关于的函数关系式． 6．如图，A为反比例函数的图象上一点，轴，垂足为P． (1)联结，当时，求反比例函数的解析式； (2)联结，若，y轴上是否存在点M，使得，若存在，求出M的坐标：若不存在，说明理由， (3)点B在直线上，且，过点B作直线轴，交反比例函数的图象于点C，若的面积为4，求k的值． 压轴题型四 反比例函数的图象与性质压轴题 1．已知反比例函数的图象经过平移后可以得到函数的图象，关于新函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，随的增大而增大 B．该函数的图象与轴有交点 C．该函数图象与轴的交点为 D．当时，的取值范围是 2．记反比例函数的图像为，其上有两点，，为正数． （1）当时，有，则的取值范围是 ； （2）在（1）成立的情况下，若为整数，过点作平行与轴的直线交于点，则点的横坐标可为 ；（写出一个即可） 3．已知反比例函数图象经过一、三象限． (1)若函数过点，求当时的函数值y， (2)若点，是反比例函数图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系，并说明理由； (3)设反比例函数，已知，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是，求x为何值时， ． 4．已知反比例函数的图像经过点． (1)请判断点是否在此反比例函数图像上，并说明理由； (2)已知点和点是反比例函数图像上的两点． ①若点C和点D关于原点中心对称，求的值； ②若，，求时，y的取值范围． 5．已知在反比例函数 (m为常数， 且 的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点， 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由； (3)若Q为x轴上一点，且，求的面积． 6．已知反比例函数图像经过一、三象限． (1)判断点在第几象限； (2)若点，是反比例函数图像上的两点，试比较，，的大小关系； (3)已知，且满足当时，函数的最大值是；设反比例函数，当时，函数的最小值是，求为何值时，． 压轴题型五 反比例函数的实际应用压轴题 1．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流（）与电阻（）的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法：①与的函数关系式是（）；②时，；③当时，；④当时，的取值范围是．错误的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为1~4的整数），函数的图像为曲线．    （1）若曲线过时，的值＝ ； （2）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，的取值范围是 ． 3．为预防某种流感病毒，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行的药物喷洒，接着封闭教室，然后打开门窗进行通风．教室内空气中的含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系． (1)求药物喷洒后空气中含药量与药物在空气中的持续时间的函数表达式； (2)如果室内空气中的含药量达到及以上且持续时间不低于，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？ 4．为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题： (1)写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ (3)当每立方米空气中的含药量y达到毫克消毒才有效，问消毒的有效时间为多少？ 5．越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表： v（千米/小时） 15 20 25 30 t（小时） 2 1 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； (3)若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 6．某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度（微克/毫升）与服药后时间x（小时）之间的函数关系如图所示，当血液中药物浓度上升（）时，满足，下降时，y与x成反比． （1）直接写出a的取值，并求当时，y与x的函数表达式； （2）若血液中药物浓度不低于3微克/毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，请问研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？ 压轴题型六 反比例函数与几何综合问题 1．如图，A、B两点在反比例函数的图像上，C、D两点在反比例函数的图像上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则的值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 2．如图，点A、C在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且轴，轴，那么的面积等于 ． 3．如图，直线与函数的图象相交于点，与轴交于点，且，点是线段上一点． (1)求的值； (2)若与的面积比为，求点的坐标； (3)将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在函数的图像上，求点的坐标． 4．已知在平面直角坐标系中，点在第一象限内，，且，反比例函数的图像经过点A．        (1)当点B的坐标为时（如图1），求这个反比例函数的解析式； (2)当点B也在反比例函数的图像上，且在点A的右侧时（如图2），用m、n的代数式表示点B的坐标；并求的值． 5．如图，为反比例函数的图像上一点，轴，垂足为．    (1)联结，当时，求反比例函数的解析式； (2)联结，若，轴上是否存在点，使得，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． (3)点在直线上，且，过点作直线轴，交反比例函数的图像于点，若的面积为4，求的值． 6．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形的边均平行于坐标轴，A点的坐标为．    (1)如图1，如果正方形的顶点B在直线上，求点A的坐标． (2)如图2，若双曲线 与此正方形的边有交点，求a的取值范围． 压轴题型七 函数的表示法压轴题 1．周末早上小敏和朋友相约开车去离市中心30km的郊外玩，玩到了傍晚准备开车回家，回家的路上小敏开了有一会车抛锚了，于是朋友就把小敏的车用工具固定在自己的车后，拖着走了一段，路上遇到一家修车店，小敏就把车放在店里维修，然后坐朋友的车回到了市中心，下面是小敏从郊外返回路上所用的时间t（分钟）和离市中心距离s（km）之间的对应关系表： t/min 10 15 20 25 30 40 45 50 55 60 65 70 s/km 24 20 16 15 15 12 12 8 5 3 1 0 根据表格中的数据判断下列哪种说法是正确的（       ） A．差不多开了20分钟，小敏的车抛锚了 B．从抛锚点到修车店，花了差不多10分钟 C．修车店在离市中心15km处 D．离市中心5km处可能开始堵车 2．某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是 （填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 3．八（1）班社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 5 10 15 20 25 声音在空气中的传播速度v/（） 331 334 337 340 343 346 (1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量． (2)从表中效据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高______． (3)声音在空气中的传播速度v/（）与气温的关系式可以表示为______； (4)某日的气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远? 4．已知中，，矩形的长和宽分别为9cm和2cm，点P和点A重合，和在同一条直线上（如图所示），不动，矩形沿射线以每秒1cm的速度向右移动，设移动后，矩形与重叠部分的面积为，求y与x之间的函数关系式． 5．在弹性限度范围内，弹簧挂上适当的重物后会按一定的规律伸长，已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 弹簧的长度 14 14.8 15.6 16.4 17.2 18 18.8 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？ （2）在弹性限度范围内写出与之间的关系式； （3）当所挂物体的质量为时（在弹性限度范围内），求弹簧的长度． （4）在弹性限度范围内，弹簧伸长后的最大长度为，求物体质量的取值范围？ 6．甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：折线表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题： (1)点B所对应的数为_________． (2)货车的速度为_________千米/小时；轿车在段的速度为________千米/小时；轿车在段的速度为__________千米/小时． (3)求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离． (4)货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 正比例函数和反比例函数（7大题型）（42道压轴题专练） 压轴题型一 函数的相关概念压轴题 1．如图1，正方形的边上有一定点E，连接，动点P从正方形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到终点C图2是点P运动时，的面积随时间变化的全过程图象，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了动点图象问题，弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系成为解题的关键． 当点P在点D时，设正方形的边长为，求出a的值；当点P在点C时，，解得，即可求解． 【详解】解：当点P在点D时，设正方形的边长为， 由题意可得：， 解得：； 当点P在点C时，即; 由题意可得：的面积， 解得：， 所以． 故选：C． 2．甲、乙两人从少年宫出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向体育馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在原地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向体育馆，如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）之间关系的图像，在乙超出甲150米之前，甲出发 秒时，甲乙相距70米． 【答案】或者 【分析】本题考查了识别函数图象的能力，根据图象先得出甲速度是：米/秒；段表示的距离长是米，进而得出乙的速度是：米/秒；再确定甲比乙早出发100秒．乙跑750米用的时间是： 秒，甲跑750米用的时间是： 秒，可得乙在段等待甲的时间为：秒，分三种情况讨论：设甲出发t秒时，甲乙相距70米，第一种：当乙追上甲之前，；第二种：当乙超过甲，但在乙休息之前，，；第三种：当乙等待甲之后，问题随之得解． 【详解】解：根据图象可以得到：甲共跑了900米，用了600秒，则速度是：米/秒； 甲跑500秒时的路程是：米， 则段表示的距离长是米，段表示的距离长是米， 由图可知，乙跑成段所表示的距离所需的时间是：秒， 则乙的速度是：米/秒； 甲跑150米用的时间是：秒，则甲比乙早出发100秒． 乙跑750米用的时间是： 秒， 甲跑750米用的时间是： 秒， 此除去甲比乙早出发100秒，乙在段等待甲的时间为：秒， 即乙行至B点所示位置时，甲还距离此处米． 分三种情况讨论： 设甲出发t秒时，甲乙相距70米， 第一种：当乙追上甲之前， ， 解得：； 第二种：当乙超过甲，但在乙休息之前， ， 解得：； 第三种：当乙等待甲之后， 乙在甲出发560秒后到达体育馆， 此时甲还距离体育馆：米， 即：此时不存在甲乙相距70米的情况， 故舍去； 综上：在乙超出甲150米之前，甲出发秒或者秒时，甲乙相距70米 故答案为：或者． 3．周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为x千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)， (2)选择乙方案更划算，理由见解析 【分析】本题考查了求函数关系式和函数求值． （1）利用按甲方案所需总费用购买门票的费用杨梅的原价采摘量，可求出关于的函数表达式；利用按乙方案当采摘量千克时，所需总费用杨梅的原价杨梅的原价超过10千克的部分，可求出关于的函数表达式； （2）代入，求出、的值，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：当采摘量超过10千克时，， 根据题意得：， 即； ， 即； （2）解：选择乙方案更划算，理由如下： 当时，， ． ， 选择乙方案更划算． 4．小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小华骑共享单车，玲玲步行．当小华从原路回到学校时，玲玲刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： (1)玲玲的速度为__________千米/分钟，小华返回学校的速度为__________千米/分钟． (2)小华和玲玲在出发a分钟时，两人到学校的距离相等，求a的值． 【答案】(1)0.125；0.5 (2) 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系： （1）根据速度等于路程除以时间，从函数图象中获取信息，进行计算即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知：玲玲的速度为：千米/分钟， 小华返回学校的速度为：千米/分钟． 故答案为：0.125；0.5； （2）由题意，得：， 解得：． 5．已知图形的相邻两边垂直，，，，．当动点M以的速度沿图1的边框按的路径运动时，的面积S随时间t的变化如图2所示．回答下列问题：    (1)直接写出______；______；______； (2)当点M在边上运动时，求S与t的关系式； (3)点M的运动过程中，当时间t为何值时，面积为？请直接写出t的值． 【答案】(1)5；24；9 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了动点问题函数图像，根据函数图像获得信息，解题的关键是树形结合，熟练掌握三角形的面积公式． （1）根据图形的边长，求出即可；根据函数图像结合点M在图形上的运动轨迹，以及三角形的面积公式求出a、b的值即可； （2）先求出点M在上运动时，点M到的距离，然后根据三角形面积公式求出S与t的函数关系式即可； （3）分情况讨论：当点M在上运动时，当点M在上运动时，当点M在上运动时，当点M在上运动时，当点M在上运动时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵图形的相邻两边垂直，，，，， ∴，， 当点M从点B运动到点C时，的面积逐渐增大，到达点C时，面积最大，当点M从点C向点D运动时，的面积不变，当点M从点D向点E运动时，的面积逐渐减小，当点M从点E向点F运动时，的面积不变，当点M从点F向点A运动时，的面积逐渐减小， ∴，； （2）解：当点M在上运动时，点M到的距离为： ， ∴此时的面积为： ． （3）解：当点M在上运动时，， 解得：； 当点M在上运动时，的面积为，不可能是； 当点M在上运动时，， 解得：， ∵， ∴符合题意； 当点M在上运动时，的面积为，不可能是； 当点M在上运动时，的面积小于，不可能是； 综上分析可知：当或时，面积为． 6．已知动点以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，与运动时间的关系如图2所示，若，请回答下列问题： (1)图1中 ， ， ． (2)求图2中m，n的值； (3)分别求出当点P在线段和上运动时s与t的关系式． 【答案】(1)；； (2)的值为，的值为 (3)； 【分析】本题考查动点问题的函数图像，速度、时间、路程之间的关系，三角形的面积等知识，采用了数形结合的思想方法．解题的关键是读懂图像信息． （1）因为点速度为，所以根据图2的时间可以求出线段，和的长度； （2）由图像可知的值就是的面积，的值就是运动的总时间，由此即可解决； （3）先用表示出点到的水平距离，再根据三角形的面积公式求出面积． 【详解】（1）解：由图2可知，点从的运动时间为， ∴， 由图2可知，点从的运动时间为：， ∴， 由图2可知，点从的运动时间为， ∴． 故答案为：；；． （2）解：根据题意得：， ， ． ∴图2中的值为，的值为． （3）解：由图2可知，点在上运动时，， ∴， 即， 由图2可知，点在上运动时，， ∴， 即． ∴点在线段上运动时与的关系式为，点在线段上运动时与的关系式为． 压轴题型二 正比例函数的图象与性质压轴题 1．平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是(　　) A． B． 或 C． D． 或 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．数形结合是解题的关键． 如图，由题意知，根据，确定此时的值，然后根据正比例函数的图象越靠近轴，的值越大，进行作答即可． 【详解】解：如图，    将分别代入， 解得，，， 由题意知，正比例函数的图象越靠近轴，的值越大， ∴正比例函数的图象与线段有交点，则或； 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图象上，点和点都在轴上，当的面积是17.5时，则点的坐标是 ．    【答案】或 【分析】本题考查了正比例函数图像上的点的坐标特征，把点代入求出，得，设点，表示出，以为点的高是A点纵坐标7，根据三角形面积求得a的值，进而写出点C坐标． 【详解】解：∵在正比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴； 设点C的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点C的坐标是或， 故答案为：或． 3．如图，长方形OBCD的OB边在x轴上，OD在y轴上，把OBC沿OC折叠得到OCE，OE与CD交于点F. （１）求证：OF＝CF； （２）若OD＝４，OB＝８，写出OE所在直线的解析式．    【答案】（1）证明见解析；（2）y=x. 【分析】(1)根据平行的性质和轴对称的性质，可得∠BOC=∠FOC=∠FCO，即可证得； (2)可设FC=x=OF，则DF=8-x，则在直角△ODF中，根据勾股定理，可求出x，即可得出DF的长，从而可求出F点的坐标，再用待定系数法求出OE所在直线的解析式． 【详解】（1）证明：∵四边形OBCD是长方形   ∴∠BOC=∠OCD ∵OBC折叠成OCE      ∴∠BOC=∠EOC ∴∠EOC=∠OCD     ∴OF=CF （2）设FC=x,则(8-x)2+42=x2 解得：x=5, ∴ DF=8-5=3,   ∴点F的坐标为；(3,4) 设OE所在直线方程为y=kx, 把（3，4）代入y=kx，得k=， OE所在直线方程为y=x. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、轴对称图形的性质、勾股定理和一次函数解析式的求法，本题涉及的知识点比较多，考查了学生对于知识的综合运用能力． 4．已知关于x的正比例函数． (1)已知点在该正比例函数的图象上，求m的值； (2)在（1）的条件下，当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的性质，准确理解正比例函数图象的性质，确定y随x的变化情况是解题的关键； （1）直接把点代入正比例函数，求出m的值； （2）根据正比例函数的增减性与系数的关系找出y的取值范围． 【详解】（1）点在该正比例函数的图象上， ， 解得：； （2）由（1）知：， 正比例函数的表达式为：， 在中，， y随x的增大而增大， 当时，，当时，， 的取值范围为：． 5．在平面直角坐标系中，，，对于任意的实数，我们称为点M和点N的k系和点． 例如，已知，，点M和点N的2系和点为．已知，． (1)点A和点B的3系和点的坐标为__________； (2)已知点，若点B和点C的k系和点为点． ①求m的值； ②横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点，若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，则k的值为__________； ③若三角形BCD的面积为14．求点D的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或；③点D的坐标为或． 【分析】本题考查了新定义、求直角坐标系中点的坐标等知识点，准确理解材料是解题关键． （1）根据定义计算即可； （2）①先根据点B和点C的k系和点为点D，列出方程，再根据点D的横坐标等于纵坐标，即可求得； ②由条件得点在一三象限角平分线上，画出图，找到合适的点即可； ③分两种情况讨论，求得当点在第一象限和点在第三象限时，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解；，， 且，， 点A和点B的3系和点的坐标为． 故答案为：； （2）解：①∵点为和的k系和点， ，． 即． ， ， ， ∴； ②∵， ，， ∵点在一三象限角平分线上，如图， ∴符合条件的点有两个，且坐标分别为，， 或， ∴或， 故答案为：或； ③∵，， ∴的面积为2， 当点在第一象限时，四边形的面积为16， ∴的面积为8， ∵， ∴，解得， ∴点D的坐标为； 当点在第三象限时，四边形的面积为12， ∴的面积为6， ∵， ∴，解得， ∴点D的坐标为； 综上，点D的坐标为或． 6．已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)正比例函数的解析式是 (2)P点坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个． （1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式； （2）利用三角形的面积公式求得，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标． （3）设点，当或时，分点M在线段上与在线段延长线两种情况，由列方程，从而可得点M的坐标． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为3，且的面积为3 ∴， 解得，， ∴点A的坐标为， ∵正比例函数经过点A， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式是； （2）解：存在． 设， ∵的面积为5，点A的坐标为， ∴， ∴或， ∴P点坐标为或． （3）解：设，如图， ①点在上时， 当时，， 又, 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； ②点在的延长线上时， 当时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，同理可得，点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 压轴题型三 反比例函数的k值意义压轴题 1．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，若的面积是，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象，连接，设与轴交点为，得到，再利用反比例函数系数的几何意义，得到，，然后根据列方程求出的值，再结合函数图象即可得到答案，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与轴交点为， ∵轴， ∴轴，， ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴， 解得， ∵双曲线分布在二、四象限， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查反比例函数中的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用的几何意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键． 根据反比例函数中的几何意义：反比例函数图象上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形面积等于，数形结合可以得到，根据图象均在第一象限可知，再由四边形的面积为3，得到，即可得到答案． 【详解】解：矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点， 由反比例函数中的几何意义知，， 矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点， 由反比例函数中的几何意义知，， 四边形的面积为3， 由图可知，， 即，解得， ， 故答案为：6． 3．如图，A为反比例函数的图像上一点，轴，垂足为P． (1)连接，当时，求反比例函数的解析式； (2)若点在函数的图像上，点先向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得点，点恰好落在函数的图像上，求的值． (3)点B在直线上，且，过点B作直线轴，交反比例函数的图像于点C，若的面积为4，求k的值． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式等知识．熟练掌握反比例函数的几何意义，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据反比例函数的几何意义求解作答即可； （2）由题意知，平移后的点坐标为，由点，点在函数的图像上，可得，计算求解即可； （3）如图2， 设，则，，分当在点左侧时，当在点右侧时两种情况，根据的面积为列等式，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1， 由题意知，， 解得，或（舍去）， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意知，平移后的点坐标为， ∵点在函数的图像上，点恰好落在函数的图像上， ∴， 解得，， ∴的值为1． （3）解：如图2， 设，则，， 当在点左侧时，，则， 将代入得，， ∴， 解得，； 当在点右侧时，同理可得，，，， ∴， 解得，； 综上所述，k的值为或． 4．如图，点、在反比例函数的图象上，轴，轴，垂足分别为、，与相交于点． (1)根据图象直接写出、的大小关系，并通过计算加以验证； (2)结合以上信息，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值． 条件①：四边形的面积为2； 条件②： 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 【答案】(1)，见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． （1）根据反比例函数的性质即可得，再将点、代入反比例函数的解析式分别求出的值，由此即可加以验证； （2）选择条件①：先根据矩形的判定与性质可得，再根据点A，B的坐标可得，从而可得，，利用待定系数法求解即可得；选择条件②：先求出，再根据矩形的判定与性质可得，从而可得，代入可得，然后根据即可得． 【详解】（1）； 验证如下： 当时，；当时，， ，， 即. （2）选择条件①四边形的面积为2，求解如下： 轴，轴，， 四边形是矩形. ， ，. ，， ，解得， ， 将点代入得：. 选择条件②，求解如下： ，. ，，，， 轴，轴，， 四边形是矩形， ，， ， ， 又， ， 由（1）可知，， ， 解得 5．如图，已知正方形的面积为9，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数图象上． (1)点的坐标是______，______； (2)点是函数图象上异于点的任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点．设矩形和正方形不重合部分的面积为．求出关于的函数关系式． 【答案】(1)；9 (2)当时，，当， 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的性质、矩形的面积、正方形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由正方形的性质可得，从而得出，再由点在函数图象上得出，从而得解； （2）分两种情况：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，分别求解即可． 【详解】（1）解：正方形的面积为9， ， ， 点在函数图象上， ， 故答案为：，9； （2）解：如图， ， 当点在点的左侧时，此时，， 当点在点的右侧时，此时，当时，P的纵坐标是， 由题意． 6．如图，A为反比例函数的图象上一点，轴，垂足为P． (1)联结，当时，求反比例函数的解析式； (2)联结，若，y轴上是否存在点M，使得，若存在，求出M的坐标：若不存在，说明理由， (3)点B在直线上，且，过点B作直线轴，交反比例函数的图象于点C，若的面积为4，求k的值． 【答案】(1) (2)存在， (3)k的值为或 【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义即可求解； （2）求得，即可求得从而求得点； （3）当B点在P点右侧，如图，设，则可表示出，，利用三角形面积公式得到；当B点在P点左侧，设，则可表示出，，利用三角形面积公式得到，然后分别解关于k的方程即可． 【详解】（1）解：∵轴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为 ； （2）解：存在，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当B点在P点右侧，如图， 设， ∵， ∴， ∵轴， ∴，   ∵的面积为4， ∴，解得； 当B点在P点左侧，如图 设， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵的面积为4， ∴，解得； 综上所述，k的值为或． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 压轴题型四 反比例函数的图象与性质压轴题 1．已知反比例函数的图象经过平移后可以得到函数的图象，关于新函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，随的增大而增大 B．该函数的图象与轴有交点 C．该函数图象与轴的交点为 D．当时，的取值范围是 【答案】C 【分析】由反比例函数的性质可知，反比例函数当或时，随的增大而减小，且关于对称；经过平移后得到，关于对称，增减性不变． 【详解】解：A．当时，随的增大而减小，本选项错误，不符合题意； B．该函数的图象与轴无限接近，但是没有交点，故本选项错误，不符合题意； C．该函数图象与轴的交点为，故本选项正确，符合题意； D．当时，的取值范围是，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数图象的平移；解题的关键是掌握反比例函数图象与系数的关系． 2．记反比例函数的图像为，其上有两点，，为正数． （1）当时，有，则的取值范围是 ； （2）在（1）成立的情况下，若为整数，过点作平行与轴的直线交于点，则点的横坐标可为 ；（写出一个即可） 【答案】 或或 【分析】本题考查反比例函数的性质及图像上的点的坐标特征， （1）根据当时，有，可知反比例函数的图像在第一、三象限，则，求解后得出的值，再根据为正数即可得出的取值范围； （2）依题意得点的纵坐标为，设点的横坐标为，则，再根据在（1）成立的情况下可得的值，可得答案； 理解反比例函数图像上的点满足反比例函数的表达式是解题的关键． 【详解】解：（1）∵点，在比例函数的图像上， 又∵当时，有， ∴反比例函数的图像在第一、三象限， ∴， 解得：， 又∵为正数， ∴的取值范围是， 故答案为：； （2）∵过点作平行与轴的直线与反比例函数的图像交于点， ∴点的纵坐标为， 设点的横坐标为，则点， ∴，即， ∵在（1）成立的情况下， ∴， 又∵为整数， ∴或或， 当时，， 当时，， 当时，， ∴点的横坐标可为或或． 故答案为：或或． 3．已知反比例函数图象经过一、三象限． (1)若函数过点，求当时的函数值y， (2)若点，是反比例函数图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系，并说明理由； (3)设反比例函数，已知，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是，求x为何值时， ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)8 【分析】（1）把代入解得，得到，把代入得到函数值； （2）由反比例函数图象经过一、三象限，则，在每个象限内，y随着x的增大而减小，可判断出点，是第一象限内的点，则，，，即可得到，，，则； （3）由反比例函数图象经过一、三象限．得到，在每个象限内，y随着x的增大而减小，则反比例函数位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，根据已知条件得到当时，；当时，，则，，得到，解得：（不合题意，舍去）或，得到，则，，由得到，即可求得x的值； 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴， 当时，， 即当时的函数值； （2），理由如下： ∵反比例函数图象经过一、三象限． ∴，在每个象限内，y随着x的增大而减小， ∵点，是反比例函数图象上的两点， ∴点，是第一象限内的点， ∴，，， ∴，，， ∴； （3）∵反比例函数图象经过一、三象限． ∴，在每个象限内，y随着x的增大而减小， 反比例函数位于第二、四象限， 在每一象限内随的增大而增大， 又∵，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是， 当时，；当时，， ∴，， ，， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴， ∴，， 由得到， 解得， 经检验，是原方程的根， 当时，． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，对于反比例函数，当时，反比例函数图象分别位于一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小；当时，反比例函数图象分别位于二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大．熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 4．已知反比例函数的图像经过点． (1)请判断点是否在此反比例函数图像上，并说明理由； (2)已知点和点是反比例函数图像上的两点． ①若点C和点D关于原点中心对称，求的值； ②若，，求时，y的取值范围． 【答案】(1)点在此反比例函数图像上，理由见解析 (2)①；②或 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的图像与性质、关于原点中心对称的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解答的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后将点B坐标代入即可判断； （2）①根据题意，，，，代入所求式子中求解即可； ②先根据反比例函数的性质得到反比例函数的图像在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，再根据已知推导出，进而得到，，则，根据反比例函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：点在此反比例函数图像上， 理由：∵反比例函数的图像经过点， ∴，则， 当时，， ∴点在此反比例函数图像上； （2）解：①∵点和点是反比例函数图像上的两点，且点C和点D关于原点中心对称， ∴，，， ∴ ； ②∵， ∴反比例函数的图像在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，又当时，， ∴当时，y的取值范围为或． 5．已知在反比例函数 (m为常数， 且 的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点， 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由； (3)若Q为x轴上一点，且，求的面积． 【答案】(1)，该反比例函数的图象在第一、 三象限 (2)点A，C在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上，理由见解析 (3)6 【分析】（1）由点在该反比例数的图象上， 可得，可求，由，判断反比例函数的图象所在的象限即可； （2）由（1）可知，该反比例函数的解析式为，然后将3个点坐标代入判断即可； （3）由Q为x轴上一点，且，可知是等腰三角形，且点Q的坐标为，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵ 点在该反比例数的图象上， ∴， 解得． ∵， ∴该反比例函数的图象在第一、 三象限． （2）解：由（1）可知，该反比例函数的解析式为， 当时，； 当时，； 当时，； ∴点A，C在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上． （3）解：∵Q为x轴上一点，且， ∴是等腰三角形，且点Q的坐标为， ∴， ∴的面积为6． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形等知识．熟练掌握反比例函数解析式，反比例函数的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形是解题的关键． 6．已知反比例函数图像经过一、三象限． (1)判断点在第几象限； (2)若点，是反比例函数图像上的两点，试比较，，的大小关系； (3)已知，且满足当时，函数的最大值是；设反比例函数，当时，函数的最小值是，求为何值时，． 【答案】(1)第四象限 (2) (3) 【分析】（1）由反比例函数图像经过一三象限确定的取值范围，从而判断点所在象限； （2）根据反比例函数的增减性及点的坐标特征进行分析判断； （3）利用反比例函数的增减性确定函数最值时的值，从而列方程求解． 【详解】（1）解：反比例函数图像经过一、三象限， ， ， 点在第四象限； （2）反比例函数图像经过一、三象限， 在每一象限内随的增大而减小， 点，在反比例函数图像上， 且，两点在第一象限，可得， ， 解得：， ，，的大小关系为：； （3）反比例函数图像经过一、三象限， 在每一象限内随的增大而减小， ， 反比例函数位于第二、四象限， 在每一象限内随的增大而增大， ，且满足当时，函数的最大值是，当时，函数的最小值是， 当时，， 当时，， ， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时，代入中，， ，， 若， ， 解得：， 经检验是原方程的解集， 当时，． 【点睛】本题考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数的性质利用数形结合思想解题是关键． 压轴题型五 反比例函数的实际应用压轴题 1．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流（）与电阻（）的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法：①与的函数关系式是（）；②时，；③当时，；④当时，的取值范围是．错误的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】观察图象是反比例函数，设函数解析式为，代入点，即可求得解析式，进而观察函数图象，根据反比例函数的性质，即可判断②③④ 【详解】解：根据函数图象是反比例函数，设函数解析式为，代入点， 得， ∴与的函数关系式是，故①符合题意； 观察函数图象，随着的增大而减小，则时，，故②符合题意 ③当时，，故③符合题意 ④当时，,则当时，的取值范围是．故④不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 2．如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为1~4的整数），函数的图像为曲线．    （1）若曲线过时，的值＝ ； （2）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，的取值范围是 ． 【答案】 8 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出各点的坐标是解题的关键． （1）根据每个台阶的高和宽分别是1和2，可得的坐标，然后代入即可解答； （3）分别求得过点和时，过点和时的k值，据此确定k的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2， ∴， ∴，即． 故答案为：8． （2）当函数过点和时，， 当函数过点和时，， ∴若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点时，k的取值范围是：． 故答案为：． 3．为预防某种流感病毒，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行的药物喷洒，接着封闭教室，然后打开门窗进行通风．教室内空气中的含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系． (1)求药物喷洒后空气中含药量与药物在空气中的持续时间的函数表达式； (2)如果室内空气中的含药量达到及以上且持续时间不低于，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？ 【答案】(1)； (2)此次消毒有效，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用：能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型，理解题意以及对函数的分类讨论是解题关键． （1）当时，y与x为反比例函数关系式，，可得反比例函数解析式； （2）计算正比例函数和反比例函数的函数值为5对应的自变量的值，则它们的差为含药量不低于的持续时间，然后与比较大小即可判断此次消毒是否有效． 【详解】（1）解：当时， 设，将代入， 则， ∴； （2）解：此次消毒有效．理由如下： 当时， 设，将代入， 则，解得：， ∴； 当时，，解得， 当时，，解得， ∵， ∴此次消毒有效． 4．为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题： (1)写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ (3)当每立方米空气中的含药量y达到毫克消毒才有效，问消毒的有效时间为多少？ 【答案】(1)反比例函数关系式为，正比例函数关系式为； (2)至少需要经过6小时后，学生才能进入教室 (3)小时 【分析】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式； （2）根据（1）中的关系式列不等式，进一步求解可得答案． （3）把代入两个函数求得x值相减即可求得有效时间． 【详解】（1）解：将点代入函数关系式得：， 解得，有， 将代入得：， 解得：， 所以所求反比例函数关系式为， 再将代入得：， 解得：， 所以所求正比例函数关系式为． （2）解：根据题意可得：， 解得， 根据图象可知：当时，， 所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室． （3）解：把代入到得：， 解得：， 把代入到得：， 解得：， ∴消毒的有效时间为：（小时）． 5．越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表： v（千米/小时） 15 20 25 30 t（小时） 2 1 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； (3)若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 【答案】(1) (2)不能，理由详见解析 (3) 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式． （1）由表中数据可得，从而得出结论； （2）把代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论； （3）根据和t的取值范围得出结论． 【详解】（1）解：根据表中数据可知，， ， 平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； （2）骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地，理由： 从上午8：30到上午9：10，骑行者用时40分钟，即小时， 当时，（千米/时）， 骑行速度不超过40千米/小时， 骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地； （3）， 当时，， 解得， 平均速度v的取值范围为． 6．某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度（微克/毫升）与服药后时间x（小时）之间的函数关系如图所示，当血液中药物浓度上升（）时，满足，下降时，y与x成反比． （1）直接写出a的取值，并求当时，y与x的函数表达式； （2）若血液中药物浓度不低于3微克/毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，请问研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？ 【答案】（1）3，；（2）抗菌新药可以作为有效药物投入生产，见解析 【分析】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可； （2）把y＝3分别代入正比例函数和反比例函数解析式求出自变量的值，进而得出答案． 【详解】（1）由图象知，； ∵当时，y与x成反比， ∴设， 由图象可知，当时，， ∴； ∴； （2）把分别代入和得，和， ∵， ∴抗菌新药可以作为有效药物投入生产． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用以及待定系数法求函数解析式，读懂题意是解题关键． 压轴题型六 反比例函数与几何综合问题 1．如图，A、B两点在反比例函数的图像上，C、D两点在反比例函数的图像上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则的值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】设点的坐标为，点的坐标为，则，，，，先将点的坐标代入反比例函数可得，由此可得，再根据可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意，设点的坐标为，点的坐标为， 则，，，， 将点，代入得：， 解得， ， ，即， 解得， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像，熟练掌握反比例函数图像上的点的坐标特征是解题关键． 2．如图，点A、C在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且轴，轴，那么的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．设点，根据轴，且点B在反比例函数的图象上，得出，进而得到，根据轴，点C在反比例函数的图象上，得到，进而得到，最后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：点A在反比例函数的图象上， 设点， 轴， 点的纵坐标为， 点B在反比例函数的图象上， ， ， 轴， 点的横坐标为， 点C在反比例函数的图象上， ， ， ， 故答案为： 3．如图，直线与函数的图象相交于点，与轴交于点，且，点是线段上一点． (1)求的值； (2)若与的面积比为，求点的坐标； (3)将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在函数的图像上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把代入，可求出的值； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，由与的面积比为可推出，由点的坐标可求出，从而求出点的纵坐标，根据题意求出直线的解析式，由于点在直线上，进而求出点坐标； 过点作轴于，设，则，将其坐标代入到得到关于的方程内解方程即可求出结果． 【详解】（1）在函数的图象上， ， （2）如图1，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 点的坐标为， ， ， ， 设直线的解析式为， 点在直线上， 直线的解析式为， 把代入中，， ， （3）如图2，过点作轴于， 直线的解析式为， 设， 点落在函数的图象上， ， 或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，旋转的性质等，能够熟练运用一次函数和反比例函数的性质是解本题的关键． 4．已知在平面直角坐标系中，点在第一象限内，，且，反比例函数的图像经过点A．        (1)当点B的坐标为时（如图1），求这个反比例函数的解析式； (2)当点B也在反比例函数的图像上，且在点A的右侧时（如图2），用m、n的代数式表示点B的坐标；并求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过A作，根据三角形为等腰直角三角形，得到，确定出A坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式； （2）过A作轴，过B作，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且，利用得出三角形与三角形全等，由确定三角形的对应边相等得到进而表示出及的长，即可表示出B坐标；由A与B都在反比例图象上，得到A与B横纵坐标乘积相等，列出关系式，变形后即可求解． 【详解】（1）解：过A作，交x轴于点C， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 将代入反比例解析式， 并解得：， 则反比例解析式为； （2）解：过A作轴，过B作， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∴ 则； ∵由A与B都在反比例图象上，得到， 整理得： 即 这里 ∵， ∴， ∵在第一象限， ∴ 则． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键． 5．如图，为反比例函数的图像上一点，轴，垂足为．    (1)联结，当时，求反比例函数的解析式； (2)联结，若，轴上是否存在点，使得，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． (3)点在直线上，且，过点作直线轴，交反比例函数的图像于点，若的面积为4，求的值． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)或 【分析】（1）连接，设，则，，根据即可求解； （2）先计算，再根据即可求解； （3）分类讨论在延长线上和在延长线上，即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图：    设，则，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：如图：    ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，　　 又∵，点在轴上， ∴点的坐标为或； （3）解：设，则，， ∴， 当在延长线上时，如图：    ，对于，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴，解得．　　 当在延长线上时，如图：    易得：，， ∴， ， ∴，， 综上：或． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合题．熟记反比例函数的相关性质是解题关键． 6．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形的边均平行于坐标轴，A点的坐标为．    (1)如图1，如果正方形的顶点B在直线上，求点A的坐标． (2)如图2，若双曲线 与此正方形的边有交点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据坐标与图形性质得到点B坐标为，代入求得a值即可； （2）根据题意求得点C坐标为，将点A、C坐标代入求得a值，再根据图象可得a得取值范围． 【详解】（1）解：∵A点的坐标为， ∴由题意，得点B坐标为， 将代入中，得， 解得， ∴点A的坐标为； （2）∵A点的坐标为， ∴由题意，得点C坐标为， 当点C在双曲线上时，则 解得， 当点A在双曲线上时，则， 解得， 由图可知，若双曲线 与此正方形的边有交点，则a的取值范围为． 【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形，利用数形结合思想正确得到点B、C的坐标表示是解答的关键． 压轴题型七 函数的表示法压轴题 1．周末早上小敏和朋友相约开车去离市中心30km的郊外玩，玩到了傍晚准备开车回家，回家的路上小敏开了有一会车抛锚了，于是朋友就把小敏的车用工具固定在自己的车后，拖着走了一段，路上遇到一家修车店，小敏就把车放在店里维修，然后坐朋友的车回到了市中心，下面是小敏从郊外返回路上所用的时间t（分钟）和离市中心距离s（km）之间的对应关系表： t/min 10 15 20 25 30 40 45 50 55 60 65 70 s/km 24 20 16 15 15 12 12 8 5 3 1 0 根据表格中的数据判断下列哪种说法是正确的（       ） A．差不多开了20分钟，小敏的车抛锚了 B．从抛锚点到修车店，花了差不多10分钟 C．修车店在离市中心15km处 D．离市中心5km处可能开始堵车 【答案】B 【分析】根据表中的时间和距离，逐段分析，即可一一判定． 【详解】解：A、车抛锚了，车速会迅速下降直至停止，由表知，在10分钟-15分钟，5分钟行驶距离为24-20=4km，15分钟-20分钟，5分钟行驶距离为20-16=4km，20分钟-25分钟，5分钟行驶距离为16-15=1km，此段车速明显下降，而在25分钟-30分钟，这段时间小敏离市中心的距离一直是15 km，表明车停下来了，这段时间朋友把小敏的车用工具固定在自己的车后，因此，说明小敏的车开了15分钟，车抛锚了，故A错误； B、小敏把车放在店里维修需要时间，这段时间小敏离市中心的距离(第二次)不变，由表知，在40分钟- 45分钟，离市中心的距离是12 km，因此，小敏的车在40分钟到了修车店，由表知，从抛锚点到修车店，所花时间为40-30=10(分钟)， 故B正确； C、由B知，修车店在离市中心12 km处， 故C错误； D、由表知，在45分钟-50分钟，5分钟行驶距离为12-8=4 km，50分钟-55分钟，5分钟行驶距离为8-5=3 km，55分钟-60分钟，5分钟行驶距离为5-3=2 km，60分钟-65分钟，5分 钟行驶距离为3-1=2 km，65分钟-70分钟，5分钟行驶距离为1-0=1 km，表明车在离市中心5km处在减速行驶进入市区可能遇红绿灯等候，不一定是堵车，故D错误． 故选B． 【点睛】本题考查了函数的应用，即用列表法表示函数关系，从表中获取相关信息是解决本题的关键． 2．某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是 （填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了用图象表示两个变量的关系，根据图象即可判断①；求出升级设备前后甲的生产速度，以及2小时前后乙的生产速度，进而确定a、b、c的值，再分别求出对应时间段甲乙生产量最多相差的个数即可判断②③；求出乙需要的总时间即可判断④，进而可得结论． 【详解】解：甲升级设备用了小时，乙没有升级设备，故①说法错误； 由图象可知，当时，甲每小时生产个，乙每小时生产个， ∴当，且时，甲乙生产量最多相差个； 当时，乙每小时生产个，则当时，甲乙生产量最多相差个； 甲升级完成后每天生产个， 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当，甲乙生产量最多相差个，不符合题意； 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当时，甲乙生产量最多个； 综上所述，一天中甲乙生产量最多相差6个，故②正确； ∵， ∴，故③错误； ，， ∴甲比乙提前1小时完成工作，故④说法正确； ∴说法正确的有②④， 故答案为：②④． 3．八（1）班社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 5 10 15 20 25 声音在空气中的传播速度v/（） 331 334 337 340 343 346 (1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量． (2)从表中效据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高______． (3)声音在空气中的传播速度v/（）与气温的关系式可以表示为______； (4)某日的气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远? 【答案】(1)气温；声音在空气中的传播速度； (2)； (3)； (4)1721 m 【分析】本题考查了函数的表示方法，常量与变量，理解常量与变量的定义， （1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案； （2）从表格中两个变量对应值的变化规律得出答案； （3）利用（2）中的变化关系得出函数关系式； （4）当时，求出v，再根据路程等于速度乘以时间进行计算即可； 【详解】（1）解：在这个变化过程中，气温是自变量，声音在空气中传播的速度是因变量； 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度． （2）解：由表中的数据得：气温每升高，声音在空气中的传播速度就提高． ∴气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高． 故答案为：0.6． （3）解：根据题意：当时，声音在空气中传播的速度为，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高． ∴声音在空气中的传播速度v与气温t（）的关系式可以表示为 故答案为：． （4）解：当时，， m， 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距1721m． 4．已知中，，矩形的长和宽分别为9cm和2cm，点P和点A重合，和在同一条直线上（如图所示），不动，矩形沿射线以每秒1cm的速度向右移动，设移动后，矩形与重叠部分的面积为，求y与x之间的函数关系式． 【答案】 【分析】分图1，图2，图3三种情况，利用三角形面积公式和梯形面积公式进行讨论求解即可． 【详解】运动过程中，重叠部分图形的形状在发生改变，重叠部分面积也随之而变化，由此可知题目需进行以下分类讨论： 当时，如图1所示，重叠部分为等腰直角三角形，腰长为，得：； 当时，如图2所示，重叠部分为直角梯形，梯形高即为矩形宽为，梯形下底长为，上底长为，得：； 当时，如图3所示，重叠部分为直角梯形，梯形高即为矩形宽为，梯形下底长即为等腰直角三角形腰长保持不变，则上底长为，得保持不变． 综上所述， 【点睛】本题主要考查了求函数关系式，掌握矩形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 5．在弹性限度范围内，弹簧挂上适当的重物后会按一定的规律伸长，已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 弹簧的长度 14 14.8 15.6 16.4 17.2 18 18.8 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？ （2）在弹性限度范围内写出与之间的关系式； （3）当所挂物体的质量为时（在弹性限度范围内），求弹簧的长度． （4）在弹性限度范围内，弹簧伸长后的最大长度为，求物体质量的取值范围？ 【答案】（1）所挂物体质量及弹簧长度间的关系；所挂物体质量为自变量；（2）y=14+0.8x；（3）20.8cm；（4）0≤x≤10． 【分析】（1）由题意易得； （2）由表中数据知，所挂物体质量每增加1千克，弹簧长度伸长0.8厘米，由此可得y与x的关系式； （3）当x=8.5时，代入（2）中所得的关系式中，即可求得结果； （4）当y=22时，代入（2）中所得的关系式中，可求得所挂物体的最大质量，从而求得物体质量的取值范围． 【详解】（1）由题意，弹簧的长度随着物体质量的变化而变化，所以上表反映了所挂物体质量及弹簧长度间的关系，其中所挂物体质量为自变量； （2）由表知：所挂物体质量每增加1千克，弹簧长度伸长0.8厘米，则当物体质量为x千克时，y=14+0.8x 即在弹性限度范围内写出与之间的关系式为：y=14+0.8x； （3）当x=8.5时，y=14+0.8×8.5=20.8 即此时弹簧长度为20.8厘米； （4）当y=22时，22=14+0.8x 解得：x=10 即在弹性限度范围内，弹簧伸长后的最大长度为时，所挂物体的最大质量为10千克 所以x的取值范围为：0≤x≤10． 【点睛】本题考查了函数的表示方法，求函数值，已知函数值求自变量的值，解答本题的关键是读懂表格，根据表格信息得到所需的条件． 6．甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：折线表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题： (1)点B所对应的数为_________． (2)货车的速度为_________千米/小时；轿车在段的速度为________千米/小时；轿车在段的速度为__________千米/小时． (3)求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离． (4)货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？ 【答案】(1)1.5 (2)60，80，110 (3)270 (4)轿车先达到乙地，提前0.5小时到达 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）点所对应的数为轿车出发的时间，根据题意求出轿车出发的时间即可； （2）根据图象结合速度路程时间，即可求得对应的速度； （3）根据图象求得货车行驶时间，再结合速度即可求解； （4）根据图象求得货车到达乙地时间即可求解． 【详解】（1）解：∵轿车比货车晚出发1.5小时，货车是第0小时出发， ∴轿车第1.5小时出发， ∴点所对应的数是1.5； 故答案为：1.5； （2）解：根据图象可知，货车速度是千米/小时， 轿车在段的速度为千米/小时， 轿车在段的速度为千米/小时， 故答案为：60，80，110； （3）根据图象可知，轿车到达乙地时， 货车行驶时间为， 此时，货车与甲地的距离为千米； （4）根据图象可知，轿车先到达乙地， 货车达到时间为小时， 可知，轿车比货车提前小时， 即：轿车先达到乙地，提前0.5小时到达． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$